Estudo de Propriedades Cr´ıticas de Sistemas de Spin de Ising ...

Estudo de Propriedades Críticasde Sistemas de Spin de IsingDesordenadosJean Carlos LessaOrientador: Sérgio L. A. de Queiroz

Estudo de Propriedades Críticasde Sistemas de Spin de IsingDesordenadosJean Carlos LessaTese de Doutorado apresentada ao Programade Pós-Graduação em Física,Instituto de Física, da UniversidadeFederal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitosnecessários à obtenção do título de Doutorem Ciências (Física).Orientador: Sérgio Luiz Alves de QueirozRio de JaneiroSetembro de 2006

ESTUDO DE PROPRIEDADES CRÍTICASDE SISTEMAS DE SPIN DE ISING DESORDENADOSJean Carlos LessaTese de Doutorado apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Física, Instituto de Física, da UniversidadeFederal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitosnecessários à obtenção do título de Doutor emCiências (Física).Orientador: Sérgio Luiz Alves de QueirozTese aprovada por:Dr. Sérgio Luiz Alves de Queiroz(Presidente e Orientador)Dr. João Antonio PlascakDr. Fábio David Alves Aarão ReisDr. Raimundo Rocha dos SantosDra. Mônica Pereira BahianaDra. Thereza Cristina de Lacerda PaivaRio de JaneiroSetembro de 2006

Lessa, Jean Carlos.L6378Estudo de Propriedades Críticas de Sistemasde Spin de Ising Desordenados / Jean Carlos Lessa -Rio de Janeiro: UFRJ/IF, 2006.xviii, 87f.: il ; 29,7cm.Orientador: Sérgio Luiz Alves de QueirozTese (doutorado) - UFRJ/ Instituto de Física/Programa de Pós-graduação em Física , 2006.Referências Bibliográficas: f. 81-87.1. Matriz de Transferência. 2. Escala de TamanhosFinitos. 3. Invariância Conforme. 4. Expoentesde Lyapunov. 5. Transicões de Fase. 6.Sistemas Desordenados. I. de Queiroz, Sérgio LuizAlves. II. Universidade Federal de Rio de Janeiro,Instituto de Física, Programa de Pós-graduação emFísica. III. Estudo de Propriedades Críticas de Sistemasde Spin de Ising Desordenados.

ResumoEstudo de Propriedades Críticasde Sistemas de Spin de Ising DesordenadosJean Carlos LessaOrientador: Sérgio Luiz Alves de QueirozResumo da tese de Doutorado submetida ao Programa de Pós-Graduação em Física, Institutode Física, da Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ, como parte dos requisitosnecessários à obtenção do título de Doutor em Ciências (Física).Neste trabalho, usamos métodos de matrizes de transferência numéricos, escala de tamanhosfinitos e invariância conforme, no estudo do comportamento crítico de sistemas deIsing desordenados bidimensionais. Apresentamos uma breve revisão sobre fenômenos críticos,transições de fase e sistemas magnéticos desordenados, bem como de modelos e problemas aserem abordados. Funções de correlação críticas do modelo de Ising com desordem nas ligações(sem frustração) são analizadas via expressões de invariância conforme. Encontramos resultadosqualitativamente corretos para os expoentes λ n associados às correções logarítmicas, paramomentos de ordem 0 ≤ n ≤ 4. Propomos um procedimento fenomenológico de ajuste que,no limite de baixa desordem, fornece estimativas corretas para os expoentes λ n (n = 0 − 3),de acordo com previsões teóricas. Investigamos propriedades do ponto multicrítico de vidrosde spin de Ising ±J em uma rede quadrada, admitindo sua exata localização dada por umarecente conjectura proposta por Nishimori e Nemoto. Encontramos c = 0.46(1) para a cargacentral; 0.187 η 0.196 para o expoente do decaimento das correlações, via expoentes deLyapunov; γ/ν = 1.797(5) e γ nl /ν = 5.59(2) para os expoentes das susceptibilidades lineare não linear. Uma avaliação direta de funções de correlação fornece η = 0.194(1), para omomento de ordem zero. Nossos resultados indicam inconsistencia com a classe de universalidadeda percolação, e que as susceptibilidades não apresentam comportamento de multi-escala.Finalmente, desenvolvemos uma sistemática para investigar o modelo de Blume-Capel com de-

sordem. Pontos críticos são determinados precisamente e valores estimados para quantidadescríticas do modelo uniforme são mais acurados do que os disponíveis na literatura. Comoum estudo preliminar, calculamos a temperatura no ponto correspondente ao parâmetro deanisotropia tricrítico uniforme, para uma configuração de desordem fraca.Palavras-chaves: Matriz de Transferência, Escala de Tamanhos Finitos, Invariância Conforme,Modelo de Ising, Sistemas Magnéticos Desordenados, Transições de Fase, Fenômenos Críticos..Rio de JaneiroSetembro de 2006

AbstractEstudo de Propriedades Críticasde Sistemas de Spin de Ising DesordenadosJean Carlos LessaOrientador: Sérgio Luiz Alves de QueirozAbstract da tese de Doutorado submetida ao Programa de Pós-Graduação em Física, Institutode Física, da Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ, como parte dos requisitosnecessários à obtenção do título de Doutor em Ciências (Física).In this work, we used numerical transfer matrix methods, finite-size scaling and conformalinvariance to study of critical behavior of disordered two-dimensional Ising systems. We presenta brief summary of critical phenomena, phase transitions and disordered magnetic systems, aswell as models and problems to be discussed. Critical correlation functions of the randombondIsing model (without frustration) are analyzed via conformal invariance expressions. Wefind qualitatively correct results for λ n exponents associated to logarithmic corrections for themoments of order 0 ≤ n ≤ 4. We propose a phenomenological fitting procedure which, inthe low-disorder limit, provides estimates for exponents λ n (n = 0 − 3), in accordance withpredictions. We have investigated multicritical point properties of ±J Ising spin glasses on asquare lattice, assuming that its exact localization is giving by a recent conjecture proposedby Nishimori and Nemoto. We find c=0.46(1) for the central charge; 0.187 η 0.196 for thedecay-of-correlation exponent, via Lyapunov exponents; γ/ν = 1.797(5) and γ nl /ν = 5.59(2)for the linear and nonlinear susceptibility exponents. A direct evaluation of correlation functionsprovides η = 0.194(1), for the zero-order moment. Our results are inconsistent withthe universality class of percolation and susceptibilities do not present multiscaling behavior.Finally, we developed a systematic procedure to investigate the Blume-Capel model with disor-

der. Critical points are precisely determined and estimated values for critical quantities of theuniform model are more accurate than those available in the literature. As a preliminary studywe calculated the temperature in the point correspondent the uniform tricritical anisotropyparameter, for a low disorder configuration.Key-words: Transfer Matrix, Finite-Size Scaling, Conformal Invariance, Ising Model, DisorderedMagnetic Systems, Phase Trasitions, Critical Phenomena.Rio de JaneiroSetembro de 2006

“A verdadeira viagem da descoberta não consiste em encontrar novasterras, mas em ver com novos olhos.”(Marcel Proust)“O que ouço, esqueço. O que vejo, lembro. O que faço, entendo.”(Confucius)“O exemplo não é uma forma de ensinar, é a única forma de ensinar.”(Albert Einstein)

Este trabalho é dedicado aDiogo Lucca S. Lessa.

AgradecimentosEm especial ao meu orientador, Prof. Sérgio L. A. de Queiroz, pelo seu brilhante trabalhode orientação, por sua objetividade, empenho e profissionalismo. Nossas inúmeras discussõesforam fundamentais para o enriquecimento desta tese. Sinto-me engrandecido por esta oportunidade.Aos professores e funcionários do Instituto de Física da UFRJ que, de alguma forma, tiveramparticipação neste projeto.Ao secretário da Pós-graduação, Carlos José, pela sua dedicação, sempre prestativo, emprol dos alunos.À minha companheira Simônia, pelo seu amor, apôio e compreensão, sempre presente nosmomentos de alegria e dificuldades.Aos meus familiares: Joanita, Nilce, Iara, Celso, Arnon, Maria Luiza, João Barbosa,Danúzia. Aos que não se encontram mais presentes: João B. dos Santos, Minevina P. daSilva, Celso Barbosa, Antenor, Cantionília e Onildo.A todos os amigos, minha sincera gratidão.Agradeço também à agência CAPES pelo apôio financeiro através do programa PICDT,ao Departamento de Física dos Sólidos da UFRJ pela infraestrutura de pesquisa disponibilizada,e a Universidade Estadual de Feira de Santana por viabilizar este projeto de qualificaçãoprofissional.

SumárioLista de FigurasLista de Tabelasxiiixvi1 Introdução 11.1 Sistemas de Ising Puros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.1 Modelo de Ising . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.2 Transições de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.3 Expoentes críticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.4 Propriedades do modelo de Ising bidimensinal . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Sistemas Magnéticos Desordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.1 Diluição e interação aleatória . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.2 Campo aleatório . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2.3 Vidros de spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.2.4 O método de réplica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.3 Matrizes de Transferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.3.1 Definição da matriz de transferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.3.2 Transformações conformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.3.3 Escala de tamanhos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.3.4 Média em sistemas desordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 Correlações do Modelo de Ising de Ligações Aleatórias 342.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.2 Método . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.3 Resultados numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.4 Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50xi

xii3 Propriedades do Ponto de Nishimori na Rede Quadrada 523.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.2 Energia livre e carga central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.3 O expoente η . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.4 Susceptibilidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.5 Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644 Introdução ao Modelo de Blume-Capel Desordenado 664.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.2 O Modelo de Blume-Capel Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.3 Modelo Desordenado e Técnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.4 Resultados Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.5 Comentários e Perspectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765 Conclusão 78Referências Bibliográficas 81

Lista de Figuras2.1 Gráfico bi-logaritmico dos momentos da distribuição da função de correlação,contra z = ( sinh 2 (πx/L) + sin 2 (πy/L) ) 1/2, para r = 1/4, L = 16, N = 10 5 .Linhas são ajustes de mínimos quadrados a uma forma de lei de potências aosdados, de cujas inclinações se extrai estimativas para os η effn da Eq. (2.8). . . . 402.2 Gráfico semi-logaritmico dos momentos da distribuição da função de correlação,contra a distancia R ao longo da tira (i.é. fazendo y = 0 na Eq. (2.7)). Linhasretas são ajustes de mínimos quadrados aos dados, de cujas inclinações os diversosvalores de λ n na Tabela 2.2 são estimados (ver texto). Aqui r = 1/4,L = 10, N = 10 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.3 Expoentes de correção logaritmica λ n , calculados por meio da expressão assintótica,Eq. (2.11) de momentos da distribuição da função de ccorrelação contraa intensidade da desordem r (desordem aumenta com o decréscimo de r, verEq. (2.4)). Barras de erros são da mesma ordem, ou menores do que, o tamanhodos símbolos. Linhas horizontais tracejadas partindo do eixo vertical marcamos valores esperados de λ n = −1/8, 0, 1/4, 3/4, e 3/2 respectivamente paran = 0 − 4. Todos para L = 10, N = 10 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.4 Estimativas de π bg(ln L) da Eq. (2.11) (admitindo η n , λ n terem seus valoresexatos) calculados dos momentos da distribuição da função de correlação, contraa intensidade da desordem r. Barras de erros são da mesma ordem, ou menoresdo que, o tamanho dos símbolos. Para todos L = 10, N = 10 5 . . . . . . . . . . 45xiii

