Last ned hele bladet - Caspar Forlag AS

Godt nyttår til alle dere som leser TANGEN- 

TEN. Det er kjekt å vite at det er langt over 

3000 abonnenter nå som leser bladet. Like 

kjekt er det å se at vi også har mange engasjerte 

lesere som sender stoff til oss og som også påtar 

seg skriveoppgaver når redaksjonen ber om 

det. Vi kan være stolte av en slik dugnadsånd 

og et slikt felleskap. 

I desember skylte en ny bølge med resultater 

fra PISA- og TIMSS-undersøkelsen over oss, 

og mange er oppgitt over manglende fremgang 

trass iherdig innsats. Igjen ser Norge seg forbigått 

av Finland og mange andre land. Mange 

spør hvorfor? I analysen nå i etterkant ser vi 

stadig oftere at reformtempo, nye arbeidsformer, 

skolens og lærernes autoritetstap blir 

nevnt som mulige forklaringer. Reformene har 

bidratt til en endring av elev- og lærerrollen 

som enkelte hevder har ført til dårligere matematikkunnskaper. 

Oppsummering og forklaring 

i timene gjennom en formidlende lærer er 

undervisningselementer på vikende front. Kan 

der være en sammenheng med dette og elevers 

manglende evne til å kunne strukturere isolerte 

kunnskapsbiter til et meningsfullt hele? Ut fra 

det finske utdanningssystemet kan det se ut til 

at en autoritetsheving gjennom større faglighet 

og større fagkompetanse hos lærerne kan være 

en vei å gå. Men hvordan får vi engasjerte, dyktige, 

kvalifiserte og interesserte lærere? 

Rune Herheim, som er nytt medlem i redaksjonen 

for TANGENTEN, kommer med noen 

egne betraktninger omkring PISA- og TIMSSstudienes 

resultater og deres konsekvenser for 

vårt utdanningssystem. (Les side 2.) 

Også i dette heftet finner du en del bakgrunnsstoff 

om de nasjonale prøvene i matematikk. 

Kompetansebegrepet innen matematikk 

dannet en del av det didaktiske grunnlaget 

for utviklingen av prøvene. Mona Røsseland 

gir oss bakteppet for tenkningen bak de nasjonale 

prøvene i to artikler. Den første finner du 

i dette heftet. I neste hefte fortsetter hennes 

artikkel. 

År 2005 er også det første året Holmboeprisen 

deles ut. Holmboeprisen er på sett og vis 

en ’spin-off’-effekt av Abelprisen. Prisen skal 

hedre stor innsats for matematikkfaget i skolen 

og premiere gode lærere eller gode lærerteam. 

Det er naturlig at Abel-komiteen ikke bare 

setter fokus på de store vitenskapelige, matematiske 

bragder, men også har undervisning 

og opplæringsdimensjonen med. Vi vet alle at 

vi kan lære mye av gode forbilder, og det gjelder 

selvsagt også vårt fag. Det blir spennende å 

(fortsettes side 4) 

tangenten 1/2005 1

Rune Herheim 

Aksepter, 

ta skuld og iverksett! 

PISA/TIMSS sett frå sidelina 

Torsdag 16. desember var det fagkonferanse om 

resultata frå TIMSS 2003 og PISA 2003. PISAundersøkinga, 

der OECD har eit overordna 

koordineringsansvar, har sett på 10. klassingar 

sine evner til å nytta kunnskap i matematikk, 

naturfag, lesing og problemløysing. TIMSSundersøkinga 

har sett på 4. og 8. klassingar 

sine skulekunnskapar i matematikk og naturfag. 

I begge undersøkingane har norske elevar 

oppnådd svake resultat i matematikk og naturfag, 

både samanlikna med andre land, men òg 

samanlikna med kva norske elevar tidlegare 

har prestert i tilsvarande testar. 

Eit av dei viktigaste poenga frå prosjektleiarane 

for PISA og TIMSS og fleire av innleiarane 

på konferansen, mellom anna Per Aahlin frå 

utdanningsforbundet, var at utdanningssystemet 

må akseptera desse resultata. Ein ynskte 

ikkje at det no skulle brukast energi på å debattera 

om undersøkingsresultata er gyldige og 

pålitelege, men at kreftene skulle fokuserast 

mot å løysa den norske realfagskrisa. At det er 

2 

Rune Herheim er høgskolelektor i 

matematikk fagdidaktikk ved Høgskolen i 

Bergen, rher@hib.no 

lagt mykje arbeid ned i desse undersøkingane 

er det ikkje tvil om. Ein har kvalitetssikra oppgåvetypar, 

oversetjingar, korrektur, søkt representative 

utval av elevar og skular osv. Men skal 

ein få med seg personar i ulike roller i utdanningssystemet 

er ein avhengig av at alle dreg i 

same retning. Oppnår ein dette ved å unngå 

ein debatt om sjølve undersøkingane? Ein risikerer 

at folk sit med spørsmål og kritikk mot 

undersøkingane som dei ikkje har fått svar på. 

For å nytta filosofen Hans Skjervheim [1] sine 

omgrep; skal lærarar, foreldre og andre verta 

samde om at ein bør justera realfagsundervisinga 

må dei overtydast om at det er naudsynt, 

ikkje overtalast. 

I det norske utdanningssystemet har ein 

underleg trend utvikla seg. Studentar og elevar 

har manglar i sin realfagskunnskap, men det 

einaste som er sikkert er at det ikkje er ’vår 

skuld’ … På universitet og høgskular skuldar 

ein på dårlege førekunnskapar frå vidaregåande 

trinn, på vidaregåande trinn skuldar ein 

på ungdomstrinnet, medan på ungdomstrinnet 

skuldar ein på barnetrinnet. Og så skuldar 

me alle på L97. Eit signal som kom tydeleg 

fram under konferansen var at alle må ta skuld, 

anten ein er utdanningsminister, lærarutdannar 

eller lærar. Det er meir fruktbart å sjå kva 

1/2005 tangenten

Figur side 149 i Hva i all verden har skjedd i realfagene? 

ein sjølv kan gjera betre, enn å konstatera at det 

ein annan stad er gjort for dårleg arbeid. Me 

har ein ’systemfeil’ vart det sagt fl eire gonger 

på konferansen. Systemfeil er eit omgrep det 

kan vera vanskeleg å knyta noko presist innhald 

til. Langt viktigare enn å strø om seg med 

vide omgrep er det å sjå på kva konkret som 

bør gjerast for å styrka realfagsundervisinga. 

På konferansen vart barne-, ungdoms- og vidaregåande 

trinn trekt fram som satsingsområde. 

Det er bra, men kva med førskuletrinnet? Det 

er vel ingen som trur at elevar fyrst startar 

oppbygginga av sin matematiske kompetanse 

den dagen dei byrjar på skulen? 

Tiltak må setjast i verk. Det vil ikkje seia 

at alt må endrast, og undervisingsmetodar må 

forkastast. Svært mykje av det arbeidet som 

vert gjort i skulen er bra. Professor Svein Lie 

kom i sitt innlegg under konferansen inn på 

at det kan vera verdt å sjå på nokon av konsekvensane 

av L97. Det har vorte lagt opp til nye 

roller i skulen, der lærar har gått frå formidlar 

til rettleiar, og elevar har fått ansvar for eiga 

læring. Formidling har nesten vorte uglesett, 

og det har vore lagt føringar der mellom anna 

tema- og prosjektarbeid har fått ei domine- 

rande rolle. Lie sa at ein slik metodetvang ikkje 

legg til rette for at ein lærar kan nytta sine beste 

sider. Gjennom leik og tema- og prosjektarbeid 

kan elevar oppnå viktige læringsmål, men som 

Lie var inne på så kan ein spørje seg om det har 

vore mindre læringsutbyte av desse metodane 

enn det som har vore tenkt? Har lærarar ikkje 

vore medvitne nok i å leggja til rette for læring, 

eller sikra at elevar får eit læringsutbyte, i desse 

metodane? 

Men konsekvensar av L97 treng ikkje i seg 

sjølv vera forklaring til svak utvikling innan 

realfag. Ein kan faktisk spørja seg om L97 

eigentleg har vorte realisert i den grad at det er 

meining i å vurdera konsekvensane av denne 

planen? I ein evalueringsrapport av L97 [2] 

har ein funne at det langt på veg ikkje er tilfelle. 

Under klasseromsobservasjonar har dei 

funne at det er to arbeidsformer som er dominerande. 

Den eine er der lærar er forelesande 

og den andre er når elevar arbeider individuelt 

med lærebøkene. 

Norske elevar ligg i verdstoppen når ein ser 

på tiltru til eigne realfaglege evner. Som det 

står i [3] kan dette forklarast med kulturelle 

skilnadar, men det kan òg sjåast i høve til 

tangenten 1/2005 3

meistringsaspektet. Har me i Noreg fokusert 

så mykje på at elevar skal lukkast og utvikla 

sjølvtillit i faget at dei ikkje har fått varierte 

og store nok utfordringar? Har frykta for at 

elevar ikkje skal lukkast ført til at me heller 

har ’slakka litt av’ på dei faglege krava? Når 

ein derimot snakkar om det å ha interesse 

for faget og det å lika å arbeida med det, ligg 

norske elevar igjen langt ned på lista. Her kan 

det vera ein samanheng. Motivasjon får ein ved 

å lukkast, og dess meir krevjande utfordringar 

ein løyser, dess større vert gleda og gnisten 

til å arbeida vidare i faget. Det handlar såleis 

ikkje berra om å løysa ei oppgåve, ein må òg få 

strekkja seg. 

Under konferansen kom det fram sterke 

signal om at ein ynskte fagleg sterkare lærarar. 

I figuren på førre sida kan ein sjå noko av 

bakgrunnen for dette. Av norske lærarar som 

underviser i matematikk i 8. klasse har svært 

få fordjuping i matematikk, og nesten ingen 

har fordjuping i matematikk didaktikk. Dette 

bilete er hakket verre for 4. klasse, og i tillegg 

har norske lærarar lite relevant etterutdanning 

for matematikkundervising. 

I den norske skulen har me såleis eit sterkt 

behov for ei større fagleg tyngde i matematikk. 

For å utdanna lærarar med fagleg djupn bør 

ein kanskje vurdera å ta oppatt dei linedelte 

lærarhøgskuleutdanningane, eller syta for å ha 

fordjupingsfag i matematikk som er aktuelle 

og tilgjengelege for allmennlærarstudentane. 

Då kan ein få ein gunstigare kombinasjon av 

allmennutdanna lærarar og lærar med større 

fagleg tyngde. Men då må det presiserast at på 

same vis som ein skiskyttar må meistra både 

langrenn og skyting, må ein lærar ha både 

fagleg og fagdidaktisk kompetanse. Så viss ein 

aksepterer at arbeidet med realfaga i skulen har 

eit utviklingspotensiale og er sjølv viljug til å 

forbetra seg, kan tiltak setjast i verk for å snu 

4 

den negative trenden for realfaga. Men det mest 

grunnleggjande grepet ein bør gjera er å syta 

for at dei som faktisk har kompetanse i matematikkundervising 

òg underviser i faget. 

Referansar 

[1] Skjervheim (2001): Eit grunnproblem i pedagogisk 

filosofi. I: Hans Skjervheim, Deltakar og 

tilskodar og andre essays, (pp. 214–230). Oslo: 

Aschehoug & Co, Idé og tanke 

[2] Brekke, Breiteig og Alseth (2003): Synteserapport. 

Endringer og utvikling ved R97 som 

bakgrunn for videre planlegging og justering 

– matematikkfaget som kasus. 

www.program.forskningsradet.no/reform97/ 

uploaded/nedlasting/brekke.doc 

[3] Grønmo, Bergem, Kjærnsli, Lie og Turmo 

(2004): Hva i all verden har skjedd i realfagene? 

Norske elevers prestasjoner i matematikk og 

naturfag i TIMSS 2003. 

www.timss.no/ramme_3_03.html 

(fortsatt fra side 1) 

se hvem som vinner årets Holmboepris. 

Tangenten skal presentere vinneren så snart 

han eller hun er utpekt. Tangenten håper denne 

prisen kan være med å skape blest rundt faget 

og matematikk som undervisningsfag. Fristen 

for nominasjon av kandidater er nettopp gått 

ut, så har du noen kandidater: ikke nøl med å 

foreslå dem til neste års Holmboepris! 

1/2005 tangenten

Sindre Haugstad Torp 

Eksponentielle tallfølger 

og geometriske figurer 

Hallo, jeg har funnet ut en formel for hvordan 

man kan finne neste kvadrattall i rekken av 

kvadrattall. Jeg lurer på om dette er en kjent 

formel? 

y = x + kvadratroten av x ganger 2 + 1 der 

x = et kvadrattall 

y = neste kvadrattall i rekken av kvadrattall 

1×1 = 1, 2×2 = 4, 3×3 = 9, 4×4 = 16, 

5×5 = 25, 6×6 = 36 

For eksempel: 75×75 = 5625 

Det neste kvadrattallet i rekken blir da: 

x + (kvadratroten av x) ganger 2 + 1, 

det vil si 5625 + 75 ganger 2 + 1 = 5776 

kvadratroten av 5776 = 76 

Dette ble skrevet til Newtonredaksjonen av 

12 år gamle Sindre Haugstad Torp nå elev 

ved Solvang Ungdomsskole i Asker, men elev 

ved Jansløkka grunnskole da utforskningen 

startet. Nils Kr. Rossing fra Vitensenteret i 

Trondheim oppfordret Sindre til å skrive 

hvordan han tenkte da han kom fram til 

regelen. Resultatet sees her hvor Sindre viser 

hvordan han undersøkte videre og fant løsning 

for kubikktall, tallfølger i fjerde potens 

og en generell løsning. 

Tallfølgen i annen potens 

Jeg satt på rommet mitt og studerte rekken av 

kvadrattall (1, 4, 9, 16, 25 …) 

Lagde kvadrater som illustrasjon til tallene. 

For hvert kvadrat illustrerte jeg også det foregående 

som et mindre kvadrat inni det neste. 

Y = 4 2 

Y = 5 2 

På tegningen kommer økningen for hvert kvadrattall 

tydelig fram. Det så ut som økningen 

tangenten 1/2005 5

fulgte et mønster. Jeg gikk ned til stua og viste 

tallene og kvadratene til faren min som sa: Kall 

det lille kvadratet for X og det store for Y og 

lag en regel. En stund etter hadde jeg formelen 

skrevet på et papir. 

6 

Y = X + X × 2 + 1 

Tallfølgen i tredje potens 

En annen gang satt jeg med en ny oppgave. 

Hvordan blir det for ’kubikkrekka’ (1, 8, 27, 

64, 125 …)? Hva er sammenhengen mellom et 

kubikktall Y og det foregående X? I hodet forestilte 

jeg meg kuber som illustrerte tallene. 

Hva måtte jeg legge til kuben X for å få 

kuben Y? Jeg skjønte at det ville blitt alt for 

komplisert å finne formelen direkte ved bare 

å bruke X og Y. 

Jeg innførte derfor Z (se figuren under). 

= Z = X 

= (X + 3Z 2 ) 

= (X + 3Z 2 + 3Z) 

= (X + 3Z 2 + 3Z + 1) 

Formelen blir da: 

2 

Y = X + ( Z × 3) + Z × 3 + 1 

der Z = et helt tall, X = Z 

3 og Y = ( Z + 1) 3 . 

Løser vi ut Z får vi formelen: 

3 

Y = X + 3 X + 3 X + 1 . 

Tallfølgen i fjerde potens 

Jeg prøvde av og til å få til ’i fjerde-rekka’. Jeg 

hadde nå brukt flateinnhold for å finne formelen 

for kvadrattallene og kuber for kubikktallene, 

men nå var det ikke flere dimensjoner å 

bruke. Men en dag kom jeg til å tenke på en 

ting: Tre i fjerde betyr jo bare tre ganger tre 

ganger tre ganger tre. Tre i fjerde blir da tre ’tre 

i tredje’ kuber. Z i fjerde blir Z antall ’Z i tredje 

kuber’, der Z har samme betydning som før. 

For å finne formelen må man være nøyaktig 

med antall kuber og det som skal ’legges på’ 


2 

3 

1/2005 tangenten

Per Arne Birkeland, Ole Mydland 

På leting etter mønster 

Hvordan klarer elever å oppdage mønstre og 

se generelle trekk ved dem? Greier de å bruke 

algebra til å uttrykke slike trekk med utgangspunkt 

i en praktisk tilnærming? 

Av og til sier lærere at å generalisere blir for 

vanskelig for elevene. De klarer sjelden å oppdage 

generelle sammenhenger selv. Og hvis de 

skal bruke algebra, blir det ekstra vanskelig. 

Samtidig vet vi at L97 [1] gir klare beskjeder til 

oss lærere om hva målet for elevene er: 

De skal kunne tolke og bruke bokstaver som 

symboler for ukjente og variable størrelser 

og til å generalisere og bevise. Elevene skal 

kunne bruke tall som et utgangspunkt for 

fordypning og generalisering av ideer og 

metoder. (L97, s. 166) 

Som lærere i allmennlærerutdanningen ved 

Høgskolen i Agder og med mange års erfaring 

fra undervisning i ungdomsskolen, ville vi 

Per Arne Birkeland er høgskolelektor i 

matematikk fagdidaktik ved Høgskolen i 

Agder, per.a.birkeland@hia.no 

Ole Mydland er pensjonert høgskolelektor i 

matematikk. 

undersøke i hvilken grad ungdomsskoleelever 

ved samarbeid i grupper greier å oppdage generelle 

mønstre. Vi fant en egnet oppgave fra et 

tidligere nummer av Tangenten ([4], se farget 

boks neste side), og allierte oss med Inger Margrethe 

Haanes, som er matematikklærer i en 9klasse 

ved en skole i Kristiansand. Utprøvingen 

skjedde i en dobbelttime en maidag i 2004. 

Klassen ble delt inn i 5 grupper. Et lokalt 

snekkerfirma hadde tatt utfordingen med å 

lage terninger med mål 2 cm × 2 cm × 2 cm 

slik at hver av gruppene hadde 125 småterninger 

hver. På forhånd var vi litt usikre på om 

gutter og jenter i 14- til 15-årsalderen ville 

synes det var for barnslig å bygge med klosser, 

og om de kunne ha noen hjelp av denne konkretiseringen. 

Derfor sa vi på forhånd at klossene 

kunne brukes hvis elevene hadde lyst til 

det. Lærerne skulle observere, stille spørsmål 

og gi hint etter behov. 

Etter noen minutters informasjon i starten, 

satte elevene i gang. Når de skulle finne hvor 

mange sider som var synlige eller ikke, startet 

alle gruppene med å bygge en 3-terning og 

telle de ulike kategoriene. Det virket som ingen 

av elevene ’så’ løsningen umiddelbart uten 

den konkrete 3-terningen. Diskusjonen gikk 

imidlertid livlig om hvordan småterningene i 

tangenten 1/2005 7

8 

Oppgaven vi gav 

I denne oppgaven skal dere arbeide med en 

terning som er satt sammen av små-terninger. 

På figuren under ser dere en terning 

som er satt sammen av 3 terninger i hver 

retning. En slik sammensatt terning kaller 

vi en 3-terning. 

I posen dere har fått på gruppa, er det 

nok småterninger til å bygge en 5-terning. 

Hvor mange småterninger består 

en 3-terning av? 

en 4-terning? 

en 5-terning? 

en 10-terning? 

en n-terning? 

Sidene på noen av småterningene er synlige, 

det vil si at de enten vender ut i lufta eller 

ned i bordet, og noen sider er skjulte. 

I en 3-terning fins småterninger der 3 

sider er synlige, 2 sider er synlige, 1 side er 

synlig, og 0 sider er synlige. 

Hvor mange av småterningene i en 3-terning 

har: 

0 sider synlige? 

1 side synlig? 



hvert tilfelle kunne telles opp. Det var spesielt 

interessant å merke at ganske tidlig i prosessen 

begynte elever å lete etter mønster. Da ei 

av gruppene skulle til å studere 4-terningen, 

utbryter en gutt spontant: «Nå må vi til med et 

mønster! Kan vi ikke ta sånn en tabell, en sånn 

skala som passer til alle de andre?» Resten av 

gruppa er enig. Og så begynner den mer eller 

mindre bevisste letingen etter mønster, skritt 

for skritt. 

Her leter elever etter et system. 

«Det er 4 klosser som har null sider synlig, det 

er de fire der, de som er heilt inni der,» mener 

ei jente og peker engasjert. Gutten er enig: «Ja, 

for du har en der, en der, …, en, to, tre, fire …». 

Men plutselig sier han: «Det er 8! Se der! En, 

to, tre, fire – ikke sant? De fire i det laget der, 

Finn ut det samme på en 4-terning og en 

5-terning. Dere har ikke nok terninger til 

å bygge en 6-terning. Men kan dere likevel 

finne ut hvor mange småterninger dere har 

av hver type i en slik terning? Kan dere finne 

ut det samme om en 10-terning? 

Har dere funnet et mønster slik at dere 

kan si med et tall eller et bokstavuttrykk 

hvor mange dere har av hver type småterning 

i en n-terning? 

1/2005 tangenten

og fire i det laget der». Heile gruppa dras med 

i prosessen, og gutten prøver å overbevise de 

andre ved å lage en 2-terning: «Det er sånn en 

terning som er gjemt inni der». 

Tilsvarende arbeider gruppa med å finne 

1 og 2 sider som er synlige på 4-terningen, og 

kommer i begge tilfellene til at dette antallet 

blir 4 ganger 6. Det kan virke som elevene bare 

teller, men et noe uklart mønster avtegner seg 

snart. Da de like etter studerer 5-terningen, går 

det mye kjappere med å finne antall synlige og 

usynlige sider på småterningene. Ikke fordi 

elevene teller fortere, men fordi de har funnet 

spesielle måter å telle på, eller tenke på. Lærer 

oppmuntrer dem til å skrive ned ’regnestykket’ 

som viser hvordan de tenker. 

Dette lille hintet hjelper elevene i den videre 

letingen etter mønster: «Å var det vi ganga her 

med? Vi kan bare se på den», sier ei jente. Elevene 

går tilbake til 3-terningen og velger å lage 

en tabell, en matrise. Kombinert med å telle, tar 

de til å resonnere seg fram til hvert enkelt tall i 

tabellen. En interessant og noe uventet uttalelse 

fra en av guttene innleder denne viktige tankeprosessen: 

«Jeg vet ikke om jeg klarer å føre 

det ned, men jeg vet i alle fall åssen en tenker»! 

Sammen begynner gruppa med ’3 synlig’: 

«Det blir 8 her uansett», skyter ei jente raskt 

inn, «og der plusser vi bare på 12», fortsetter 

hun. De er kommet til ’2 synlig’. En gutt følger 

opp: «Det er 12 ganger 1, 12 ganger 2, 12 ganger 

3,…», men så stopper det opp. Mønsteret som 

de mener å ha funnet, passer ikke på 6- og 7terningen. 

Lærer spør elevene om hvordan en 

kan kontrollere at tallene i tabellen stemmer. 

De finner feilen, og letingen etter mønster kan 

fortsette. 

Gruppa er i ferd med å knekke koden 

Ved ’2-synlig’ finner elevene en fast differanse, 

12, mellom tallene i de forskjellige terningene. 

Det er derfor ganske logisk at de også leter etter 

en fast forskjell mellom tallene i rekka ved ’1synlig’. 

Men her må de tenke i andre baner. 

«Har du funne systemet, det som var der?», spør 

en av guttene. «Jaaa, det var 6 ganger …» Det 

er antall småterninger med 1 synlig side i en 

6-terning elevene leter etter. De finner at tallet 

16 er sentralt her, men diskuterer ivrig hvilket 

tall dette skal ganges med. Lenge holder de på 

4, men til slutt ender de opp med 16 ganger 6. 

Lærer spør elevene om hvordan de kom fram 

til 16, om dette tallet også er et gangestykke. 

«4 ganger 4», svarer ei jente kjapt. «Åssen kom 

dere fram til tallet 4 da», spør lærer videre. Etter 

hvert oppdager elevene at i en slik sammensatt 

terning er det «to utenfor», som de sier. Da står 

en igjen med: «4 i en 6-terning og 8 i en 10-terning. 

Og i en 20-terning 18». «I en n-terning 

da», spør lærer? «n minus 2» svarer ei jente fort 

og ler, som om hun ville si: Så enkelt! 

tangenten 1/2005 9

Til ei gruppe som hadde funnet at det er 96 

småterninger som har 1 side synlig i en 6-terning, 

spør lærer: «Åssen fant du 96?». Et svar 

kommer kontant og overbevisende: «Jeg må 

tenke meg at det er en 6-terning vi holder på 

med. Så da blir det 4. 4 på den sida, 4 på den, 4 

på den, 4 på den, 4 på den og 4 på den – eller, 

ja – ikke sant, det blir 16 på alle samma. 16 

ganger 6 er 96». Fra 6-terning går gruppa over 

til 10-terning, og tar også med 23-terning og 

64-terning. De fyller ut tabellen og kontrollerer 

hver linje i den ved addisjon. 

