PARALELIZAÇÃO DA RESOLUÇÃO DE EDPs PELO MÉTODO ...

vem:
2.6.1.2.2 - Formulação Implícita
t t t t t
( −4k)
u + K(
u + u + u + u )
t+
1
ui, j 1 i,
j i+
1,
j i−1,
j i,
j+
1 i,
j−1
= . (6)
Na formulação implícita, as equações resultantes são acopladas, o que exige a
resolução de um sistema de equações a cada passo de tempo. Usando (3) e (4), vem:
u
t+
1
i.
j
− u
Δt
t
i,
j
u
t
i,
j
14
2
2
[ ] + O[
( Δy)
]
t+
1 t+
1 t+
1 t+
1 t+
1 t+
1
⎛ ui+
1,
j − 2ui,
j + ui−1,
j ui,
j+
1 − 2ui,
j + ui,
j−1
⎞
= α ⎜
+
⎟ + O(
Δt
) + O ( Δx)
⎜
2
2
( x)
( y)
⎟
, e
⎝ Δ
Δ ⎠
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ⎟ t+
1 t+
1 t+
1 t+
1
⎛ ⎛
⎞⎞
⎛ +
+ ⎞
⎜ ⎜
1 1
u
⎟⎟
+
+ 1,
u −1,
u , + 1 u
t 1
i j i j i j i,
j−1
= 1+
2α
Δt
− Δ ⎜
+
⎜ ⎜
+ 2
2 ⎟
ui,
j α t
⎟ ⎜
2
2 .
⎝ ⎝ Δx
Δy
⎠⎠
⎝ Δx
Δy
⎠
?t
Fazendo ?x = ? y = h e definindo K = a , vem:
2
h
t
i,
j
2.6.1.3 - Equação hiperbólica
t+
1 t+
1 t+
1 t+
1 t+
1
( 1+
4k)
u −K(
u + u + u + u )
u =
, e
i,
j
i+
1,
j
i−1,
j
i,
j+
1
i,
j−1
t
t+
1 t+
1 t+
1 t 1
( u + K(
u + u + u + u )
t+
1 ⎛ 1 ⎞
+
u i,
j = ⎜ ⎟ i,
j i+
1,
j i−1,
j i,
j+
1 i,
j−1
. (7)
⎝1
+ 4k
⎠
Este tipo de EDP descreve problemas que envolvem propagação, transporte. Será
agora discretizada a equação da onda linear de primeira ordem bidimensional. A equação é da
forma
∂u
⎡ ∂u
∂u
⎤
Assim, = −
∂
⎢c1
+ c2
⎥ .
t ⎣ ∂t
∂y
⎦
2.6.1.3.1 - Formulação explícita
Usando (3) e (4), vem
u
t+
1
i,
j
fazendo Δ x = Δy
= h e c c = c , vem:
t
ut + ∇ . ( uc)
= 0, onde c = ( c1,
c2
) .
t
t t
t t
− ui,
j ⎡ ui+
1,
j −u
i−1,
j ui,
j+
1 −u
i,
j−1
⎤
= −⎢c1
+ c2
⎥ ,
Δt
⎢⎣
2Δx
2Δy
⎥⎦
1 = 2