xiv2.5 Diagrama principal: gráfico bi-logaritmico do momento de ordem n = 0 dadistribuição da função de correlação, contra [z (lnz) q ] para q = 1/2. A linhacorresponde a η 0 = 0.2505 (melhor estimativa obtida para q = 1/2 fixo, vertexto); L = 10, r = 1/4. Janela: gráfico semi-logaritmico de χ 2 d.o.f.contra−Λ 0 , para ajustes de dados para o momento n = 0 contra z −η0 [lnz] Λ0 , comη 0 = 0.2505 (fixo). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.6 Diagrama principal: gráfico bi-logaritmico do momento de ordem n = 1 dadistribuição da função de correlação, contra [z (lnz) q ] para q = 0. A linhacorresponde a η 1 = 0.2505 (melhor estimativa obtida para q = 0 fixo, ver texto);L = 10, r = 1/4. Janela: gráfico semi-logaritmico de χ 2 d.o.f. contra Λ 1 , paraajustes de dados do momento de ordem n = 1 contra z −η1 [lnz] Λ1 , com η 1 =0.2505 (fixo). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.7 Gráfico bi-logaritmico de momentos de ordem superior da distribuição da funçãode correlação, contra [z (lnz) q ] com q = −1/2, −1, e −3/2 respectivamente paran = 2, 3, e 4. Linhas contínuas mostram o subconjuntos dos dados usados noajuste de mínimos quadrados de η n para q fixo como acima. L = 10, r = 1/4. . 492.8 Diagrama principal: gráfico bi-logaritmico do momento de ordem n = 2 dadistribuição da função de correlação, contra [z (lnz) q ] para q = −1/2. A linhacorresponde a η 2 = 0.4992 (melhor estimativa obtida para q = −1/2 fixo, vertexto); L = 10, r = 1/4. Janela: gráfico semi-logaritmico de χ 2 d.o.f. contra Λ 2,para ajuste de dados do momento de ordem n = 2 contra z −η2 [lnz] Λ2 , comη 2 = 0.4992 (fixo). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.1 Energia livre negativa no ponto de Nishimori conjecturado, para tiras de largura4 ≤ L ≤ 16 e N = 10 6 , contra 1/L 2 . A linha usa a estimativa central de umajuste de mínimos parabólicos aos dados, via Eq. (3.6), que dá f L = 1.7228(1)+0.46(1)π/6L 2 + 0.15(9)/L 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

xv3.2 Expoente η L contra 1/L 2 . Os dados são para L = 6, · · · ,16. A seta apontandopara o eixo vertical indica o valor da percolação, η p = 5/24. A linha reta é umajuste de mínimos quadrados aos dados para L = 8 − 16. A área sombreadapróxima ao eixo vertical corresponde a limites de confiança aproximados para aextrapolação dos dados de tamanhos finitos. A barra vertical à esquerda do eixovertical dá a faixa de η 0 da avaliação direta do momento zero da distribuiçãoda função de correlação (ver texto). Linhas verticais à esquerda do gráficomostram faixas de algumas recentes estimativas de η 1 . Linha cheia, Refs. 110,113; tracejada curta, Ref. 114; tracejada longa, Ref. 121. . . . . . . . . . . . . 593.3 Gráfico bi-logarítmico da susceptibilidade linear a campo zero χ L no ponto deNishimori conjecturado, para L = 4 − 16. A linha é um ajuste de mínimos quadradosde uma lei de potência simples aos dados para L = 6 −16, possibilitandoa estimação de γ/ν com o uso da Eq. (3.11). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.4 Gráfico bi-logarítmico da susceptibilidade não linear a campo zero χ nlLno pontode Nishimori conjecturado, para L = 4 − 16. A linha é um ajuste de mínimosquadrados de uma lei de potência simples aos dados para L = 4 − 16, possibilitandoa estimação de γ nl /ν com o uso da Eq. (3.11). . . . . . . . . . . . . . . . 634.1 Localização da temperatura crítica para D = 1.90, a partir da interseção mútuado conjunto de curvas para L/π ξ L (inclinação positiva) e Lσ L /π (inclinaçãonegativa) em função de T, fornecendo o valor T c = 0.765(5). . . . . . . . . . . . 704.2 Comprimento de persistência escalado ao longo do trecho sobre a curva críticaem função da temperaura, para os dados da Tabela 4.1. O cruzamento dascurvas é uma estimativa de tamanhos finitos para a temperatura tricrítica e nosfornece o valor T c = 0.609(2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.3 Conjunto de curvas L/π ξ L (inclinação positiva) e Lσ L /π (inclinação negativa)em função da temperatura. A interseção mútua das curvas converge para o valorD t = 1.9657(1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.4 Energia livre negativa no ponto tricrítico, para tiras de larguras 4 ≤ L ≤ 14. Alinha corresponde a um ajuste de mínimos quadrados não- linear aos dados, viaEq. (4.9) até ordem de L −10 , e fornece a melhor estimativa para a carga central,c = 0.70002(2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

xvi4.5 Estimativas para η obtidas da Eq. 4.10, no ponto tricrítico para tiras de larguras4 ≤ L ≤ 14. A linha corresponde a um ajuste de mínimos quadrados linear paravalores de 11 ≤ L ≤ 14, fornecendo o valor aproximado η ≈ 0.1511. . . . . . . . 754.6 Estimativa para η obtida da Eq. (4.11) contra z ≡ ( sinh 2 (πx/L) + sin 2 (πy/L) ) 1/2,no ponto tricrítico, para L = 12 e pontos no intervalo 1 ≤ x ≤ 10, 0 ≤ y ≤ 6.A linha corresponde a um ajuste de mínimos quadrados linear e fornece o valorη = 0.151(1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.7 Conjunto de curvas L/π ξ L (inclinação positiva) e Lσ L /π (inclinação negativa)em função da temperatura, para vários valores de L. As linhas são ajustes demínimos quadrados parabólicos aos dados (a simples conexão dos pontos leva aomesmo resultado, desde que os pontos não estejam suficientemente separados).A interseção mútua das curvas converge para o valor T c = 0.539(3). . . . . . . . 77

Lista de Tabelas2.1 Estimativas de expoentes efetivos η effi , a partir do ajuste de mínimos quadradosaos momentos das distribuições da função de correlação à forma m i ∼ z −ηeff i .Dados para r = 1/4, L = 16 e N = 10 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.2 Estimativas dos expoentes λ n , do ajuste de mínimos quadrados de momentosdistribuições da função de correlação a uma forma com decaimento puramenteexponencial, como dado pela Eq. (2.11), conservando os η n fixos em seus valorespara o sistema puro: η 0 = 1/4, η n = n/4 (n ≥ 1). Dados para r = 1/4, L = 10e N = 10 5 . Incertezas referentes ao último dígito são mostradas em parênteses. 422.3 Estimativas dos expoentes η n e Λ n , de ajustes de mínimos quadrados dos momentosdas distribuições da função de correlação obtidas com G n (z) ∼ [z (lnz) qn ] −ηn ,como dadas pela Eq. (2.13); ver também Eq. (2.12). Dados para r = 1/4, L = 10e N = 10 5 . Incertezas nos últimos dígitos são mostradas em parênteses. . . . . 484.1 Estimativas de pontos críticos T c e D c em torno da posição estimada do pontotricrítico T = 0.610, D = 1.9655 da Ref. 151. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.2 Estimativas para a energia livre f ∞ e carga central c obtidas do procedimentode ajuste via Eq. (4.9), para várias ordens de n em 1/L. A melhor estimativapara c corresponde a n = 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73xvii

Capítulo 1IntroduçãoO estudo de transições de fase e fenômenos críticos vem se desenvolvendo há mais de um século,fortemente influenciado pela investigação de sistemas magnéticos. A solução exata do modelode Ising bidimensional [1] em 1944 por Onsager, demonstrando a existência de transição defase e de várias propriedades que puderam ser verificadas experimentalmente em materiaismagnéticos, despertou um crescente interesse nesse campo de pesquisa. A despeito de suasimplicidade, o modelo de Ising bidimensional apresenta resultados não triviais, sendo consideradocomo um protótipo no estudo de ferromagnetos, tendo contribuído decisivamente paraa construção da teoria das transições de fase em sistemas magnéticos.A introdução de conceitos básicos como universalidade, escala de funções termodinâmicas,bem como da teoria do grupo de renormalização, foram fundamentais para o conhecimentoque temos hoje sobre transições de fase. Entretanto, muito do que se conhece sobre o comportamentocrítico de sistemas magnéticos deve-se ao estudo de sistemas puros ideais, tais comocristais perfeitos (invariância translacional). Por outro lado, sabe-se que cristais magnéticosreais contêm defeitos e impurezas que levam à desordem estrutural. Desta forma, é importanteentender os possíveis efeitos da desordem nas quantidades termodinâmicas do sistema e se estecontinua a pertencer à mesma classe de universalidade do correspondente sistema uniforme.1.1 Sistemas de Ising PurosO estudo de modelos magnéticos tem sido fundamental em teoria de fenômenos críticos etransições de fase, visto que podem constituir realizações muito precisas de determinados siste-

Capítulo 1 - Introdução 2mas que, experimentalmente, exibem ordenamento magnético. Em particular, o célebre modelode Ising é o exemplo mais simples de um ferromagneto estudado durante décadas, e tem contribuídodecisivamente no entendimento de fenômenos coletivos. Faremos uma breve exposiçãode alguns de seus aspectos básicos.1.1.1 Modelo de IsingO modelo de Ising foi proposto por Lenz [2] em 1920 para o seu aluno Ising [3] que, usandométodo combinatorial, obteve uma solução exata para o caso unidimensional, constatando nãohaver transição de fase em temperatura finita [4].O modelo consiste de variáveis de spin s i = ±1 localizadas em cada um dos N sítios deuma rede d-dimensional, que interagem entre si de acordo com o HamiltonianoH = − ∑ 〈i,j〉J ij s i s j − h ∑ is i , (1.1)onde J ij é a interação de troca, h um campo magnético externo e 〈i,j〉 denota interação entreprimeiros vizinhos. A campo nulo (h = 0), o Hamiltoniano (1.1) exibe simetria por inversãode spin, isto é, a energia é invariante sob uma troca simultânea dos sinais dos spins.Evidentemente, este modelo é uma idealização. Podemos imaginar o sistema como constituídode moléculas localizadas nos sítios da rede. Cada molécula representa um magnetomicroscópico (momento de dipolo), que se restringe a apontar ao longo de uma direção preferencial,para cima (s i = +1) ou para baixo (s i = −1). Uma descrição mais sofisticada develevar em conta que o momento magnético da molécula é um vetor que aponta em qualquerdireção. O modelo de Heisenberg, cujo HamiltonianoH = − ∑ 〈i,j〉J ij ⃗s i · ⃗s j , (1.2)reflete esta propriedade. Entretanto, seu estudo analítico ou numérico é bem mais difícil, poisos operadores de spin não comutam neste caso, sendo necessário um tratamento quântico.Mesmo desprezando a não-comutatividade (modelos de Heisenberg clássicos), o que pode serjustificado a altas temperaturas, o problema ainda é difícil pois o parâmetro de ordem é uma