En av guttene på gruppa har allerede i hodet 

et løsningsmønster for de ulike kategoriene. 

Lærer utfordrer ham til å forklare dette for de 

andre. «På null blir det n – 2 i tredje …». «Du 

må forklare hvorfor det blir n – 2». «Fordi du 

må ta vekk 2 for å få det midterste …». «Hvorfor 

tar du vekk 2?» «De ytterste, – de ytterste 

lagene, så får vi bare den siden som er i midten, 

der som ingen sider vil være ut». De tenkte på 

10 

at de måtte ’skrelle av’ et lag ytterst. Etter at 

elevene på dette tidspunktet hadde jobbet med 

oppgaven i en god klokketime, var alle gruppene 

kommet godt i gang med å skrive et algebraisk 

uttrykk for antall terninger i de ulike 

kategoriene. 

En viktig bit av denne dobbelttimen var 

oppsummeringen. Vi hadde snakket på forhånd 

om hvor viktig det er for elevenes 

læringsutbytte at elevene blir hjulpet til å se 

tilbake på det de har gjort. Vi ønsket også å 

spørre dem om hvordan de selv opplevde å 

arbeide på denne måten. 

Tilbakemeldingen vi fikk fra elevene, var 

udelt positive. «Dette var gøy», sa de. Læreren 

var også meget godt fornøyd, og syntes elevene 

hadde klart mer enn hun hadde trodd på 

forhånd. 

Elevene viste i denne oppgaven at de i stor 

grad var i stand til å oppdage generelle mønstre. 

Men de var ikke overlatt helt til seg selv. 

Lærerens funksjon vurderer vi som meget 

viktig. Hvis ikke det hadde vært en voksen til 

stede som kunne stille de rette spørsmålene, og 

som kunne gi de nødvendige ’puff’ videre der 

det stoppet litt opp, ville nok noen elever «stått 

fast» og mistet interessen. At lærer gir hint, er 

ikke ensbetydende med å frata elevene følelsen 

av å mestre oppgaven selv. Her er det selvfølgelig 

en balansegang. Man må unngå å gi elevene 

hele løsningen. Men erfaringer fra dette 

og tilsvarende arbeid, viser tydelig at elevene 

selv med viktige hint, ikke fratas følelsen av og 

gleden ved å ha oppdaget ting selv. 

Tidligere forskning støtter også opp om de 

erfaringene vi gjorde i dette lille prosjektet. Det 

er liten tvil om at elevene strever i deres møte 

med algebra. Furinghetti og Paola [2] grupperte 

vanskelighetene slik: 

– vanskeligheter med å sette opp formler 

– vanskeligheter med å forstå formler og å 

1/2005 tangenten

kontrollere dem 

– vanskeligheter med å individualisere problemteksten 

– vanskeligheter med å representere tankegangen 

gjennom algebraisk manipulasjon 

– vanskeligheter med å tolke foreslåtte 

utsagn. 

Men det er flere som har rapportert om gode 

erfaringer med å tilnærme seg algebra ved å 

studere mønstre i tilknytning til konkrete 

materialer. Pegg og Redden [3] gjorde dette 

med barn i 12-årsalderen, hvor de arbeidet 

med å lage trekanter ved hjelp av fyrstikker. 

Etter en lang erfaringsøkt med fyrstikkene der 

tallene etter hvert ble satt inn i tabeller, vokste 

bokstavbehovet gradvis frem ved at antall fyrstikker 

ble kalt f. Dette ble barna etter hvert 

fortrolige med. 

Påstanden om at elevene må ha nådd et visst 

modenhetsnivå, er heller ikke et entydig resultat 

fra forskningen. Mulig det kan vises dersom 

forutsetningen er en undervisning uten bruk 

av mønsterbasert innfallsvinkel. Men Zack [5] 

rapporterer om at 10–11 åringer kan nå ganske 

langt i evnen til å løse generaliseringsproblemer 

når problemløsning er en viktig del av undervisningen, 

og der det skjer i en oppmuntrende 

atmosfære gjennom samarbeid. Behovet for å 

bruke algebra vokste her frem som et resultat 

av studier med mønstre tilknyttet situasjoner 

som elevene kunne etterprøve og forstå. 

Litteratur 

[1] Det kongelige kirke-, utdannings- og forskningsdepartement.(1996). 

Læreplanverket for 

den 10-årige grunnskolen. Oslo, Norway: 

Nasjonalt læremiddelsenter. 

[2] Furinghetti, F. & Paola, D. (1995). A different 

approach to algebra and proof: Behaviours 

observed in classroom. In L. Meira & D. Carra- 

her (Eds.): Proceedings of the Nineteenth International 

Conference of the International Group 

for the Psychology of Mathematics Education 

(Vol. 1, p. 202). Recife, Brazil: Universidade 

Federal de Pernambuco. 

[3] Pegg, J. & Redden, E. (1990). Procedures for, 

and experiences in, introducing algebra in New 

South Wales. Mathematics Teacher, 83, 386- 

391. 

[4] Torkildsen, Ole E. (1995). Klasseoppgave. Tangenten 

2, 45-46. 

[5] Zack, V. (1995). Algebraic thinking in the upper 

elementary school: The role of collaboration in 

making meaning of generalisation. In L. Meira & 

D. Carraher (Eds.): Proceedings of the Nineteenth 

International Conference of the International 

Group for the Psychology of Mathematics 

Education (Vol. 2, pp. 106-113). Recife, Brazil: 

Universidade Federal de Pernambuco. 

tangenten 1/2005 11

Mona Røsseland 

Hva er 

matematisk kompetanse? 

Norge har nok en gang kommet dårlig ut i 

undersøkelser som viser elevers kompetanse 

i matematikk. Vi leter etter årsaker, og vi 

prøver å finne den riktige veien framover. Før 

vi kan enes om en hensiktsmessig strategi for 

å gjøre norske barn og unge bedre i matematikk, 

bør vi diskutere hva det innebærer å ha 

matematisk kompetanse. Noen mener at bare 

elevene kan de fire regningsartene (les algoritmene) 

når de går ut barneskolen, må vi være 

fornøyde. Andre mener at det viktigste er at 

elevene er kreative og klarer å finne løsninger 

på problemløsningsoppgaver uten tanke på en 

’riktig’ fremgangsmåte. Heldigvis er det mange 

som mener at det er viktig at elevene behersker 

flere ulike kompetanser i matematikk, men da 

trenger vi en bevisstgjøring omkring hva det 

vil si å ha matematiske kompetanse. 

I Danmark har de kommet et stykke på vei 

i dette arbeidet. I 2000 satte de i gang prosjektet 

Kompetenceudvikling og Matematiklæring, 

der målet var å prøve å skape en felles forståelse 

for hva det vil si å beherske matematikk. 

Mona Røsseland er nettverkskoordinator 

ved Matematikksenteret, 

mona.rosseland@hjemme.no 

12 

matematikkbeherskelse, og hvordan dette kan 

påvirke matematikkundervisningen og gjøre 

den bedre. Arbeidet ble ledet av Mogens Niss, 

professor ved Roskilde Universitetssenter, og 

i 2002 kom rapporten Kompetancer og matematiklæring 

[5] fra det danske Undervisningsministeriet. 

Rapporten er grunnlag for min beskrivelse 

av de matematiske kompetansene. Det har 

også vært inspirasjonskilde til de nasjonale 

prøvene i matematikk i Norge. I disse prøvene 

blir elevene testet i ulike oppgavetyper, og de 

blir vurdert ut i fra en beskrivelse av matematiske 

kompetanser. Etter prøvene skal lærerne 

lage en profil over hver elev og for klassen som 

helhet. Profilen beskriver hvilket nivå elevene 

har i de ulike kompetansene. Kompetansebegrepene 

jeg gjør rede for her ligger til grunn for 

arbeid med de nasjonale prøvene. 

Den danske rapporten vender seg bort fra 

den tradisjonelle, pensumbaserte beskrivelsen 

av matematikkfaget. I stedet foreslår den at 

hensikt og utbytte med undervisning karakteriseres 

ved hjelp av åtte kompetanser som en 

ønsker at elevene skal utvikle. De åtte kompetansene 

er: Tankegang-, Resonnement-, 

Kommunikasjon-, Problembehandling-, 

Modellering-, Representasjon-, Symbol og 

1/2005 tangenten

formalisme- og Hjelpemiddelkompetansen. 

Denne kompetansebaserte beskrivelsen av 

matematikkfaget ønsker jeg å belyse gjennom 

to artikler her i Tangenten. Den siste artikkelen 

kommer i Tangenten nr 2 (2005). 

Jeg velger å knytte beskrivelsen av kompetansene 

opp mot undervisning gjennom å vise 

hvilke type aktiviteter og situasjoner som kan 

være med å stimulere utviklingen av kompetansene 

hos elevene. Skal de nasjonale prøvene 

bli et hjelpemiddel for lærerne, vil det være helt 

vesentlig at lærerne har en god forståelse for 

hva de ulike kompetansene står for. Det vil 

også være av betydning at lærerne tar kompetansebeskrivelsene 

med inn i klasserommet, 

som grunnlag for undervisningen slik at det 

får praktiske konsekvenser i norsk skole. 

I denne artikkelen tar jeg for meg tankegangs-, 

resonnements- og kommunikasjonskompetansen. 

I den siste artikkelen beskriver 

jeg problembehandlings-, modellerings-, hjelpemiddel-, 

representasjons-, symbol- og formalismekompetansen. 

Der belyser jeg noen 

problemstillinger i forhold til å bruke kompetansebeskrivelsene 

som grunnlag for vurdering, 

slik det blir gjort i forbindelse med de 

nasjonale prøvene i matematikk. 

En kompetansebeskrivelse av 

matematisk faglighet 

Hvorfor er det så nødvendig å forandre på vår 

tradisjonelle måte å se matematikkfaget på? 

Hvorfor lage de nasjonale prøvene så kompliserte, 

der en må forholde seg til mange nye 

begreper, som disse matematiske kompetansene? 

Skolematematikken har vært preget av et 

fokus på produktet og den riktige fremgangsmåten, 

og en har arbeidet for å få større fokus 

på prosessdimensjonen i faget. Vi ser det 

tydelig at L97 understreker betydningen av 

elevaktivitet, der elevene skal konstruere sin 

egen kunnskap. Vi er nå blitt mer opptatte av 

hvordan elevene bruker sin matematiske kompetanse, 

hvilke strategier de velger for å løse 

oppgaver og problemer og hvilken begrepsforståelse 

de har. 

Også i PISA-undersøkelsen (Programme 

for Internastional Student Assessment) har 

prosessdimensjonen i faget grunnleggende 

betydning. Her blir det understreket at det 

kreves ulik matematisk kompetanse for å løse 

forskjellige typer matematiske problemer. 

PISA fokuserer altså i langt større grad på et 

mer integrert spektrum av kunnskaper, ferdigheter 

og holdninger enn det som har vært 

vanlig i tester til nå. En legger vekt på elevenes 

evne til å tolke informasjon og trekke slutninger 

på basis av kunnskap og ferdigheter som 

de har, og på hvordan elevene bruker kunnskaper 

og ferdigheter i gitte sammenhenger 

(Bergem [1]). 

I PISA brukes tre kompetanseklasser 

Oppgavene er delt inn i tre kategorier etter 

hvilke kompetanser de krever: 

Reproduksjonsklassen: Oppgavene er knyttet 

til elevers bruk av faktakunnskaper og standardalgoritmer. 

En kan også finne enkle problemløsningsoppgaver 

her, men konteksten er 

matematisk og fremgangsmåten (algoritmen) 

gitt. 

Forbindelsesklassen: Her skal elevene se forbindelser 

og kunne sette sammen informasjon 

som grunnlag for problemløsningen. Elevene 

må da ha evne til å se sammenhenger mellom 

ulike deler av matematikken for å løse oppgavene, 

og de skal kunne bruke ulike representasjoner. 

tangenten 1/2005 13

Refleksjonsklassen: Her er oppgavetypene mer 

sammensatte enn ved forrige klasse og krever at 

elevene i tillegg har evne til å utvikle originale 

løsningsstrategier. Kompetansen kjennetegnes 

ved at elevene selv må finne fram til hva som er 

oppgavens matematiske problem, og vise evne 

til kritisk tenkning, analyse og refleksjon (Lie 

m.fl. [2]). 

Når de overordnede målene i matematikk kun 

tydeliggjør hvilke matematiske emneområder 

som skal læres, er det vanskelig å klargjøre hva 

matematikkundervisning skal gå ut på. Vi vet 

at det er langt mer gjennomgripende forhold 

enn pensumbeherskelse som gjør seg gjeldende 

i matematisk faglighet. Faren blir at en reduserer 

matematisk faglighet til ’rette og feile svar’, 

noe som igjen fører til et for lavt ambisjonsnivå 

for undervisningen. En kompetansebeskrivelse 

av faget går langt mer direkte på selve undervisningen, 

for da vil en også sette fokus på ferdigheter 

som vanskelig lar seg teste i en skriftlig 

prøve. Lærerne bør dermed sette flere krav 

til sin undervisning, for eksempel bruke mer 

tid på kommunikasjon, der elevene får forklare 

hvordan de tenker og forstår. 

En slik reduksjon av matematikkompetanse 

kan sammenlignes med å identifisere 

språkbeherskelse med en liste over ordforråd 

og grammatiske regler en skal gjenkjenne og 

kunne. Norsklærere har større ambisjoner for 

undervisningen enn at elevene bare lærer dette. 

De ønsker at elevene skal forstå stoffets oppbygging 

og indre sammenheng, og ikke minst 

være skapende og analyserende i faget i forhold 

til et mangfold av sjangrer og stilarter. En kan 

selvsagt understreke at dette ikke går uten et 

ordforråd og grammatikk, men ingen vil heller 

mene at det i seg selv er nok for språkbeherskelse 

(Niss [4]). På samme måte blir det med 

matematikken. 

14 

Å ha matematisk kompetanse kjennetegnes 

ved å ha viten om, å forstå, utøve, anvende og 

kunne ta stilling til matematikk og matematisk 

virksomhet i et mangfold av sammenhenger. 

Dette impliserer naturligvis en mangfoldighet 

av konkret viten og konkrete ferdigheter innen 

forskjellige matematiske områder, men matematisk 

kompetanse kan ikke reduseres til disse 

forutsetningene. 

Beskrivelse av kompetansene 

Tankegangskompetansen 

Denne kompetansen består først og fremt i det 

å være klar over hvilke typer spørsmål som er 

karakteristisk for matematikk, selv å kunne 

stille slike spørsmål og ha blikk for hvilke typer 

av svar som kan forventes. Matematisk tankegang 

omfatter bevissthet rundt hvilke spørsmål 

som er karakteristiske for matematikk. Det vil 

også si å kjenne, forstå og kunne bruke matematiske 

begreper, kunne abstrahere og generalisere 

og kunne skille mellom påstander, antagelser 

og bevis. For grunnskolen vil dette gjelde elementær 

matematikk, det vil si grunnbegrepene 

for størrelse, tall og rom som det er naturlig at 

de respektive aldersgrupper befatter seg med 

(se NSMO [3]). 

Denne kompetansen vil komme til syne 

gjennom dialog mellom elevene og mellom 

elevene og lærer. Elever med god tankegangskompetanse 

kan stille spørsmål som – Finnes 

det et tall som både er partall og oddetall? Hva 

betyr brøk egentlig? Hvorfor blir svaret større 

enn det vi deler med når en deler med et tall 

mindre enn 1? Denne kompetansen henger 

nøye sammen med resonnementskompetansen, 

og til tider kan det være vanskelig å skille 

dem fra hverandre. Disse to kompetansene, 

sammen med kommunikasjonskompetansen 

blir også slått sammen til en kompetanseprofil 

i de nasjonale prøvene fra 2005. 

1/2005 tangenten

Slik jeg ser det, vil denne kompetansen 

være en betydningsfull lærerkompetanse. Det 

er viktig at lærerne har evne til å stille gode 

spørsmål til elevene, spørsmål som får elevene 

til å reflektere. Ved hjelp av lærerens ledende 

spørsmål klarer elevene selv å resonnere seg 

frem til svar som gir innsikt og forståelse. Her 

tror jeg vi har mye å lære, for vi har ofte en 

higen etter å gi elevene svarene med en gang de 

spør. Kanskje vi langt oftere skulle stille spørsmål 

tilbake til elevene, og så la dem få tid til å 

tenke og gjerne komme med nye mer reflekterte 

spørsmål? Eksempelet med figurtall (nedenfor) 

viser lærerens tankegangskompetanse i 

sin dialog med elevene. 

Resonnementkompetansen 

Kompetanse i matematisk resonnement inneholder 

å kunne tenke ut og gjennomføre uformelle 

og formelle resonnementer, kunne 

omforme resonnementer og antagelser til gyldige 

bevis og kunne følge og bedømme matematiske 

resonnementer og forstå hva et bevis 

er (Niss m.fl. [5], s. 54). 

Denne kompetansen er aktiv når en elev 

klarer å bedømme holdbarheten av en matematisk 

påstand, det innebærer også å overbevise 

seg selv og andre om eventuell gyldighet av 

denne. Det dreier seg både om regler og setningers 

riktighet, men også avgjørelsen om at gitte 

svar på spørsmål, oppgaver eller problemer er 

korrekte og tilstrekkelige. Resonnementskompetansen 

er den som aktiverer hvilke operasjoner 

en skal bruke i en regneoppgave, hvis denne 

aktiveringen stiller krav til oppfinnsomhet, 

analyseevne eller overblikk. Denne kompetansen 

henger nøye sammen med både modellerings- 

og problemløsningskompetansen, og 

vi kan si at resonneringskompetansen er disse 

kompetansenes ’juridiske’ side, den som vurderer 

om svaret er rett eller galt (ibid. s. 210). 

Å forstå et resonnement er for eksempel å 

kunne forstå utsagn som: Tone har flere dukker 

enn Kine, og Kine har flere dukker en Marit. 

Da har Tone flere dukker enn Marit. 

Eksempel på å kunne følge og forholde seg til 

et elementært matematisk resonnement er: 

– Utsagn: Berit og Anne bor henholdsvis 1,5 

og 2 km fra skolen, så de må bo 3,5 km fra 

hverandre. 

– Resonnement: Nei, det trenger de ikke. 

Det kan jo være de bor på samme vei til 

skolen, og da vil det bare være 0,5 km 

mellom dem. 

På barnetrinnet vil elevenes resonnementer 

være intuitive og uformelle eller konkrete, 

basert på spesifikke opptellinger, utregninger 

eller tegninger. Det er derfor ikke forventet 

at de skal gjennomføre noen bevisførsel i 

en streng betydning av begrepet. Eksempelet 

som følger viser både tankegangs- og resonnementskompetansen 

gjennom en aktivitet med 

figurtall. 

Arbeid med figurtall 

– et undervisningsopplegg som legger til rette 

for utvikling av tankegang- og resonnementskompetanse. 

En fjerde klasse arbeider med figurtall. Læreren 

har satt elevene i gang med å lage ulike figurer 

ved hjelp av små kvadratiske brikker. Først skal 

elevene lage en figur der de ikke får bruke mer 

enn 8 biter. Neste steg blir å lage en noenlunde 

tilsvarende figur, men den skal være større. Det 

innebærer at de må bruke flere brikker. Så skal 

de lage en tredje figur, som igjen er større enn 

de forrige, men lik i form. Læreren ber elevene 

finne ut hvor mange brikker de har brukt 

i hver figur. 

Kari og Lucie har funnet ut at de har brukt 

tangenten 1/2005 15

8 biter i første fi gur, 25 biter i andre fi gur og 52 

biter i tredje fi gur. Læreren observerer jentene 

i arbeidet, og kommer nå med noen spørsmål: 

– Kan dere fi nne ut hvor mange biter dere 

trenger til fjerde fi guren, uten å legge den med 

biter? 

– Nei, går det an? svarer jentene tvilende. 

– Jo, jeg tror det! sier læreren og går et stykke 

unna jentene for å se hvordan de griper problemet 

an alene. 

Jentene diskuterer en stund seg i mellom før de 

spør: – Kan vi få tegne fi guren i stedet? Jentene 

får ruteark og tegner den fjerde fi guren. De 

teller antall biter og kommer til 89. Så kommer 

læreren igjen med nye spørsmål: – Kan dere 

nå fi nne ut hvor mange biter dere trenger til den 

femte fi guren, og denne gangen uten å tegne den? 

Jentene ser rådville ut, så læreren kommer med 

et nytt tips: – Hvis dere skriver ned alle tallene 

dere har funnet til nå i et skjema, blir det litt mer 

oversiktelig. Læreren hjelper jentene i gang med 

å lage en tabell: 

16 

Figur nr. 1 2 3 4 5 

Antall 

biter 

Vokser 

med 

8 25 52 89 

17 27 37 

– Hva forteller tallene dere? Kan dere fi nne noe 

mønster i dem? Læreren trekker seg nok en 

gang litt i bakgrunnen, og lar jentene resonnere 

seg frem på egenhånd. Jentene begynner 

å studere tallene: – Hvor mye større blir tallene 

fra fi gur til fi gur? Kan det være at fi gurene hele 

tiden vokser med 10 mer enn forrige gang? Det 

går ikke så veldig lang tid før de kommer med 

en hypotese: – Mon tro om ikke det neste fi guren 

vokser med 47? – Lærer, vi tror at den femte fi guren 

vil ha 136 biter. De klarer nesten ikke sitte 

stille på stolene, og de nesten roper ut. – Kan 

vi få tegne nå? 

Læreren synes det er en glimrende ide, 

og berømmer jentene for deres fremragende 

matematiske resonnement og fremgangsmåte. 

Det tar heller ikke lang tid før de fornøyd kan 

konstatere at femte fi gur virkelig består av 136 

biter. – Går det an å fi nne ut hvor mange brikker 

dere trenger til den 10. fi guren? spør læreren. 

Lucie stønner litt: – Da trenger vi store ark til 

å tegne på. – Trenger vi å fortsette å tegne, tro? 

spør Kari. – Hvis vi vet hvordan fi gurene vokser, 

kan vi kanskje regne det ut uten å tegne? Jentene 

fi nner seg en kalkulator og går i gang med å 

fylle ut tabellen. Timen er over for lengst og 

deres medelever er gått ut, og læreren går til 

lunsj. Da hun kommer tilbake, sitter jentene 

med store smil, og de kan fortelle at den tiende 

fi guren vil ha 521 biter! 

1/2005 tangenten

Kommunikasjonskompetanse 

Kompetanse i kommunikasjon inneholder det 

å kunne sette seg inn i og tolke andres matematikkholdige 

skriftlige, muntlige eller visuelle 

utsagn og ’tekster’. Det er å kunne uttrykke 

seg om matematiske forhold på ulike måter 

og på forskjellig nivå av teoretisk og teknisk 

nøyaktighet, både skriftlig, muntlig og visuelt 

for forskjellige kategorier av mottakere (ibid., 

s. 60). 

Vi kan gjerne si at denne kompetansen er 

todelt, i og med at kommunikasjonen skjer 

mellom avsendere og mottakere. På denne 

måten består denne kompetansen dels i å forstå 

og tolke andre sine matematikkholdige tekster, 

både visuelle, skriftlige (f. eks.i bøker og i oppgaver) 

og muntlige (eks. læreren gir en grublis 

muntlig). Dette vil da betegne den mottakende 

siden av kommunikasjonskompetansen. I tillegg 

trenger elevene denne kompetansen når de 

selv skal formidle sine matematiske kunnskaper, 

for eksempel når de skal gjøre rede for et 

matematisk resonnement, – Hvordan tenkte du 

nå? – Hvordan kom du frem til svaret? og dette 

kan de gjøre skriftlig, muntlig eller visuelt 

gjennom f. eks. tegninger. Dette viser uttrykkssiden 

av kommunikasjonskompetansen. 

Eksempler på vurdering av 

kommunikasjonskompetansen 

hos to 4. klassinger 

Klassen jobber med problemløsningsoppgaver, 

såkalte grubliser, og læreren går rundt og snakker 

med elevene. Hun prøver å få elevene til å 

formidle hvordan de forstår oppgavene og hva 

de tenker når de løser dem. 

Sissel klarer til en viss grad å forklare hva 

hun tenker, men det er i et enkelt og dagligdags 

språk. Hun bruker lite et matematisk språk, 

som for eksempel sier hun ikke enere og tiere, 

men ord som begynne bakerst når hun skal for- 

klare hvordan hun tenker i addisjonsstykker. 

Hun er også i stor grad avhengig av konkreter 

for å forstå og forklare hva hun gjør. Hun viser 

dårlig begrepsforståelse, noe som igjen reduserer 

hennes muligheter til å forstå og sette seg 

inn i de matematiske tekstene. Se eksempel fra 

dialogen mellom henne og lærer da hun arbeider 

med oppgaven: Du har 80 kr og så kjøper du 

to flasker brus til 15 kr stykk. Hvor mye penger 

har du igjen? 

Sissel resonnerer: – Jeg tar en tikroning, og 

så en til … og så … Hun er veldig usikker og 

lærer spør hvor mange tiere det er i 80. – Det 

er 10–20 … 30–40–50–60 … 40, nei, 70–80. 

