Modelos Lineares Generalizados em Experimentação Agronômica

44 Clarice G.B. Demétrio
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sendo que d i mede a diferença dos logaritmos das funções de verossimilhanças observada e
ajustada, para a observação correspondente e é chamado componente da deviance. A soma
deles mede a discrepância total entre as duas funções de verossimilhanças. É portanto, uma
medida da distância dos valores ajustados ˆµ 's
em relação aos dados observados y’s, ou de
forma equivalente, do modelo corrente em relação ao modelo saturado. Verifica-se que a
deviance eqüivale a uma constante menos duas vezes o máximo da função de verossimilhança
para o modelo corrente, isto é,
S = 2lˆ − 2lˆ
= constante − 2lˆ
.
p
n
p
2
Exemplo 11: Seja Y 1,
Y2
, ..., Yn
uma amostra aleatória de uma distribuição N(
µ i , σ ) ,
2
sendo que x β e σ > 0 , conhecida. Considerando como função de ligação a
identidade, isto é, η = µ , tem-se que
T
i i = µ
Logo,
S
p
1
= 2
σ
1
2
σ
n
∑
i=
1
n
= ∑
i=
1
i
⎧
2⎨y
⎩
i
2
φ= σ ; wi = 1;
θ i = µ i e
i
y
µ ˆ
⎫
1
σ
2 2
θ i µ i
b(
θ i ) = = .
2 2
2 2
n
i i
2
2 2
[ y − ] − + ⎬ = ∑(
− − + )
i µ ˆ i
2y
i 2µ
ˆ i yi
yi
µ ˆ
2
i
2
SQRes
=
σ
2
( y − ˆ ) i µ i
2
2
⎭
2
que coincide com a estatística clássica SQRes com (n-p) graus de liberdade dividida por σ .
Exemplo 12: Sejam Y variáveis aleatórias representando contagens de sucessos em amostras
i
independentes de tamanhos m i . Supondo que Yi ~ Bin ( mi
, πi
) , então,
e
Logo,
S
ou ainda,
p
φ = 1;
w = 1;
i
θ
i
i=
1
⎛ π ⎞ ⎛ µ ⎞
i
i
= l n ⎜
⎟ = ln
⎜
⎟
⎝1
- πi
⎠ ⎝ mi
- µ i ⎠
θ
⎛ m − µ ⎞
i
i i
b(
θ = + = − − π = − ⎜
⎟
i ) mi l n ( 1 e ) mi
ln
( 1 i ) mi
ln
.
⎝ mi
⎠
⎪⎧
i
i
i i
i i
∑ 2⎨y ⎢ ⎜
⎟ −
⎜
⎟
⎟⎥
+
⎜
⎟ −
⎜
⎟
i l n ln
mi
ln
mi
ln
⎬
i= 1 mi
− yi
mi
− µ ˆ i
mi
mi
⎪⎭
= n
⎪⎩
⎡
⎣
⎛
⎝
S
p
y
⎞
⎠
⎛
⎝
µ ˆ
⎞⎤
⎠⎦
⎝
p
⎛ m − y
⎡ ⎛ y ⎞
⎛ m − y ⎞⎤
= 2 l l .
n
i
i i
∑ ⎢y
⎜
⎟ + −
⎜
⎟
i n ( mi
yi
) n ⎥
i= 1 ⎢⎣
⎝ µ ˆ i ⎠
⎝ mi
− µ ˆ i ⎠⎥⎦
⎞
⎠
⎛ m − µ ˆ ⎞⎪⎫
⎝
⎠