Capítulo 1 - Introdução 3quantidade vetorial ( ao contrário do modelo de Ising, em que este é escalar). Apesar de modelosde spin quânticos, em d dimensões poderem ser mapeados em sistemas de spin clássicosem d + 1 dimensões, ainda assim teremos que tratar com vetores. Por outro lado, existem propriedadesuniversais que independem da estrutura interna dos materiais, importando apenas adimensionalidade do espaço e a simetria do parâmetro de ordem. Isto permite ao modelo deIsing descrever as propriedades críticas de uma dada classe de materiais.Estudos experimentais mostram que certos cristais com anisotropia uniaxial, onde os spinsse alinham ao longo de uma direção específica, apresentam comportamento crítico do tipoIsing. No antiferromagneto Rb 2 CoF 4 , as interações intraplanos são bem mais fortes do queas interações interplanos, devido à anisotropia da rede. O comportamento crítico do calor específicodeste material [5], obtido por técnicas de birefringência, está em completo acordo com oresultado exato para o modelo de Ising bidimensional. Para o antiferromagneto FeF 2 , medidasdo calor específico [6], da susceptibilidade e comprimento de correlação [7] por espalhamentode neutrons, medidas de β em filmes ultrafinos [8, 9], exibem o comportamento crítico previstoteoricamente para sistemas de Ising tridimensionais. Outros exemplos de sistemas de Isingpodem ser encontrados nas Refs. 10–12, para o caso puro, e 13 para o caso desordenado.1.1.2 Transições de faseUma quantidade termodinâmica de interesse na descrição das transições de fase de segundaordem é o comprimento de correlação. Suponha que conhecemos algumas propriedades macroscópicas(densidade, magnetização) de um material, um ferromagneto por exemplo, o qualdividimos em duas partes iguais, mantendo suas variáveis externas, tais como temperatura ecampo magnético, fixas. As propriedades macroscópicas de cada parte serão as mesmas daquelasda amostra original. Entretanto, este comportamento não se reproduzirá indefinidamentenum processo iterativo, visto que as propriedades microscópicas dos constituintes da matéria(átomos) são distintas daquelas macroscópicas. Haverá um limite neste processo em que aspropriedades macroscópicas de cada subsistema (pequeno, mas ainda macroscópico) não serãomais as mesmas para cada parte. O limiar desta regularidade é caracterizado por uma escalade comprimento, o comprimento de correlação ξ 1 do material. O comprimento de correlaçãoé uma função de parâmetros externos tais como a temperatura e a pressão em um fluido.1 ξ mede a distância espacial sobre a qual as flutuações dos graus de liberdade microscópicosestão correlacionados.

Capítulo 1 - Introdução 4Certos materiais podem sofrer mudanças abruptas em suas propriedades termodinâmicasquando submetidas à variações de um (ou mais) de seus parâmetros externos. Este comportamentocaracteriza uma transição de fase que pode ser classificada como de primeira ordem(descontínua) ou de segunda ordem (contínua). No primeiro caso, diversas quantidades termodinâmicassofrem descontinuidades ao passar pelo linha de transição e o comprimento decorrelação permanece finito. Um clássico exemplo desse comportamento é a condensação deum gás em um líquido. No caso de uma transição de segunda ordem, as flutuações estão correlacionadasem todas as escalas de distância, de modo que o comprimento de correlação torna-seinfinito. Aqui, distintas fases, separadas pelo ponto crítico, tornam-se idênticas na transiçãoe as várias quantidades termodinâmicas variam continuamente ao passarem pelo ponto crítico. 2O parâmetro de ordem é uma quantidade termodinâmica mensurável que assume diferentesvalores em cada fase e é usual para caracterizar a natureza de uma transição. Para umferromagneto de Ising, o parâmetro de ordem é representado pela magnetização, definida comom = 1 N{∑〈s i 〉 = 1 ∑N Tr ii}s i P(s) , (1.3)onde N é o número total de spins e P(s) = e −β H /Z (β = 1/k B T) é a distribuição de Boltzmann-Gibbs. O fator de normalização Z é a função de partiçãoZ = ∑ s ie −β H , (1.4)onde a soma é sobre todos os possíveis estados ({s i }) do sistema.A susceptibilidade isotérmica χ está relacionada às flutuações da magnetização (∆m) 2 ≡〈m 2 〉 − 〈m〉 2 através deχ = β ∑(〈s i s j 〉 − 〈s i 〉〈s j 〉) . (1.5)Ni,jA função de correlação G(⃗r) entre dois spins separados por uma distância r (em unidades daconstante de rede) é dada porG(⃗r) = 〈s ⃗k s ⃗r 〉 − 〈s ⃗k 〉〈s ⃗r 〉. (1.6)2 Transições de fase de primeira ordem são caracterizadas por descontinuidades nas primeirasderivadas da energia livre em T c e singularidades tipo função-δ no calor específico esusceptibilidade. Em transições de segunda ordem, as primeiras derivadas da energia livre sãocontínuas, enquanto que as segundas derivadas apresentam singularidades (susceptibilidade ecalor específico podem divergir), bem como divergência do comprimento de correlação em T c .

Capítulo 1 - Introdução 5A função de correlação spin-spin nos diz o quanto um spin no sítio ⃗ k está correlacionado comoutro spin no sítio ⃗ k + ⃗r.Quando consideramos interações de primeiros vizinhos (curto alcance), as flutuações sãomenos correlacionadas quando a distância entre os spins aumenta. Fora de T c , espera-se queG(r) decaia exponencialmente a zero quando r → ∞. Tomando ⃗r = rê , sendo ê um vetorunitário fixo, temos o comportamento assintóticoG(⃗r) ∼ e−r/ξr τ , (1.7)onde τ é algum número e ξ é o comprimento de correlação na direção ê.Voltando ao modelo de Ising (na ausência de campo externo), acima da temperatura críticaT c (temperatura de Curie), a entropia predomina sobre a energia e os spins podem apontarem qualquer direção; o sistema se encontra numa fase paramagnética (desordenada), onde todasas funções termodinâmicas são analíticas. Abaixo da temperatura crítica T c , a entropiaé dominada pela energia e os spins tendem a se alinhar numa mesma direção, dando origema uma fase ferromagnética (ordenada). O diagrama de fase no plano m − h apresenta umadescontinuidade na magnetização, quando h → 0 + com valor +m 0 e h → 0 − com valor −m 0 .Esta descontinuidade caracteriza uma transição de primeira ordem e a preferência (dos spins)por uma direção particular dá origem a uma quebra espontânea de simetria. Uma transição defase ferro-paramagnética ocorre em T c quando m vai a zero continuamente, mas χ e ξ divergem,o que caracteriza uma transição de fase contínua ou de segunda ordem.Para um sistema unidimensional o estado fundamental é instável. Os spins estão conectadosentre si por apenas duas ligações, o que favorece as flutuações térmicas destruirem qualqueralinhamento ferromagnético. Neste caso, ocorre transição de fase apenas em T = 0. Em qualquertemperatura finita, a entropia sempre domina a energia impedindo o surgimento de umafase ordenada. Assim, diz-se que a dimensão crítica inferior do modelo de Ising é d l = 2, vistoque, neste caso, ocorre transição de fase.1.1.3 Expoentes críticosO comportamento singular ou divergente de certas funções termodinâmicas numa transição defase de segunda ordem é descrito em termos de expoentes críticos. No ponto crítico (T = T c ),ξ → ∞ (as flutuações ocorrem em todas as escalas de comprimento) e as correlações G(r)

Capítulo 1 - Introdução 6decaem como uma lei de potência. Consequentemente, o sistema é invariante por transformaçõesde escala e o comportamento das quantidades termodinâmicas, nas vizinhançasdo ponto crítico, pode ser descrito por meio de leis de potência. 3 . Para T ≠ T c , G(r) é umafunção exponencial e, portanto, invariância de escala não é preservada.Para o calor específico, o comportamento assintótico é dado porc ∼| 1 − T/T c | −α , h = 0. (1.8)De forma análoga, para a magnetização m, a susceptibilidade χ e a equação de estado para ocampo magnético h:m ∼| 1 − T/T c | β , T < T c , h = 0; (1.9)χ ∼| 1 − T/T c | −γ h = 0; (1.10)m ∼ h 1/δ , T = T c . (1.11)O comprimento de correlação e as funções de correlação se comportam comoξ ∼| 1 − T/T c | −ν , h = 0. (1.12)G(r) ∼ r −(d−2+η) , T = T c , h = 0. (1.13)As definições acima se referem a parte singular destas quantidades e, salvo quando explícito,as singularidades são as mesmas para T se aproximando de T c por cima ou por baixo. Osexpoentes α, β, γ, δ, ν e η são denominados de expoentes críticos.De acordo com a moderna teoria de escala, a forma de escala para a parte singular daenergia livre pode ser escrita comof s = t 2−α Φ(h/t ∆ ), (1.14)onde t =| 1 −T/T c |, ∆ = (2 −α+γ)/2 e Φ(h/t ∆ ) é uma função de escala. Tomando derivadasapropriadas de f s , tal como3 Leis de potência são invariantes por escala. Por exemplo, a substituição de x → ax nafunção f(x) = Ax −η , leva a uma função que é indistinguível de f(x) exceto por uma mudançana amplitude A por um fator a −η

Capítulo 1 - Introdução 7obtém-sem = − ∂f s∂h = t2−α−∆ f ′ (h/t ∆ ), (1.15)⎧⎨⎩α + 2β + γ = 2α + β(1 + δ) = 2lei de Rushbrookelei de Griffiths.(1.16)De modo análogo, temos a forma de escala para a função de correlaçãode onde seguem as leis de escalaG(r,t,h) = r −(d−2+η) Ψ(rt ν ,h/t ∆ ), (1.17)⎧⎨⎩γ = (2 − η)ννd = 2 − αlei de Fisherlei de Josephson.(1.18)A última lei é também conhecida como lei de hiperescala, pois ela envolve a dimensionalidadedo sistema.Sistemas que possuem os mesmos expoentes críticos pertencem à mesma classe de universalidade.De modo geral, o comportamento crítico de um sistema pode ser caracterizadopor expoentes universais que não dependem das características microscópicas do sistema, masapenas de propriedades gerais como a dimensionalidade espacial e a simetria do parâmetro deordem.1.1.4 Propriedades do modelo de Ising bidimensinalO modelo de Ising bidimensional é um dos mais simples sistemas magnéticos que apresentatransição de fase ferro-paramagnética e pode ser resolvido exatamente. Este modelo tem sidousado também na descrição de sistemas não magnéticos, como modelo de aprendizagem [14],armazenamento de informação em redes neurais [15], biologia molecular [16, 17] e sociologia [18].A primeira solução exata para o modelo de Ising em duas dimensões foi obtida por Kramerse Wannier [19] em 1941, quando localizaram a temperatura crítica do sistema via método dematrizes de transferência. Em 1944, Onsager [1] (também usando matriz de transferência) deduziuuma expressão analítica para a energia livre, na ausência de campo magnético, de onde se

Capítulo 1 - Introdução 8obtém a singularidade logarítimica do calor específico. Outros tratamentos visando simplificara solução foram dados posteriormente por Kaufmann [20], Schultz, Mattis e Lieb [21]. Soluçõesdidáticas deste problema podem ser encontradas nas Refs. 22 e 23, seguindo o tratamento dematrizes de transferência, e Refs. 24, 25, via método combinatorial.A temperatura crítica do modelo é dada por( ) 2Jsinh = 1, (1.19)k B T couk B T cJ2=ln ( 1 + √ ) ≈ 2.269. (1.20)2O calor específico apresenta uma singularidade logarítmica em T c ,( ) 22 2JC ≈ −Nk B ln |1 − T | + const. (T ≈ T c ). (1.21)π k B T c T cA magnetização por spin, obtida por Yang [26], pode ser expressa como⎧⎪⎨ 0 T > T cm(T) = ( [ ( )] ) −4 1/8⎪⎩2 J1 − sinhk BTT < T c ,(1.22)revelando uma transição de fase em T = T c .Para o modelo de Ising em d = 2, todos os expoentes críticos são conhecidos:α = 0, β = 1/8, γ = 7/4, ν = 1, η = 1/4 e δ = 15. (1.23)