Hun tegner nå 8 sirkler på papiret. Lærer hjelper 

videre og gjentar oppgaven med at hun skal 

kjøpe to brus til 15 kr. Nå er hun veldig usikker, 

men sier forsiktig: – Da kan jeg i hvert fall 

ta bort en tikroning … Og så …, ja, nå må jeg 

tenke … tror du det går an til å ta kroner også? 

Nei, jeg forstår ikke hvordan jeg skal gjøre dette, 

sier hun fortvilt. – Jeg klarer det ikke! 

Lærer hjelper henne videre, med å gjenta 

oppgaven. – Du har 80 kr og så skal du kjøpe 

deg brus. Hvor mye må du betale i kiosken for 

brusen? … Jeg må betale 20 kr … eller blir det 

mer? Nå forslår lærer at hun tegner ned pengene. 

Hun tegner ned en tier og fem kronestykker 

og sier videre: så tar jeg en tier til … Kan jeg 

veksle en tikroning, tror du? Til slutt klarer hun 

å finne frem til at det blir 30 kr, og teller seg 

frem til at hun da vil ha 50 kr igjen av de 80. 

Lars på sin side viser stor kompetanse i 

kommunikasjon. Han forklarer løsningene 

sine på en tydelig måte, og han bruker et matematisk 

språk i sine forklaringer. Han sier blant 

annet hundreplass, og han bruker helt naturlig 

tiere og enere. Lars har heller ingen problemer 

med å forstå innholdet i problemløsningsoppgavene, 

og han viser god begrepsforståelse. På 

oppgaven – Du har 4 poser med kjærligheter. 

tangenten 1/2005 17

Det er 8 kjærligheter i hver pose. Hvor mange 

kjærligheter har du? viser han at han både har 

flere mulige løsningsmetoder og at han klarer 

å formidle hvordan han tenker: Han sier: 16 + 

16 er 32! Han skriver ned 8×4 = 32 mens han 

forklarer: – Det er 8 i hver pakke og så er det 4 

pakker, det blir 32. – Jeg kunne også ha skrevet 

det slik: 8 + 8 + 8 + 8 = 32. Men jeg tenkte slik: 

(8 + 8 = 16) ⇒ 16 + 16 = 32. 

Eksemplene illustrerer at dialogen med 

lærer er verdifull når vi skal vurdere elevene 

sin matematiske kompetanse. For å få et fullgodt 

bilde av kompetansene til elevene våre, er 

det ikke tilstrekkelig med en to timers prøve. 

Men dette vil jeg komme nærere inn på i den 

neste artikkelen. 

Litteraturliste 

[1] Bergem, O. C. (2002) Utvikling av matematikkoppgaver 

i PISA. Hovedfagsoppgave levert til 

Institutt for læreutdanning og skoleutvikling ved 

UiO. 

[2] Lie, S, Kjærnsli, M, Roe, A og Turmo, A; Nasjonal 

hovedrapport PISA 2000: Godt rustet for 

framtida? Norske 15-åringers kompetanse i 

lesing og realfag i et internasjonalt perspektiv. 

Acta Didactica 4/2001 

[3] Nasjonalt senter for matematikk i opplæringen 

(NSMO); www.matematikksenteret.no Informasjon 

om de Nasjonale Prøver i matematikk. 

[4] Niss, M (1999). Kompetencer og uddannelsesbeskrivelse, 

Uddannelse 9: 21–29. Danmark 

[5] Niss, M, Jensen, T. H. (2002) Utdannelsesstyrelsens 

temahefter nr. 18- 2002; Kompetancer 

og matematiklæring. Undervisningsministeriet, 

København 

18 


kubene. Følger ellers samme prinsipp som for 

’i tredje rekka’. 

Setter X = Z 

4 , Y = ( Z + 1) 4 . Formelen blir 

da: 

2 3 2 

Y = X + 3Z × Z + 3Z × Z + Z + Z + 3Z + 3Z + 1 

 

3 2 

Y = X + 4Z + 6Z + 4Z + 1 

Løser vi ut Z får vi formelen: 

3 

4 

4 

4 

Y = X + 4( X ) + 6( X ) + 4( X ) + 1. 

En generell løsning 

Etter hvert begynte jeg å undre meg om det 

fantes en generell løsning for tall opphøyd i 

hva som helst. Jeg hadde begynt å tenke på det 

allerede når jeg holdt på med ’kubikkrekka’, 

men nå så jeg en viss likhet mellom denne og 

formelen for tall opphøyd i fjerde potens. Jeg 

prøvde med mange generelle uttrykk uten å 

lykkes. 

Til slutt innså jeg at løsningen var enklere 

enn jeg hadde trodd. Ved å bruke de samme 

definisjoner for Y og Z som tidligere, og når n 

er naturlige tall, får vi: 

2 

n 

Y = ( Z + 1 ) . 

Da X Z n 

n 

= blir Z = X . Får da den generelle 

likningen: 

n n 

Y = ( X + 1 ) . 

1/2005 tangenten

Per Storfossen 

Lag et regnestykke 

med 25 som svar 

På barnetrinnet møter elevene tallregningen 

eller aritmetikken. Addisjon eller addisjonsoppgaver 

blir først presentert. Deretter følger 

ofte de andre basisregningsartene i rekkefølgen 

subtraksjon, multiplikasjon og divisjon. Kanskje 

det er mulig og fruktbart samtidig å ta i 

bruk alle de fire basisregningsartene for å hjelpe 

elever til å se sammenhengen mellom dem når 

tallene som oftest er små? Hvilken oppgavetype 

kan i så fall stimulere til en slik elevaktivitet? En 

slik problemstilling ga grunnlag for at elevene i 

en fjerdeklasse ved Lovisenberg skole i Hamar 

arbeidet med å løse oppgaven «Lag et regnestykke 

med 25 som svar». 

Senere har vi oppdaget at den samme oppgavetypen 

er gitt i Nasjonale Prøver med oppgaveteksten 

«Lag fem forskjellige regnestykker 

med 24 til svar». 

Fokus var å se hvordan elever opplever 

møtet med regningsartene. Elevene hadde ikke 

tidligere erfaring med den oppgavetypen. Vi var 

spente på hvordan de ville reagere på selve oppgaveformuleringen, 

og hvordan de ville komme 

i gang med å løse en slik åpen oppgave. Ville de 

for eksempel lage kun ett regnestykke som de 

Per Storfossen er høgskolelektor i 

matematikk fagdidaktikk ved Høgskolen i 

Hamar, studiested Elverum, 

per.storfossen@hihm.no 

ble bedt om, eller mange regnestykker hvor alle 

de fire basisregneartene kom i betraktning? 

Vi prøvde å unngå presentasjon og bruk 

av standardalgoritmer (effektive, rigide og 

abstrakte ‘regnemaskiner’) når tallene er små, 

og når elever selv foretrekker å bruke egne 

metoder. 

Elevene gikk til verket 

Læreren skrev bare oppgaveteksten på tavla, og 

ga dem ikke veiledning eller forklaring. Hensikten 

var å gi elevene en reell sjanse til å prøve 

seg på utfordringene oppgaven ga. Elevene gikk 

til verket. 

Responsen til oppgaveteksten uteble ikke. 

Noen satt som spørsmålstegn og spurte «Hva 

skal jeg gjøre, jeg forstår ikke noe? Skal jeg 

gange eller legge sammen?» Andre uttalte etter 

en kort stund «Hei, det går ikke an å stoppe, 

det er jo ørthen måter å gjøre dette på». Den 

sistnevnte kommentaren reflekterte til opplevelsen 

av å se den store mengden av regnestykker. 

De så for seg ‘uendelig av muligheter’. Vi lærere 

fikk oppleve å se barns naturlige nysgjerrighet 

og kreativitet komme til syne. Den umiddelbare 

friheten ved det å komponere noe og å kaste seg 

ut i et ‘undersøkelseslandskap’ var noe nytt og 

spennende for dem. Det var også konkurranse 

mellom noen av elevene om å lage flest mulig 

regnestykker. Her ble det mye regnetrening! 

tangenten 1/2005 19

Den andre gruppen av elever hadde problemer 

med å komme i gang med oppgaven. Det 

så ikke ut til at de fikk tak i hva som var meningen 

med den, eller hva de skulle gjøre. Etter en 

stund fikk de hjelp av læreren som foreslo hvordan 

de kunne arbeide. 

I etterkant snakket vi med noen elever for 

å få nærmere kjennskap til framgangsmåtene 

deres. Vi så spor av flere mulige tankemodeller. 

I elevbesvarelse nr. 1 er det første 

regnestykket 100 : 4 = 25, mens det siste er 

1000000 : 40000 = 25. I linjen under dobles både 

dividend og divisor slik at en får 200 : 8 = 25. 

Neste regnestykke, 300 : 12 = 25, kan være en 

transformasjon av 100 : 4 = 25 ved at dividend 

og divisor er multiplisert med 3. 

3000 : 120 = 25 kan være framkommet ved 

å multiplisere med 10 i både teller og nevner 

i det tidligere regnestykket 300 : 12, eller ved å 

multiplisere med 30 i både teller og nevner i regnestykket 

100 : 4. Det er også mulig å komme 

fram til det samme resultatet ved å addere 

(kombinere resultater fra tidligere regnestykker) 

tellerne og nevnerne hver for seg i regnestykkene 

100 : 4 og 200 : 8 ved at (100 + 200) : (4 + 8 

) = 25. Resultatet er gyldig fordi 100 200 = = 25 

4 8 

100+ 200 100( 1+ 2) 

og = = 25 ved at kvotienten (kon- 

4+ 8 4( 1+ 2) 

stanten) er den samme (25). Resultatet er generaliserbart 

eller allmenngyldig fordi når a k⋅a = = 

b k⋅b a+ ka a( 1+ 

k) 

a 

kvotient, vil = = = kvotient. Å nytte 

b+ kb b( 1+ 

k) 

b 

at kvotienten er den samme krever en innsikt i 

brøkbegrepet. 

Et nytt regnestykke kan framkomme ved å 

ta utgangspunkt i et tidligere regnestykke, for 

deretter å multiplisere teller og nevner med en 

ønsket konstant. Et eksempel er regnestykket 

7000 : 280 = 25 som kan utledes fra det tidligere 

regnestykket 1000 : 40, hvor den valgte konstanten 

er 7. Flere regnestykker indikerer at 

eleven kan ha en oppfattelse av multiplikasjon 

og divisjon som motsatte regneoperasjoner. 

Vi får bekreftelser på dette når vi gjen- 

20 

Tre eksempler på elevarbeider 

Elevbesvarelse nr. 1 



1/2005 tangenten

kjenner dobling og halvering i regnestykket nestykkene føres rett inn i kladdeboka uten mel- 

100 1 1 

100 : 4 = = 100⋅ = 200⋅ = 200 : 8 = 25 . 

4 

4 8 

I elevbesvarelse nr. 2 starter eleven med å 

lomregninger. De valgte ikke å bruke kalkulator 

som alle hadde tilgjengelig. Kladdebøkene viser 

skrive addisjonstykket 21 + 4 = 25. I linjene 

under legger eleven til en i den ene addenden 

at det sjelden forekom regnefeil i utegningene. 

for samtidig å trekke fra en i den andre, slik at Monografisk metode 

regnskapet holdes i orden. Dette indikerer elev- Flere av elevarbeidene viser at det falt dem 

ens forståelse av at subtraksjon og addisjon er å naturlig å anvende alle regningsartene. I opp- 

betrakte som motsatte regneoperasjoner. Forgaven utnyttet de sammenhenger mellom dem. 

holdet kommer fram for eksempel av transfor- Denne anskueliggjørelsen er gjort før. Gudrun 

masjonen 25 + 0 = 25 til 31 – 6 = 25. Vi merker Malmer [3] beskriver en metode kalt for mono- 

oss også at det trer fram et tallmønster gjennom grafisk metode. Metoden tar hensyn til at de 

elevenes tallregninger. 

fire regningsartene henger tett sammen. Hun 

I besvarelse nr. 3 viser eleven hvordan reg- mente at barnet opplever denne helheten i sine 

ningsartene kreativt kan anvendes og settes i tidlige møter med matematikken. Hun refererer 

sammenheng med hverandre. I regnestykket til tyskeren Grube [2] som utviklet metoden på 

5 · 6 – 5 = 25 benyttes eksempelvis både mul- midten av 1800 tallet. Grube foreslo at det var 

tiplikasjon og subtraksjon. Vi antar at eleven bedre å arbeide med alle regningsartene samti- 

har en tallforståelse ved at ett tall kan uttrykkes dig (under ett) for å se den tette sammenhen- 

på ulike måter ved hjelp av ulike regneoperasgen mellom dem, enn i stedet å behandle dem 

joner. 

som strengt atskilte regningsarter hvor addisjon 

De tre elevbesvarelsene viser at vi ikke bare kom først. Metoden representerer en slags hel- 

fikk ett regnestykke som vi ba om, men mange hetstenkning der en går fra helhet til deler, og 

regnestykker. I alle eksemplene brukes likhets- kaller den for analytisk metode. Forfatteren R. 

tegnet riktig som en balanse ved å assosiere Braun [1] gjør rede for Grubes arbeide og den 

det med å gjøre sammenlikninger. Dette skjer monografiske metode. Også Heiberg Solem og 

når eleven går fra et regnestykke til det neste Lie Reikerås [4] oppfordrer til monografisk til- 

regnestykket. Til venstre for likhetstegnet lager 

eleven et regnestykke (regneoperasjon) og til 

nærming. 

høyre for likhetstegnet finnes svaret på reg- Referanser 

nestykket (25). Denne dualismen med bruken [1] Braun R. (1979). Mathematikunterricht und 

av likhetstegnet kommer til syne i eksemplene. 

Erziehung: die monographische Methode A. W. 

Alle regnestykkene kunne derfor føres under 

hverandre, noe elevene var vant til. Vi opplevde 

Grubes als didaktisch-methodisches Konzept 

eines erziehenden Rechenunterrichts, zugleich 

ein Beitrag zur Geschichte der Grundschul- 

at oppgaven stimulerte elevenes fantasi og didaktik der Mathematik. Europäische Hoch- 

kreativitet. Den var utfordrende å arbeide med schulschriften. Reihe 11, Pädagogik; 68. 

for lærere og elever. Arbeid som dette kan gi Frankfurt am Main. 

grunnlag for videre bevisstgjøring av likhetstegnets 

funksjon og av hvordan regneartene 

henger sammen. 

[2] Grube A. W. (1860). Pädagogische Studien und 

Kritiken für Lehrer und Erzieher. 

Leipzig: Brandstetter. 

[3] Malmer G. (1991). Kreativ matematikk. 

En gjennomgang av elevarbeidene viser at Ekelunds Forlag AB 

alle utregningene gjøres med hoderegning. Reg- [4] Heiberg Solem,I & Lie Reikeraas (2001). Det 

matematiske barnet, Bergen: Caspar Forlag 

tangenten 1/2005 21

Barbro Grevholm 

Kognitiva verktyg för lärande 

i matematik – tankekartor och 

begreppskartor 

Inledning 

För en alltför stor grupp elever är matematik 

det besvärligaste skolämnet att komma till 

rätta med. Läraren finns där för att stödja och 

hjälpa eleven när det blir svårt att gå vidare i 

lärandet. I aktuella rapporter från PISA-undersökningen 

visar det sig att norska elever ligger 

under genomsnittet i matematik i OECD-länderna. 

Detta har väckt debatt i stora kretsar 

och många undrar varför det måste vara så när 

Norge är ett land med så goda resurser mänskligt 

och materiellt. 

Det finns en tradition i matematik för lärare 

att diagnosticera sina elever med olika typer 

av prov och diagnoser. Därmed kan lärare 

i regel ganska klart peka ut var eleven står i 

sin lärandeprocess och vad som ännu inte 

är uppnådda kunskaper. I Norge har omfattande 

arbete utförts för att utveckla lärares och 

elevers möjligheter till diagnoser och att följa 

upp dem på ett meningsfullt sätt och en del av 

arbetet är utgivet i serien ’Kartlegging av mate- 

Barbro Grevholm er professor i 

matematikkdidaktikk ved Høgskolen i Agder, 

Norge og Högskolan Kristianstad, Sverige, 

barbro.grevholm@hia.no, 

barbro.grevholm@mna.hkr.se 

22 

matikkforståelse’ utgivet av Læringssenteret. Se 

till exempel Streitlien, Wiik och Brekke [11]. I 

Norge betonar kursplanen L97 begreppsbildning 

och begreppslig förståelse. 

Men hur går man vidare därifrån och hur 

kan eleven få individuell hjälp och stöd att ta 

ett steg till i utvecklingen? Var kan läraren få 

hjälp med att välja ut de åtgärder som är lämpliga 

för just en viss elev med klart fastlagda 

svårigheter? Söker man efter litteratur som 

läraren kan dra nytta av i en sådan situation 

är det svårt att finna något. Lärares professionella 

kunskaper är i hög grad talade eller tysta 

kunskaper som förs över med traditioner från 

en generation av lärare till nästa. 

Det finns dock forskning som kan ge uppslag 

om lämpliga utvägar för läraren och eleven 

i samarbetet. För lärare finns det i regel inte 

tid avsatt att på egen hand sätta sig in i sådana 

forskningsrapporter och dra ut lämpliga konsekvenser 

av dem. 

Vad säger forskningen? 

Ett exempel som kan nämnas är Ebbe Mölleheds 

avhandling [9] om problemlösning i 

matematik. Han visar att den viktigaste faktorn 

som påverkar eleven när det gäller framgång 

i att lösa problem är förmågan att förstå 

1/2005 tangenten

texten i uppgiften. Det resultatet stämmer med 

flertalet lärares egna erfarenheter. Men hur ofta 

sker aktiviteter i klassrummet med avsikt att få 

eleverna att fokusera på betydelsen av att förstå 

en problemtext? Ytterst få läroböcker innehåller 

övningstyper som arbetar med textförståelse. 

Detta är bara ett exempel på att många 

vet vad som krävs men trots det arbetar vi inte 

aktivt med uppgiften på ett sätt som stämmer 

med våra kunskaper om problemen. 

Många forskare använder modeller i form 

av nätverk eller kognitiva strukturer där ny 

kunskap kopplas till den tidigare genom länkar 

för att beskriva hur kunskapen utvecklas hos 

individen (Hiebert & Lefevre [4]; Novak [7]). 

Det ligger då nära till hands att använda kognitiva 

verktyg som anknyter till nätverk. 

En annan aspekt som också är välkänd är 

att det är svårt för elever att själva bygga upp 

en struktur och överblick över sina kunskaper. 

Här kan lärare vara till god hjälp om de förser 

eleverna med sådana kognitiva verktyg som 

passar för att skapa struktur och visa helheter. 

Jag ska ta upp och diskutera några sådana 

kognitiva verktyg och deras användningsmöjligheter. 

Begreppskartor som kognitiva verktyg 

Begreppskartor förekommer i många olika 

former, som namn på bilder som knyter 

samman företeelser och fenomen som kan 

associeras till varandra. Det kan vara i form 

av en spindelvävsliknande struktur eller i en 

hierarkisk struktur. De förra kallas ofta tankekartor 

(Buzan, [1]). Tankekartans egenskaper 

och användningsmöjligheter kan kort sammanfattas 

så här: 

– kan ge skiss av ett område översiktligt 

– kan vara en sammanfattning 

– kan vara en självdiagnos efter studier 

– för repetition 

– för redovisning 

– är en mental kartbild 

– kan knyta samman nyckelord och 

begrepp 

Begreppskartorna introducerades på 70-talet 

av Joseph Novak [6–8] som ett kraftfullt verktyg 

för lärande. Egentligen utarbetade Novak 

och hans medarbetare från början begreppskartor 

som ett instrument för att i en samlad 

bild sammanfatta huvuddragen i elevers 

begreppsuppfattning av det som kom fram i 

en forskningsintervju. I lärarutbildningen har 

jag använt dem för att synliggöra och diskutera 

centrala begrepp och hur de utvecklas. 

Studenter bedömer verktyget som användbart 

både i eget lärande och i sin egen undervisning 

(Grevholm, [2, 3]). 

Figur 1, som presenterades på LUMA 1998 

(konferens för lärarutbildarna i matematik 

i Sverige), är min begreppskarta över vad en 

begreppskarta är. Begreppskartan är en bild 

som representerar en persons kunskaper vid 

ett visst tillfälle uttryckta genom påståenden. 

Påståendena länkar olika begrepp till varandra 

med hjälp av länkord, som oftast är verb. 

Begreppen är i regel substantiv. Begreppen 

är hierarkiskt strukturerade i begreppskartan. 

Länkarna visar hur de olika begreppen 

är förbundna med varandra i ett nätverk, en 

kognitiv struktur. Länkorden har en viktig 

roll i att ge mening åt kartans delar och skiljer 

begreppskartor från tankekartor, där det i regel 

saknas. 

Begreppskartor kan användas både vid 

undervisning, inlärning, diagnosticering och 

bedömning. De skiljer sig från tankekartor 

genom att de är byggda av kunskapspåståenden 

och är hierarkiska. Länkorden är viktiga 

och saknas i regel i en tankekarta. Konstruktion 

av kunskap är en komplex produkt av 

tangenten 1/2005 23

Figur 1 

den mänskliga kapaciteten, den kulturella 

kontexten och förändringar i utvecklingen av 

relevanta kunskapsstrukturer och verktyg för 

att erövra ny kunskap (Novak 1998). Novak 

hävdar att begrepp spelar en central roll i både 

lärandets psykologi och teorier om kunskap. 

Novak definierar ett begrepp som uppfattade 

regelbundenheter i händelser eller objekt och 

som vi har infört en etikett eller benämning 

för. Etiketten kan vara ett ord eller en symbol. 

Novak har använt begreppskartor som ett 

verktyg för att representera strukturer eller 

ramverk av begrepp/påståenden, som har härletts 

från kliniska intervjuer eller konstruerats 

av lärande subjekt. Begreppskartor har visat 

sig vara användbara verktyg vid planering av 

undervisning och för att hjälpa studenter att 

lära sig hur man lär. 

24 

Några exempel på 

begreppskartor i matematik 

Figur 2 är ett exempel på en begreppskarta 

som ritats av en matematiklärare i Sverige, 

som deltog i en workshop om begreppskartor. 

Läraren hade aldrig tidigare ritat sådana 

kartor. Andra lärare ritade kartor som till stora 

delar liknade den här, så den är på intet sätt 

specifik. Vad kan jag då läsa ut ur denna karta? 

För det första ser jag att läraren ritar in fler 

begrepp än vad jag brukar få från mina lärarstuderande. 

Ett sådant exempel är olösbar, som 

egenskap för en ekvation. Kanske ser vi också 

att läraren är mest inriktad på polynomekvationer 

eftersom hon tar upp att ekvationer kan 

vara av olika grad. Det är vanligt att lärarstuderande 

är mera kategoriska och skriver ’har 

olika grad’. De glömmer då helt bort att de löst 

många andra typer av ekvationer såsom trigonometriska, 

exponentiella osv. När exempel 

1/2005 tangenten

Figur 2 

nämns blir det oftast sådana som varit kunskaper 

länge hos den som ritar, alltså de första 

mera grundläggande kunskaperna mera ofta 

än de mest färska. Vi ser även att läraren är 

medveten om till vad ekvationer kan användas 

och att de kan beskriva olika skeenden. Det är 

mindre vanligt att elever visar fram den sortens 

övergripande kunskaper. Läraren ger även 

exempel på tre olika sätt att lösa ekvationer 

och visar även där prov på god överblick. Inga 

irrelevanta eller triviala påståenden finns med, 

vilket kan förekomma hos yngre elever som har 

svårt att fokusera på väsentligheterna. 

Vi kan jämföra denna karta med en som är 

ritad av en lärarstuderande nio månader efter 

att hon avslutat sina kurser i matematik (F6 

9912, figur 3). 

Vi finner många gemensamma element 

i kartorna. Båda säger att en ekvation är en 

likhet som innehåller variabler eller okända. 

Båda talar om att det kan finnas en eller flera 

lösningar. Vilka skillnader finns det? Den 

lärarstuderande har vissa triviala påståenden 

som att den okända kallas x, y eller z. Den 

lärarstuderande drar in begreppet ekvationssystem, 

som ingår i kursen i funktionslära för 

dem. Hon skriver också om lösningsmetoder, 

men kopplar lösningsmetoder för ekvationssystem 

till ekvationer istället för ekvationssystem. 

Här ser vi alltså kopplingar som bör 

strukturers om. Av metoder för att lösa ekvationer 

nämner hon enbart grafisk och gissa och 

pröva. Hon har givetvis löst ekvationer både 

algebraiskt och numeriskt, men de kunskaperna 

kommer inte fram vid det här tillfället. 

När den lärarstuderande fick rita om sin karta 

ett halvt år senare såg den ut som i figur 4. 

