PARALELIZAÇÃO DA RESOLUÇÃO DE EDPs PELO MÉTODO ...

2.6.1 - Discretização das equações usadas como exemplo
A seguir estão discretizadas as equações usadas como exemplo neste trabalho. Serão
usadas uma equação de cada tipo, uma elíptica, uma parabólica e uma hiperbólica.
2.6.1.1 - Equação parabólica
Este tipo de EDP descreve problemas que evoluem no tempo e no espaço relacionados
com processos de difusão/dispersão.
2 2
∂u
⎛ ∂ u ∂ u ⎞
= α ⎜ + ⎟
2 2
∂t
⎝ ∂x
∂y
⎠
Onde u é a variável dependente eα é o coeficiente de
difusão, e será considerado igual a 1 neste trabalho.
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Notação:
u t
i , j =
u t+
1
i+
1 , j+
1
u
( t,
x,
y)
u(
t + Δt,
x + Δx,
y + Δy)
A equação acima será discretizada usando as formulações explícita e implícita. O
método Hopscotch é uma combinação dessas duas formulações.
2.6.1.1.1 - Formulação Explícita
Na formulação explícita, as equações são independentes, permitindo, portanto, solução
direta. Usando (3) e (4), vem:
u
t+
1 t
t
t t t
t t
i.
j − ui,
j ⎛ ui+
1,
j − 2ui,
j + ui−1,
j ui,
j+
1 − 2u
i,
j + ui,
j−1
Δt
u
t+
1
i,
j
=
2
2
[ ] + O[
( Δy)
]
⎞
= α ⎜
+
⎟ + O(
Δt)
+ O ( Δx)
⎜
2
2
( x)
( y)
⎟
, e
⎝ Δ
Δ ⎠
⎛
= ⎜1−
2α
⎜
⎝
⎛
( Δt)
⎜
+ 2 ( Δx)
( Δy
)
Fazendo ?x = ? y = h e definindo
vem:
2.6.1.1.2 - Formulação Implícita
⎝
1
1
2
⎞⎞
⎟⎟
⎟
u
⎟
⎠⎠
t
i,
j
+ α
( Δt)
⎛u
⎜
⎝
t
i+
1
+ u
t
u
+ u
( ) ( ) ⎟ , j i−1,
j i,
j+
1 i,
j−1
+ 2
2
Δx
Δy
t
Δt
K = α 2 , (5)
h
t t t t t
( −4k)
u + K(
u + u + u + u )
t+
1
ui, j 1 i,
j i+
1,
j i−1,
j i,
j+
1 i,
j−1
= . (6)
Na formulação implícita, as equações resultantes são acopladas, o que exige a
resolução de um sistema de equações a cada passo de tempo. Usando (3) e (4), vem:
u
t+
1
i.
j
− u
Δt
t
i,
j
t
⎞
⎠
2
2
[ ] + O[
( Δy)
]
t+
1 t+
1 t+
1 t+
1 t+
1 t+
1
⎛ ui+
1,
j − 2ui,
j + ui−1,
j ui,
j+
1 − 2ui,
j + ui,
j−1
⎞
= α ⎜
+
⎟ + O(
Δt
) + O ( Δx)
⎜
2
2
( x)
( y)
⎟
, e
⎝ Δ
Δ ⎠