Capítulo 1 - Introdução 91.2 Sistemas Magnéticos DesordenadosCristais magnéticos não são estruturas perfeitamente homogêneas e podem apresentar desordemem forma de impurezas, defeitos ou de alguma propriedade estrutural. Uma pequenaquantidade de impurezas distribuidas aleatoriamente sobre o material é suficiente para alteraras propriedades críticas do sistema. As avançadas técnicas de fabricação de cristais possibilitamuma introdução sistemática e controlada de desordem (produzidas por tais impurezas),podendo levar a diferentes cenários no comportamento crítico do sitema puro.Um possível efeito da desordem é a redução da temperatura crítica correspondente ao sistemahomogêneo. Sistemas que apresentam transição de fase de segunda ordem podem sofreruma mudança na sua classe de universalidade. A desordem é então denominada de relevantee, no contexto do grupo de renormalização, a criticalidade é associada a um novo ponto fixo.Entretanto, se o sistema uniforme exibe transição de fase de primeira ordem, as descontinuidadesdas funções termodinânicas na fronteira de fase podem ser suavizadas, induzindo o sistemapara uma transição de fase de segunda ordem [27]. Em condições mais extremas, a desordempode levar a temperatura de transição a zero, eliminando dessa forma a transição de fase.A desordem pode ser classificada como “temperada” (quenched) ou “recozida” (annealed).O caso temperado pode ser realizado através do resfriamento rápido da amostra, a partir dealta temperatura, imediatamente após a difusão das impurezas. O caso recozido corresponderiaa um resfriamento lento, de maneira que as impurezas tivessem tempo de se deslocar nointerior da amostra, buscando a minimização da energia livre.Na descrição de materiais magnéticos reais, considera-se desordem do tipo “quenched”,que corresponde usualmente com a situação experimental. Dentre as possíveis situações físicasdistintas, que podem ser produzidas experimentalmente para introduzir efeitos aleatórios nosmodelos puros, temos diluição aleatória de sítio, ligação aleatória e campo aleatório.1.2.1 Diluição e interação aleatóriaUm dos mais simples exemplos de sistemas desordenados é o problema de diluição aleatória [28].Isto é o que ocorre com o composto Rb 2 Co p Mg 1−p F 4 [29, 30] em d = 2, quando átomos nãomagnéticos de Mg substituem átomos magnéticos de Co em sítios aleatórios da rede. O modelo

Capítulo 1 - Introdução 10de Ising de sítio diluído é descrito pelo HamiltonianoH(s,ǫ) = −J ∑ 〈i,j〉ǫ i s i ǫ j s j − h ∑ iǫ i s i . (1.24)A primeira soma é sobre todos os pares de primeiros vizinhos 〈i,j〉 de uma rede d-dimensional,e a segunda sobre todos os sítios i . Os s i denotam spins de Ising e os ǫ i ∈ [0,1] são os númerosde ocupação, que em uma configuração de desordem ǫ, descreve a ocupação de um sítio i porum spin ǫ i = 1 com probabilidade p, ou não ǫ i = 0, com probabilidade 1−p. Os ǫ i são variáveisaleatórias “quenched”, isto é, elas são fixas.Outro problema de grande interesse, uma vez que aspectos e tratamento teórico são maissimples, considera que a desordem está nas interações de troca. O Hamiltoniano do modelo deIsing de ligação aleatória (“random-bond”) é dado porH(s,J ij ) = − ∑ 〈i,j〉J ij s i s j − h ∑ is i , (1.25)onde as variáveis aleatórias J ij que obedecem, por exemplo, a uma distribuição de probabilidadesbináriaP(J ij ) = pδ(J ij − J 1 ) + (1 − p)δ(J ij − J 2 ). (1.26)O caso especial de J 2 = 0 corresponde à diluição aleatória de ligações. Se J 1 e J 2 são positivos,o sistema é ferromagnético e o estado fundamental é duplamente degenerado. Todos osspins apontam para cima ou para baixo, visto que esta configuração minimiza simultâneamentetodas as interações de troca do Hamiltoniano. Entretanto, se a distribuição dos J ij inclui interaçõespositivas e negativas, há competicão entre as interações, devido à possibilidade emnão satisfazer (minimizar) simultâneamente todas as interações de troca do Hamiltoniano.Este fenômeno é conhecido como frustração. Para uma suficiente concentração de plaquetasfrustradas, quando há uma forte competição, a existência e a natureza de uma fase ordenadatorna-se muito complexa, caracterizando uma fase de vidro de spin.No problema de diluição aleatória, se a concentração de sítios ocupados (ligações) for muitopequena, então os sítios ocupados (ligações) formam pequenos aglomerados (“clusters”) isolados.Quando esta concentração cresce, o tamanho dos clusters também aumenta. Ao atingiruma concentração crítica p c haverá um cluster infinito permitindo que alguma informaçãoseja transmitida por toda a rede. O problema geométrico é denominado de percolação e correspondea uma transição de fase de segunda ordem com todos os expoentes críticos usuaiscaracterísticos. Para p < p c , não é possível ordem magnética de longo alcance e espera-se que

Capítulo 1 - Introdução 11T c (p) seja decrescente à medida que p decresce a partir de p = 1, indo a zero quando p → p c .Em T = 0, todos os spins em um cluster são paralelos e as propriedades magnéticas, em p c ,podem ser descritas pela estatística de clusters da percolação.O modelo de Ising e o problema de percolação são casos especiais de um modelo mais geralconhecido como modelo de Potts [31] q−estados definido pelo HamiltonianoH(σ i ,J ij ) = − ∑ 〈i,j〉J ij δ σiσ j, (1.27)onde as interações J ij (= J, caso puro) são restritas, por simplicidade, a primeiros vizinhose as variáveis de spin σ i , definidas em cada sítio da rede, podem assumir um dos q valoresσ i = 1,2,...,q. O modelo de Ising de spin−1/2 corresponde a q = 2, a menos de uma constantee a redefinição de J por um fator de 2. O problema de percolação ocorre no limite de q → 1,como pode ser mostrado pela análise formal da função de partição [32]. O modelo de Pottsuniforme exibe uma transição de fase de segunda ordem para q ≤ 4 e uma transição de primeiraordem para q > 4 [33] em d = 2.A classe de universalidade do modelo de Ising é diferente daquela da percolação visto que aestatística de clusters é distinta da mecânica estatística de um sistema em temperatura finita.Em outras palavras, o ponto T c (p c ) = 0 correspondente à percolação, no diagrama de fase T −p, pertence a uma classe de universalidade que não é a mesma daquela do modelo de Ising puroem T = T c (1).Uma questão fundamental em sistemas desordenados é saber se a introdução da desordemmuda a classe de universalidade do sistema puro. Um argumento heurístico introduzido porHarris [34] fornece uma resposta para esta questão:Suponha que o sistema possa ser dividido em blocos independentes de tamanho linear ξ evolume ξ d , onde ξ é o comprimento de correlação e d a dimensão espacial. O número deinterações (ligações) em cada bloco é proporcional a este volume e as flutuações estatísticas δT cem T c destas interações são inversamente proporcionais à raiz quadrada deste número, isto é,δT c ∼ ξ −d/2 . Levando em conta que o comprimento de correlação diverge como ξ ∼ (T −T c ) −ν ,podemos escrever ∆T = T − T c ∼ ξ −1/ν . A desordem será irrelevante se as flutuações locaisem T c diminuírem mais rapidamente do que ∆T, quando ξ se aproxima do infinito, ou seja,δT c∆T = ξ(1/ν−d/2) → 0; ξ → ∞, (1.28)

Capítulo 1 - Introdução 12o que significa que2 − νd < 0. (1.29)Usando a relação de hiperescala α = 2 − νd, podemos escrever o critério de Harris em termosdo expoente do calor específico α, como a condição para que a desordem fraca seja irrelevante,α < 0. (1.30)Neste caso, o sistema desordenado pertence à mesma classe de universalidade que o sistemapuro. Por outro lado, se α > 0, então a desordem é relevante e espera-se que os expoentescríticos do sistema desordenado sejam distintos daqueles do sistema puro.O modelo de Heisenberg 3d puro [35, 36] é um exemplo para o qual α < 0 e a introdução dedesordem fraca não produz qualquer mudança no seu comportamento crítico, de modo que osexpoentes serão os mesmos do caso puro. Por outro lado, se α > 0, como acontece no modelode Ising 3d puro [36, 37], cálculos do grupo de renormalização em termos da expansão-ε esimulações [38] confirmam as previsões heurísticas do critério de Harris. Em síntese, cálculosde expansão-ε prevêem que para α < 0, o ponto fixo puro da transformação do grupo derenormalização é estável e a introdução de impurezas não altera o comportamento crítico dosistema. Para α > 0, o ponto fixo puro é instável, mas a desordem leva a um novo ponto fixoestável que preserva a transição de segunda ordem, porém os novos expoentes diferem daquelesdo sistema puro.Na situação limite, quando α = 0, o ponto fixo é marginal e o critério de Harris nãose aplica. Isto é o que ocorre com o modelo de Ising uniforme bidimensional, visto que α seanula devido à divergência logarítmica do calor específico. Assim, a desordem pode representaruma perturbação que pode ser relevante (instável) ou irrelevante (estável) ao comportamentodo sistema puro, dando lugar a dois possíveis cenários de interpretação que são mutuamenteexcludentes. Com base em formulações teóricas [39–42], o cenário denominado de correçõeslogarítmicas estabelece que, no limite de desordem fraca, o sistema permanece na mesmaclasse de universalidade que o sistema puro, mas as quantidades termodinânicas relevantesestão sujeitas a correções logarítmicas na criticalidade. O comprimento de correlação tem umcomportamento dado por( )]˜ν 1ξ ∼ t[1 −ν + ˜g ln , (1.31)tonde t = (T − T c )/T c ≪ 1 é a temperatura reduzida, T c = T c (p), e os expoentes ν e ˜ν sãorespectivamente 1 e 1/2, e ˜g é uma constante positiva que cresce com o aumento da desordem,

Capítulo 1 - Introdução 13sendo que no caso puro ˜g = 0. Para a susceptibilidade magnética, temos( )]˜γ 1χ ∼ t[1 −γ + ˜g ln , (1.32)tcom γ = 7/4 e ˜γ = 7/8. O expoente do calor específico é o mesmo do caso puro α = 0, mas Ctem um comportamento do tipo[ ( )] 1C ∼ ln 1 + ˜g ln . (1.33)tA função de correlação não apresenta qualquer alteração, de modo que o expoente η tem omesmo valor puro η = 1/4. Muitos trabalhos numéricos [43–49] e expansões em séries [50] dãosuporte a este cenário.O segundo cenário, rotulado de universalidade fraca [51], tem se apoiado em trabalhosnuméricos [52–54]. De acordo com esta interpretação, os expoentes críticos α, β, γ e ν variamcontinuamente com a desordem. Entretanto, esta variação é tal que a razão γ/ν permanececonstante com o mesmo valor do sistema puro. O comportamento assintótico de quantidadestais como a susceptibilidade e comprimento de correlação apresentam singularidades do tipolei de potência na criticalidade.Estes dois cenários são conflitantes e tem gerado motivos de muitas controvérsias. ARef. [55] apresenta um estudo detalhado sobre esta questão, entretanto não é conclusivo sobrequal interpretação é a mais completa. Por outro lado, outros autores [56] defendem avisão de comportamento universal com correções logarítmicas, com base em simulações deMonte Carlo [57–59] e estudos experimentais [8]. Segundo estes autores, estudos numéricos demodelos desordenados apresentam muitas dificuldades técnicas, como ausência de quantidadesautopromediadas (“self-averaging”), ou variação efetiva de expoentes devido ao efeito de“crossover”, que podem distorcer os resultados. Tomar médias de quantidades físicas sobre asamostras com métodos estatísticos não apropriados, pode levar a determinação inconsistentedos expoentes críticos.Tratando-se de sistemas puros que exibem transições de fase de primeira ordem, um argumentoheurístico devido a Imry e Wortis [27], estabelece que a desordem suaviza a transição, eem certas circunstâncias, induz o sistema a uma transição de fase de segunda ordem em d = 2.Este argumento foi estabelecido em termos mais rigorosos por considerações de grupo de renormalizaçãofenomenológico devido a Hui e Berker [60] e pelo teorema de Aizenman e Wehr [61],que confirmaram que a dimensão crítica inferior é d l = 2, para a qual uma quantidade infini-

