Thiago Gentil Ramires - Departamento de Estatística (UEM

3.4. Método de Estimação
Afim de estimar os parâmetros do modelo, utilizaremos o método de máxima
verossimilhança, que trata o problema de estimação da seguinte forma: baseado nos
resultados obtidos pela amostra, qual é a distribuição entre todas aquelas definidas
pelos possíveis valores de seus parâmetros, com maior possibilidade de ter gerado
tal amostra? Em outras palavras, se por exemplo a distribuição de falha é a Weibull,
para cada combinação diferente de α e β tem-se diferentes distribuições de Weibull.
O estimador de máxima verossimilhança escolhe aquele par de α e β que melhor
explique a amostra observada (Colosimo, 1995).
Suponha uma amostra de observações t1, t2, ..., tn de uma certa população de
interesse. Considere inicialmente que todas as observações são não-censuradas. A
população é caracterizada pela sua função de densidade de probabilidade. Por
exemplo, se f(t)=αexp(-tα), significa que as observações vem de uma distribuição
exponencial com parâmetro a ser estimado. A função de verossimilhança para um
parâmetro genérico θ é:
A dependência de f em θ é preciso agora ser mostrada pois L é função de θ .
Nesta expressão, θ pode estar representando um único parâmetro ou um vetor de
parâmetros. Por exemplo, no modelo log-normal, θ =(µ,σ). A tradução em termos
matemáticos para a frase “a distribuição que melhor explique a amostra observada”
é achar o valor de θ que maximize a função L(θ). Isto é, achar o valor de θ que
maximiza a probabilidade da amostra observada ter ocorrido.
A função de verossimilhança L(θ) mostra que a contribuição de cada
observação não-censurada é sua função de densidade. A observação parcial da
resposta somente nos informam que o tempo de falha é maior que o tempo de
censura observado e portanto, que a sua contribuição para L(θ) é a sua função de
sobrevivência S(t). As observações podem então ser divididas em dois conjuntos, as
r primeiras são as não-censuras (1,2, ..., r) e as n-r seguintes, são as censuradas
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