Nu har bilden fått en bättre struktur. Ekvationssystem 

och deras lösningsmetoder är rätt 

hopkopplade. Lösningsmetoder för ekvationer 

har blivit faktorisering och prövning, fortfarande 

lite ofullständigt. Men den lärarstuderande 

nämner fortfarande ingenting om 

vad ekvationer kan användas till. Begreppet 

tangenten 1/2005 25

Figur 3 

okänd har utgått till förmån för variabel och 

hon talar fortfarande om att de brukar kallas 

x, y eller z. Under tiden som gått från december 

1999 till juni 2000 hade denna lärarstuderande 

inga kurser i matematik och heller inte 

någon skolpraktik i matematik. Trots det har 

det hänt något med hennes begreppsstruktur, 

den har förfinats och blivit mer logisk och 

tydlig. Hennes matematiska språk har förbättrats. 

Detta är tydligt även för andra studenter, 

vars kartor jag studerat. Det tyder på att det 

händer något med begreppsstrukturen även 

då den lärande inte aktivt arbetar med ämnet. 

Det är en spännande observation, som det vore 

intressant att veta mer om. 

När är en begreppskarta 

en bra begreppskarta? 

För den individ som ritar kartan är den alltid 

rätt i den meningen att den utgör den bild av 

26 

begreppsstrukturen som individen har just 

då. För en lärare kan däremot kartan signalera 

sådana observationer som jag har beskrivit 

ovan. Kanske ser man att vissa underbegrepp 

saknas. Kanske är vissa kopplingar lite 

märkliga och kan behöva ifrågasättas. Kanske 

är vissa delar ofullständiga. I samtal mellan 

lärare och elev om en karta kan sådana ting 

komma fram. Eleven kan få uppgifter som gör 

det möjligt att tillägna sig den kunskap som är 

ofullständig eller saknas helt. Om vissa kopplingar 

är märkliga behöver det kanske utmanas 

i en problemsituation? Det är alltså inte så 

fruktbart att tänka i termer av en bra karta. En 

karta ska vara en bild av hur den ritande just då 

uppfattar sin begreppsstruktur. Och en karta 

ska vara ens egen. Lärarens kartor bör nog inte 

användas som instrument i undervisningen. 

Eleven ska rita så som hon har konstruerat sin 

egen kunskap, allt i konstruktivistisk anda. 

1/2005 tangenten

Figur 4 

Däremot kan det vara fruktbart för elever att 

jämföra sina kartor och ställa frågor om vad 

som skiljer och förenar. 

Hur kan begreppskartor användas? 

I litteraturen finns beskrivet en rad olika sätt 

att använda begreppskartor (Novak 1998). Vid 

starten av ett nytt avsnitt kan läraren inleda 

med en kartläggning av elevernas förkunskaper 

genom att de får berätta allt de vet genom 

påståenden. Dessa kan skrivas upp på tavlan 

och därefter sammanfogas i en begreppskarta. 

Kartan blir ett synligt bevis på klassens 

utgångsläge inför nya kunskaper. Efter det att 

klassen arbetat igenom det nya avsnittet kan 

en ny karta ritas. Jämförelse med den tidi- 

gare kartan kan då synliggöra nya kunskapsstrukturer 

och begrepp. Detta är då exempel 

på kartor som innehåller en grupps samlade 

kunskaper. I en jämförelse blir det tydligt för 

både lärare och elever om några luckor finns i 

associationerna mellan begrepp eller om elever 

har olika uppfattning om hur begreppen ska 

länkas samman. 

En elev som vet hur begreppskartor ritas 

och fått en viss vana att göra det kan använda 

verktyget i sitt eget lärande. När ett nytt avsnitt 

bearbetats kan eleven försöka rita sin egen 

karta över de nya kunskaperna. Det visar sig 

att kartorna är högst individuella. Steg för steg 

kan eleven i kartan rita in sin egen kunskapsutveckling 

och se om det sker nytt lärande eller 

tangenten 1/2005 27

inte. I samtal med läraren kan eleven diskutera 

om hans karta stämmer med en mera allmän 

syn på begreppen eller om eleven kanske fått 

en vag eller oklar bild av hur begreppen hänger 

samman. 

För att skapa utmaningar i lärandet kan 

läraren låta elever rita sina egna enskilda 

begreppskartor och därefter be dem att i små 

grupper jämföra sina kartor inbördes. Elever 

upptäcker då likheter och skillnader och värdefulla 

diskussioner uppstår om varför de har 

olika uppfattningar på vissa punkter. Det kan 

leda till att någon elev ändrar uppfattning och 

ser nya möjligheter att förstå begreppssambanden. 

Elever kan upptäcka att vissa kartor 

är rikare än andra och har fler länkar. De kan 

få impulser att införliva fler delar i sin egen 

karta och på så sätt utvidga sin syn på begreppen 

inom området. I samtalen får elever tillfälle 

att utveckla ett matematiskt språk och får 

ge uttryck för hur de tänker matematiskt och 

motivera det för kamraterna. Resonemang och 

samtal av detta slag är väsentliga för lärandet 

(Schoenfeld, [10]). 

Kartorna kan användas för läraren att skapa 

sig en bild av hur en student tänker. De fungerar 

då som ett alternativt diagnosinstrument, 

som kan användas upprepade gånger. Lärare 

kan använda begreppskartor för sin egen del. 

Att rita en karta inför ett nytt avsnitt innebär 

att du som lärare tydliggör för dig själv 

vilka centrala begrepp och delbegrepp du vill 

behandla och hur du ser sambanden mellan 

dem. Det kan tydliggöra för dig som lärare 

vissa kopplingar, som du kanske annars inte 

hade betonat så starkt. Om elever ska få en god 

begreppsuppfattning måste de få de viktiga 

begreppen belysta ur olika aspekter så ett de 

får en rik och nyanserad begreppsbild (Niss, 

[5]). 

Sammanfattningsvis gör jag en översikt 

28 

över hur begreppskartor kan användas dels i 

grupp eller klass dels för enskilda elever: 

I grupp eller klass 

En begreppskarta kan fungera 

– som inledning eller brainstorm för att 

diagnosticera kunskaper 

– som avslutning, för att sammanfatta och 

ge en helhetsbild 

– vid genomgång för att se var man fogar 

till ny kunskap till den tidigare 

– som startpunkt för jämförelser och diskussion 

För enskilda elever 

En begreppskarta kan fungera 

– genom att dokumentera elevens kunskaper 

för henne själv 

– för att skapa överblick 

– för att kunna visa hur ny kunskap utvecklas 

och fogas till den tidigare 

– som jämförelse över tid för att eleven ska 

kunna iaktta sin egen utveckling 

– vid samtal med kamrat för jämförelser 

– för att utveckla sitt språk inom ämnet 

– för att se var det finns luckor i kunskaperna 

eller outvecklade föreställningar 

– för att sammanfatta studier 

– för att repetera vid senare tillfälle 

För läraren själv 

En begreppskarta kan användas 

– för att skapa överblick vid förberedelser av 

undervisning 

– för att strukturera sin undervisning 

– för att bedöma och examinera elevers kunskaper 

– för att prioritera vid val av stoff 

– för att granska sin egen bild av kunskaper 

inom ett område 

1/2005 tangenten

Begreppskartor är kraftfulla verktyg men man 

måste själv ha prövat på för att verkligen känna 

styrkan i dem. Det finns god datorprogamvara 

tillgänglig på nätet utan kostnad. Med ett program 

som Cmap kan man enkelt rita tydliga 

och bra kartor som kan vara till stor hjälp i 

arbetet. 

Litteratur 

[1] Buzan, T. (1982). Använd huvudet bättre. 

Stockholm: Undervisningstjänst. 

[2] Grevholm, B. (2000a). Teacher education in 

transition: The case of Sweden. Kristianstad: 

Högskolan Kristianstad. 

[3] Grevholm, B. (2000b). Research on student 

teachers learning in mathematics and mathematics 

education. I Proceedings from International 

Conference of mathematics Education 9, 

Makuhari, Tokyo, Japan. 

[4] Hiebert, J. & Lefevre, P. (1986). Conceptual 

and procedural knowledge in mathematics. 

An introductory analysis. I J. Hiebert (Ed.), 

Conceptual and procedural knowledge: the 

case of mathematics. (pp 1–27). Hillsdale, NJ: 

Lawrence Erlbaum. 

[5] Niss, M. (2001). Den matematikdidaktiska 

forskningens karaktär och status. I B. Grevholm 

(ed.) Matematikdidaktik – ett nordiskt 

perspektiv. Lund: Studentlitteratur. 

[6] Novak, J. D. (1985). Metalearning and 

metaknowledge strategies to help students 

learn how to learn. I L. West & A. Pines (eds.), 

Cognitive structure and conceptual change, 

pp. 189–207. New York: Academic Press. 

[7] Novak, J. D. (1998). Learning, creating and 

using knowledge. Mahwah, New Jersey: Lawrence 

Erlbaum. 

[8] Novak, J. D. & Gowin, D. B. (1984). Learning 

how to learn. Cambridge: Cambridge University 

Press. 

[9] Möllehed, E. (2001). Problemlösning i grundskolan. 

Malmö: Malmö Högskola. 

[10] Schoenfeld, A. (1992). Learning to think 

mathematically: Problem solving, metakognition 

and sense-making in mathematics. I D. 

A. Grouws (red), Handbook for research on 

mathematics teaching and learning. New York: 

Macmillan. 

[11] Streitlien, Å., Wiik, L. & Brekke, G. (2001). 

Tanker om matematikkfaget hos elever og 

lærere. Læringssenteret. 

tangenten 1/2005 29

Nils Kristian Skiple 

Kva må gjerast for at 

elevane skal bli flinkare 

i matematikk? 

Utgangspunktet for denne teksten er evalueringa 

av L97 (Brekke m.fl. 2003) og resultata 

frå den internasjonale undersøkinga PISA2000 

(Kjærnsli og Lie 2003). 

Evalueringa av L97 viser at elevane sine 

rekneferdigheiter har gått ned frå 1995 til 2003, 

og at intensjonane i læreplanen i liten grad er 

følgd opp i praksis. 

Resultata frå PISA2000 viser at Noreg gjer 

det spesielt dårleg i matematikk. 

Det er difor nødvendig å gjera noko, men 

kva? 

Brekke foreslår ein tydlegare læreplan og 

meir kursing av matematikklærarane. Eg er 

einig i det, spesielt at det trengst ein tydlegare 

Nils Kristian Skiple studerer matematikk 

fagdidaktikk ved Universitetet i Bergen, 

nils.skiple@student.uib.no 

30 

læreplan. Men for at den læreplanen skal bli 

god er det viktig at ’kvardagsperspektivet’ frå 

’grasrota’ kjem fram. 

For det første, lærarane får så utruleg mange 

føringar frå styresmaktene, kva garantiar har 

me då for at føringane knytt til matematikk 

skal bli prioritert? 

Og for det andre, når læreplanen ikkje blir 

følgd opp i praksis, så må det også vera grunnar 

for det knytt til den einskilde elev, lærar og 

skule. Vil elevane læra matematikk? Kva sosioøkonomisk 

bakgrunn har dei? Kva haldningar 

har dei til skulearbeid generelt? Kva tenkjer 

eigentleg lærarane? Kva haldningar har dei til 

faget? Kva erfaringar har dei? Kva identitet har 

dei? Korleis er arbeidsmiljøet på den einskilde 

skule? Er realfaglærarane inkludert i fellesskapen, 

er det rom for refleksjon, er det rom 

for nytenking, korleis er dei fysiske forholda 

på skulen, korleis er budsjettet, kor sterke er 

føringane frå kommunen og staten? Dette er 

eit utval spørsmål meir direkte knytt til skulekvardagen 

og livet i skulen. Og når desse 

vert drøfta trur eg det er viktig å ha eit ’nedanfrå 

og opp-perspektiv’, i motsetning til det 

meir vanlege ’ovanfrå og ned-perspektivet’. I 

det følgjande vil eg avgrensa meg til lærarane 

ved å laga ei historie om to ulike lærartypar, 

1/2005 tangenten

og drøfta kva som skal til for at dei skal dra i 

same retning. 

Lærar A er ein mann i 50-åra med universitetsutdanning 

innan realfaga, og lærar B er ei ung 

forholdsvis nyutdanna kvinne med allmennlærarutdanning. 

Dei jobbar på ein bynær, stor 

ungdomsskule, me er i år 2000, og L97 er offisielt 

ferdig innførd. 

Lærar A underviser framleis på gamlemåten; 

omgrep og algoritmar blir gjennomgått 

ved hjelp av tavla, elevane øver på dei ved hjelp 

av læreboka. Elevane til lærar A får dei beste 

eksamensresultata, elevane er fornøyde, foreldra 

er fornøyde og rektor er fornøyd. Rektor 

veit at læreplanen ikkje blir følgd, men når 

alle er fornøyde, så er det lett ’å sjå gjennom 

fingrane’ med det. Elles er det verdt å merka 

seg, at når alle elevane til lærar A er fornøyde, 

så betyr ikkje det at alle jobbar med matematikken, 

ein fjerdedel av elevane avskyr faktisk 

matematikk. Dei putlar med forskjellige småting 

i timane eller dagdrøymer, men dei har 

bøkene framme og er rolege. Dette ser lærar 

A, men han seier ikkje noko så lenge dei ikkje 

forstyrrar undervisninga. Elevane skjønnar 

denne innforståtte avtalen og held seg i 

ro. Resultat, alle er fornøyde og harmonien 

rår. Når lærar A lar dei som ikkje jobbar med 

matematikk få vera i fred, så gjer han det, fordi 

han ut frå erfaring veit at det er umogeleg å 

læra dei umotiverte noko, og han veit heller 

ikkje noko om korleis han eventuelt skal endra 

motivasjonen deiras. 

Lærar B har lest grundig i læreplanen og har 

på lærarskulen vorte fora med idear om kontekstavhengig 

matematikk og konstruktivisme. 

Ho prøvar etter beste evne å realisera dette. 

Elevane jobbar i grupper med forskjellige 

lærebøker, dei set sine eigen læringsmål og 

lagar sine eigne arbeidsplanar, dei ’tar ansvar 

for eiga læring’ for å bruka ei noko slitt frase. 

Lærar B ser på seg sjølv som rettleiar, tavla 

blir ikkje brukt til gamaldags formidling frå 

lærar til elev. På gode dagar opplever ho at 

elevane bruker tavla til å forklara kvarandre 

eit eller anna matematisk problem, det gjer ho 

veldig glad. Vanlegvis er ho i godt humør, men 

ho vert av og til litt lei og sur. Spesielt når dei 

mest initiativfattige av elevane og klagar på 

at dei ikkje lærer noko. Ho er litt redd for at 

dei skal få foreldra til å gå til rektor og klaga, 

men veit innerst inne at ho har sitt på det tørre, 

fordi ho held seg til læreplanen. 

Resultata til klassen på dei felles heildagsprøvane 

har vore under middels, ho fryktar litt 

for korleis det skal gå til eksamen. Ho skjønar 

at ho ikkje enno har funne den beste måten å 

organisera undervisninga, difor prøver ho ut 

stadig nye måtar å gruppera elevane på, utviklar 

stadig nytt materiell som ho gjev dei, og 

eksperimenter med ulike leikar, spel og dramatiseringar. 

Ekskursjonar har ho slutta med, 

fordi det rett og slett krevde for mykje forarbeid, 

sjølv om dei andre lærarane på teamet var 

positive. Lærar B brukar veldig mykje tid til å 

førebu seg, men det tar på, ho er i ferd med å 

bli litt sliten. 

Elevane er vanlegvis fornøyde, dei får vera 

aktive, og får prata om alt muleg i matematikktimane. 

Det er ikkje alltid dei snakkar 

om matematikk, men dei har lært at dei må 

snakka om matematikk når frøken nærmar seg 

det bordet dei sit ved, for elles vert ho sur, og 

det er så plagsomt. Alle elevane tykkjer det er 

kjekt med leikar, spel og drama. Til og med dei 

som til vanleg ikkje orkar å ta ’ansvar for eiga 

læring’ ved å laga eigne planar og følgja dei. 

Alt i alt, elevane er fornøyde, men ein del 

av dei flinke og ambisiøse elevane skjønar at 

dei lærer lite på skulen, difor jobbar dei mykje 

tangenten 1/2005 31

heime med matematikkoppgåver som har 

fasitsvar. Men dei klagar ikkje, for det er moro 

å vera på skulen i matematikktimane. 

Lærar A og lærar B står for kvar sin ytterkant, 

lærar A for tradisjonen og lærar B for det nye 

knytt til L97. Det er positive og negative aspekt 

knytt til både lærar A og B si undervisning. 

Kva skal til for at dei skal samarbeida, slik 

at det nye kan bli ei blandinga av det beste frå 

begge? Det er eit godt spørsmål, som eg i det 

følgjande skal prøva å svara på. 

For det første, den nye læreplanen lyt til ein 

viss grad legitimera den tradisjonelle overlæringa 

av omgrep og algoritmar. Det grunngjev 

eg ut frå Skovsmose [2] som argumenter for 

at matematikken kan forståast som eit framandt 

språk, og McLaughlin (1987, referert i 

Sjøberg [2]) som meiner at eit framandt språk 

best kan lærast ved at ein del grunnleggjande 

ferdigheiter vert automatisert. Ein annan 

grunn er sjølvsagt den at lærar A vil ta den nye 

læreplanen meir alvorleg, når den inneheld 

ein metode han av erfaring veit har fungert. 

I L97 låg det underforstått at hans læringssyn 

var ein anakronisme, og indirekte vart han då 

ein gamal stabukk, ikkje så rart då at L97 vart 

lagt på hylla. 

For det andre, skulane lyt etablera fagseksjonar 

og dei må få ein agenda. Først på agendaen 

til matematikkfaget lyt det stå matematikkfilosofi 

og vitskapsteori, kva er eigentleg 

matematikk, kva er kunnskap, kva er læring, 

kva er målet for matematikkundervisninga i 

skulen?...Altså at dei matematikkdidaktiske 

spørsmåla, kva? og kvifor?, vert diskuterte. 

Kanskje kan det virka litt framandt og sært 

at lærarane skal vera fokuserte på filosofiske 

spørsmål, men eg støttar meg til Quale (Jorde 

og Bungum [1]). 

32 

Det må utarbeidast materiell som lærarane 

kan bruka som diskusjonsgrunnlag, og haldast 

kurs for nokre utvalde lærarar, men det viktigaste 

er diskusjonen på den einskilde skule. 

Denne diskusjonen lyt stå på agendaen ei god 

stund før ein diskuterer korleis ein skal organisera 

den nye undervisninga. I Noreg har skuleutviklinga 

på den einskilde skule, i motsetning 

til for eksempel i svensk skule, hatt for sterkt 

fokus på ”korleis-spørsmålet”. Dette må det 

takast høgde for i utforming av den nye agendaen 

jamfør idealet innan didaktikken; først 

kva, så kvifor og til slutt korleis. 

For at det skal vera realistisk å oppretta fungerande 

fagseksjonar, så må noko anna prioriterast 

ned. Etter mitt skjønn må det bli alt det 

funksjonæraktige arbeidet i team/ trinn knytt 

til det å leggja timeplanar, årsplanar, tverrfaglege 

planar o.s.v. Timeplanen, eller eit sett 

med timeplanar for ulike behov, bør lagast av 

administrasjonen, og den nye læreplanen må 

vera så spesifisert at den kan erstatta dei fleste 

planane som vert laga rundt på skulane i dag. 

På den måten kan det frigjevast tid til interessante 

fagdidaktiske spørsmål. 

For det tredje, lærarane må få høve til å 

hospitera, for på den måten å få nye impulsar. 

Det kan vera hospitering innan skulen, følgt 

opp av tid til samtale mellom dei to lærarane 

etterpå. Men gjerne og hospitering knytt til 

andre skular og/eller relevante arbeidsplassar 

som ikkje er knytt til utdanningssektoren. Min 

påstand er at norske lærarar er lærevillige, og 

vil ta i mot slike tilbod med glede. Føresetnaden 

er at det vert lagt til rette, slik at det ikkje 

kjem på toppen av alt anna, sagt med andre 

ord, at ein ikkje sjølv lyt organisera det og 

ordna med vikar. Statens utdanningskontor 

og/eller kommuneadministrasjonen lyt altså 

vera tutorar for dette. 


1/2005 tangenten

Reidar Mosvold 

Takvinkler til besvær? 

I matematikkundervisningen ønsker vi ofte å 

trekke inn eksempler på hvordan matematikk 

brukes i hverdagen. Ulike yrker gjør bruk av 

ulike typer matematisk kunnskap, og problemet 

er ofte for læreren å ha oversikten over 

dette. Byggebransjen gjør bruk av mye matematikk, 

og vi skal nå se et eksempel på kunn- 

Figur 1 

skaper og hjelpemidler byggfolk gjør bruk av 

når de skal konstruere og bygge et tak. Her 

støter vi på et teknisk hjelpemiddel som ofte 

blir brukt i vinkelberegninger ved takkonstruksjon, 

men som kanskje ikke er så kjent 

for folk flest. 

Alle hus har tak, men formene på taket kan 

Reidar Mosvold er høgskolelektor ved 

Høgskolen i Telemark, reidar.mosvold@hit.no 

variere. Vi har grovt sett tre hovedtyper: pulttak, 

saltak og valmtak (se figur 1). 

Et pulttak har fall bare mot den ene siden, 

og blir på folkemunne ofte kalt for flatt tak, 

selv om det stort sett har en helling og derfor 

strengt tatt ikke er helt flatt. Saltak har fall mot 

to sider, og mannen i gata ville kanskje kalle 

dette for et vanlig skråtak. Når et hus med 

saltak blir sett fra siden, vil en matematiker 

kunne si at det ser ut som et rektangel med en 

likebeint trekant plassert oppå. Takets hellingsvinkel 

kan variere. Den tredje formen er valmtak, 

som har helling mot fire sider. Et hus med 

valmtak har vannrett gesims rundt hele huset 

og får derfor ingen gavl slik som hus med saltak 

får. Å konstruere et slikt tak er slett ingen enkel 

oppgave, og det er mye matematikk som ligger 

til grunn for de ulike takkonstruksjonene. Her 

tangenten 1/2005 33

Figur 2 

Figur 3 

vil vi gjøre en del forenklinger, og vi tar særlig 

for oss utregningen av de ulike sperrene som 

brukes i byggingen. Vi behandler her materialene 

som lengder, og tar ikke hensyn til alt en 

tømmermann må tenke på når det gjelder kutting 

og slike ting. 

Vi skal først se på et enkelt saltak. Saltak 

har som nevnt helling mot to sider, og bjelkene 

eller sperrene som holder taket oppe kalles for 

alminnelig sperr. Vinkelen som en alminnelig 

sperr danner med planet kalles for hellingsvinkelen. 

I en hustegning får vi som regel oppgitt 

spennvidden på huset, som er husets bredde fra 

svill til svill. Svillene er noe forenklet den øver- 

34 

ste kanten på huset før en setter på 

taket. Når vi ser huset fra siden, 

kan vi si at loddlinja fra mønet 

deler huset i to like halvdeler med 

lengde L. Vi kan derfor kalle spennvidden 

for 2L, som på figur 3. 

En hustegning vil også inneholde 

enten takhøyden, som er 

den loddrette linjen fra svillen til 

mønet, eller hellingsvinkelen. På 

vår hustegning har vi fått oppgitt spennvidden 

til 8000 mm og takhøyden til 2038 mm. For å 

bygge et slikt tak, må vi først regne ut hellingsvinkelen, 

og så bruke den til å regne ut lengden 

på alminnelig sperr. Hellingsvinkelen v kan vi 

enkelt regne ut ved å bruke tangens. 

tan( v) 

= 

v = 27° 

2038 

4000 

For å regne ut lengden på alminnelig sperre 

(AS) kan vi nå bruke cosinus til v, slik at vi 

får: 

1/2005 tangenten

L 4000 

AS = = = 4488 

(cos( v)) 

(cos( 27)) 

Vi ser at lengden på alminnelig sperre er 

4488 mm, og vi kan nå starte med å kutte 

til sperrene og bygge taket. Noen praktiske 

forhold kommer selvsagt med i betraktning. 

Sperrene skal for eksempel passe sammen 

på toppen, og derfor må kuttes på skrå i en 

bestemt vinkel, men det velger vi å utelate her. 

Til tross for at vi forenkler en god del i forhold 

til hva bygningsfolk kan tillate seg å gjøre, må 

vi gjøre en hel del beregninger bare for å kunne 

begynne å bygge et enkelt saltak. 

For valmtak er det noen nye momenter 

som kommer inn. Et valmtak har ikke bare 

alminnelig sperr, men også gratsperr, som går 

diagonalt fra hjørnet av huset til mønet. Hvis 

huset i tillegg har en ekstra fløy eller vinkel 

som vi ofte sier, må vi også bruke kilsperr til 

å binde sammen de to takflatene. Vi velger å 

ikke regne med noen ekstra fløy, men vi må 

uansett regne ut lengden på gratsperrene før vi 

kan starte byggingen. Sett ovenfra ser vi at det 

er 45° mellom gratsperr og kortsiden på huset. 

Takhøyden vet vi, så vi må først finne lengden 

fra hjørnet og inn til mønet i planet, eller det 

vi kan kalle for projiseringen av gratsperr (GS’) 

ned i planet. (GS’ betyr her GS-merket og har 

ingenting med derivasjon å gjøre.) 