Capítulo 1 - Introdução 14tesimal de desordem elimina as descontinuidades nas funções termodinâmicas, dando lugar atransições de fase contínuas.1.2.2 Campo aleatórioO modelo de Ising com campo aleatório [62] é definido pelo HamiltonianoH(s,h i ) = −J ∑ 〈i,j〉s i s j − ∑ ih i s i . (1.34)Os campos magnéticos h i são variáveis aleatórias cujos valores em diferentes sítios são nãocorrelacionadas, e são escolhidas de acordo com uma função distribuição P(h i ) simétrica emtorno de h i = 0, tal que [h i ] av = 0. Aqui, [· · · ] av representa a média sobre a desordem. Estemodelo teórico foi introduzido em 1975 [63] e pertence à mesma classe de universalidade doantiferromagneto diluído em campo uniforme [64], que constitue a sua realização experimental.O problema de campo aleatório apresenta frustração, pois existe competição entre as interaçõesde troca que tendem a alinhar os spins ferromagneticamente, e os campos aleatórios,que tendem a apontar os spins na mesma direção do campo local.Um argumento heurístico introduzido por Imry e Ma sugere que a dimensão crítica inferiorde sistemas de Ising com campo aleatório é d l = 2. Para campos aleatórios suficientementefortes |h i | ≫ J, o spin em cada sítio apontará na direção do campo neste sítio, de modo quenão será possível nenhum alinhamento ferromagnético em qualquer dimensão d (paramagneto).Entretanto, para campos aleatórios pequenos comparados com J, espera-se a ocorrência de umafase ordenada de baixa temperatura acima da dimensão crítica d l = 2. O argumento de Imry eMa é como segue: Considere um domínio de spins de tamanho linear L tal que a magnetização(spins para baixo) é oposta àquela da amostra (spins para cima), na presença de campospequenos h i ≪ J e a T = 0. O custo na energia de troca da parede de domínio é proporcionalà área da parede, ∆E J ∼ JL d−1 , enquanto que o ganho na energia do campo para que os spinsvençam uma tendência dos campos apontarem na direção oposta é resultante das flutuaçõesestatísticas, sendo proporcional a raiz quadrada do número total de sítios no domínio, isto é,∆E h ∼ h(L d ) 1/2 . A troca de energia total é então∆E T ∼ JL d−1 − hL d/2 . (1.35)Para d > 2, ∆E T > 0 para L grande, e o estado fundamental ferromagnético é estável, impe-

Capítulo 1 - Introdução 15dindo a formação de grandes domínios. Por outro lado, para d < 2, ∆E h domina e o estadofundamental ferromagnético é instável, permitindo que o sistema se divida em domínios, detal modo que ordens de longo alcance sejam destruídas. Desta forma, acredita-se que d l = 2.Note, entretanto, que este argumento não se aplica para d = 2.Cálculos perturbativos levam a uma dimensão crítica superior 4 d u = 6 para sistemas deIsing com campo aleatório, de modo que uma expansão em ε ≡ 6 − d [65–68], sugere que osexpoentes do problema de campo aleatório em d-dimensões são idênticos àqueles do sistemapuro em d − 2 dimensões. Visto que a dimensão crítica inferior do modelo de Ising puro éd l = 1, segue que a dimensão crítica do modelo de Ising com campo aleatório é d l = 3, casoa expansão valha até aí. Existem, entretanto, cálculos fenomenológicos rigorosos [69, 70] quedemonstram a ocorrência de transição de fase em d = 3. Em realizações experimentais de antiferromagnetosdiluídos como Fe x Zn 1−x Cl 2 [71] em d = 3 e com campo magnético , observa-seuma transição de fase para um estado ferromagnético. Para o antiferromagneto bidimensionalRb 2 Co p Mg 1−p F 4 [30], a presença de um campo aplicado H destroi a transição de fase que estápresente quando H = 0. Estes resultados são consistentes com d l < 3. A inconsistência com ateoria de perturbação deve-se ao fato de a mesma não tratar adequadamente com a existênciade mínimos degenerados da energia livre, que ocorre em sistemas aleatórios.Sabemos que uma transição de fase de segunda ordem convencional é caracterizada por doisexpoentes críticos independentes, ν (associado ao comprimento de correlação) e η (associado aodecaimento das correlações).Todavia, tem sido proposto [72–74] um novo expoente crítico independente na descrição doproblema de campo aleatório. Aqui, além da susceptibilidade convencionalχ = 1 T1N∑[〈s i s j 〉 − 〈s i 〉 〈s j 〉] av, (1.36)〈i,j〉devemos considerar também a susceptibilidade desconexaχ des = 1 ∑[〈s i 〉 〈s j 〉]Nav, (1.37)〈i,j〉que é diferente de zero para T > T c na presença de campo aleatório e diverge mais rapidamente4 Esta é a dimensão para a qual os expoentes tornam-se iguais aos de campo médio (flutuaçõesirrelevantes). O grupo de renormalização possibilita-nos calcular os expoentes críticospara d < d u a partir de uma expansão em termos do parâmetro ε ≡ d u − d, com d sendotratado como uma variável contínua. Para sistemas puros, d u = 4 e a expansão-ε dá valoresprecisos para os expoentes em d = 3.

Capítulo 1 - Introdução 16do que χ. Define-se, então, os expoentes η e ¯η porχ ∼ ξ 2−η , (1.38)e o novo expoente crítico θ é escrito comoχ des ∼ ξ 4−¯η , (1.39)θ = 2 − ¯η + η. (1.40)A lei de hiperescala é então redefinida por(d − θ)ν = 2 − α, (1.41)onde temos uma redução dimensional pela substituição de d → d − θ. Existe uma fronteirasuperior para este terceiro expoente devido a Schwartz e Soffer [75] que estabelece que ¯η ≤ 2η.Acredita-se que ¯η = 2η [76], evidenciado por expansões em séries [77]. Se isto está rigorosamentecorreto, teremos de volta a situação com apenas dois expoentes críticos independentes.Os estudos, tanto teóricos quanto experimentais, sobre o modelo de Ising com campoaleatório apresentam muitas dificuldades que não permitem entender completamente o seucomportamento crítico. Não está claro ainda se o caráter das transições é de primeira ou segundaordem, e quais são os valores exatos dos expoentes críticos.1.2.3 Vidros de spinVidros de spin [78, 79] são sistemas constituídos de momentos magnéticos (spins), cujas interaçõessão ferromagnéticas para algumas ligações e antiferromagnéticas para outras. Umafase de vidro de spin ocorre sob determinadas circunstâncias quando os spins tornam-se aleatoriamentecongelados. O termo vidro de spin está associado ao fato de que a orientaçãodos spins tem uma semelhança com a localização dos átomos em vidros, cujas posições sãoaparentemente aleatórias no espaço.Estudos experimentais de espalhamento de nêutrons em ligas magnéticas diluídas, taiscomo CuMn e AuFe com pequenas quantidades de impurezas (1% de concentração de íonsmagnéticos Mn ), mostram que a susceptibilidade magnética AC em campos fracos exibe umpico agudo em uma temperatura T f , sugerindo a ocorrência de uma transição de fase. Ne-

Capítulo 1 - Introdução 17nhum pico de Bragg é observado para qualquer comprimento de onda abaixo da temperaturaT f , o que indica ausência de ordem de longo alcance ferromagnética ou antiferromagnética.Comportamento similar tem sido observado em outros tipos de sistemas, tais como o isolantemagnético Eu p Sr 1−p S em altas concentrações. Este fenômeno caracteriza uma assinatura docomportamento de vidros de spin. Por outro lado, curvas do calor específico não apresentamqualquer tipo de singularidade, mas uma forma suave com um máximo em uma temperaturaligeiramente acima de T f . A ocorrência de uma transição de fase termodinânica para umafase de vidro de spin de baixa temperatura é uma questão que ainda não foi completamenteresolvida.Um modelo teórico de vidros de spin foi proposto por Edwards e Anderson [80], queatribuíram este fenômeno à competição entre as interações ferromagnéticas e antiferromagnéticas,o que dá origem à frustração. Na sua forma mais simples, o modelo pode ser descrito peloHamiltoniano do tipo IsingH(s,J ij ) = − ∑ 〈i,j〉J ij s i s j − h ∑ is i , (1.42)sendo os acoplamentos de spin J ij variáveis aleatórias independentes dados por uma distribuiçãode probabilidades P(J ij ). Dentre as distribuições mais comuns, temos a gaussianacom média J 0 e variância J 2 .P(J ij ) ={1√ exp − (J ij − J 0 ) 2 }2π J2 2J 2 , (1.43)O modelo de Edwards-Anderson considera que os átomos são distribuidos aleatoriamenteno material, resultando em aleatoriedade nas interações J ij . Outros modelos para tratar sistemasde vidro de spin foram também propostos, tais como o modelo de Sherrington-Kirkpatrick,que é uma versão de campo médio (longo alcance) do modelo Edwards-Anderson, e o modelode Hopfield para redes neurais, no qual a aleatoriedade em J ij tem origem na aleatoriedadedos padrões de memória.Uma característica do modelo Edwards-Anderson é a quebra espontânea de simetria (porinversão de spin) produzindo uma fase ordenada de baixa temperatura, a fase de vidro de spin,onde cada spin desenvolve um valor esperado não nulo, m i = 〈s i 〉, mas o sinal e magnitude dem i pode variar de sítio a sítio devido à competição aleatória das interações. Deste modo, amagnetização média por spin será nula nesta fase.

