PARALELIZAÇÃO DA RESOLUÇÃO DE EDPs PELO MÉTODO ...

As aproximações por diferenças finitas têm como base a expansão em série de Taylor
de uma função f. Supondo que f seja contínua no intervalo [a,b] e que possua derivadas até a
ordem N contínuas nesse intervalo, o Teorema de Taylor [30, 32] nos permite escrever, para
todo x pertencente ao intervalo de interesse,
2 2 ( Δx)
∂ f ( Δx)
3
∂f
∂ f
f ( x)
= f ( x0
) + ( Δx
) | x + | x + |
0
2 0
3 x
∂x
2!
∂x
3!
∂x
em que 0 x x = ?x − e r é o resto, definido como
( Δx)
N
N
∂ f
r N =
| ? , ? ∈ [a, b]
N
N! ∂x
10
3
0
+ …+
r
O erro local de truncamento (ELT) é o conjunto dos termos da série de termos que não
são usados na aproximação por diferenças finitas. Os termos de um
2 ( Δx)
∂ f ( Δx)
2
⎡
3
∂ f ⎤
= ⎢−
−
−L
2
⎥
⎢⎣
2!
∂x
3!
∂x
i
i ⎥⎦
ELT 3
serão representados por O( Δ x)
, o que significa que
a aproximação é de primeira ordem. Neste caso, para Δx suficientemente pequeno, o erro na
aproximação numérica da derivada de f é reduzido de forma linearmente proporcional ao
espaçamento utilizado. Para uma aproximação de segunda ordem, indicada por ( ) 2
O Δ x , o erro
na aproximação numérica da derivada de f é reduzido de forma quadrática. Deve-se notar que
a ordem da aproximação só indica como o ELT varia com o refinamento da malha, e não o
valor do erro.
Notação:
f
f
f t
i
( xi
) → f i
( xi
+ Δx)
→ f i+
1
f ( t x y)
, j = , ,
+ 1
= f ( t + Δt,
x + Δx,
y + Δy
)
f t
i+
1
, j+
1
Para as equações usadas nos testes deste trabalho, a derivada no tempo será
discretizada em 1 a ordem e as derivadas espaciais em 2 a ordem, conforme a figura 6 a seguir.