L 

GS’ 

= = L ⋅ 

(cos( 45)) 

Så må vi finne vinkelen u mellom GS og planet, 

som vi kan regne ut ved å bruke tangens. 

TH 

tan( u) 

= 

( L ⋅ 2) 

TH 

u = arctan( ) = 19, 81° 

( L ⋅ 2) 

2 

Nå gjenstår bare å regne ut lengden på gratsperr 

(GS), som vi kan finne ved å bruke cosinus: 

( L ⋅ 2) 

GS = = 6012 

(cos( u)) 

Lengden på gratsperr blir derfor 6012 mm, hvis 

vi regner uten flere desimaler. I husbygging gir 

det ikke noen mening i å operere med mindre 

mål enn millimeter. 

Nå er det selvsagt ikke slik at bygningsfolk 

i praksis alltid må utføre alle disse utregningene 

før de kan begynne å kutte sperrer 

og bjelker. Ofte får de levert ferdigkuttede 

sperrer, slik at husbyggingen blir som å sette 

sammen et stort byggesett. Selv om alle sperrer 

og bjelker kommer ferdig oppkuttet må bygningsfolkene 

stadig gjøre en del beregninger 

selv, og noen ganger får de heller ikke ferdig 

oppkuttede materialer. Da må de beregne 

vinkler og lengder selv. Til denne jobben ville 

nok mange tømmermenn brukt den såkalte 

Lindefjeld-vinkelen. Vinkelen ble konstruert 

av Tollef Lindefjeld, og de første vinklene kom 

i produksjon på 1960-tallet. Lindefjeld hadde 

virket som tømmermann i USA tiåret før, og 

der hadde han blitt kjent med og brukt den 

tangenten 1/2005 35 

 

 

 

 

 

 

 

 

GS: gratsperr, TH: takhøyde, 

AS: alminnelig sperr, 2L: husbredde

Figur 4 

såkalte Stanley vinkelen. Tollef Lindefjeld 

forenklet denne vinkelen, men den viktigste 

forbedringen var at han gjorde den nøytral 

for alle mål. Vinkelen fungerer like godt om 

en måler i centimeter, tommer, eller liknende. 

Dette er blitt et populært hjelpemiddel som 

forenkler arbeidsoppgavene for alle håndverkere. 

Vinkelen er konstruert blant annet for 

å forenkle takbygging, men kan også brukes til 

flere andre formål. 

Vinkelen ser ved første øyekast ut som en 

vanlig snekkervinkel, men om vi ser litt nærmere 

etter er det vesentlige forskjeller. På den 

korte armen til vinkelen er det preget inn 

grader og tall (figur 4). Tallene er ordnet i tre 

kolonner. Gradtallene står i midten, og under 

hvert enkelt gradtall står stigningsforholdet. 

Dersom en tømmermann har en tegning 

der hellingsvinkelen ikke er oppgitt, kan 

han ganske enkelt regne ut stigningsforholdet 

mellom takhøyden og halve spennvidden. Deretter 

kan han finne dette forholdet på Lindefjeld-vinkelen. 

Hellingsvinkelen står nå rett 

over dette stigningsforholdet i den midterste 

kolonnen. Vinkelen angir også forholdstall for 

sperrenes lengde. Dersom taket har en hellingsvinkel 

på 26°, kan han ganske enkelt gå inn 

i tabellen på vinkelen og finne 26°. Tallet til 

venstre for dette gradtallet er 1,11. Dette multipliseres 

så med L, som er halve spennvidden, 

og angir lengden på alminnelig sperre. Tallet 

til høyre for gradtallet brukes på samme måte 

for å finne lengden på gratsperre og kilsperre. 

Dermed slipper byggfolkene å gå den tunge 

36 

veien om flere kompliserteregnestykker, 

og det eneste 

de trenger å gjøre 

er å lese av tabellen 

på Lindefjeld-vinkelen 

og utføre noen 

ganske enkle multiplikasjonsstykker. Vinkelen 

kan også brukes til å sjekke vinkler i eksisterende 

bygg, og den har også flere andre funksjonsmuligheter. 

I matematikkundervisningen kan vi trekke 

inn dette med konstruksjon av tak og hellingsvinkler 

når vi har om rettvinklete trekanter, 

Pytagoras-setningen, trigonometri, og vi har 

sett at forholdstall også kan komme inn. Vi 

kan også utforme småprosjekter om takkonstruksjon, 

hvor vi lar elevene forsøke å finne 

ut hvordan ulike tak skal konstrueres, hvordan 

de skal regne ut lengdene på de ulike sperrene, 

osv. Læreren kan presentere ulike hjelpemidler 

som byggfolk bruker, som for eksempel Lindefjeld-vinkelen. 

Han kan fortelle hvordan vinkelen 

virker, eller la elevene bruke litt tid på å 

forsøke å finne ut av dette selv. Etter at han har 

vist elevene hvordan vinkelen fungerer, kan 

elevene få i oppgave å finne ut hvordan tabellene 

på vinkelen kan regnes ut. Konstruksjon 

av tak kan presenteres ganske forenklet ved å 

gjenkjenne de geometriske formene og tegne 

disse, og det kan gjøres stadig mer komplisert, 

helt til en når det nivået av detaljer som bygningsfolk 

gjør bruk av. 

Figurene og eksemplene her er gjengitt fra 

Lindefjeld (1960). Mer informasjon om vinkelen 

finnes på www.lindefjeldvinkelen.no. 

Litteratur: 

Lindefjeld, T. (ca. 1960) Instruksjonbok for bruk av 

Lindefjeld Vinkelen 

1/2005 tangenten

Cato Tveit 

Restklasseregning med Lego 

En innledning 

Ligger det matematiske utfordringer for barn i 

det å bygge hus med legoklosser? 

Ja, vil muligens noen hevde, og de innlysende 

eksemplene er ofte: telling, geometri i 

form av visualisering, romforståelse og formforståelse, 

og gjerne også nødvendig kreativitet 

i matematiske forstand for å løse praktiske byggeproblemer. 

Alt litt avhengig av hvor gamle 

barna er. Dette er også gjerne ting man som 

pedagog ønsker å forsterke etter at huset er 

bygd. Fokus blir da på ting som: Hvor mange 

klosser trengte vi? Hvor stort er arealet av veggene? 

Volumet av huset? Og barnas bruk av 

begrep for å uttrykke seg utvetydig…. (se f. eks. 

Herbjørnsen [2] for beskrivelse av et prosjekt 

der bygging av hus med legoklosser inngår). 

Jeg stiller igjen spørsmålet, men litt reformulert: 

Er dette essensen av matematisk læring 

som vi kan trekke ut av husbygging med legoklosser? 

Jeg mener nei. I husbygging med legoklosser 

inngår det mye mer matematikk. Samtlige 

Cato Tveit er universitetslektor ved 

Universitetet i Stavanger, Institutt 

for allmennlærerutdanning og 

spesialpedagogikk, cato.tveit@uis.no 

Figur 1: Hus med tak i sveitserstil 

av de ovenfor nevnte momentene kan vi også 

finne ved bygging i andre materialer (se f. eks. 

Avdem [1]). I det følgende ønsker jeg å gå litt 

lenger inn i ’legomaterien’. Utgangspunktet 

mitt er ikke at lego er et godt redskap for å lære 

matematikk. Min planlagte konklusjon går mer 

i retning av at legobygging medfører utvikling 

av et grunnlag for god matematisk forståelse på 

flere områder. Følgelig blir hypotesen at barn 

som har gode og omfattende erfaringer med 

legobygging i ung alder, stiller med et fortrinn 

i matematikk i senere skolesammenheng. Min 

intensjon blir nå å forsøke å peke på hvorfor. 

Problemstilling 

For å gjøre ideene klare, trenger vi en konkret 

problemstilling som vi skal analysere. 

tangenten 1/2005 37

Figur 2: 2×2-klosse, 2×3-klosse, 2×4-klosse og 3×4-33°-klosse 

Oppgaven: 

– bygg et hus med fire vegger 

– taket skal ikke være for bratt, og huset 

skal ha vide takskjegg (sveitserstil) 

Her trengs det noen presiseringer, og innføring 

av noen definisjoner, slik at det blir mulig 

for utrente legobyggere å følge tankegangen 

videre. 

En enhet, i legoterminologi, tilsvarer en 

’knott’ på en legoklosse. Siden knottene er på 

oversiden av klossene, har vi her enheter for 

lengde og bredderetning på legobyggverket. 

Legoklosser finnes i ulike tykkelser. Høyden 

på alle klossene som omtales her 1 cm (dette 

kan gjerne brukes som definisjon på enhet i 

høyderetningen). Prototypen på en legoklosse 

anses gjerne å være 2×4-klossen. De øvrige 

klossene som omtales her vil være 2×2-klossen, 

2×3-klossen, og klosser til takbygging med 

utgangspunkt i 3×2-33° og 3×4-33°. 

Først, med fire vegger er det underforstått av 

vi snakker om et hus med rektangulær grunnfalte, 

dvs. grunnmuren får rektangulær form 

sett ovenfra. Ut fra tilgjengelige legoklosser er 

det her også underforstått at veggene har tykkelse 

2. 

Med tak i sveitserstil menes et ikke spesielt 

bratt tak, dvs bygd med utgangspunkt i 3×4- 

33°-klosser, der to enheter henger utfor langsideveggen 

av huset (takskjegget). Med langsidevegg 

menes den veggen som ikke har gavl. 

38 

Ideelt skulle et tak i sveitserstil også henge to 

eller flere enheter ut over endeveggen (veggen 

med gavl), men dette er ikke noe vesentlig krav 

for den videre utledningen. 

Barn og legobygging 

Legoklossebyggernes hovedproblem at det ikke 

er ubegrenset tilgang på klosser. (I resten av 

artikkelen er det underforstått at det ikke er 

ubegrenset tilgang på alle typer klosser). De 

sofistikerte legobyggerne spør da gjerne: er det 

nok klosser til prosjektet vårt? De mer konkretorienterte 

repliserer gjerne: la oss bygge…, så 

ser vi etter hvert. 

Et av de kraftigste pedagogiske momentene 

ved legobygging, er at slike avveiinger gjør at 

en gitt utfordring blir selvdifferensierende. De 

som tar en teoretisk utfordring kan resonnere 

i forkant, de som ikke motiveres like mye av 

teoretiske utfordringer kan gå i gang med å forsøke 

å løse den praktisk først. Det interessante 

her er at utfordringen som er gitt innledningsvis 

ikke lar seg løse uten litt strategisk tenking. 

Følgelig vil alle som ikke tenker ut en komplett 

løsningen i forkant før eller siden konfronteres 

med et problem. Da trengs det noen strategier 

for problemløsing. Oppgaven vår vil på dette 

punktet bli et konkret skoleeksempel på bruk 

av Pólyas strategi for problemløsning [3]. 

Når barn går i gang med et slikt byggeprosjekt, 

er det trolig noen klosser som blir 

1/2005 tangenten

Figur 3a: 1 symmetriakse. Figur 3b: 2 symmetriakser. 

Figur 3c: låsende lag. 

foretrukket å bygge med. Disse klossene blir 

gjerne brukt opp først, og da går man over til 

andre typer klosser. Klosser av typen 2×n, der 

n > 4, er store, og derfor greie å bygge med, så 

lenge de er tilgjengelig. Ellers er 2×4-klosser 

svært foretrukket. Klossen 2×3 faller noe krevende 

å bruke. Klossen 2×2 er ok, men ikke 

alene, da den gir problemer med å låse klossene 

fra forrige lag. Det å låse klossene fra forrige lag 

er essensielt for at huset skal bli stabilt. Dersom 

klossene ikke låses, får vi deler av veggene som 

høye tynne søyler. Dette problemet refereres 

også av Herbjørnsen [2]: «De som ikke fant ut 

av det, fikk en mengde løse søyler som de satte 

ved siden av hverandre.» 

Hvordan selve byggingen nå utarter seg, er 

selvsagt svært individuelt. Det er imidlertid 

et par strategier som er interessant å belyse. 

Videre er det et par problem som må løses for 

å faktisk kunne bygge det omtalte huset. I det 

følgende betraktes husbyggingsstrategiene rent 

matematisk, deretter kobles de til barns bygging, 

og barns erfaringsstrategier med bygging. 

Strategi: Speilingsbygging 

Speilingsbygging innebærer at hvert klosselag 

i den rektangulære grunnmuren har en 

(figur 3a) eller to (figur 3b) symmetrisakser 

med tanke på hvordan de enkelte klossene 

er plassert. Vi kan definere en byggestrategi 

som ’ekte’ dersom utelukkende en type klosse 

anvendes. For at klossene i neste lag skal låse 

forrige lag (se figur 3c), ser vi at ekte speilingsbygging 

bare kan utføres med klosser av type 

2×4. Dersom man skulle forsøke å benytte utelukkende 

klossen 2×3 ved speilingsbygging, vil 

det oppstå et behov for andre typer klosser for 

å justere i neste lag. 

Dette medfører at en vegg som er symmetrisk 

om en akse, med ekte speilingsbygging, 

har lengden 4f, der f er et naturlig tall (og f henviser 

til antall firerklosser). 

tangenten 1/2005 39

Figur 4a: rotasjonsbygging. Figur 4b: låsende lag 

Strategi: Rotasjonsbygging 

Rotasjonsbygging innebærer at klossenes plassering 

i den rektangulære grunnmuren skal ha 

en rotasjonssymmetri ved rotasjon 180° om et 

senter i grunnmuren (se figur 4a). For å skille 

rotasjonsbygging fra speilingsbygging, skal 

også klossene plasseres slik at dersom langveggen 

kortes inn slik at grunnmuren blir kvadratisk, 

skal vi også ha rotasjonssymmetri ved 

rotasjon 90° om et senter i grunnmuren. Dette 

medfører at alle klossene kan brukes til ekte 

rotasjonsbygging. Ved å sette klossene ’motsatt 

vei’ i neste lag (se figur 4b), vil vi låse klossene 

fra forrige lag (her ser vi imidlertid at bruk av 

40 

Figur 5 a–c 

utelukkende 2×2-klosser ikke låser ved rotasjonsbygging). 

Betrakter vi utelukkende 2×3-klossen vil 

veggenes lengde bli på formen 3t + 2, der t ∈ N 

1/2005 tangenten

(og t henviser til antall treerklosser). Betrakter 

vi utelukkende 2×4-klossen vil veggenes lengde 

bli på formen 4f + 2, der f ∈ N. 

Bygging av hus med sveitsertak 

Vi betrakter nå konsekvensene av kriteriene 

(definert tidligere) for hus med tak i sveitserstil. 

Med utgangspunkt i 3×4-33°-takklosser, 

gir dette at to av enhetene skal henge ut over 

langsideveggen, mens den siste enheten bygges 

oppå siste lag med klosser i veggen. Dette medfører 

at første lag med takklosser ’spiser’ to 

enheter av husets endevegg (se figur 5b). En 

takkloss i neste lag overlapper en enhet med 

forrige lag med takklosser, og spiser to nye 

enheter av endeveggen (se figur 5c). Følgelig, 

hvert påfølgende lag med takklosser forbruker 

4 enheter av endeveggen. For at siste lag med 

takklosser skal møtes i mønet, må endeveggens 

lengde kunne skrives på formen 4n + 2, 

der n ∈ N. 

Planlegging 

Dersom vi planlegger å bygge et hus med sveitsertak, 

med utgangspunkt i ekte speilingsbygging 

eller ekte rotasjonsbygging, ser vi at det er 

av interesse å betrakte de heltallige løsningene 

til følgende ligninger. 

Ekte speilingsbygging: 

1) 4f = 4n + 2 

rotasjonsbygging med bare 2×4-klosser: 

2) 4f + 2 = 4n + 2 

rotasjonsbygging med bare 2×3-klosser: 

3) 3t + 2 = 4n + 2 

Ligning 1) har ingen løsning. Ligning 2) og 3) 

har mange løsninger. Et optimalt utgangspunkt 

kan betraktes som å bygge et hus der det finnes 

en løsning til ligning 2) og 3) samtidig. Dette 

gir oss mulighet til å bruke ulike klosser, og 

fortsatt tenke ekte rotasjonsbygging. Essensen 

i problemet kan også formuleres som å finne 

heltallige løsninger til 4f = 3t. Vi har heltallige 

løsninger for hvert multippel av 3 stk 2×4klosser 

(eller 4 stk 2×3-klosser), dvs. endeveggens 

optimale lengde er på formen 12x + 2, der 

x ∈ N. 

Faktisk bygging 

Den mest primitive byggeteknikken omtalt 

ovenfor er speilingsbygging. Dersom barna 

har nok 2×4-klosser tilgjengelig, er det rimelig 

stor sannsynlighet for at de ikke-sofistikerte 

byggerne går i gang med 2×4 speilingsbygging. 

Disse barna erfarer problemer idet det er slutt 

på 2×4-klossene, eller idet de skal gjøre ferdig 

mønet på sveitserhustaket. Som utledet ovenfor, 

huset kan ikke få sveitsertak dersom man 

starter på denne måten. 

Utgangspunktet for å starte med denne 

type bygging er gode erfaringer med partall og 

partallsløsninger, altså vegglengder som har 2 

som faktor. Klossen 2×4 oppleves som en ’god’ 

klosse. En backup for dette utgangspunktet kan 

ofte være å sette to og to 2×3-klosser sammen 

(tilsvarer en 2×6-klosse). Her kjenner altså 

legobyggeren til prinsippet for minste felles 

multiplum til 2 og 3. Dette gir byggeklosselementene 

en felles faktor 2. Ulempen er at idet 

det er slutt på 2×4-klossene, må kompensasjonen 

til speilingsbygging med 2×3 bli bruk 

av 2×2-klosser, som ikke gir muligheten for 

skikkelig låsing. (En måte å låse med bruk av 

2×3- og 2×2-klosser er å kombinere to 2×3klosser, 

men ikke ved siden av hverandre. Her 

ligger det da til grunn et poeng med å stable på 

beina en rekke av oddetallskombinasjoner, dvs 

3 pluss et multiplum av 2, som igjen ’partallsrettes’ 

ved å legge til 3 til slutt. Noen avanserte 

tangenten 1/2005 41

legobyggere knekker den koden.) 

Eksempler på matematisk tenkning som 

ligger bak det å satse på speilingsstrategi kan 

være: gode erfaringer med praktisk bruk av 

speilingssymmetri, etablering av minste felles 

multiplum til 2 og 3 som partall og avansert 

generell behandling av tall med faktor 2, dvs. 

partall. 

Rotasjonsbyggeteknikken kan betegnes som 

noe mer sofistikert enn speilingsteknikken. 

I utgangspunktet åpner den for flere valg av 

vegglengder, samtidig som den åpner for strategier 

med bruk av ulike klosser. Den sofistikerte 

legobyggeren vil ha erfaringer med bygging 

av sveitsertak, og kan da forutsi hvilke mål 

grunnmuren bør ha. Vi vil her kunne observere 

to varianter: den legobyggeren som vet at 

kravet 4f + 2 til kortveggens lengde er nok, og 

den legobyggeren som ser at valget 12x + 2 til 

kortveggens lengde gir visse fordeler etter hvert 

som det minker på legoklossene. 

Legobyggeren som ser at rotasjonsbygging 

og 4f + 2 som vegglengde er nøkkelstrategier, 

har en del uformelle erfaringer med ulike typer 

symmetri, og videre, behersker ulike typer 

symmetri og restklasseregning. 

Legobyggeren som i tillegg ser at 12x + 2 

som valg av vegglengde er et strategisk lurt 

valg, har et særdeles godt forhold til minste 

felles multiplum for to tall. Problemet som 

først er formulert, deretter løst, kan formelt 

skrives på formen: 

42 

kortvegglengde ≡ 2 (mod mfm(3, 4)). 

Går vi her et trinn tilbake, og innser at de fleste 

erfarne legobyggerne i stor grad vil prøve seg 

fram, kan vi fortsatt reise et par spørsmål 

omkring hvilke tanker og konklusjoner disse 

barna gjør seg idet de finner hvilke valg som 

gjør det mulig å bygge huset. Barna som kan 

planlegge alle detaljene i forkant har utvilsomt 

en særs god forståelse av største felles faktor 

og minste felles multiplum. Barna som løser 

problemet ved å prøve seg fram med bygging, 

arbeider med disse problemstillingene på en 

konkret måte, og finner en løsning. De har 

altså utstrakt erfaring med å finne felles faktor 

og felles multipler, om enn på en mer konkret 

måte. 

Problem som ikke omtales grundig 

Utgangspunktet for mine utledninger er: hvilken 

matematikk er det de erfarne legobyggerne 

behandler, på en uformell måte? 

Legobygging i en skolesituasjon vil medføre 

en del problemer som jeg ikke peker på her. 

Mange elever vil trolig møte elementære 

byggeproblemer, grunnet noe svak erfaring 

med legobygging. Et eksempel på dette er problemene 

med lagvis bygging kontra det å bygge 

ferdig en og en vegg, og problemet med låsende 

byggeteknikk. Dette er to ulike vinklinger på 

samme problem. 

Andre aspekt kan være valg av andre strategier 

enn de jeg har omtalt. Et eksempel på det 

kan være å spare litt på de ’kjekke’ klossene, 

for å kunne bruke dem til å supplere med mot 

slutten. 

Trolig vil få barn bygge helt konsekvent 

etter de rene metodene som omtalt ovenfor. Å 

bygge slavisk etter dem vil trolig bli betraktet 

som noe kjedelig, da det medfører at alle klossene 

må sorteres først. Imidlertid vil erfarne 

legobyggere kjenne til flere av prinsippene, 

og bruke dem indirekte og delvis. Dette vil 

da innebære at de da nødvendigvis har en 

viss uformell forståelse av og erfaring med 

de omtalte matematiske begrepene, selv om 

disse ikke hele tiden kommer fram i rendyrket 

form. 

1/2005 tangenten

Didaktisk verdi? 

Min analyse var ment som påpekning av hvordan 

man kan anta at erfaringer innen legobygging 

har overføringsverdi til mer kjent formell 

matematikk. 

I skolesammenheng er det mulig å trekke 

linjer fra erfaringer med legobygging til formell 

matematikk, for de elevene som har denne 

erfaringen. 

En konsekvens her er også at dette belyser 

noen aspekt ved små barns legobygging som 

kan være interessante å forsterke. Variasjon av 

byggestrategier, som gir ulike erfaringer, er et 

essensielt moment. 

Litteratur 

[1] Avdem, M. S. og Ryen, S. J. (1999): Isslottet. 

DMMHs publikasonssserie nr. 3/1999. 

[2] Herbjørnsen, O. (2003): Lego og lavvo. Tangenten 

nr. 2/2003. Caspar Forlag AS. 

[3] Pólya, G. (1957): How to solve it : a new aspect 

of mathematical method – 2nd ed. Garden City, 

N.Y.: Doubleday 


Det er mi von at ei realisering i læreplanen 

av dei tre punkta nemnd over kan gje eit 

grunnlag for at lærar A og lærar B skal koma 

kvarandre i møte, og dra lasset saman. Eller 

sagt på ein annan måte, at den tradisjonelle 

formidlingspedagogikken skal smelta saman 

med den moderne aktivitetspedagogikken til 

noko nytt og gjevande for matematikkfaget. 

Målt på den måten at evalueringa av den neste 

læreplanen viser eit samsvar mellom plan og 

praksis, og at Noreg gjer det bra i nye versjonar 

av dei internasjonale undersøkinga PISA 

og TIMSS. 

Bøker 

[1] Jorde, D. og Bungum, B. (red.) (2003) Naturfagdidaktikk. 

Oslo:Gyldendal 

[2] Sjøberg, S. (2003). Fagdebatikk. Oslo: Gyldendal 

[3] Skovsmose, O. (1994) Towards a Philosophy of 

Critical Mathematics Education. London:Kluwer 

Academic Publishers 

Internett 

Brekke, Breiteig og Alseth (2003) Synteserapport. 

Evaluering av matematikken etter L97 

www.program.forskningsradet.no/reform97/ 

uploaded/nedlasting/brekke.doc 

tangenten 1/2005 43

Paal Bergh 

Bueabakus 

Forskjellen på denne bueabakusen og abakuser 

flest er ganske i øyenfallende. Mens andre 

abakuser nøyer seg med ti kuler på enerplass, 

tierplass og hundrerplass, har denne engelske 

utgaven av sorten hele 20 kuler på hver av plassene. 

Formålet med dette er å kunne visualisere 

hvordan tieroverganger fungerer. Tanken 

bak er ikke dum. Abakusen får greit frem hva 

som skjer når man legger sammen tall som blir 

mer enn ti. Enten det er på enerplass eller på 

tierplass. Ja, til og med på hundrerplass kan 

man fylle opp med 20 kuler, til tross for at det 

ikke er muligheter for å ’veksle om’ videre. 