Capítulo 1 - Introdução 18Edwards e Anderson propuseram um parânetro de ordemq ≡ 1 NN∑i=1[〈s i 〉 2] , (1.44)avque é nulo na fase desordenada, onde m i = 0 (por simetria de inversão de spin) e diferente dezero na fase de vidro de spin. Em simulações de Monte Carlo, é usual estudar a susceptibilidadede vidro de spinχ sg = 1 N∑i,j[〈s i s j 〉 2] , (1.45)avque deverá divergir em T f , independentemente das correlações 〈s i s j 〉 serem ferromagnéticasou antiferromagnéticas. A quantidade χ sg permite estudar o sistema na fase paramagnéticaquando o mesmo se aproxima da temperatura crítica T f por cima, evitando-se os longos temposde relaxação para atingir o equilíbrio quando o sistema se encontra abaixo da temperaturacrítica. Entretanto, χ sg não pode ser medido diretamente em estudos experimentais.Considera-se, então, a susceptibilidade não linear χ nl , definida em termos da expansão damagnetização m em potências de um campo magnético aplicado hm = χh − χ nl h 3 + · · · , (1.46)ondeχ nl ≡ ∂3 m∂h 3 . (1.47)A susceptibilidade não linear é uma média de cumulante de 4-spin, de tal modo que para omodelo de vidro de spin, a única parte que sobrevive à média é o quadrado da função decorrelação de 2-spin. Portanto, χ nl ∼ χ sg . Há uma forte evidência experimental sugerindouma divergência em χ nl , seguido de uma transição de vidro de spin. Entretanto, a dificuldadeprática em observar divergências deste tipo em sistemas finitos requer uma base teórica quegaranta a existência de uma transição e dos seus respectivos expoentes críticos.1.2.4 O método de réplicaEm sistemas com desordem do tipo annealed (recozida), onde os spins magnéticosdo substrato estão em equilíbrio térmico com as impurezas, podemos escrever a funçãode partição como o traço sobre os graus de liberdade magnéticos juntamente com as posições

Capítulo 1 - Introdução 19das impurezas, isto é,Z({D}) = Tr [{si},{D}]{e−β H } . (1.48)Neste caso, a energia livre F = −ln Z pode ser obtida diretamente, visto que Z já inclui amédia sobre a desordem.Tratando-se de um sistema com desordem do tipo quenched (temperada), o tempo necessáriopara que as impurezas atinjam o equilíbrio térmico é tão grande que estas podemser consideradas como fixas. Deste modo, devemos tomar o traço apenas sobre os graus deliberdade magnéticos e a função de partição torna-seZ({D}) = Tr {D}{e−β H } . (1.49)Agora Z depende da distribuição das impurezas e o sistema não é mais translacionalmenteinvariante. Para calcularmos a energia livre devemos considerar que o sistema seja grande osuficiente, de modo que possamos dividi-lo em uma coleção de subsistemas (macroscopicamentegrandes). Cada subsistema tem uma diferente configuração da desordem, que pode ser obtidade um ensemble sujeito a uma distribuição de probabilidades P(D). A energia da amostrainteira é a soma das energias livres de cada subsistema, a menos de efeitos de superfície e, nolimite termodinânico, será igual à energia livre sobre o ensemble. Esta propriedade da energialivre é conhecida como “self-averaging” e será discutida com mais detalhes na Seção 1.3.4. Aenergia livre média é então dada por 5[F] = Tr {D} {P(D)F(D)} . (1.50)Aqui as flutuações relativas são proporcionais a 1/ √ V (V - volume do sistema) e vão a zerono limite termodinâmico. As quantidades termodinâmicas de interesse podem ser obtidas damaneira usual, a partir das derivadas apropriadas da Eq.(1.50).Tomar a média sobre a desordem para a energia livre nos permite recuperar a invariânciatranslacional do problema (admitindo que P(D) exibe invariância translacional). Mas istoleva a um problema técnico, porque é muito difícil calcular médias configuracionais de lnZ.Entretanto, podemos contornar esta dificuldade recorrendo ao método de réplica [81], a partirda identidadeZ n − 1ln Z = lim . (1.51)n→0 n5 Este resultado é válido se as correlações entre as impurezas são de curto alcance na funçãoP(D). A suposição de que resfriamos a amostra a partir de uma distribuição de alta temperatura,satisfaz esta condição.

Capítulo 1 - Introdução 20Consideramos n réplicas do sistema original, onde os graus de liberdade dos spins s i,a incluemum índice adicional a = 1,2,...,n, correspondendo ao spin i na réplica a, cada uma sujeita àmesma configuração da desordem. Deste modo, podemos escrever[Z n ] = Tr {sa} Tr {D} P(D)e − P a H({sa},{D}) , (1.52)onde, usualmente, o traço sobre D pode ser feito explicitamente 6 . O Hamiltoniano efetivo H ndo sistema replicado é dado pore −H({sa}) = Tr {D} P(D)e − P a H({sa},{D}) , (1.53)que depende apenas dos graus de liberdade replicados. O Hamiltoniano para n réplicas dosistema é simétrico sob permutação das réplicas. Entretanto, não é possível escreve-lo emtermos da soma de n Hamiltonianos de réplica, uma vez que estas tornaram-se acopladas.Neste caso, desde que n seja inteiro, a simetria de permutação do Hamiltoniano é preservada.Por outro lado, tomar o limite de n → 0 continuamente pode causar uma quebra espontâneadesta simetria. Isto é o que ocorre, por exemplo, com modelos de vidros de spin de alcanceinfinito (modelo de Sherrington-Kirkpatrick). É possível contornar esta dificuldade levando-seem conta uma quebra de simetria de réplica, o que significa admitir que diferentes cópias dosistema não sejam consideradas idênticas.6 Esta média pode ser feita, por exemplo, fazendo-se uso de uma expansão de cumulantes.

Capítulo 1 - Introdução 211.3 Matrizes de TransferênciaAs matrizes de transferência foram introduzidas por Kramers e Wannier [19] em 1941 paraestudar o modelo de Ising bidimensional e constituem hoje uma ferramenta poderosa na investigaçãode modelos estatísticos, possibilitando soluções analíticas e numéricas. O método reduzo problema de calcular a função de partição ao problema de encontrar os autovalores, no casode sistemas puros, ou expoentes de Lyapunov, no caso de sistemas desordenados, da matrizque descreve as interações entre os graus de liberdade magnéticos de uma dada rede. Em particular,alguns sistemas magnéticos puros bidimensionais podem ser tratados exatamente [82].Técnicas de matrizes de transferência numéricas [83] combinadas com escala de tamanhosfinitos, possibilitam cálculos bastante precisos de propriedades de sistemas magnéticos desordenadosem tiras bidimensionais M × N, com M ≪ N. Neste caso, teremos que tratar commatrizes de ordem q M × q M , onde q é o número de possíveis estados que as variáveis de spinpodem assumir. Este método pode ser estendido ao estudo de barras tridimensionais com Nsítios no comprimento e M 2 sítios na seção transversal. Entretanto, este é um problema bemmais complicado, pois agora teremos que tratar com matrizes de q M2 × q M2 , o que demandagrande quantidade de memória e tempo computacional.1.3.1 Definição da matriz de transferênciaConsidere um sistema bidimensional em uma rede quadrada (para fixar idéias), contendo Ncolunas com M sítios cada, e com graus de liberdade µ ≡ {s ij } 7 M,N . O Hamiltoniano quedescreve este sistema pode ser escrito comoN∑H{µ} = [H 1 (µ j ,µ j+1 ) + H 2 (µ j )], (1.54)j=1onde H 1 (µ j ,µ j+1 ) é a energia de interação entre as colunas j e j + 1, e H 2 (µ j ) é a energia deinteração entre os graus de liberdade numa mesma coluna j mais a interação com um campo externo.O Hamiltoniano (1.54) tem uma estrutura semelhante a de um sistema unidimensional,com a diferença que a variável de spin s ij assume q M valores, ao invés de q, correspondentesàs possíveis configurações de uma coluna.7 µ representa os estados de coluna e i,j rotulam as coordenadas de um sítio da rede. Aconfiguração da coluna j é denotada por µ j = {s 1j ;s 2j ; · · · ;s Mj }.

Capítulo 1 - Introdução 22A função de partição pode ser escrita comoZ M,N = ∑ µ jAssumindo condições de contorno periódicas⎧⎫⎨ Nexp⎩ −β ∑⎬[H 1 (µ j ,µ j+1 ) + H 2 (µ j )]⎭ . (1.55)j=1µ 1 ≡ µ N+1 , (1.56)podemos reescrever a função de partição como⎡N∏Z M,N = Tr ⎣j=1T j⎤⎦, (1.57)onde T j é a matriz de transferência q M × q M definida por〈µ j |T j |µ j+1 〉 = e −β[H1(µj,µj+1)+H2(µj)] . (1.58)Para um sistema puro, o teorema de Perron-Frobenius 8 [84] garante que existe um autovalordominante λ 0 , positivo e não degenerado, tal que a energia livre por sítio pode ser escrita comof = − 1β M limN→∞= − 1β M limN→∞1N ln[ Tr ( T N)] (1.59)⎧ ⎡⎤⎫1 ⎨N ln ∑q M ⎬⎩ λN 0⎣1 + (λ i /λ 0 ) N ⎦(1.60)⎭i=2= − 1β M lnλ 0. (1.61)Para calcular funções de correlação [83], assumimos que a matriz de transferência tem umconjunto completo de autovetores direito ψ 0 , ψ 1 ,· · · , e esquerdo ˜ψ 0 , ˜ψ1 ,· · · com componentesψ 0 (µ), ψ 1 (µ),· · · , ˜ψ 0 (µ), ˜ψ 1 (µ),· · · , respectivamente, e autovalores λ 0 > |λ 1 | ≥ · · · . A componentedo autovetor ψ 0 (µ), sendo a função de partição condicional assintótica, é a probabilidaderelativa para uma coluna de sítios à extrema esquerda (fronteira) de um sistema semi-infinitoestar no estado µ. Analogamente, ˜ψ0 (µ) é a probabilidade relativa para uma coluna de sítiosà extrema direita de um sistema semi-infinito (que se estende, a partir desta fronteira, infinitamentepara a esquerda) estar no estado µ. Generalizando este argumento, ˜ψ0 (µ)ψ 0 (µ) éa probabilidade relativa de uma coluna de sítios no “meio” de um sistema infinito estar no8 O teorema se aplica apenas a matrizes de ordem n × n finita. Assim, para sistemasbidimensionais M × N, devemos ter M finito.

Capítulo 1 - Introdução 23estado µ. Assim, para uma função f definida sobre as configurações de uma coluna de sítios,dados os autovetores direito e esquerdo dominantes, podemos calcular médias térmicas de fna superfície esquerda, direita e no “bulk”, respectivamente, como∑µ〈f〉 e =f(µ)ψ 0(µ)∑µ ψ , (1.62)0(µ)∑µ〈f〉 d =0 (µ)∑ ,µ 0 (µ)(1.63)∑µ〈f〉 =0 (µ)ψ 0 (µ)∑ .µ 0 (µ)ψ 0 (µ)(1.64)De maneira semelhante, a função de correlação 〈µ 0 µ r 〉 associada com duas colunas separadasde uma distância r, pode ser avaliada recursivamente através da expressão∑µ˜ψ(µ)µ0〈µ 0 µ r 〉 = 0µ rTr(µ 0 µ r )µ r ψ(µ)∑, (1.65)µ˜ψ(µ)Tr(µ0 0µ rµ r )ψ(µ)onde os autovetores ˜ψ e ψ são determinados por condições de contorno à esquerda e à direita,respectivamente. Autovetores esquerdo e direito dominantes levam à função de correlação dosistema infinito (tira).Tratando-se de um sistema desordenado, as matrizes de transferência T j estão sujeitasa uma distribuição de probabilidades P(T j ) que dependem dos acoplamentos aleatórios J ijentre os spins e/ou de campos externos aleatórios h i . Consequentemente, as matrizes T jnão comutam e, portanto, não podemos mais escrever a função de partição como Tr ( T N) .Neste caso, a partir do teorema de Oseledec [85], podemos calcular a energia livre do sistemabidimensional infinito comof = − 1 β limlimM→∞ N→∞⎡1MN ln⎛ ⎞⎤N∏⎣Tr ⎝ T j⎠⎦ = − 1 β limj=1M→∞1M Λ(0) , (1.66)onde∥⎛⎞∥∥∥∥∥Λ (0) 1N∏= limN→∞ N ln ⎝ T j⎠ |v 0 〉∥ , (1.67)j=1é o maior expoente de Lyapunov, |v 0 〉 é um vetor unitário inicial arbitrário e ‖ · · · ‖ denota a

