dinˆamica dissipativa da transic¸˜ao de desconfinamento - UFRJ

CAPÍTULO 4. EVOLUÇÃO DO PARÂMETRO DE ORDEM 34
4.1 A equação de Langevin em mecânica estatística
Consideremos, inicialmente, o movimento descrito por uma única partícula. Partindo da
segunda lei de Newton:
m du
dt
= F, (4.1)
onde u é a velocidade e F a força total que age sobre a partícula. A força F pode ser
dividida em duas partes. Uma parte está relacionada à fricção da partícula no meio, ou seja,
à dissipação. Esta parte geralmente é proporcional à velocidade da partícula. Definindo o
coeficiente de dissipação mλ, a força dissipativa será:
Fd = −mλu. (4.2)
A segunda parte da força é tomada como uma força aleatória independente do movimento
da partícula. Podemos interpretá-la como vindo de flutuações oriundas de diferentes fontes,
por exemplo flutuações térmicas. Chamando esta força aleatória de ξ(t), nossa equação se
torna:
m du
dt
= −mλu + ξ(t). (4.3)
Esta é uma equação estocástica devido à presença do termo aleatório da força. Se temos,
além disso, um campo externo, teremos mais um termo na equação, relacionado ao potencial
deste campo:
onde
dp
dt
= −∂V
∂x
dx
dt
= p
m
− λp + ξ(t), (4.4)
≡ u(t). (4.5)
Equações deste tipo, contendo uma força aleatória e dissipação, são chamadas de equações
de Langevin [47].
A força ξ(t) é representada por um processo estocástico que evolui no tempo de maneira
aleatória. A velocidade u(t) e a posição x(t), consequentemente, também evoluem aleato-
riamente no tempo, já que são resultado da força estocástica ξ(t). Resolver uma equação
diferencial do tipo da equação (4.3) ou (4.4) significa determinar os processos estocásticos
u(t) e x(t) conhecendo a força geradora ξ(t).