Jeg prøvde ut abakusen i tredje og fjerde 

klasse i forbindelse med elevenes første møte 

med addisjon med tieroverganger. I første 

omgang benyttet jeg innretningen for en 

samlet klasse. De som satt nærmest så nok greit 

hva som foregikk. Verre var det nok for dem 

som satt lenger bak i klasserommet. Kulene på 

abakusen er ikke runde, men sylinderformet, 

med en 2–3 millimeter glipe mellom hver. De 

er dessuten ganske små. Det var derfor vanskelig 

for de som hadde litt avstand frem, å få et 

Paal Bergh er lærer ved Midttun skole i 

Bergen, paal.bergh@bergen.kommune.no 

44 

godt inntrykk av hvor mange kuler jeg hadde i 

bruk. Dette problemet er ikke verre enn at ved 

å omorganisere elevene litt er problemet løst. 

Videre er det jo enda bedre å la elevene få prøve 

abakusen selv. Enten alene eller i små grupper. 

Et større problem er layouten på selve abakusen. 

Tallene fra 1 til 20 er preget på fremsiden 

av abakusen på en slik måte at du i første møte 

med den hele tiden må kontrolltelle for å se om 

du har rett antall kuler. Det er strekene mellom 

hvert tall som i hvert fall gjorde meg usikker 

på om kulene skulle nå øvre eller nedre strek 

ved tallet. 

1/2005 tangenten

Figur 1 

Problemet er for så vidt lett å rette opp, men 

slik produktet fremstår i dag, vil dette etter 

min mening lett føre til misforståelser. Jeg 

savner samtidig en klar og tydelig strek ved 

titallet som viser elevene når man har kommet 

til ti og må veksle. For min del løste jeg dette 

ved bruk av en rød sprittusj, noe som resulterte 

i at elevene så bedre når man hadde kommet 

til ti. 

Jeg lot elevene i de tidligere nevnte klassene 

få prøve ut abakusen på egen hånd for å se 

hvordan de løste konkrete oppgaver. Jeg vekslet 

mellom nedskrevne og muntlige oppgaver hvor 

tierovergangene fremkom vekselvis ved enerleddet, 

tierleddet eller begge. De fleste elevene 

klarte dette uten store problemer. De vekslet 

om, og talte sammen. Det jeg så mange av dem 

stusset på, og som de svakeste elevene hadde 

problemer med, var å skifte fra de ti nederste 

kulene til de ti øverste når de skulle veksle 

om. Det var jo for dem de nederste ti kulene 

som utløste tierovergangen. De måtte derfor 

begynne å telle kuler fra toppen og nedover. 

De hadde heller ikke evnen til å dele opp tallet. 

Hadde de for eksempel tretten enere, ville det 

vært enklere å tenke at dette kunne deles opp 

i ti og tre, og la de tre nederste ligge igjen, og 

veksle om det som var over. 

Det er nok dette som gjør at produktet ikke 

lever helt opp til forventningene. Dette hadde 

sikkert vært mulig å konstruere noe lignende, 

hvor man kunne veksle om de nederste kulene 

for å visualisere fremgangsmåten ved tieroverganger 

bedre. Men det får bli en oppgave for 

ingeniørene. 

Det må også nevnes at abakusen har en 

bakside som gir mulighet for egne tilpasninger. 

Den er nemlig konstruert slik at to hvite 

utskiftbare pappskiver (figur 2) erstatter de 

mer eller mindre utydelige tallrekkene som 

dominerer forsiden. Anvendelsesområdene er 

sikkert mange. Hjelp til å visualisere sammenhengen 

mellom desimaltall og hele tall, og likeledes 

sammenhengen mellom brøk og hel- og 

sammensatte tall, er to bruksområder jeg har 

tenkt å prøve ut. 

Figur 2 

Totalt sett fungerer abakusen brukbart for de 

fleste elevene etter hvert som de venner seg til 

å se bort fra de forvirrende strekene i tallrekkene. 

De fleste vil heller ikke ha problemer 

med å se sammenhengen mellom de ti øverste 

kulene og de ti nederste. De vil også lett 

kunne telle opp det antall kuler de må ’veksle 


tangenten 1/2005 45

Kristin Hinna 

matemania – 

til lek og læring i matematikk 

’matemania’ (www.matemania.no) er et interaktivt 

læremiddel i matematikk utviklet av 

Caspar Forlag sammen med Mediesenteret ved 

Høgskolen i Bergen. Det er et todelt produkt; 

en del for ungdomsskolen og en del for mellom- 

Kristin Hinna er høgskolelektor i matematikk 

fagdidaktikk ved Høgskolen i Bergen, 

khi@hib.no 

46 

trinnet. Det er blitt gitt økonomisk støtte fra 

Læringssenteret for utvikling av dette produktet. 

Utforming av aktivitetene er det matematikklærere 

ved Høgskolen i Bergen/Avdeling 

for Lærerutdanning og Norsk Lærerakademi 

Lærerhøgskolen som i sin helhet står for. 

I denne artikkelen vil jeg se på den delen 

som er tiltenkt mellomtrinnet. matemania er 

uavhengig av andre læreverk, og det utnytter 

muligheten man har til interaktivitet på 

1/2005 tangenten

nettet. 

Aktivt undersøkende og samarbeidende 

elever kan gjøre det mulig å frigjøre lærere til 

faglig å følge opp enkeltelever eller grupper av 

elever. Dette kan også sees i sammenheng med 

at læremiddelet vil kunne være en positiv stimulans 

når det gjelder hjemmearbeid og samarbeid 

skole/hjem. 

Læremiddelet skal være differensierende i 

den forstand at problemstillinger og arbeidsmåter 

er tilrettelagt for å gi utfordringer på 

ulike nivåer. De mange veivalgene og åpne 

problemstillinger virker også differensierende. 

Samtidig som opplegget har til hensikt 

å utfordre elever til undersøkende virksomhet, 

er det også en målsetting at de utvikler 

matematiske ferdigheter. Elevers innsikt i egen 

kunnskapsutvikling søkes stimulert, bevisstgjøring 

omkring elevers valg er sentralt. 

Læremiddelet skal kunne brukes av hele 

klasser. Det skal også være et tilbud til enkeltelever 

eller elevgrupper, til ekstra interesserte 

elever og til elever som trenger å arbeide mer 

med faget. Det er også tenkt som er hjelpemiddel 

for lærere. Læremiddelet er tilgjengelig både 

på bokmål og nynorsk. Valget av målform gjør 

du før du begynner på de ulike aktivitetene. 

Læremiddelet er tilpasset L97, med fokus på 

et konstruktivistisk læringssyn. Man ønsker 

også å utvikle glede og nyfikenhet i forhold til 

matematikkfaget. 

Sitat fra evalueringen i en 6. klasse: «Aktivitetene 

i matemania er bra og engasjerende». 

Mange jenter betegner symmetriverkstedet 

som gøy. 

’matemania for mellomtrinnet’ inneholder 

per i dag 23 ulike aktiviteter hvor man 

kan utforske ulike matematiske begreper 

som målestokk, ulike tallsystem, statistikk og 

sannsynlighetsregning, algebra og geometri for 

tangenten 1/2005 47

å nevne noen. Man har mulighet til å utvide 

spektret av aktiviteter på et senere tidspunkt 

om det skulle være aktuelt. Klikker man på 

’hurtigmeny-ikonet’ får man fram hurtigmenyen 

som viser alle aktivitetene i emneområder 

som man gjenkjenner fra L97: Geometri, 

Hverdagsmatematikk, Tallære og Statistikk, 

sannsynlighet, strategi og spill. matemania er 

ikke altomfattende, men det favner allikevel 

mange av emnene som står i L97. 

Ved å vektlegge det visuelle og begrense den 

skrevne teksten vil det ikke by på store problemer 

å oversette læremiddelet slik at man også 

kan bruke det for språklige minoritetsgrupper. 

Nedenfor vil jeg vise et par av aktivitetene 

som man kan finne i matemania. Det kunne 

ha vært et hvilket som helst av de andre aktivitetene 

da alle aktivitetene har sine særegenheter. 

Frukthandleren: Her møter man forbipasserende 

som lar seg friste av de varene frukthand- 

48 

leren har for salg. Her må man legge på rett 

vekt på høyre side, og så frukt på venstre side 

til vekten er riktig. Når det er gjort skal det 

betales for varen. Her må man regne ut prisen 

for varen, og så gi igjen rett. 

Gir man galt beløp på vekslepenger får man 

en liten tilbakemelding på dette ved at feltet 

med vekslepengene ‘rister’ på seg. 

Klikker man på ikonet som markerer aktiviteten 

gir en egen meny. Her kan man få en 

liten forklaring dersom man er usikker på hva 

man skal gjøre, det ligger oppgaver til aktiviteten, 

litt informasjon om aktiviteten, en kalkulator 

og en hurtigmeny for å kunne gå til 

andre aktiviteter. I noen verksteder har du også 

et valg ’Vi lager’ der du kan få oppskrifter på 

hvordan aktiviteten kan lages i klasserommet 

uten datamaskin. Denne menyen finnes i alle 

verkstedene. 

Origami: Her kan man klikke på 10 ulike figurer. 

Så får man opp en liten animasjon som 

viser hvordan man kan brette denne figuren. 

1/2005 tangenten

Her kan det være hensiktsmessig å ha kvadratiske 

ark tilgjengelig. Dersom man synes det 

Når du brettet ut fuglen 

vil du se dette fine 

mønsteret. 

Hvilken symmetri har 

denne figuren? 

går for fort, kan man vise ett og ett bilde om 

gangen. 

Et eksempel på en oppgave fra ’fugl’ er gitt 

i rammen. 

Under ’informasjon’ vil du finne dette: 

«I disse verkstedene håper vi at du kan bli 

bedre kjent med: symmetrier, ulike geometriske 

figurer og vinkler. 

Det kan være lurt å lage figurene før du 

starter på oppgavene knyttet til dem. Så kan 

du brette ut igjen figurene. Da vil du se mønsteret 

som er utgangspunkt for oppgavene du 

skal løse.» Oppskriften som man kan skrive ut 

finner man under menyvalget «Vi lager». 

Eurobutikken: Her er du inne i en butikk. 

Noen priser er oppgitt i kr og noen i euro. Du 

får oppgitt hvor mye du kan handle for og hva 

kursen på euro er. Så er det om å gjøre å handle 

den varen som er billigst, for man ønsker jo å 

handle så mye som mulig. Velger du ’feil’ får 

du spørsmål om du vil prøve deg på nytt eller 

om du vil gå videre. Klarer man å velge den 

rimeligste varen gjennom hele handelen får 

man meldingen: «Gratulerer, du fant billigste 

vare hele tiden,» og dette blir også sett opp mot 

hvor mye du hadde å handle for. Skulle man 

komme i skade for å velge en dyrere vare, men 

allikevel holde seg under det beløpet man har 

til rådighet får man to valg: man kan prøve 

en gang til eller man kan gå videre. Er du så 

uheldig at du ikke har nok penger må du gjøre 

handelen om igjen. 

Det er to muligheter her, enten multipliserer 

man opp euro med kursen, eller så dividerer 

man den norske prisen med eurokursen. 

Målestokk: Her skal du møblere et tenkt soverom. 

Du møter på en liten tekst som forklarer 

i korte trekk at du skal lage en tegning av 

rommet ditt med møbler. I drop down-menyen 

kan man lese om aktiviteten. Først skal man 

skrive hvor høy man er og så definere lengden 

på siden i hver rute slik den skal være i virkeligheten. 

Vegger: For å tegne omrisset av rommet 

ditt, må du klikke et sted i rutenettet og dra 

en strek så langt som du vil ha rommet ditt. 

Dra videre og få en ny vegg. Du kan velge et 

enkelt rektangel eller et ’vinkelrom’ med flere 

enn fire vegger. For å kunne sette møbler helt 

inn til veggen, bør alle vinklene i rommet være 

90 grader. Når du har tegnet omrisset av hele 

rommet kan du sette inn dører og vinduer. 

Møblering: Nå er du klar til å møblere 

rommet. Velg blant møblene på høyre side 

av skjermen og dra disse inn i rommet. Her 

kan du rotere møblet ved å klikke i sentrum 

av det. Du kan dra i ’pilene’ slik at møblet får 

en lengde og bredde som passer målestokken 

i rommet. 

Pass på når du roterer eller drar i møblet! 

Dersom du under rotasjonen kommer utenfor 

veggen eller kolliderer med et møbel som står 

i nærheten, vil det ’forsvinne’ og du må hente 

møblet på nytt. Det er enkelte ting du kan 

plassere over/under hverandre. Teppet kan for 

eksempel ligge under et bord. En krakk kan stå 

delvis under et bord eller en pult. Men sengen 

kan selvsagt ikke være under kommoden. 

Sengen: Når du mener du har laget et soverom 

det går an for deg å bo i (husk at sengen 

må være i rommet), klikker du på ’ferdig’- 

tangenten 1/2005 49

knappen. Da vil en person i din størrelse forminsket 

i målestokken du har valgt, sveve inn 

i rommet og legge seg i senga. Dersom senga 

er i rimelig bra målestokk, får du en ’god natt’melding. 

Etterarbeid: Skriv gjerne ut soverommet 

ditt og lag regnestykker. Kan en medelev for 

eksempel finne ut hvor lang og brei pulten din 

ville vært i virkeligheten? 

Styrker ved læremiddelet 

En av styrkene ved dette læremiddelet er at det 

ligger på nettet. Man slipper å installere programmet 

før bruk, og all informasjon er lett 

tilgjengelig for elever, lærere og også foreldre. 

Det er stort nettsted, gjennomført med høy 

kvalitet på de enkelte verkstedene 

Av de 23 aktivitetene er det tre som ikke har 

egen oppgavemodus. Dette fordi oppgavene er 

integrert i selve aktiviteten. Slik sett får man 

også en større variasjon i aktivitetene. 

Klikker man på ’Om matemania’ vil fag- 

50 

lærer finne mer stoff som kan være relevant 

for bruken av læremiddelet. Det er et ønske at 

matemania skal være så lett tilgjengelig som 

mulig. 


om’. For de svake elevene derimot, vil denne 

abakusen ha for mange forvirrende elementer 

som vil ligge som et hinder for den gode visualiseringen 

produktet egentlig skulle bidra til. 

Så må man i neste omgang spørre seg hvem 

det er som har størst behov for en abakus som 

illustrerer tieroverganger på denne måten. Er 

det ikke først og fremst de elevene som sliter 

med matematikkens abstrakte tenking? 

Bueabakusen forhandles av KPT Naturfag, 

www.kptnaturfag.no. 

1/2005 tangenten

Henrik Kirkegaard 

Søppelmatematikk 

Zuzuu – zuzuuzuzuuuuu. Bank-dink-donk. 

Det var nesten ikke til å få ørenslyd i 5. klasse. 

Halvparten av elevene mine spilte luftgitar og 

den andre halvpart trommet på diverse pulter 

og skap. Vi hadde vært på rikskonsert i gymsalen 

og hørt på ’søppelmusikk’ eller trash-grassmusic. 

En forrykende konsert. Årets beste 

ifølge elevene. Det var selvfølgelig bare å gripe 

sjansen og elevenes motivasjon. Vi lagde i fellesskap 

en uke med ’søppelfag’ på timeplanen. 

Fagene var de vanlige fag på ukeplanen; men 

innholdet var annerledes. Jeg skal her fortelle 

mer om det vi holdt på med i matematikktimene. 

Vi diskuterte litt frem og tilbake. Det skulle 

være noe som var moro, noe som ikke nødvendigvis 

skulle være nyttig, noe som kunne 

’brukes og kastes’ og noe som ikke var ordentlig 

matematikk (men akkurat det klarte vi 

ikke). 

Vi begynte med å lage skolens lengste plussoppgave. 

Det var ikke noe særlig nyttig (det 

var til gjengjeld en glimrende aktivitet i min 

3. klasse); men det var veldig moro og elevene 

koste seg. Vi forsøkte også å gjøre det samme 

med ganging; men det ble søppel. Hver elev 

fikk en remse av et ruteark. Det var 5 ruter 

høyt og et ’kladdehefte’ langt. Øverste rad 

med ruter er tom, neste rad skrev vi tilfeldige 

tall, likeså på tredje rad, da kom det en strek 

mellom tredje og fjerde rad, fjerde rad står 

fasit og femte rad er tom. I første kolonne må 

summen ikke bli høyere enn 9, da slipper du 

problemet med 10-er overgang til remsen før. 

Deretter taper du sammen remse på remse. 

Neste søppelprosjekt var tallrekker. Vi laget 

først et ’hundrekart’, et kvadrat med tallene fra 

1–100. Vi farget oddetallene og fikk et mønster. 

Så farget vi 3-gangen på et nytt ’hundrekart’, 

deretter 5-gangen osv. Vi lagde tallrekker som 

1–2–4–7–11–16, 1–4–7–5–8–11–9 og mange 

andre. Noen elever fant på å skrive tallene i 

spiralmønster. De begynte med 1 i midten 

og skrev tallene i spiral utover. Da farget de 

igjen ulike tallrekker. Noen rekker ble flotte 

og symmetriske, noen ble flotte og kaotiske 

og noen ble overraskende. Prøv for eksempel 

å farge kvadrattallene i et spiralmønstret 

hundrekart. Vi forsøkte også å skrive tallene 

på andre måter; men det ble litt for kaotisk og 

veldig søplete. 

Vi hadde spillet PLUMP på ark med sekskantruter. 

Om PLUMP kan du lese i heftet om 

skolenes matematikkdag 2005 (og tusen takk 

til ’forfatterne’ for det store arbeid som ligger 

bak dette heftet). Elevene spurte om de kunne 

prøve å skrive tallene fra 1–100 på et slikt sekskantruteark. 

Jeg sprang opp til kopimaskinen 

tangenten 1/2005 51

og kopierte sektkantruteark til alle. Da jeg nå 

var ved kopimaskinen kopierte jeg også trekantruteark. 

Ned igjen i klassen, hvor elevene 

knapt kunne vente med å komme i gang – ja, 

da, de fleste kunne knapt vente med å komme 

i gang. Det ble til flere timer med farging av 

ruteark/mønsterark i ulike tallrekker. Noen ark 

ble veldig flotte; men den tilhørende tallrekke 

ble ganske spesiell og ikke helt forutsigbar. 

Jeg overveide på et tidspunkt å vise klassen 

Pascals trekant, for der finnes det ganske 

mange fine mønstre; men det får vi og klassen 

ta en annen gang. 

Vi fant også på flere ’søppelspill’. Spill det 

ikke gikk an å gjennomføre. Kast en terning 

og pluss antall øyne med de kast du etter hvert 

får. Hvem kommer først til en million? Den 

idé utviklet seg til et spill, hvor du hele tiden 

ganger med det antall øyne du får. Hvem 

kommer først til en million? Dette spill går an 

å gjennomføre, men det ble et søppelspill, for 

det var for mye hardt arbeid og for lite spill 

mente elevene. 

Alt i alt ble det en ganske interessant uke. 

Elevene fikk utforsket, eksperimentert og lært 

mye mer enn de og jeg i utgangspunktet hadde 

trodd. De fikk også lov til å gjøre ganske tåpe- 

52 

lige ting. Lage papirfly som ikke flyr og sånn. 

Det var ikke så farlig, så lenge det ikke tok 

overhånd. Det mest utrolige ved denne uke var 

den iver og glede elevene viste. Tenk hvilken 

skaperkraft våre elever har, en skaperkraft og 

fantasi vi i vår iver etter å proppe lærdom inn 

i hodet på dem ved å sitte stille og lytte, pugge 

og kunne utenat, får dem til å glemme i løpet 

av deres skoletid. 

Jeg innrømmer at det ble mye papir (gjenbrukspapir) 

og tenkte med skrekk på foreldrene 

i min 5. klasse, som fikk fortalt de utroligste 

historier fra disse skoledager. Men det var det 

verdt og elevene syntes at jeg var ganske kuul, 

min høye alder tatt i betraktning. 

1/2005 tangenten

Anders Høyer Berg 

Abels nøtter. 333 matematiske oppgaver. 

Cappelen (i samarbeid med Dagbladet) 2004 

ISBN 82-02-22525-6 

187 sider 

År 2002 var det 200 år sidan Niels Henrik Abel 

vart født. Avisa vi elskar å hate innimellom, men 

som vi likevel kjøper, Dagbladet, markerte året 

med daglige småoppgåver i ’Abels hjørne’. No 

har den ansvarlige for hjørnet, Anders Høyer 

Berg, samla ein del av desse smånøttene i ei 

bok. 

Det fine med denne oppgåvesamlinga er at 

dei fleste oppgåvene er praktiske eller har ein 

konkret innfallsvinkel som alle kan forstå. Dei 

enklaste kan løysast av elevar i ungdomsskolen. 

Dei vanskeligaste krev bruk av papir og blyant 

og kanskje litt matematisk erfaring på vidaregåande 

skoles nivå. Dessutan trur eg det er ein 

fordel med sunt bondevett. 

Problema har forfattaren gruppert i logisk 

sammenhengande bolkar med stigande vanskegrad: 

Lette nøtter frå dagliglivet. Kan du telle? 

Kjøp og salg. Geometriske gløtt. Triks med tall. 

Sannsynsrekning. Og i siste bolken, Abels harde 

nøtter, kjem dei problema kor ein må bryne 

hjernevindingane skikkelig. Men det høyrer òg 

med i ei slik bok. 

Dessutan er det med løysingsforslag. Ulikt 

fasitar i vanlige matematikkbøker er det her 

ikkje fasitfeil. Eg fann ingen direkte feil. Men det 

går sjølvsagt an å tolke oppgåver forskjellig. Det 

kan skyldast knapp oppgåvetekst med litt lågt 

presisjonsnivå. Og da blir det kranglingsmonn 

på løysingsforslaget. Som for eksempel oppgåve 

180: «To flaggstenger står 12 meter fra hverandre. 

Den ene er 10 meter høy og den andre 15 

meter høy. Hvor langt (i meter) er det mellom 

toppene av flaggstengene?» Her står det ikkje at 

bakken er meint å vere horisontal, men løysingsforslaget 

med Pytagoras brukt på den rettvinkla 

topptrekanten krev jo dette, slik at svaret blir 13 

m. Men i ei slik bok er det viktigare at problemet 

er kort og tydelig formulert heller enn at innfløkte 

startvilkår er nøye presisert. 

Abel-biograf Arild Stubhaug har laga ei kort 

innleiing om Abel, ei innleiing som bør friste 

lesarane til å hoppe over til den store Abel-biografien 

til Stubhaug frå 1996: Et foranskutt lyn 

– om Niels Henrik Abel og hans samtid. 

Denne boka er eit fint supplement til den 

løpande undervisninga og oppgaverekninga i 

den skolematematiske kvardagen. 

Åke Jünge, matematikklærar ved Levanger vidaregåande 

skole 

tangenten 1/2005 53

54 

Nasjonalt senter for 

matematikk i opplæringen 

Matematisk sirkus 

på ICME-10 

May Renate Settemsdal 

4.–11. juli ble ICME- 

10 arrangert i København. 

ICME står for 

International Congress 

on Mathematical 

Education, og konferansen 

blir arrangert 

hvert fjerde år. Konferansen 

har et rikt, 

faglig innhold, blant annet med forelesninger, 

diskusjonsgrupper og plenum. For første gang 

i ICMEs historie ble det arrangert et ’Mathematical 

Circus’. Ansvarlige for sirkuset var 

Vagn Lundsgaard Hansen, Danmarks Tekniske 

Universitet, og Ingvill Merete Stedøy, NSMO. 

Lærere fra hele verden ble invitert til å komme 

med et ’sirkusnummer’, og publikum var deltakeres 

barn og lokale danske barn. 

Det ’Matematiske sirkuset’ foregikk i tre 

store telt som ble satt opp på campus. Ideen var 

å trekke lokalbefolkningen, lærere, deltakere 

og deres familier til kreativ eksperimentering 

med matematiske aktiviteter. Ved å ha sirkuset 

Realfagbygget A4, NTNU 

7491 Trondheim 

Telefon: +47 73 55 11 42 

Faks: +47 73 55 11 40 

merete.lysberg@matematikksenteret.no 

på campus kunne deltakerne på konferansen 

stikke innom mellom de ulike forelesningene. 

Lærere og matematikere fra hele verden ble 

invitert til å bidra med ulike matematiske aktiviteter 

på sirkuset. Kravet til aktivitetene var 

at de måtte være utprøvd på elever i en klasse 

eller på matematiske utstillinger der målet er å 

engasjere deltakerne i aktiv deltakelse. 

Fra Norge bidro Kurt Klungland med 

’Cola-matematikk’, Mona Røsseland og Tone 

Burlien med ’Matematikk i juledekorasjoner’, 

Gerd Nilsen, Kristin Melgårdsbakken og 

Vegard Engstrøm med ’Spill og puslerier’, Ola 

Bolstad med ’Karveskurd og geometri’, Guri 

Nortvedt med ’Spill og puslerier’, Claire Berg 

med ’Undersøkende aktiviteter med Cuisenairestaver’ 

og Henrik Kirkegaard med ’Geometriske 

mønster på drager’ i tillegg til Toril 

Sivertsen og undertegnede. Toril og jeg hadde 

med tre ulike problemløsningsoppgaver. Disse 

tre var ’Froskehopp’, ’Uranstaver’ og noen fyrstikkoppgaver 

som presenteres nedenfor. 

