1 - Signal Processing Systems

1.5. De eigenfunctie Þ Ò van het systeem 5
Op een bepaald moment Ò ¼ wordt het ingangssignaal ÜÒ ¼ ℄ aan de box aangeboden terwijl de
geheugenelementen de waarden × ½ Ò ¼ ℄, × ¾ Ò ¼ ℄ ¡¡¡× Ä Ò ¼ ℄hebben; hiervan uitgaand berekent de box
dan de waarde ÝÒ ¼ ℄ van het uitgangssignaal en ook de nieuwe inhouden van de geheugenelementen
(× ½ Ò ¼ ·½℄, × ¾ Ò ¼·½℄¡¡¡× Ä Ò ¼·½℄). Daarna staat het systeem klaar om de volgende waarde van
het ingangssignaal te ontvangen en opnieuw de berekeningen uit te voeren; enz. enz.
De uit de box komende signalen worden berekend door de ingaande signalen te combineren m.b.v. de
operaties ‘optellen’ en ‘vermenigvuldigen met constanten’. Ieder uitgaand signaal is dus een lineaire
combinatie van de ingaande signalen. De vergelijkingen zullen daarom de volgende vorm hebben:
ÝÒ℄ ½ × ½ Ò℄· ¾ × ¾ Ò℄·¡¡¡· Ä × Ä Ò℄·ÜÒ℄
× ½ Ò ·½℄ ½½ × ½ Ò℄· ½¾ × ¾ Ò℄·¡¡¡· ½Ä × Ä Ò℄· ½ ÜÒ℄
× ¾ Ò·½℄ ¾½ × ½ Ò℄· ¾¾ × ¾ Ò℄·¡¡¡· ¾Ä × Ä Ò℄· ¾ ÜÒ℄
.
.
. (1.1)
× Ä Ò ·½℄ Ľ × ½ Ò℄· ľ × ¾ Ò℄·¡¡¡· ÄÄ × Ä Ò℄· Ä ÜÒ℄
In matrixnotatie noteren we deze vergelijkingen als:
met
ÝÒ℄ ×Ò℄·ÜÒ℄ en ×Ò ·½℄×Ò℄·ÜÒ℄ (1.2)
¾
¿
½½ ½¾ ¡¡¡ ½Ä
¾½ ¾¾ ¡¡¡ ¾Ä
. . .
Ľ ľ ¡¡¡ ÄÄ
¾
¿
½
¾
.
Ä
½ ¾ ¡¡¡ Ä ℄ en ×Ò℄
¾
× ½ Ò℄
× ¾ Ò℄
.
× Ä Ò℄
De parameters ½½ ¡¡¡ ÄÄ ½ ¡¡¡ Ä ½ ¡¡¡ Ä en (en daarmee ook de waarden van de matrix
en van de vectoren en ) worden bepaald door de structuur van het systeem en door de waarden
van de vermenigvuldigers.
De variabelen × ½ Ò℄, × ¾ Ò℄ ¡¡¡× Ä Ò℄ heten de toestandsvariabelen (Engels: state variables); zij zijn
veroorzaakt door het verleden van het signaalverloop, zijn opgeslagen in de geheugenelementen en
bepalen tezamen met het ingangssignaal ÜÒ℄, het toekomstige verloop van de variabelen. De vergelijkingen
(1.1) en (1.2) heten de toestandsvergelijkingen en de vector ×Ò℄ heet de toestandsvector.
Verg. (1.1) en (1.2) zeggen dus: uit het ingangssignaal en de toestand op een bepaald moment volgt
(d.m.v. lineaire combinatie) ten eerste het uitgangssignaal en ten tweede de volgende toestand van het
systeem.
Indien de toestand ×Ò ¼ ℄ op een bepaald moment Ò ¼ bekend is en het ingangssignaal ÜÒ℄ bekend is
vanaf dat moment Ò ¼ , kan m.b.v. verg. (1.1) de toestand en het uitgangssignaal voor Ò Ò ¼ achtereenvolgens
worden bepaald:
¿
ÝÒ ¼ ℄×Ò ¼ ℄·ÜÒ ¼ ℄×Ò ¼ ·½℄×Ò ¼ ℄·ÜÒ ¼ ℄
ÝÒ ¼·½℄×Ò ¼·½℄·ÜÒ ¼ ·½℄×Ò ¼·¾℄×Ò ¼ ·½℄·ÜÒ ¼·½℄
ÝÒ ¼·¾℄×Ò ¼·¾℄·ÜÒ ¼ ·¾℄×Ò ¼·¿℄×Ò ¼ ·¾℄·ÜÒ ¼·¾℄
Voorbeeld 1.4.1 Ga na dat voor de schakeling van Fig. 1.6 geldt
¾
¿
×Ò ·½℄ · ¼ ½
¼ ¼ ×Ò℄·
´ · µ ½
¾
½ ¼
¿
ÜÒ℄
en ÝÒ℄ ´·µ´ · µ ´ · µ℄ ×Ò℄·´· µÜÒ℄.
enz. enz.