Modelos Lineares Generalizados em Experimentação Agronômica

6 Clarice G. B. Demétrio
ii) Relação entre cumulantes e momentos em relação à média
κ
κ
κ
2
3
4
= µ
= µ
= µ
2
3
4
= σ
2
− 3(
µ
sendo [ ( ) ] r
E Y - E Y
r =
2
)
2
,
{ }
µ .
Portanto, a média e a variância de uma v.a. Y cuja distribuição pertence à família
exponencial, na forma canônica usada por McCullagh & Nelder (1989), são dadas por
µ = E( Y ) = b′
( θ )
σ
2
= Var( Y ) = a(
φ)
b′
′ ( θ )
IMPORTANTE! (1.8)
em que a (φ ) , em geral, pode ser escrita na forma a ( φ ) = φ / w , sendo φ chamado parâmetro
de dispersão e w, peso a priori. Além disso, b ′ ( θ ) = d µ / dθ
é uma função de µ e é
representada por V (µ ) . Logo, a variância de Y pode ser escrita como
Var( Y ) = a(
φ) b′
′ ( θ ) = a(
φ)
V ( µ ) .
Escrevendo-se l(
θ , φ;
y) = ln
f Y ( y;
θ , φ)
como o logaritmo da função de
verossimilhança considerado como uma função de θ e de φ , dado y, a média e a variância da
v.a. Y podem também ser obtidas facilmente a partir das relações conhecidas (Dobson,1990,
Apêndice 1)
e
sendo U chamada função escore.
tem-se
e
Portanto, a partir de
Var( U ) = E( U
1
l =
a(
φ)
⎡ dl
⎤
E( U ) = E⎢
⎥ = 0
⎣dθ
⎦
2
2
⎡ d l ⎤
) = E(-U
′ ) = E⎢−
2 ⎥ ,
⎣ dθ ⎦
[ yθ
− b(
θ ) ] + c(
y;
φ)
dl
1
U = = [ y - b′
( θ )]
dθ a(
φ)