De ulike problemløsningsoppgavene 

’Froskehopp’ er slik at to froskefamilier sitter 

på hvert sitt vannliljeblad.(Se figur nedenfor) 

Den ene familien er mørkegrønn, og den andre 

lysegrønn. De to familiene skal bytte plass, 

Nasjonalt senter for matematikk i opplæringen

og dette må skje etter gitte regler. De mørkegrønne 

kan bare fl yttes mot høyre, og de lysegrønne 

bare mot venstre. I tillegg er det slik at 

en frosk kan fl ytte frem til et ledig blad foran 

seg, eller han må hoppe over en annen frosk. Et 

fl ytt regnes som ett trekk, og det er om å gjøre 

å få de to familiene til å bytte plass på færrest 

mulig trekk. Se også artikkelen ’Froskehopp’ 

av Ingvild M Holden i Tangenten 4/2003. 

’Uranstavene’ er som et magisk kvadrat. 

Staver med tall på skal settes ned i en beholder, 

og summen av tallene langs en rad, en 

rekke eller en diagonal skal bli det samme. 

Hvis denne summen overskrider 30 kommer 

beholderen til å eksplodere! 

Fyrstikkoppgavene gikk ut på å fl ytte færrest 

mulig pinner fra en grunnfi gur, og lage 

en fi gur med andre egenskaper. Vi hadde med 

fl ere ulike mønster slik at det var mulig å bryne 

seg på fl ere oppgaver i samme sjanger. 

Mye besøk på Sirkuset 

Toril og jeg hadde samme aktivitetene på 3 

ulike dager. Vi hadde mye besøk av ivrige deltakere. 

Unge og gamle fra ulike land satte seg 

ned og jobba målbevisst med de ulike oppgavene. 

De nekta å gi seg, og mange gikk ikke før 

de hadde fått det til. Noen av dem som gav opp 

kom tilbake senere og ville prøve mer etter å ha 

fått tenkt seg litt om. Dette skulle de klare! 

Jakten på et mønster 

Aktiviteten med ’froskehoppene’ er en typisk 

oppgave hvor man må prøve seg frem, og 

forsøke å fi nne systemet. Det kan være greit 

å starte med to frosker på hver side, og systematisk 

gå gjennom hvilke valgmuligheter man 

har før hvert fl ytt. Prinsippet er det samme selv 

om det tas med fl ere frosker på hver side. 

Spesielt morsomt var det å se ei norsk jente 

som prøvde på aktiviteten. Hun starta med to 

frosker på hver side, og 

etter litt prøving og feiling 

fi kk hun det til. Så 

utvidet hun det til 3 frosker 

på hver side, og da ble 

det tydeligvis verre. Hun 

satt og strevde lenge, men 

nekta å gi opp. Plutselig gikk det opp et lys for 

henne, og hun sa høyt og tydelig: «Å, nå vet 

jeg det! Jeg må huske å ta med!» Flere som satt 

rundt henne stussa på hva hun mente, men 

skjønte hun hadde gjort en oppdagelse. Med 

største selvfølge fl ytta hun slik at de to froskefamiliene 

på 3 bytta plass på færrest mulig 

trekk. Hun hadde funnet mønsteret! Nå var 

det veldig morsomt å se at hun videreutvikla 

oppgaven helt på egenhånd. For henne var 

det ikke nok å gjøre det med 4 forsker på hver 

side, slik oppgaven var gitt. Hun ville ha en 

ekstra utfordring, og slo sammen to spillbrett 

slik at hun fi kk 8 frosker på hver side. Lett som 

bare det fl ytta hun alle froskene helt korrekt, 

og kom frem til det minste antall trekk som 

måtte gjøres. 

Denne jenta var på mange måter en 

’drømme elev’. Hun jobba konsentrert og systematisk 

med problemet, og kom frem til riktig 

svar gjennom prøving og feiling. I tillegg hadde 

Nasjonalt senter for matematikk i opplæringen 55

56 

utforskinga gjort henne 

nysgjerrig slik at hun ville 

videreutvikle oppgaven 

selv. Det er jo nettopp på 

denne måten vi ønsker at 

elever skal lære matematikk! 

Ved å erfare ulike innfallsvinkler til faget, bli 

utfordret på oppgaver der de må tenke kreativt 

og arbeide med nye problemstillinger, vil alle 

elever få en bredere matematisk kompetanse, 

uansett hvilke forutsetninger de har. Denne 

treningen kommer til nytte både i dagliglivets 

situasjoner, i anvendelser av matematikk 

i andre fag, og ved eventuelle videre studier i 

matematikk. 

Det er moro med matte på mattesirkus! 

KappAbel- 

konkurransen – 

Nordisk fi nale 2004 

Den første virkelige nordiske fi nalen i Kapp- 

Abel-konkurransen ble arrangert under ICME- 

10 (se foran). KappAbel-konkurransen er en 

matematikkonkurranse for skoleklasser på 9. 

trinn, og har etter hvert blitt godt kjent i Norge 

(Se www.KappAbel.com). Fra og med forrige 

skoleår var alle de fem nordiske landene med 

i KappAbel, og vinnerne fra hvert land møttes 

til nordisk fi nale. 

Tjue forventningsfulle ungdommer møttes 

til dyst to kvelder på rad. Første kvelden var 

det presentasjon av klassens prosjektarbeid, 

som denne gangen skulle handle om matematikk 

og musikk. Alle lagene hadde presentert 

prosjektene sine i de nasjonale fi nalene, men 

denne gangen skulle alt foregå på engelsk. Prosjektkonkurransen 

var en egen del av fi nalen, 

uavhengig av oppgavedelen. Det skulle kåres en 

vinner av prosjektkonkurransen og en vinner 

av oppgavekonkurransen. 

Etter prosjektpresentasjonen fi kk alle lagene 

premier, og prosjektene deres ble stilt ut så alle 

deltakerne på ICME-10 kunne se dem. 

Kvelden etter prosjektpresentasjonen var 

det oppgavefi nale. Begge dager var det ca. 200 


publikummere fra hele verden. Alt foregikk 

på engelsk, og det var moro å se hvordan alle 

lagene klarte dette på en utmerket måte. Lagene 

skulle løse åtte oppgaver, hver på 5 minutter. 

Etter hver oppgave fi kk lagene poeng, så alle 

kunne følge med hvem som ledet. Etter at 

alle oppgavene var besvart, måtte vi bruke en 

ekstraoppgave for å kåre en vinner. Det danske 

laget vant både prosjektkonkurransen og oppgavekonkurransen. 

Skikkelig hjemmeseier. 

Det fi nske laget brukte ganske avansert matematikk. 


58 

Novemberkonferansen: 

Vurdering i 

matematikk 

– Hvorfor og hvordan? 

Hvert år i november arrangerer senteret en 

matematikk-relatert konferanse ved NTNU 

i Trondheim. Tittelen i 2004 var: «Vurdering 

i matematikk – Hvorfor og hvordan? Fra 

småskole til voksenopplæring». I Norge har 

det i den senere tid vært mye fokus på ulike 

evalueringsformer i matematikkopplæringen. 

Avgangseksamen for grunnskolen har 

gjennomgått store forandringer. Det er gjort 

eksperimenter med alternative evalueringsformer 

som mappevurdering, gruppeeksamener, 

eksamen med forberedelsestid og andre. 

Lærerne er med rette opptatt av at andre sider 

ved elevenes matematikkompetanse enn det de 

får vist på eksamener skal vurderes og verdsettes. 

Norge har nettopp innført nasjonale prøver 

i matematikk, mens de i Sverige har hatt slike 

prøver lenge. Også i voksenopplæringen er det 

ulike former for vurdering, gjerne i forhold til 

deltakernes realkompetanse. 

Dette var utgangspunktet for årets konferanse. 

Konferansen hadde som mål å få presentert 

mange ulike innfallsvinkler til vurdering, 

og i den forbindelse var det viktig at vi så ut 

over våre egne landegrenser. Et annet mål for 

konferansen var derfor å etablere et enda sterkere 

nordisk samarbeid og felleskap med våre 

nordiske kollegaer. 

Konferansen hadde en myk start lørdag, 

med hyggelig sosialt samvær med gamle venner 

og nye bekjente på Lian Herregård. Søndag var 

det matematiske utfl ukter i og rundt Trondheim, 

med matematisk rebusløp i sentrum som 

et av høydepunktene. Seminaret, «Grunnleggende 

voksenundervisning i matematikk, 

til glede og styrke?» var også lagt til søndag, 

der en la fokus på hvordan en kan organisere 

grunnleggende voksenundervisning i matematikk, 

slik at de studerende får glede av den, og 

ikke minst styrke deres verdighet og identitetsfølelse. 

Litt regn og vind stopper ikke matematikkentusiasmen 

til deltakerne. 

Pleumsforedragene 

Svein H. Torkildsen, lærer ved Samfunnets skole 

i Kristiansand, holdt et glødende åpningsforedrag 

der han stilte spørsmål om nasjonale og 

internasjonale prøver er drivkraft eller bremsekloss 

for lærerne. Han etterlyste også et nærmere 

samarbeid mellom de ulike aktørene i 

matematikkopplæringen og den eksterne vurderingen, 

alt fra lærebokforfattere, didaktikere, 

planmakere og til de som lager eksamensoppgavene 

og de nasjonale prøvene. Videre understreket 

han betydningen av den kunnskap og 

ferdighet som elevene har, men som vanskelig 

lar seg måle i ulike skriftlige tester. 


Ingvill M. Stedøy gir Svein H. Torkildsen ei fi n bok om 

Abel som takk for fl ott foredrag! 

Ole Bjørkquist, professor ved Åbo Akademis 

ped.fakultet i Vasa, Finland, tok opp problemene 

som kan oppstå når det kommer reformer 

i matematikkundervisningen, uten at vurderingsmetodene 

endrer seg. Han mente at det 

kan bli et så stort misforhold mellom de nye 

reformene og den eksisterende vurderningen, 

at det kan føre til at de ønskede effektene av 

undervisningen uteblir. 

Svein Kvalø, seniorrådgiver på VOX, nasjonalt 

senter for voksnes læring i arbeidslivet, berettet 

om et prosjekt i praktisk regning for kjøkkenmedarbeidere 

på Ullevål universitetssykehus. 

Han fortalte hvordan det er mulig å avdekke 

arbeidstakeres uformelle kompetanse før en 

setter i gang et kompetansehevende tiltak i 

en bedrift. Et av prosjektets mål hadde vært å 

bevisstgjøre de ansatte på sløsing av råvarer, og 

gjennom praktisk regning knyttet til arbeidstakernes 

daglige arbeid, fi kk de større innsikt 

og forståelse for problemstillingen. 

Torulf Palm og Jesper Boesen, Matematiska 

institutionen, Umeå universitet, viste interessante 

resultatet fra en analyse av svenske 

gymnas prøver i matematikk. De stilte spørsmål 

om hvilke matematiske resonnement som 

ble verdsatt i skolematematikken. Deres studier 

indikerte at det var avgjørende 

for elevene å fi nne 

prosedyrer for å kopiere 

løsningsmåter fra læreboka, 

i stedet for å forsøke 

å konstruere sine egne løsningsresonnement.Studiene 

viste også at oppgavetypene i prøvene var 

lagt opp slik at en reproduksjon av rutinemessige 

oppgaver gav uttelling på karakteren. 

Lisser Rye Ejersbo, doktorggradsstudent på 

Learning Lab, Danmark, snakket om sin erfaring 

om hvordan muntlige prøver i matematikk 

fungerer i Danmark. Den muntlige prøven 

i matematikk er en del av den avsluttende eksamen 

etter endt grunnskole i Danmark. Det er 

en totimers gruppeprøve, som tar utgangspunkt 

i en praktisk problemstilling. Elevene 

bedømmes individuelt med en karakter, som 

blir gitt på bakgrunn av resultater og kommunikasjon. 

Mellom plenumsforedragene var det ulike 

parallellseksjoner, der deltakerne til enhver tid 

kunne velge mellom fi re eller fem forskjellige 

foredrag. Det var mange stemmer som kom til 

ordet gjennom disse dagene i november. Det 

var stemmer som var kritiske til ulike typer 

vurdering, blant annet til de nye nasjonale prøvene 

i Norge. Det var stemmer som argumenterte 

for hvorfor nasjonale prøver er nødvendig 

og hvordan de kan bli best mulig. Vi føler at 

konferansen gav et godt bilde av det som rører 

seg ikke bare i Norge, men også i våre naboland 

når det gjelder vurdering i matematikk. 

For dere som har lyst til å lese mer om de 

ulike foredragene, viser vi til nettsiden til 

Senteret, www.matematikksenteret.no, under 

’Novemberkonferansen’. 


Kengurukonkurransen 

2005 

Første gang i Norge! 

Våren 2005 arrangeres Kenguru-konkurransen 

for første gang i Norge. Kengurukonkurransen 

vil i Norge bli et tilbud til elever i 4. – 7. klasse 

i grunnskolen. 4. og 5. klassinger konkurrerer 

i klassen Ecolier, mens 6. og 7. klassinger konkurrerer 

i klassen Benjamin. 

Kengurukonkurransen startet i Australia 

for over 20 år siden. Den kom til Europa i 1991 

og siden bl.a. til Sverige i 1999. I 2003 deltok ca. 

3 millioner elever fra 35 land! 

I år får norske elever anledning til å delta 

i denne morsomme matematikkonkurransen. 

Konkurransen fi nner sted 17. mars. Skoler 

kan gjennomføre konkurransen senere på året 

dersom det passer bedre, men de som ønsker å 

delta i selve konkurransen må ha sendt inn sine 

resultater innen 6. april. Registreringsskjema 

med retningslinjer kan fylles på nettet eller 

sendes inn pr. post. 

Elevene får utdelt et oppgavesett med svaralternativer 

som de løser individuelt i løpet av 75 

min. Oppgavene er inndelt i tre grupper; tre-, 

fi re-, og fempoengsoppgaver. Til hver oppgave 

er det fem svaralternativer der ett av dem er 

riktig. Svarene kan føres rett inn på svararket, 

eventuellt ringes rundt. 

60 

Eksempler på oppgaver 

1. Hvor mange gram veier kenguruen? 

A 6g B 7g C 9g D 10g E 15g 

2. Du har to like deler: 

Figurene kan roteres med eller mot klokka, 

men kan ikke bli snudd 1 på. Hvilke av disse 

fi gurene er da umulig å sette sammen? 

Dere fi nner linker til de svenske oppgavesettene 

fra de siste årene på nettsiden 

http://129.16.132.5/index.php?name=kangurustart. 

Sammen med årets oppgaver følger forslag 

til løsninger og hvordan man kan jobbe videre 

med oppgavene i etterkant av konkurransen. 

Smakebiter fi nnes på matematikksenterets 

hjemmesider. 

Må alle på trinnet delta? 

Dette er ikke noe krav fra vår side, men det er 

ønskelig at alle elever skal få muligheten til å 

prøve seg. Det må understrekes at dette ikke er 


en vanlig matteprøve! Oppgavene er ikke valgt 

ut i fra hva elever i denne alderen skal eller bør 

kunne. Oppgaveformen er noe annerledes enn 

det vi forbinder med tradisjonelle matteprøver. 

Faktisk viser erfaringer fra andre land at elever 

som i utgangspunktet har et anstrengt forhold 

til faget, ofte lykkes. 

Det er viktig at deltakerne gir oss tilbakemelding 

og sender inn resultatene fra konkurransen. 

Når oppgaver skal plukkes ut, gjøres 

det bl.a. på bakgrunn av tidligere års erfaringer. 

Resultatene fra skolene gir oss en god pekepinn 

på vanskelighetsgraden på årets konkurranse, 

slik at vi, sammen med andre deltakerland, 

kan justere til neste år. 

Premiering 

De 5 beste deltakerne i hver konkurranseklasse 

får premie. I tillegg trekkes det 5 gruppepremier 

blant alle registreringsskjemaene som 

sendes inn. 

På internett vil det ligge kopieringsoriginaler 

til deltakerdiplom. Vi håper at skolene 

markerer konkurransen og gjør stas på alle 

som deltar og på de elevene som oppnår best 

poengsum. I Sverige blir mange skoler sponset 

med premier av det lokale næringsliv. 

For ytterligere info om konkurransen og 

påmelding se våre nettsider: www.matematikksenteret.no 

under ’Hva skjer?’ 

Note 

1 ’Snudd’ her i betydningen ’speilet’ eller ’lagt på 

magen’. 


LAMIS 

Landslaget for matematikk i skolen 

v/Randi Håpnes (sekretær) 

Nasjonalt senter for matematikk i opplæringen 

Realfagsbygget NTNU 

Høgskoleringen 5 

7491 Trondheim 

lamis@matematikksenteret.no · www.lamis.no 

Postgiro: 7878 0500882 Organisasjonsnr: 980 401 103 

Det overordnede målet for 

Landslaget for matematikk i 

skolen er å heve kvaliteten på 

matematikkundervisningen i 

grunnskolen, den videregå- 

ende skole og på universitet/ 

høyskole. 

62 

Landslaget skal stimulere til 

kontakt og samarbeid mellom 

lærere på ulike utdanningsnivåer 

og mellom lærere og andre som 

er opptatt av matematikk. 

Styret for LAMIS er: 

Fra barnetrinnet 

Mona Røsseland, 

Samnanger (leder) 

Kari Haukås Lunde, Bryne 

Fra ungdomstrinnet 

Grete Tofteberg, Våler 

Beate Stabell, Østre Toten 

Fra videregående skole 

Helge Flakstad, Horten 

Jan Finnby, Lillehammer 

Fra høyskole/universitet 

Bjørnar Alseth, Oslo 

Kristian Ranestad, Oslo 

Medlemskontingent 

Skole/institusjon 550,– 

Enkeltmedlem 300,– 

Husstandsmedlem 150,– 

Studenter 200,– 

Tangenten inngår i kontingen- 

ten. (Gjelder ikke husstands- 

medlemmer.) 

Landslaget for matematikk i skolen

Lederen har ordet 

Godt nytt matematikkår! 

Det blåste riktig godt rundt 

matematikken på slutten av 

2004, der vi fikk ene nedslående 

rapporten etter den andre. PISA 

og TIMSS er to ulike undersø- 

kelser som bruker til dels svært 

forskjellige oppgavetyper. Det 

at norske elever skårer dårlig 

på begge gjør at vi nok ikke 

lenger kan unnskylde resulta- 

tene med at oppgavene ikke 

passer norske elever. Faktumet 

som vi må se i øynene, er at 

norske elever ikke er gode nok i 

matematikk! Med denne erkjen- 

nelsen må vi nå bruke kreftene 

til å se fremover og komme med 

forslag til hvordan vi kan gjøre 

det bedre. 

Det har vært et voldsomt 

mediakjør med mange hvorfor, 

og massemedia har prøvd å 

sette ulike matematikkmiljøer 

opp mot hverandre i et forsøk 

på å nøre opp under ”når kryb- 

ben er tom, bites hundene”. 

Dette er ingen fruktbar vei å gå, 

og Lamis vil gjøre alt vi kan til å 

forene og samle kreftene mot et 

felles mål; nemlig et formidabelt 

løft for faget vårt på alle under- 

visningsnivå. 

Vi må ikke glemme at det fak- 

tisk skjer mye konstruktivt rundt 

om på mange skoler. Lamis har 

merket en markant økning både 

i forhold til medlemstall, men 

også i forhold til henvendelser 

fra skoler og lærere som ønsker 

å satse på matematikk. Aldri har 

vi hatt flere lokallag, og aldri har 

aktivitetsnivået vært høyere med 

tanke på temakvelder som inspi- 

rasjons- og kunnskapskilder til 

lærere. Men nå er det heller 

ikke Lamis medlemmer jeg er 

bekymret over når det gjelder 

adekvat matematikkundervis- 

ning, for sammen inspirerer og 

etterutdanner vi hverandre. Det 

er derimot viktig at vi får flere 

lærere med på laget, slik at vi 

kan bidra til å øke matema- 

tikkompetansen til den norske 

lærerstanden som helhet. 

Både elevrollen og lærerrol- 

len er under utvikling, og det vil 

verken være mulig eller ønske- 

lig å gå tilbake til den gamle 

puggskolen slik noen har tatt 

til ordet for. Men samtidig må vi 

ikke gå i den andre grøften der 

alt bare skal være morsomme 

aktiviteter, for da kan en lett 

glemme eller miste litt ut av syne 

de faglige målene. Vi skal ikke 

kun ha aktiviteter for aktivitete- 

nes skyld, men de skal først og 

fremst bidra til at elevene utvi- 

kler matematisk kompetanse. I 

dette inngår at matematikk også 

i stor grad er disiplin, nøyaktig- 

het, grundighet og omhyggelig 

arbeid. Øve og øve, sier Annie 

Selle, øve mye, men på en mor- 

sommere måte. 

Matematikkens dag er et av 

våre bidrag til å vise de mulig- 

hetene som finnes der en kan 

arbeide med matematikk på en 

artig måte uten å miste faglig 

fokus. Heftet til årets matema- 

tikkdag er et flott verk med et 

(forts. side 66) 

Landslaget for matematikk i skolen 63

Matematikk på Studieverkstedet 

ved Gand vgs. 

Venke Håland, Sidsel Ødegård 

Gand videregående skole i 

Sandnes er en stor kombinert 

skole med idrettsfag, 7 studie- 

retninger for yrkesfag og klas- 

ser for påbygningsår represen- 

tert. Skolen har ca. 900 elever. 

Skolen har et ressurssenter med 

et studieverksted og et bibliotek 

som driver et nært samarbeid. 

Arbeidet drives i samarbeid med 

PPT-kontoret ved Ellen Heber. 

Skolens studieverksted 

Målsetning: 

– ’lære elevene å lære’ med 

64 

vekt på å bevisstgjøre dem 

i forhold til studieteknikk og 

alternative læringsstrategier 

i fag der elever og lærere 

finner det nødvendig. 

– utarbeide og holde kortkurs 

for grupper av elever/ klas- 

ser på bakgrunn av evalu- 

ering fra lærere, resultat av 

screeningtest eller elevens 

ønske. 

– legge til rette for at elever 

som trenger ekstra oppføl- 

ging i skolearbeidet kan få 

hjelp og veiledning ved stu- 

dieverkstedet. 

– tilrettelegge for å drive 

interne og eksterne lærer- 

kurs knyttet til Studieverk- 

stedets virksomhet. 

– initiere, legge til rette for og 

drive utviklingsarbeid i for- 

hold til skolens virksomhets- 

plan. 

Vi har åpent alle skolens timer. I 

åpningstiden er der alltid minst 

en realist eller en filolog til stede. 

Vi har inneværende år 70 % av 

en lærerstilling til å dekke opp 

for behov i matematikk. 

Hva har vi gjort i forhold til 

arbeidet med matematikk? 

Utgangspunktet for arbeidet 

vårt er skolens kartleggings- 

prøver, der holdninger til mate- 

matikk også kartlegges. I en 

klasse svarte 9 av 15 jenter at 

de HATET matematikk. I tillegg 

viser erfaringen at matematikk 

er et av de fagene der mange 

får problemer med å bestå. Vi 

bestemte oss for å gripe fatt i 

dette og spesielt fokusere på 

jenter og matematikk. 

Kursing 

Skoleåret 2003/2004 kurset hele 

studieverkstedets personale 

seg i forskjellige læringsstrate- 

gier og bevisstgjøring i forhold 

til matematikkvansker, kartleg- 

ging og tiltak. Vi har kjørt interne 

og eksterne kurs med følgende 

personer som bidragsytere: 

Olav Lunde, Ellen Heber, Snorre 

Ostad, Carol Santa, Gro Knud- 

sen og Vegard Engstrøm. 

I tillegg til å kurse oss selv 

og lærere fra andre skoler, har 

vi kjørt kurs for elever og lærere 

ved egen skole: 

– Aviser i matematikkunder- 

visningen 

– Måleenheter ved Ludometo- 

den 

– Brøkstaver 

– Kunst og matematikk 


– Bruk av materiell fra Ingvill 

Stedøys matematikk koffert 

Matematikkens dag 

Vi bestemte at vi ville være 

med på matematikkens dag og 

involvere noen klasser på grunn- 

kurs. Hensikten med dagen var 

å prøve å endre holdningene til 

matematikk, spesielt hos jen- 

tene som ”hater” faget i følge 

egne utsagn. Halvparten av 

alle elevene på grunnkurs (ca. 

180 elever) deltok i løpet av to 

hele dager med matematikkak- 

tiviteter. Hele skolens ledelse, 

matematikkseksjonen og stu- 

dieverkstedets personale ble 

involvert som aktivitetsledere. 

Bibliotek, studieverksted og 

skolens aula ble stedet der det 

hele foregikk. 

Elevene måtte gjennom tre 

forskjellige stasjoner: 

Stasjonen for målinger Denne 

var i hovedtrekk lik Lamis sitt 

opplegg for matematikkens 

dag 2004. Her skulle elevene 

bevisstgjøres på vekt, tid, leng- 

demål, volum og areal. 

