dinˆamica dissipativa da transic¸˜ao de desconfinamento - UFRJ

CAPÍTULO 2. A TRANSIÇÃO DE DESCONFINAMENTO 10
gauge, é necessária a definição de uma grandeza que recebe o nome de comparador, que
estará relacionada à linha de Wilson já mencionada anteriormente.
Comecemos, então, com um exemplo simples. Consideremos a Lagrangeana de um campo
de Dirac livre:
Esta Lagrangeana é invariante sob transformações do tipo:
L = ¯ ψ(iγ µ ∂µ − m)ψ. (2.1)
ψ(x) → e iα ψ(x). (2.2)
Esta transformação representa uma rotação de um ângulo α fixo, ou seja, uma fase. Como
todos os pontos do sistema obedecem à mesma lei de transformação, temos aqui uma trans-
formação global. Generalizando agora: se, ao invés de ser um ângulo fixo, α for uma função
de x, ficamos com a seguinte transformação:
ψ(x) → e iα(x) ψ(x), (2.3)
e a Lagrangeana não é mais invariante. O termo de massa continua sendo invariante, en-
tretanto passamos a ter problemas em como definir a maneira com que o termo contendo a
derivada se transforma. Partindo da definição de derivada de ψ(x) na direção do vetor n µ ,
temos:
n µ 1
∂µψ = lim
ɛ→0
[ψ(x + ɛn) − ψ(x)] . (2.4)
ɛ
Em uma teoria invariante local, ψ(x + ɛn) e ψ(x) transformam-se de maneira diferente e
torna-se impossível definir uma lei de transformação. Para podermos realizar a subtração
presente na definição acima, precisamos introduzir um fator que compense esta diferença de
comportamento entre um ponto e seu vizinho. A maneira mais simples é definir uma quan-
tidade escalar U(y, x) que dependa dos dois pontos e tenha a seguinte lei de transformação:
U(y, x) → e iα(y) U(y, x)e −iα(x) . (2.5)
Requeremos, ainda, que quando a separação entre os pontos for zero tenhamos U(y, y) = 1.
Em geral, podemos considerar o fator U(y, x) como uma fase pura, U(y, x) = exp[iφ(y, x)].