Capítulo 1 - Introdução 24norma. Os expoentes de Lyapunov de qualquer ordem podem ser obtidos deonde |v i 〉 é um conjunto de vetores ortonormais.∥⎛⎞∥∥∥∥∥Λ (i) 1N∏= limN→∞ N ln ⎝ T j⎠ |v i 〉∥ , (1.68)j=1Em estudos numéricos, consideram-se tiras bidimensionais com M ≪ N em que os númerostípicos, p. ex. para spins de Ising, são M ∼ 16 e N ∼ 10 6 . Para uma tira de M sítios, comvariáveis de spin que podem assumir q possíveis estados, teremos que armazenar q 2M elementosde matriz. Entretanto, o uso de técnicas de matrizes esparsas, nos permite armazenar apenas2q M elementos de matriz, reduzindo enormemente a quantidade de memória necessária e otempo computacional.Para uma tira de largura L, a energia livre média por sítio, em unidades de k B T, é dadapor[f L ] av= − 1 L Λ0 L. (1.69)Uma outra quantidade de interesse é a energia livre de parede de domínios, ou tensão interfacial,σ L = f A L − f P L , (1.70)onde f P Le fA Lsão, respectivamente, as energias livres para um sistema com condições decontorno periódicas e antiperiódicas na direção perpendicular à tira. A interface é criada poruma “emenda” antiferromagnética ao longo da tira. Na prática, isto pode ser obtido trocando,em cada coluna, a ligação J → −J entre dois spins fixos. Tratando-se de acoplamentos nãohomogêneos, temosonde Λ (0)L,P e Λ(0) L,Aσ L = −ln( )(0) ΛL,A, (1.71)Λ (0)L,Psão os maiores expoentes de Lyapunov da MT, respectivamente, comcondições de contorno periódicas e antiperiódicas na direção perpendicular à tira.O comprimento de correlação da tira é determinado por [83]ξ −1L= Λ(0) L− Λ(1) L . (1.72)Desde que o Hamiltoniano seja invariante sob inversão global de spin, os expoentes de LyapunovΛ (0)Le Λ(1) L podem ser obtidos a partir dos vetores iniciais arbitrários |v 0〉 par e |v 1 〉

Capítulo 1 - Introdução 25ímpar, respectivamente 9 . Deve-se tomar cuidado ao iterar (1.67), a partir de um vetor inicialarbitrário, ignorando as primeiras N 0 (∼ 200) iterações, para evitar possíveis efeitos transientes.1.3.2 Transformações conformesSistemas magnéticos puros na criticalidade são invariantes sob transformações de escala bemcomo sob transformações conformes. Acredita-se que invariância conforme seja também válida,em média, para sistemas desordenados.Uma transformação é dita ser conforme se esta preserva ângulos, isto é, corresponde localmentea uma translação, uma rotação e uma dilatação. Um mapeamento conforme bidimensionalpode ser representado na forma z → w, onde w = u + iv é uma função analítica davariável complexa z = x + iy. A transformação logarítmicaw(z) = L lnz, (1.73)2πmapeia o plano infinito z em uma tira de largura finita L com condições de contorno periódicase comprimento infinito. Um importante resultado obtido por Cardy [86] a partir da invariânciaconforme das funções de correlação, relaciona o comprimento de correlação ξ L da tira ao expoentecrítico η (relação amplitude-expoente) 10ξ L (T c ) = L πη . (1.74)Uma relação de dualidade entre o comprimento de correlação ξ e a tensão interfacial σ, noponto crítico, também é fornecida [90]Lσ L = πη. (1.75)Outro resultado que pode ser obtido da transformação conforme acima é a correção de tamanhofinito para energia livre crítica por sítiof L = f ∞ − πc6L 2 + O ( 1L 4 ), (1.76)onde f ∞ = lim L→∞ f L é a energia livre no limite termodinâmico e c é a carga central (conhecida9 O vetor v(s ij ) é par ou ímpar sob inversão de spin s ij → −s ij .10 Veja também as Refs. 87–89 para derivações desta relação sem o uso explícito de argumentosde invariância conforme.

Capítulo 1 - Introdução 26também como anomalia conforme) que caracteriza a classe de universalidade de um modeloconformalmente invariante. A equação (1.76) é também suposta valer para sistemas aleatórios,desde que c seja representado por uma carga central efetiva c ′ . Para sistemas de Ising comdesordem não frustrada, c ′ deverá convergir para o valor do sistema puro, c = 1/2 [55, 91–93],no limite termodinâmico.1.3.3 Escala de tamanhos finitosSabemos que as transições de fase se manifestam nas singularidades ou divergências das derivadasda energia livre do sistema. Sistemas finitos não exibem singularidades 11 em temperaturasnão nulas, portanto, em princípio, nenhuma transição de fase pode ser observada.Em realizações experimentais, as amostras usadas tem ∼ 10 20 partículas, o que permiteassumir o limite termodinâmico. Por outro lado, em simulações numéricas, as limitações computacionaisimpedem a investigação de sistemas muito grandes, de tal modo que o sistemaconsiderado é essencialmente finito. Os efeitos de tamanho finito são drásticos na região crítica,próximo a uma transição de fase de segunda ordem. Entretanto, em cálculos numéricos, podemosvariar o tamanho do sistema e, com o auxílio da teoria de escala de tamanhos finitos,lidar com os efeitos de tamanho finito e estimar as propriedades críticas do sistema.A seguir, faremos uma breve exposição de como obter as funções de escala, que nos permiteextrair os expoentes críticos do sistema, a partir das idéias básicas do grupo de renormalização.Neste contexto, a introdução do tamanho finito como um “campo relevante”se faz de maneiranatural.As propriedades de um sistema crítico são, estatisticamente, as mesmas em todas as escalasde comprimento, isto é, não depende dos detalhes de curto alcance, mas apenas da naturezadas flutuações a longa distância. Isto permite introduzir a construção de “spin de bloco” deKadanoff [94] e constitue a base da teoria do Grupo de Renormalização, uma operação dedizimação (“coarse-graining”) seguida por reescala. Desta forma, o sistema pode ser descritoem termos de um Hamiltoniano efetivo envolvendo apenas os spins de bloco.Considere que uma rede d-dimensional com N sítios seja dividida em pequenos blocos detamanho b d com spin efetivo s ′ = ±1, para cada um dos N ′ sítios da rede “renormalizada”,11 A função de partição é uma soma de exponenciais reais (pesos de Boltzmann), de modoque não podemos esperar um comportamento não analítico para um sistema com número finitode graus de liberdade.

Capítulo 1 - Introdução 27que deverá ser isomórfica à original no limite de N,N ′ → ∞. Após a transformação de bloco,o número de spins no sistema é reduzido por um fator b −d , isto é,N ′ = b −d N, (1.77)onde b é denominado fator de reescala.Seja H(s, {K}) o Hamiltoniano do sistema, s sendo as variáveis de spin e {K} as constantesde acoplamento (em unidades de 1/k B T), sujeito à condição de normalização∑H(s, {K}) = 0. (1.78){s}Esta condição pode ser escrita sem perda de generalidade, e equivale a arbitrar uma origempara as energias [22]. É conveniente introduzir o fator de peso P {s′ ,s}, usado para implementara regra da maioria 12 , que deve ser positivo e satisfazer∑P {s ′ ,s} = 1. (1.79){s ′ }O Hamiltoniano H ′ (s ′ , {K ′ }) do sistema de spin de bloco é definido pela relaçãoe −H′ (s ′ ,{K ′ }) ≡ e Ng ∑ {s}P {s ′ ,s} e −H(s,{K}) , (1.80)onde a constante g é escolhida de tal modo que∑H ′ (s ′ , {K ′ }) = 0, (1.81){s ′ }em conformidade com (1.78), ou seja, conservando a origem das energias ao longo das transformações.A função de partição do sistema pode então ser escrita comoZ = ∑ e −H(s,{K}) = ∑{s}{s ′ }e com (1.80) assume a forma∑P {s ′ ,s} e −H(s,{K}) (1.82){s}Z = ∑ {s}e −H(s,{K}) = e −Ng ∑ {s ′ }e −H′ (s ′ ,{K ′ }) . (1.83)12 A regra da maioria estabelece que o valor do spin de bloco é +1 ou −1. Uma possívelescolha é s ′ = sinal( ∑ i s i). Em caso de empate, define-se s ′ = s 1 , sendo s 1 um spin particularda rede.

Capítulo 1 - Introdução 28A transformação de H para H ′ é denominada de transformação de grupo de renormalizaçãoe no espaço de todas as possíveis constantes de acoplamento K, pode ser representadaformalmente como{K ′ } = R {K} . (1.84)A energia livre f({K}) é definida pore −Nf({K}) = ∑ {s}e −H(s,{K}) . (1.85)Assim,f ({K}) = g ({K}) + b −d f ({K ′ }) . (1.86)Aqui, g ({K}) é uma contribuição regular vinda do traço sobre o grau de liberdade de curtoalcance dentro do bloco e não contribui para o comportamento singular do sistema.Nas vizinhanças do ponto crítico, a parte singular da energia livre do sistema infinito podeser escrita na forma de escalaf s (t,h) = b −d f s (t ′ ,h ′ ), (1.87)onde t = (T − T c )/T c é a temperatura reduzida.Assim como todas as escalas de comprimento, o comprimento de correlação se transformacomo ξ → ξ/b. Em vista disso, os campos de escala térmico t ′ e de ordenamento h ′ , setransformam comot ′ = b 1/ν ξ −1/ν = b yt t,h ′ = b 1/ν hξ −1/ν h= b y hh, (1.88)onde o expoente térmico y t = 1/ν e o expoente magnético y h = 1/ν h . Então, a energia livresingular pode ser escrita na formaf s (t,h) = b −d f s (b yt t,b y hh). (1.89)A derivada de f s (t,h) com respeito a h nos fornece a magnetização em forma de escalam(t,h) = b −d+y hm(b yt t,b y hh). (1.90)Fazendo h = 0 e b = t −1/yt , obtemosm(t,h) = t d−y h/y tm(1,0) ∼ t (d−y h/y t) , (1.91)

Capítulo 1 - Introdução 29de onde podemos obter o expoente críticoβ = (d − y h )/y t . (1.92)De maneira semelhante, obtemos os demais expoentes críticosα = 2 − d/y t , δ = y h /(d − y h ), γ = (2y h − d)/y t , η = d − 2y h + 2. (1.93)Tratando-se de um sistema finito de dimensão linear L e observando que o comprimento decorrelação, que diverge como t −ν nas vizinhanças de uma transição, é limitado pelo tamanhodo sistema, é natural escalar L com ξL/ξ ∼ Lt ν = (L 1/ν t) ν . (1.94)Além dos campos t e h que caracterizam o sistema infinito, devemos introduzir agora umcampo de escala 1/L que se anula no limite termodinâmico. A energia livre singular f s podeentão ser generalizada para incluir efeitos de tamanho finito,f s (t,h,1/L) = b −d f s (b yt t,b y hh,b/L). (1.95)comoA forma de escala para o inverso do comprimento de correlação κ L ≡ ξ −1Lpode ser escritaκ(t,h,1/L) = b −1 κ(b yt t,b y hh,b/L). (1.96)Fazendo b = L para obter formas de escala dependentes do tamanho L do sistema, temosf s (t,h,1/L) = L −d f s (L yt t,L y hh,1), (1.97)κ(t,h,1/L) = L −1 κ(L yt t,L y hh,1). (1.98)O comportamento crítico do sistema finito pode ser expresso como uma função do tamanhoL do sistema, no ponto crítico do sistema infinito (t = h = 0), em termos da magnetização m L ,calor específico c L , susceptibilidade χ L , do inverso do comprimento de correlação κ L e suasderivadas com respeito à temperatura, κ T L e campo magnético κh L :m L ∼ L y h−d , (1.99)c L ∼ L 2yt−d , (1.100)

