Modelos Lineares Generalizados em Experimentação Agronômica

40 Clarice G.B. Demétrio
pois, β é a solução do sistema de equações . Portanto,
ˆ U ( βˆ
) = 0
βˆ
− β = ℑ
desde que ℑ seja não-singular. Tem-se, então, que
−1
U(
β)
β ˆ
−1
E ( − β)
= ℑ E[
U(
β)]
= 0 ⇒ E(
βˆ
) = β
pois, E[
U ( β)]
= 0 e, portanto, β ˆ é um estimador imparcial para β (pelo menos
assintoticamente).
ii) Denotando-se U ( β)
= U , tem-se que a matriz de variâncias e covariâncias de β ˆ ,
para amostras grandes, é dada por:
ˆ
ˆ
ˆ
T −1
T
Cov( β ) = E[(
β − β)(
β − β)
] = ℑ E(
UU
T
−1
T −1
1
pois, ℑ = E( UU ) e ( ℑ ) = ℑ , pois é simétrica.
−
ℑ
iii) Para amostras grandes, tem-se
ou, de forma eqüivalente,
) ℑ
ˆ T ˆ
2
( β − β)
ℑ(
β − β)
~ χ p
ˆ
−1
β ~ N ( β,
ℑ )
p
−1
= ℑ
−1
ℑℑ
−1
= ℑ
−1
(2.9)
(2.10)
que é a base para a construção de testes e intervalos de confiança para os modelos lineares
generalizados. Para modelos lineares com variáveis respostas com distribuição normal, (2.9) e
(2.10) são exatas.
Para amostras pequenas β ˆ é tendencioso. Além disso, para n não muito grande a
− 1
estrutura de covariâncias das estimativas dos parâmetros lineares difere de ℑ . A matriz ℑ é
consistentemente estimada por
X W X ˆ ˆ 1 T
ℑ = ,
φ
sendo X a matriz do modelo, W diag{ , , ..., }
1 2
n , W W W =
i
( ) ⎟
i
⎟
wi
⎛ dµ
⎞
W = ⎜
i
V µ i ⎝ dη
⎠
e φ > 0 ,
constante e conhecido. Para as distribuições binomial e de Poisson φ = 1.
Se φ for constante
para todas as observações e desconhecido afetará a estrutura assintótica de ℑ ˆ 1
(com
elementos representados por , ) mas não o valor de β ˆ . Na prática se φ é
−
v k = j = 1,
2,
..., p
jk
2 −1
desconhecido (distribuições normal e normal inversa φ = σ e gama φ =ν ), deve ser
substituído por alguma estimativa consistente (ver seção 2.8).
Os erros padrões dos estimadores βˆ
, βˆ
,..., βˆ
são iguais às raízes quadradas dos
1
elementos da diagonal de ˆ 1
, isto é, ) = v jj . Então, intervalos de confiança assintóticos,
−
ℑ s j
ˆ (β
2
p
2