Stasjonen for geometri På 

denne stasjonen brukte vi opp- 

legg fra Lamis 2003. Elevene 

skulle bruke sin kreativitet og 

lage et geometrisk bilde i svart/ 

hvitt. 

Stasjonen for tallære Her 

var det lagt ut ulike matema- 

tiske spill. Elevene skulle prøve 

å spille flest mulig spill i løpet av 

to skoletimer. 

Elevene fikk servert forfrisk- 

ninger til lunsj, og det ble lagt 

vekt på trivsel og matematisk 

kreativitet på tvers av kjønn og 

studieretninger. Dagen ble lagt 

opp som en konkurranse der 

innsats, kreativitet og samar- 

beid skulle vektlegges. Elevene 

samlet poeng og konkurrerte på 

vegne av sin klasse. Matema- 

tikkseksjonen i samarbeid med 

en formgivingslærer skulle kåre 

en verdig vinner. En annen av 

skolens formingslærere laget en 

vandrepokal som ble tildelt den 

klassen som vant. 

Utenfor konkurranse hadde vi 

lagt ut både ’grubliser’ og Pen- 

tomino i alle rom. Pentomino 

ble et populært innslag med en 

pose twist til den som klarte å 

lage et rektangel av brikkene. Til 

slutt hadde vi delt ut så mange 

twistposer at vi måtte redusere 

premien til en mindre sjokola- 

deplate. 

Tilbakemeldingene fra elever, 

lærere og skolens ledelse har 

vært svært positive. Matematik- 

kens dag har kommet for å bli på 

skolen. Den er lagt inn som en 

del av skolens virksomhetsplan 

og har fått sin plass i årshjulet. 

Det er vanskelig å måle virknin- 

gene av en slik dag for elevene, 

men håpet er at de har fått noen 

positive holdninger til hva mate- 

matikk er og at mestringsopple- 

velsene de fikk, gir en lykkeligere 

mattematikkhverdag. 

Konkretiseringsmateriell 

For å kunne fokusere på andre 

læringsstrategier enn ’de van- 

lige’, trengte vi en del konkre- 

tiseringsmateriell. Vi har derfor 

kjøpt inn en del tilleggsmateriell 

til bruk i undervisningen, Ingvild 

Stedøys matematiske koffert, 

vekt, termometer, målebånd og 

farget papir til bretting. 

Forskjellige nivådifferensierte 

løyper i matematikkfaget 

Gand videregående skole har tre 

paralleller på grunnkurs studie- 

retning for idrettsfag. Erfarings- 

messig vil en del av disse elev- 

ene slite med å komme gjennom 

og bestå 5t-matematikken i 

1MX/Y. For å kunne gi disse 

et best mulig tilbud og hjelp i 

arbeidet, bestemte vi oss for 

å kjøre nivådifferensierte grup- 

per inneværende år. Elevene 

fikk selv velge hvilket nivå de 

ville legge seg på; en undervis- 

ning rettet mot karakterer over 

middels, rettet mot et middels 

nivå eller rettet mot en form for 

minimumsplan der ståkarakter 

var målet. Dette betyr at en ved 

hjelp av studieverkstedet kan 

sette inn en ekstra matema- 

tikklærer for disse tre klassene 


og bruke denne der lærerne selv 

finner det hensiktsmessig i for- 

hold til denne inndelingen. 

Andre tilbud ved studieverkstedet 

Flinke elever har tilbud om å 

arbeide selvstendig og hurtigere 

enn den klassen de tilhører. De 

kan da bruke den matematikk- 

læreren som er tilgjengelig på 

studieverkstedet til hjelp og 

veiledning. Elever som trenger 

en annen opplæring enn den de 

kan få i klassen, kan få hjelp på 

studieverkstedet. Vi driver også 

undervisning for Oppfølgingstje- 

nesten som kjøper tjenester av 

oss. Det som vi synes er viktig 

i denne sammenheng, er at vi 

kan hjelpe flere på en gang. Vi 

får grupper på tvers av nivå, 

studieretning og klasser og kan 

utnytte eksisterende ressurser 

bedre enn tidligere. 

Arbeid framover 

– Videreføre arbeidet og gi 

66 

tilbud om Matematikkens 

dag til flere elever. 

– Evaluere og videreutvikle 

arbeidet med løyper, om vi 

finner dette tjenlig. 

– Våge å bruke og utvikle flere 

alternative metoder for mate- 

matikkundervisningen. På 

yrkesfaglige studieretninger 

er det lite nytt fra grunnsko- 

len, vi må derfor arbeide mer 

med en metodisk tilnærming 

til matematikken. 

– Lage og systematisere 

materiell for en stadig mer 

yrkes- og hverdagsretting 

av matematikken i forhold 

til den studieretning og livs- 

situasjon elevene befinner 

seg i. 

– Dele vår erfaring med kol- 

leger slik at våre metoder vil 

bli brukt i større grad. 

Ønsker du å vite mer om noen 

av våre aktiviteter og erfaringer, 

er det bare å ta kontakt. 

sidsel.odegard@gand.vgs.no, 

lærer i matematikk og natur- 

fag. 

venke.haland@gand.vgs.no 

pedagogisk leder ved Studi- 

everkstedet. 

Mer informasjon på skolens 

hjemmeside: 

h t t p : / / w w w . r o g a l a n d - 

f.kommune.no/~gand/ 

(forts. fra side 63) 

vell av ideer. Her er det bare 

for lærerne å plukke ut aktivite- 

ter og tilpasse Matematikkens 

dag til sin skole og sine elevers 

behov og ønsker. Jeg vil rette 

en stor takk til Ann-Christin 

Arnås, Hanne Marken Dalby, 

Jan Finnby og Beate Stabell fra 

lokallaget i Oppland og Hed- 

mark for et glimrende arbeid 

med heftet. 

Lamis sommerkurs et annet 

eksempel hvor vi er med på å 

øke kvaliteten på norsk mate- 

matikkundervisning. Vi må aldri 

glemme at læreren er undervis- 

ningens viktigste ressurs, og jeg 

er ganske sikker på at det er her 

vi må sette det avgjørende støtet 

i forhold til å bedre matematik- 

kunnskapen til norske barn. 

Gjennom våre sommerkurs og 

lokallagskurs vil lærere få idéer 

til aktiviteter som fungerer, og 

få mot og vilje til å forandre sin 

undervisning. Og så må vi alle 

jobbe ytterligere for å få økt 

fokus på den matematiske kom- 

petansen som vi vil elevene skal 

utvikle gjennom aktivitetene. 


Hedmark/Oppland lokallag 

Ann-Christin Arnås, 

Hanne Marken Dalby, Jan Finnby 

Historikk 

Hedmark/Oppland lokallag ble 

stiftet 13. januar 2004, etter at et 

interimstyre ble nedsatt i okto- 

ber 2003. 

Organisering 

På stiftelsesmøtet ble det valgt 

et styre på tre, med fire vara- 

medlemmer. Vi fikk problemer 

med å finne styremedlem fra 

høyskolenivået. To av styremed- 

lemmene med vara er på valg 

hvert år. Styremedlemmene er 

samlet rundt Mjøsa. Vi har valgt 

å holde kontakten i stor grad 

via mail, og kun med ett til to 

styremøter i halvåret. På disse 

styremøtene er vararepresen- 

tantene invitert, men de har ikke 

møteplikt. 

Temakvelder 

Vi har hatt som målsetting å 

arrangere minst to medlemsmø- 

ter/temakvelder i halvåret. Selv 

på årsmøtet har vi temamøte i 

etterkant. Alle møter har enkel 

bevertning. Mange har lang 

reise, og det sosiale er viktig. 

Da interimstyret ble nedsatt var 

Mona Røsseland trekkplaster 

og holdt temakveld med jule- 

verksted. Tema på stiftelses- 

møtet var Matematikkens dag 

2004. Neste temakveld hadde 

tittel ”Krav til kunnskap på ulike 

trinn med blikk på nasjonale 

prøver og overgangen mellom 

de forskjellige trinnene”. Her 

holdt vi møte på to steder sam- 

tidig. Ulikt frammøte, men totalt 

sett svært godt besøkt. 

Høsten 2004 skulle starte 

med temamøte om KappAbel 

og Kenguru. Dessverre måtte vi 

avlyse på grunn av dårlig påmel- 

ding. Årsaken er ukjent, men 

kanskje ikke temaet fenget. På 

årsmøtet i november, hvor alle 

på valg tok gjenvalg (det sier 

noe om hvor spennende dette 

arbeidet er), var temakvelden 

”Arbeidsmåter i lys av nasjonale 

prøver”. For første gang siden 

starten hadde vi hjelp utenfra. 

Det var Guri Nortvedt, som sitter 

sentralt i utarbeidelsen av nasjo- 

nale prøver. 

Tirsdag 11. januar 2005 hadde 

vi vår hittil siste temakveld. 

Temaet var Matematikkens dag, 

og nervøsiteten var ekstra stor 

denne kvelden. Sammen med 

Beate Stabell var det vi i styret 

som hadde laget årets hefte, og 

å presentere egne aktiviteter er 

alltid litt skummelt! Oppslutnin- 

gen var stor, hele 130 lærere for- 

delt på S-, M- og U-trinn/VGS, 

og deltakerne gikk hjem med 

mange idéer til egen matema- 

tikkdag. 

Alle møtereferater er lagt ut på 

vår lokallagsside som er å finne 

på Lamis sin hjemmeside. 

Hefte til Matematikkens dag 

Styret, sammen med en av med- 

lemmene i regionen, ble bedt om 

å stå for arbeidet med matema- 

tikkheftet for 2005. Dette sa vi ja 

til, og det har vært et givende, 

men hektisk arbeid. For andre 

lokallag som får denne jobben 

er det viktig å starte tidlig. Da 

har en også mye større mulighet 

til å be om innspill fra medlem- 

mene, noe som kan være til god 

hjelp. 

Styremedlemmene i Hed- 

mark/Oppland lokallag er også 

ressurspersoner under Matema- 

(forts. side 70) 


Hvilke mål vil vi ha for 

matematikkopplæringen? 

Bjørnar Alseth 

Styremedlem i Lamis og leder for plangruppa i matematikk 

Tilstanden for matematikkopp- 

læringen i kongeriket er ikke til- 

fredsstillende. Det er nylig slått 

fast gjennom de to internasjo- 

nale studiene TIMSS og PISA. 

Det er interessant at bildet som 

de to studiene tegner er så likt, 

fordi det er snakk om to svært 

ulike studier. PISA er en prak- 

tisk orientert test av det elever 

trenger av matematikk i daglig- 

livet. TIMSS derimot er en mer 

teoretisk og tradisjonell test av 

elevers matematikkunnskap. En 

TIMSS-oppgave til elevene på 

4. trinn er mye referert: Hva er 

15 · 9? Dette klarte kun 30 % av 

de norske elevene, noe som var 

dårligst av absolutt alle deltaker- 

landene. Som et tiltak for å rette 

på dette vil Clemet utnytte den 

pågående læreplanrevisjonen. 

En av tingene hun vil ha gjort, 

er å få læreplanen i matematikk 

tydeligere. Enkelte har tolket 

dette som ’mer konkret’, og i 

mange tilfeller er det forelig- 

gende læreplanforslaget mer 

konkret. Men det skal altså først 

68 

og fremst være mer tydelig. 

Har så læreplangruppa lyktes 

i dette? Dette vil det naturligvis 

være delte oppfatninger om. 

La oss ta et eksempel, som 

det om tabellkunnskaper etter 

4. trinn. Læreplangruppas for- 

slag lyder: 

– Bruke tabellkunnskaper til- 

knyttet regneartene, se sam- 

menhenger mellom regnear- 

tene og selv oppdage enkle 

tallmessige sammenhen- 

ger. 

Her kunne man tenkt seg at man 

i stedet forventet noe i retning 

av det å kunne den lille gange- 

tabellen, altså en konkretisering 

av vårt forslag. Vi mener en slik 

konkretisering vil være uheldig 

av to grunner. For det første vil 

det medføre en innsnevring av 

det vi mener elevene bør kunne. 

For det andre vil det kunne føre 

til en fokusering på unødvendige 

detaljer. 

1. Innsnevring 

I vårt forslag skal elevene altså 

utvikle tabellkunnskaper, men 

det er ikke spesifisert hvilke. 

Det innebærer at enhver lærer 

må gjøre en tolkning. En nær- 

liggende tolkning er at elevene 

bør kunne den lille gangetabel- 

len, men i tillegg enkelte andre, 

som 11-gangen, 20-gangen, 30- 

gangen og 25-gangen. I tillegg 

rommer dette punktet fakta- 

kunnskaper knyttet til addisjon 

og subtraksjon som jeg ikke vil 

utdype her. 

Andre kompetansemål er i 

planforslaget beskrevet mer 

konkret. For eksempel nevner 

vi at elevene skal kunne finne 

typetall, median og gjennom- 

snitt etter 7. trinn. Her er det 

greit å være konkret, fordi det 

er nettopp disse tre målene 

for sentraltendens vi ønsker 

elevene skal ha kompetanse 

om. Denne konkretiseringen 

stenger ikke noe viktig ute. Det 

gjør derimot innsnevringen av 

tabellkunnskap til kun å gjelde 

den lille gangetabellen. 


2. Fokusering på 

unødvendige detaljer 

Men, kan det innvendes, det står 

jo ikke at elevene må kunne hele 

den lille gangetabellen. Hvorfor 

ikke skrive helt eksplisitt hva 

de skal kunne? For det første 

ville det bli ei veldig lang liste, 

og vi er bedt om å lage mindre 

detaljerte planer enn L97. For 

det andre, og dette er det vik- 

tigste, innebærer det et annet 

fagsyn enn det som kommer 

til uttrykk i planutkastet. Denne 

ulikheten kan illustreres ved at 

vi ser for oss en gruppe elever 

midtveis i 4. trinn. Her vil noen 

av elevene sikkert være usikre 

på deler av gangetabellen. Står 

det i læreplanen at alle elevene 

skal kunne den lille gangetabel- 

len har ikke læreren noe valg. 

Hun er nødt til å bruke tiden på å 

forsøke å lære disse elevene de 

siste restene av tabellen. Etter 

vårt forslag må hun dels gjøre 

det, men hun må også fokusere 

på sammenhenger mellom reg- 

neartene. Selv husker jeg godt 

at jeg ikke kunne 7 · 9 før på ung- 

domstrinnet. Jeg kunne nok de 

andre kombinasjonene i tabel- 

len, men ikke denne. Det bød 

imidlertid ikke på noen proble- 

mer, fordi jeg visste at jeg kunne 

regne det ut ved å ta 10 · 7 – 7, 

altså 70 – 7. Dette kunne jeg 

gjøre fordi jeg hadde innsett 

sammenhengen mellom addi- 

sjon og multiplikasjon. 

Dette er en viktig forskjell i 

fagsyn som nok vil prege flere 

høringsuttalelser: Oppfatter 

man faget som bestående av 

en lang rekke faktakunnskaper, 

vil man naturligvis ønske en fag- 

plan som lister opp disse. Det 

vil være i motsetning til plan- 

utkastet som er basert på en 

oppfatning av faget som dels 

bestående av fakta og ferdighe- 

ter og dels av sammenhenger 

og strukturer. Etter vår oppfat- 

ning bør elevene besitte en lang 

rekke faktakunnskaper, gjerne 

ut over den lille gangetabellen 

etter 4. trinn. Samtidig er vi ikke 

så oppsatt på enkelte mer peri- 

fere kunnskapsbiter, fordi vi vil 

at elevene skal være i stand til 

å resonnere. For eksempel vil 

elevene etter vårt forslag kunne 

løse TIMSS-oppgaven 15 · 9. 

Det kan de nemlig gjøre hvis 

de ser sammenhengen mellom 

addisjon/subtraksjon og multi- 

plikasjon. Da kan de dele opp 

regnestykket slik jeg gjorde for 

7 · 9, for eksempel i 15 · 10 – 15. 

Hvis all fokus i undervisningen 

er på terping av gangetabellene 

er det mindre grunn til å tro at 

elevene vil lære seg å se slike 

sammenhenger. Legg merke 

til at for å kunne bruke denne 

strategien må elevene vite hva 

15 · 10 er, altså noe som går ut 

over den lille multiplikasjonsta- 

bellen. 

Ved at elevene settes i stand 

til å resonnere og til å utnytte 

strukturer og sammenhenger i 

faget, blir behovet for å spesifi- 

sere alle tenkelige kunnskapsbi- 

ter mindre. Som nevnt skriver vi 

’tabellkunnskaper’ i planforsla- 

get, noe som kan innebære at 

enkelte elever lærer 25-gangen. 

På en annen side ville vi aldri ha 

presisert at alle elever skal kunne 

25-gangen. Derimot er det viktig 

at de som ikke kan 25-gangen 

som faktakunnskap er i stand til 

å utnytte kunnskap om tall og 

regneartene til å resonnere seg 

fram til riktige resultater. Dette 

mener vi også bør gjelde for den 

lille gangetabellen. Alle elevene 

bør få rikelig anledning til å lære 

denne. Men om noen biter står 

igjen til mellomtrinnet, er det 

ingen krise så lenge de er i stand 

til å resonnere seg fram til riktig 

svar. Denne evnen til resonne- 

ment og til å se og utnytte sam- 

menhenger vil også være svært 

nyttig i forhold til å bruke mate- 

matiske kunnskaper i praktiske 

situasjoner, en slik kompetanse 

som testes i PISA. Det er grun- 

dig dokumentert gjennom de 

siste 25 årene at det å kunne 

gangetabellen alene ikke er til- 

strekkelig for dette. 

Tilsvarende står det i et kom- 

petansemål for 7. trinn blant 


annet at elevene skal kunne 

bruke ulike skriftlige regnemeto- 

der. Her kunne vi i stedet skrevet 

for eksempel «standardalgorit- 

mene for de fire regneartene». 

Men dette vil være en uheldig 

innsnevring og en unødvendig 

fokus på bestemte ferdigheter 

siden det finnes andre måter 

som kan være enklere å forstå 

og som er omtrent like effektive. 

Det kan illustreres med divisjon. 

I stedet for standardalgoritmen 

kan elever skrive mer utførlig det 

som deles og det som er igjen: 

70 

453 : 3 = 

300 100 

135 

120 40 

15 

15 5 

0 

145 

En slik metode vil være enklere 

å forstå og ikke særlig mer 

arbeidskrevende. Det har vært 

viktig for oss å legge til rette 

for at elevene får forståelse for 

de metodene de bruker og at 

de kan være fleksible i valg av 

metoder. Vi ser på det som like 

viktig som det at elevene lærer 

seg standardalgoritmen. Derfor 

bør ikke den være den eneste 

som er nevnt i planen. Etter 

vårt forslag tror vi elevene vil 

utvikle effektive algoritmer med 

forståelse, så kan det hende at 

enkelte først begynner å bruke 

standardalgoritmen for divisjon 

på ungdomstrinnet. 

Et annet eksempel som illus- 

trerer dette poenget kan hentes 

fra geometri, 7. trinn hvor det i 

det første målet blant annet står 

at elevene skal kunne identifisere 

og analysere egenskaper ved 2- 

og 3-dimensjonale figurer. Her 

kunne man i stedet tenkt seg 

en opplisting av hvilke figurer 

elevene skulle ha kompetanse 

om, men vi mener at det vil få 

tilsvarende uheldige konsekven- 

ser. Hvis lista er kort, medfører 

konkretiseringen en uheldig inn- 

snevring av det elevene bør få 

anledning til å møte i undervis- 

ningen. Hvis lista gjøres lengre, 

kan det medføre at mye tid går 

med til unødvendige detaljer. 

Skal for eksempel rombe være 

med på lista? Det vil være uhel- 

dig om den ikke var med, siden 

mange lærere kan ha utmerkede 

undervisningsopplegg knyttet til 

denne figuren. Men det vil også 

kunne være uheldig om den var 

med, fordi man da forlangte at 

alle elever måtte bruke tid på 

den. Læreplanforslaget vektleg- 

ger både fakta og ferdigheter og 

strukturer og sammenhenger. 

Det å utnytte sammenhenger 

betyr at elever som skal arbeide 

med en rombe uten å ha møtt 

den i undervisningen, vil kunne 

bruke det de kan om kvadrater 

og parallellogrammer i arbeidet. 

Dermed blir det ikke avgjørende 

om alle elevene lærer om romben 

på mellomtrinnet eller om noen 

først møter den seinere. 

Jeg håper alle LAMIS-med- 

lemmer bruker anledningen til 

å gå grundig gjennom planfor- 

slaget og vurderer det i forhold 

til egen praksis og eget faglige 

ståsted. Det vil være nyttig for 

egen del i forhold til den under- 

visningen vi alle skal gjennom- 

føre i årene framover. Samtidig 

trenger Utdanningsdirektoratet 

gode og velbegrunnede tilba- 

kemeldinger når de skal gjøre 

planen ferdig. 

(forts. fra side 67) 

tikksenteret, noe som gjør at vi 

av og til er sammen på konfe- 

ranser og liknende. Det har vært 

lærerikt og givende i tillegg til å 

sveise oss godt sammen. Derfor 

vil vi oppfordre andre styrer til å 

dra på konferanser sammen; bli 

godt kjent med hverandre. Det 

gjør at styrearbeidet går mye 

lettere. Søk Lamis sentralt om 

reisestøtte. 


Nytt fra 

Bergen og omegn lokallag 

Temakvelder våren 2005: 

Diskusjonsmøte om nye læreplaner, onsdag 16. mars klokken 18.00 til 21.00. 

Leder av læreplangruppen for matematikk, Bjørnar Alseth, vil delta på møtet. (Sted: Høgskolen 

i Bergen, Landås) 

Matematikk og IKT-ressurser, 14. april klokken 18.00 til 21.00. 

Kursleder blir Christoph Kirfel. (Sted: Fusa videregående skole, Eikelandsosen) 

Invitasjon og nærmere beskrivelser av innholdet blir kun sendt på epost og lagt ut på www.lamis. 

no/bergen (send oss epostadressen din hvis du vil være sikker på å holde deg oppdatert). 

Nytt lokallagsstyre ble valgt på årsmøtet 27. oktober, og består av: 

• Else Aarø, else.aaro@bergen.kommune.no (leder) 

• Ole Bjørn Eikeland (nestleder) 

• Jostein Holck (kasserer) 

• Hans Jørgen Riddervold, hans.jorgen.riddervold@hib.no (skriver) 

Nytt lokallag: 

LAMIS fjellregionen 

Det nye lokallaget LAMIS Fjellregionen hadde konstituerende møte 13.12.04. Initiativet til laget ble 

tatt av lærere ved Tolga skole som gjennom kontakt med Ingvill M. Stedøy og deltakelse på LAMIS 

sine sommerkurs ble klar over hvilken inspirasjon et samarbeid innenfor LAMIS kan være i mate- 

matikkundervisningen. Ideen ble luftet på en nettverkssamling for skolene i Nord-Østerdal, og det 

viste seg å være stor interesse for å danne et eget lokallag – mye fordi avstanden til de nærmeste 

lokallagene ble for stor til at man kunne reise på kurskvelder arrangert av disse. 

LAMIS Fjellregionen består av kommuner i Nord-Østerdal, samt Rendalen, Røros og Holtålen. 

Styret består av 

Toril Sivertsen (leder), Arvid Hagen (nestleder), Oddbjørg Brænd (kasserer) og Ståle Lund (sekre- 

tær). Øvrige styremedlemmer: Børge Røhjell, Ellen Langøien, Helge Bjertnæs og Inger Elisabeth 

Sande. 


72 

Sommerkurs-rapporten 

fra 2004 er ferdig! 

Det er blitt en vakker bok på hele 185 sider, der en finner 28 svært gode verksteder og plenumsfo- 

redrag. For de av dere som ikke fikk anledning til å være med på sommerkurset kan den anbefales 

på det varmeste. 

Vi selger boka for kr. 200. 

Send bestilling til: lamis@matematikksenteret.no 

Boka vil i tillegg fungere som velkomstgave til nye medlemmer det neste året sammen med mate- 

matikkdag-heftet for 2005. 

Abeldagen 

Husk å sette av 24. mai eller en annen dag i uke 21 til å arrangere en Abeldag på skolen din. 

Abeldag-heftet kommer sammen med Tangenten nr. 2/2005 (ca. 1. april). Heftet vil være fullt av 

idéer til å arrangere en matematisk aktivitetsdag ute i skolegården i forbindelse med utdeling av 

Abelprisen i mai. 

Lamis aktivitetskalender 

Hva skjer i Lamis? Våren – 2005 

Mars 

Ma Ti On To Fr Lø Sø 

5 1 2 3 4 5 6 

6 7 8 9 10 11 12 13 

7 14 15 16 17 18 19 20 

8 21 22 23 24 25 26 27 

9 28 29 30 31 

I mars er det hittill tre aktivitetsdager. Gå inn 

på www.lamis.no/aktivitetskalender_v05.htm 

og sjekk hva som skjer rundt om i landet i 

Lamis sin regi!

Last ned hele bladet - Caspar Forlag AS

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?