Waar wij trots op zijn - Ontdekker van het jaar - Universiteit Leiden

Markus Heydenreich
20
“Eén vraag over dat gedrag is bijvoorbeeld: hoe lang doet de
random walker erover om uit een bol met een bepaalde straal te
breken als je in het midden begint?” Dat antwoord was al gegeven
door de wiskundigen Gady Kozma en Asaf Nachmias voor een
‘intrinsieke bol’. “Dat is een bol die wordt bepaald door de straal
te meten langs alle toegestane paden.” Kozma en Nachmias
bepaalden dat de uittredingstijd dan evenredig is met de straal tot
de derde macht. Hoe groter de bol, hoe langer het duurt voordat
een random walker eruit zwerft.
Maar Heydenreich onderzocht, samen met collega’s Remco van
der Hofstad, en Tim Hulshof, het gedrag voor een ‘extrinsieke bol’.
“Dat is een bol waarvan de straal niet gemeten wordt langs de toegestane
paden, maar over het onderliggende rooster waarop geen
paden geschrapt zijn.” Verrassend genoeg was toen de uittreedtijd
evenredig met de zesde macht van de straal, niet de derde.
Heydenreich: “Dat is bijzonder om twee redenen: ten eerste
omdat de uittreedtijd voor de intrinsieke en de extrinsieke
bol verschillend is, iets wat je niet ziet als het systeem
niet kritisch is. En ten tweede omdat beide getallen ook anders
zijn dan in het niet-kritische geval. Dan is de uittreedtijd altijd
evenredig met de tweede macht.”
Het is resultaat, gepubliceerd op de preprint-server Arxiv, diept
de bijzondere verschijnselen bij kritisch gedrag weer een stukje
verder uit. Wel moet hij erbij zeggen dat de stelling van H, H, en
H, zoals ze wel eens grappend genoemd worden, alleen geldt als
het rooster meer dan 19-dimensionaal is. Heydenreich: “Vreemd
genoeg rekenen systemen met hoge dimensies in deze tak van wiskunde
het gemakkelijkst. Hogere dimensies zijn het slagveld waar
we dingen bewijzen, daarna pas hoop je naar lagere dimensies te
gaan, en dat is vaak veel moeilijker. Bij dimensies drie tot en met
achttien weten we niet eens exact waar het kritisch punt ligt, en
kunnen we vaak veel eenvoudigere vragen al niet beantwoorden.”
Op de vraag wat je hier nu mee kunt, heeft hij twee antwoorden
klaar. “Het wiskundige antwoord is dat dit interessante structuren
zijn, waarin bijzondere verschijnselen optreden. Zo zie je bij
het kritische punt vaak self similarity: dezelfde verschijnselen op
verschillende schalen”. Daarnaast is kritisch gedrag vaak lastig
met computers te simuleren. “Op het kritische punt veranderen
de eigenschappen van het systeem dramatisch, dus als je er met
je getallen een heel klein beetje naast zit, kun je heel grote fouten
maken. Daarom is het ook belangrijk om het analytisch, puur
wiskundig te doorgronden.” Verder is kritisch gedrag sterk universeel:
verschillende kritische systemen, van poreuze bakstenen
tot oprukkende bossen, laten dezelfde verschijnselen zien.
Heydenreichs andere antwoord op de nutsvraag heeft met die
toepassingen te maken. “Neem die woestijn: naast factoren als
droogte of temperatuur kan verwoestijning of oprukkend bos
een eigen dynamiek krijgen, waarbij een extreem kleine verandering
een complete omslag veroorzaakt. En dat zou weer kunnen
betekenen dat je bijvoorbeeld iets hebt aan voortekenen van zo’n
kritische omslag, bijvoorbeeld kale plekken op verschillende schalen,
die de omslag aankondigen.”
Heydenreich en collega’s zijn dan ook regelmatig in gesprek met
geografen over een wiskundig model voor verwoestijning. Maar
kritische verschijnselen steken ook de kop bij de verspreiding van
infectieziektes, het magnetisch worden van materialen, of in het
gedrag van polymeren. “Voor mij zijn de vragen in die gebieden
in wezen dezelfde: de onderliggende modellen hebben dezelfde
structuur”, zegt Heydenreich. “En daarom is kritisch gedrag is een
van mijn grote interesses: ik wil dat heel graag beter begrijpen.”
Bruno van Wayenburg