18 Markus Heydenreich (1976) studeerde aan de TU Berlin en raakte geïnteresseerd in kansrekening en de natuurkundige toepassing daar<strong>van</strong>: statistische mechanica. Hij kwam naar <strong>het</strong> Eindhovense stochastiek-instituut Eurandom om te promoveerden, en was postdoc aan de VU in Amsterdam. Inmiddels is hij Universitair Docent met een Veni-beurs in <strong>het</strong> vakgebied kansrekening.
Markus Heydenreich Mathematisch Instituut Inzoomen <strong>op</strong> <strong>het</strong> omslagpunt Wiskundige Markus Heydenreich onderzoekt kritisch gedrag, <strong>het</strong> abrupte omslaan <strong>van</strong> de eigenschappen <strong>van</strong> natuurkundige systemen, die te vinden <strong>zijn</strong> in systemen <strong>van</strong> magneten tot woestijnen. Hij liet zien hoe een random walk, een dronkemanswandeling waarbij steeds willekeurige straten ingeslagen worden, eruit komt te zien als er steeds meer straten afgesloten worden. Aan de rand <strong>van</strong> de woestijn staat een een bos. De wortels <strong>van</strong> de bomen houden vruchtbare grond vast, en daarmee ook water. Eens per <strong>jaar</strong> vallen er zaden die kunnen uitgroeien tot een nieuwe boom. Dan rukt <strong>het</strong> bos <strong>op</strong>. Maar in de woestijn waait de wind, die vruchtbare grond wegblaast, en die <strong>het</strong> water doet verdampen. De bomen kunnen ook verdorren, en dan rukt de woestijn <strong>op</strong>. Wie wint er, de woestijn of <strong>het</strong> bos? “Voor ons is dat dezelfde vraag als hoe ziektes zich verspreiden, hoe materialen magnetisch worden, en hoever water binnendringt in de kanaaltjes <strong>van</strong> een poreuze baksteen”, zegt wiskundige Markus Heydenreich. In <strong>zijn</strong> eenvoudigste, abstracte, wiskundige variant ziet dat er zo uit, laat hij zien met hulp <strong>van</strong> een schaakbord-achtig lijnenrooster. “Die lijnen <strong>zijn</strong> de kanaaltjes in een baksteen. De vraag is: als je nu de baksteen in <strong>het</strong> water legt, lo<strong>op</strong>t hij dan vol, of dringt <strong>het</strong> water niet door in <strong>het</strong> binnenste?” Als alle kanaaltjes water doorlaten, lo<strong>op</strong>t de poreuze steen natuurlijk vol: <strong>het</strong> binnenste <strong>van</strong> de steen is net zo goed bereikbaar als Central Park in <strong>het</strong> rechthoekige stratenrooster <strong>van</strong> New York. “Maar vervolgens ga je lijnstukjes willekeurig weghalen, steeds met een bepaalde kans.” Kruispunten veranderen in driesprongen, doorgaande wegen of zelfs doodl<strong>op</strong>ende wegen. Het binnenste <strong>van</strong> de steen wordt steeds slechter bereikbaar. Heydenreich: “Dan is er, als je doorgaat met schrappen, een punt waar<strong>op</strong> er een omslag is, en <strong>het</strong> rooster uiteenvalt in losse clusters: <strong>het</strong> kritische punt.” Voor een steen met maar twee dimensies ligt dat punt bij een schrapkans <strong>van</strong> 50 procent. Daaronder lo<strong>op</strong>t hij vol, daarboven niet. Heydenreichs eigen onderzoek gaat over nóg een natuurkundig geïnspireerde toevoeging in dit systeem: de random walk. “Stel, je lo<strong>op</strong>t rond <strong>op</strong> zo’n rooster, en bij elke stap beslis je willekeurig waar je heen gaat: noord, zuid, oost of west.” Op een volledig rooster, dus zonder weggehakte lijnstukjes, breidt <strong>het</strong> afgelegde pad zich traag maar gestaag uit als een inktvlek. Bijna letterlijk, want als je <strong>het</strong> rooster steeds kleiner maakt, en de random walk navenant langer gaat duren, lijkt de vorm <strong>van</strong> <strong>het</strong> afgelegde pad steeds meer <strong>op</strong> <strong>het</strong> verspreiden <strong>van</strong> inkt in water. In de natuurkunde heet <strong>het</strong> onderliggende proces, verklaard door Albert Einstein, de Brownse beweging. Maar <strong>het</strong> wordt pas écht interessant als je de beschikbare routes voor de random walker uit gaat dunnen, door weer lijnstukjes wille keurig weg te halen. Dan <strong>zijn</strong> er steeds minder routes mogelijk. Heydenreich: “Aan<strong>van</strong>kelijk lijkt de random walk dan nog steeds <strong>op</strong> Brownse beweging, met wat veranderde parameters. Tot je <strong>op</strong> <strong>het</strong> kritieke punt komt. Mijn onderzoeksvraag was: wat gebeurt er dan? Je krijgt een heel ander gedrag, dat is zeker.” 19
Change language