PARALELIZAÇÃO DA RESOLUÇÃO DE EDPs PELO MÉTODO ...

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determinadas regiões do domínio sendo estudado. Exemplos típicos destes fenômenos são o estudo da poluição em rios e mares causada por despejos de esgoto ou químicos ou acidentes envolvendo produtos químicos no solo, rios ou oceanos, estudos de meteorologia, indústria petrolífera, propagação eletromagnética e acústica, dentre outros. 1.2 - PARTICIONAMENTO DO DOMÍNIO Para que seja implementado o processamento paralelo, o domínio precisa ser dividido em subdomínios, idealmente em tantos subdomínios quantos sejam os processadores disponíveis. Para isso, é necessário um algoritmo que meça a carga total e a carga em cada processador para detectar quando um desbalanceamento de carga acontece e para calcular a quantidade de carga que precisa migrar de um processador para outro. Apesar dos diversos particionadores disponíveis existentes (Chaco, Metis, Scotch, entre outros), eles não são focados no particionamento de malhas regulares para utilização do método Hopscotch, apesar de serem capazes de lidar com o problema. Por isso foi decidido construir um balanceador dinâmico de carga, de funcionamento simples e se aproveitando da geometria de uma malha estruturada, para aplicações resultantes de discretizações por diferenças finitas da resolução pelo método Hopscotch. 2
CAPÍTULO 2 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS E O MÉTODO HOPSCOTCH EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS E O MÉTODO HOPSCOTCH O método Hopscotch foi proposto por Gordon em 1965 e detalhadamente analisado, a partir de 1970 por uma série de artigos de Gourlay [35, 36, 37] e seus colaboradores. É uma técnica de cálculo implícito de diferenças finitas, que alterna o emprego das formulações explícita e implícita, pertencente ao grupo dos “splitting methods”. O método consiste em aplicar as equações explícita e implícita para calcular o valor em cada ponto do domínio, em modo alternado, daí o nome Hopscotch. Os valores de aproximação nos pontos a terem seu valor calculado pela equação explícita serão sempre obtidos primeiro. Assim, quando os pontos a terem seu valor calculado pelo método implícito forem resolvidos, todos os pontos adjacentes necessários para o cálculo já terão valor conhecido. Deste modo, não é necessário resolver um sistema de equações. Uma etapa adicional simetriza o processo alternando os conjuntos de pontos. O método Hopscotch constitui um exemplo de método implícito em que os valores das aproximações numéricas que compõem a estimativa em um novo instante de tempo são calculadas de modo explícito, vale dizer, sem requerer a resolução de sistemas de equações lineares. 2.1 - EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS (EDPs) Os problemas de engenharia normalmente envolvem a resolução de modelos matemáticos dos fenômenos físicos e uma grande parte desses modelos é definida por equações diferenciais em que são conhecidas as condições de contorno e/ou as condições iniciais. As equações diferenciais são obtidas através da aplicação das leis e princípios fundamentais da natureza para um sistema, representando o balanço de massa, força e energia. Em um dado problema de engenharia, existe a divisão dos parâmetros em dois grupos que deverão influenciar na forma como o sistema se comporta. Estes parâmetros incluem as propriedades tais como o módulo de elasticidade, condutividade hidráulica e viscosidade [32]. Por outro lado, existem os parâmetros que produzem uma perturbação em um sistema. Exemplos destes parâmetros incluem as forças externas, momentos, diferença de carga hidráulica ao longo de um meio poroso e a diferença no fluxo do fluido. Uma EDP pode ser classificada sob diferentes aspectos. A ordem de uma equação diferencial parcial é a maior ordem de derivada parcial presente na equação. Convenciona-se 3
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