Capítulo 1 - Introdução 30χ L ∼ L 2y h−d , (1.101)κ L ∼ L −1 , (1.102)κ T L ∼ L yt−1 , (1.103)κ h L ∼ L y h−1 . (1.104)Para obtermos o ponto crítico K c ≡ 1/k b T c de um dado modelo, podemos usar a Eq. (1.102)para vários tamanhos L da rede. O ponto crítico K ∗ é o ponto onde duas curvas κ L × K paradois diferentes tamanhos L e L ′ se interceptam. O expoente térmco y t pode ser obtido atravésda Eq. (1.103) comoy t =Da Eq. (1.104), obtemos o expoente magnéticoy h =( )LκTLlnL ′ κ T L ′ln ( LL ′ ) . (1.105))ln(L d χ LL ′d χ L ′2ln ( ) . (1.106)LL ′Os expoentes y t e y h podem também ser lidos a partir da inclinação das curvas κ L e κ L ′, χ Le χ L ′, respectivamente, em seu ponto de intersecção.1.3.4 Média em sistemas desordenadosComo temos visto, em sistemas desordenados temos de tratar com dois tipos de médias: asmédias térmicas usuais 〈 〉 que estão sujeitas aos pesos de Boltzmann e −H/kBT e as médiasconfiguracionais [ ] av que são obtidas a partir de uma distribuição P(D) para as configuraçõesda desordem {D}. Assim, a média de um observável A é dada por[〈A(s, D)〉] = Tr {D} P(D)〈A(s, D)〉; (1.107)〈A(s, D)〉 = 1 Z Tr {s}A(s, D)e −H/kBT . (1.108)Em experimentos, as medidas são obtidas de uma única amostra suficientemente grande enão há necessidade de se repetir o experimento para um grande número de amostras. Em umtal sistema, as quantidades observáveis são self-averaging (“auto-promediadas”). Esta propriedadepode ser observada também em simulações, desde que o sistema seja muito grande e seencontre fora da criticalidade. Entretanto, quando consideramos escala de tamanhos finitos,onde se consideram sistemas de dimensão linear L no ponto crítico, as flutuações de T c (L)amostra-amostra produzem uma ausência de self-averaging para certas quantidades (tais como

Capítulo 1 - Introdução 31parâmetro de ordem e susceptibilidade) em T c . Neste caso, a medida deverá ser repetida sobremuitas amostras para que se tenha uma medida representativa do ensemble. Além disto, o estudodo comportamento crítico assintótico pode ser muito complicado, visto que tomar valoresde L maiores não reduz a dispersão dos resultados.A medida de uma quantidade termodinânica extensiva X pode ser obtida a partir deum ensemble de amostras de tamanho linear L, cada uma das quais sujeita a uma diferenterealização aleatória da desordem. Cada amostra i leva a diferentes valores X i que estão sujeitosa uma distribuição de probabilidades P(X). Podemos caracterizar P(X) por sua média [X] ave variância relativaR X = V X /[X] 2 av , V X = [ X 2] av − [X]2 av . (1.109)Se X corresponde a uma propriedade termodinâmica extensiva singular (energia E, calor específicoc, magnetização m ou susceptibilidade χ), o sistema é dito exibir self-averaging seR X (L) → 0, L → ∞. (1.110)Quando R X (L) tende a um valor constante diferente de zero o sistema apresenta ausência deself-averaging. Em um sistema desordenado self-averaging, o número de amostras necessáriaspara representar uma grandeza com dada precisão, decresce com o respectivo aumento de L.Por outro lado, se o sistema não é self-averaging, o número de amostras a serem simuladas éindependente de L.Fora da criticalidade, onde L ≫ ξ, uma amostra i pode ser dividida em n subamostrasα (≫ ξ) ∈ i que interagem fracamente em suas interfaces 13 . Podemos, então, escrever umaquantidade extensiva X i comoX i = ∑ α∈iX α + ∑ α,β∆X αβ , (1.111)onde X α é uma quantidade extensiva de cada subsistema de volume V 0 = L d 0 e ∆X αβ é umtermo de acoplamento entre os subsistemas. O primeiro termo em (1.111) é proporcional anV 0 , enquanto o segundo a nV d−1d0 . Assim, podemos escrever a densidade da quantidade X icomox i = X i= ∑ ( )X α 1+ O . (1.112)V i nVα∈i 0 L 013 Este argumento é devido a R. Brout, Phys. Rev. 115, 824 (1959)

Capítulo 1 - Introdução 32Notando que L 0 ≫ ξ, podemos desprezar o acoplamento entre os subsistemas, de tal modo quex i = 1 ∑x α = [x α ]nav. (1.113)α∈iO valor medido x i é igual à média desta quantidade sobre as subamostras. De acordo com oteorema do limite central, x i obedece a uma distribuição de probabilidades Gaussiana em tornode sua média [x i ] av com variância V x ∝ 1/n ∼ L −d . Neste caso, dizemos que X é fortementeself-averaging.Na criticalidade ξ ∼ L e o argumento acima não pode ser aplicado, pois as subamostras nãopodem mais serem consideradas independentes. Assim, não podemos esperar que V X ∼ L −d .Neste caso, as flutuações amostra-amostra podem levar à ausência de self-averaging para certasquantidades. Este comportamento foi observado [95, 96] na transição da percolação, onde asusceptibilidade resistiva e a condutividade são não self-averaging no limiar da percolação.Wiseman e Domany [97] investigaram numericamente uma série de modelos de Ashkin-Tellerde ligação aleatória e modelo de Ising de sítio diluído. Eles formularam uma teoria de escalaheurística, com base na generalização do critério de Harris, prevendo que se α < 0 (expoentedo modelo desordenado), na criticalidade,R x ∼ L α/ν . (1.114)Se α/ν = 0, x é não self-averaging, mas se −d < α/ν < 0, x é fracamente self-averaging,visto que α/ν ≤ 0 é pequeno [98] em qualquer sistema desordenado. As simulações mostraramque fora da criticalidade (L ≫ ξ), todas as quantidades termodinâmicas analizadas (energia,magnetização, calor específico e susceptibilidade) são fortemente self-averaging, R x ∼ L −d . Nacriticalidade, a magnetização m e a susceptibilidade χ são não self-averaging, enquanto quea energia é fracamente self-averaging. Aharony e Harris [99] fizeram uma análise de grupode renormalização da dependência de P(x) com L e ξ e observaram forte self-averaging paraL ≫ ξ, quando P(x) se aproxima de uma Gaussiana com variância relativa R x ∼ (L/ξ) −d .Para L ≪ ξ, encontraram duas possibilidades: se a desordem é irrelevante (α p < 0) e o sistemaé governado pelo ponto fixo puro (os expoentes do modelo desordenado são os mesmos domodelo puro), o sistema apresenta comportamento fracamente self-averaging; se a desordemé relevante e o sistema é governado por um ponto fixo aleatório, eles encontraram que P(x)tem assintoticamente uma forma universal não Gaussiana e independente de L e R x → const.quando L → ∞, indicando ausência de self-averaging.

Capítulo 1 - Introdução 33Em síntese, se um sistema é governado por um ponto fixo puro, este é caracterizado poruma distribuição Gaussiana de acoplamentos renormalizados em torno do ponto fixo, que tendea uma função tipo delta no limite termodinâmico. Por outro lado, se o ponto fixo é desordenado,espera-se que o mesmo seja caracterizado por alguma distribuição que tenda a umalargura finita no limite termodinâmico. Pontos fixos cuja largura da distribuição de acoplamentosé finita, levam o sistema a exibir ausência de self-averaging: a medida da densidadede uma quantidade termodinâmica extensiva deverá ser diferente para cada amostra, devidoàs diferentes realizações da desordem.

Capítulo 2Correlações do Modelo de Isingde Ligações AleatóriasO conteúdo deste capítulo corresponde ao artigo “Logarithmic corrections to correlation decayin two-dimensional random-bond Ising systems”, por J. C. Lessa e S. L. A. de Queiroz, PhysicalReview E 74, 021114 (2006).A estatística de funções de correlação spin-spin críticas, em sistemas de Ising com desordemnão frustrada, é investigada em uma geometria de tira via técnicas de matriz de transferêncianuméricas. Conceitos de invariância conforme são usados, para verificar a possibilidade decorreções logarítmicas ao decaimento de correlações do tipo lei de potências, em função dadistância, do correspondente sistema puro. Ajustes dos nossos dados em termos de expressõesde invariância conforme, específicas para correções logarítmicas em tiras, dão resultados como sinal correto, para momentos de ordem n = 0 − 4 da distribuição da função de correlação.Encontramos um intervalo da intensidade da desordem, ao longo do qual as correções ao comportamentodo sistema puro podem ser decompostas em um produto de fatores dependentesde n e outro aproximadamente independente, de acordo com previsões estabelecidas. Um procedimentofenomenológico de ajuste é proposto, para dar conta dos termos subdominantes dasfunções de correlação em tiras. No limite de baixa desordem, os resultados obtidos estão emcompleto acordo com as previsões teóricas, desde que uma hipótese adicional seja adotada.

Capítulo 2 - Correlações do Modelo de Ising 352.1 IntroduçãoSistemas magnéticos com desordem temperada exibem propriedades que, geralmente, diferemdaquelas de sua contraparte homogênea. O critério de Harris [34] para a relevância da desordem,com respeito as possíveis mudanças da classe de universalidade na transição de fasemagnética, remete à questão de o expoente α do calor específico ser positivo ou negativo.No primeiro caso (α > 0), a classe de universalidade muda em relação àquela do sistemapuro, enquanto que no segundo caso (α < 0), o sistema não sofre alteração em sua classede universalidade. Para o modelo de Ising bidimensional, o critério de Harris não é decisivo,visto que o calor específico do sistema puro diverge logaritmicamente. Deste modo, esquemasalternativos precisam ser formulados para investigar este caso marginal. Atualmente, significativasevidências [41, 101] sugerem que o comportamento crítico de ferromagnetos de Isingbidimensionais é levemente modificado pela introdução de desordem não frustrada. As mudançascorrespondentes são dadas por correções logarítmicas às singularidades do tipo lei depotência do sistema puro. Apesar do arcabouço teórico correspondente a tais correções sermuito bem entendido, sua detecção em estudos numéricos constitue um tema difícil de sertratado [47, 48, 102, 103].Com a introdução da desordem, as dimensões de escala associadas aos momentos dasfunções de correlação na criticalidade adquirem um comportamento multifractal [104], caracterizadopor um conjunto de expoentes independentes, ao contrário do caso puro, onde um únicoexpoente é esperado.Foi previsto analiticamente por Ludwig [40] que os momentos das funções de correlaçãospin-spin do modelo de Ising desordenado comportam-se assintoticamente como:] [〈σ 0 σ R 〉 n J ij∼ R −n/4 (lnR) n(n−1)/8 (2.1)onde n = 1,2,..., e o rótulo J ij denota média sobre as configurações (ligações) da desordemtemperada. O termo do tipo lei de potência R −n/4 corresponde ao decaimento das correlaçõesdo sistema uniforme, enquanto que as correções logarítmicas são dadas por (lnR) n(n−1)/8 .Funções de correlação críticas não são quantidades “self-averaging”, isto é, a largura da suadistribuição permanece constante quando o número de amostras N cresce; entretanto, as flutuaçõesamostra-amostra dos valores médios (p. e., os diversos momentos mencionados acima)caem aproximadamente com a raiz quadrada do tamanho da amostra, quando esta cresce [105].Para o modelo de Ising bidimensional, a função de correlação “típica”, ou mais provável, defi-

Capítulo 2 - Correlações do Modelo de Ising 36nida para uma configuração específica da desordem (i.é., o momento de ordem zero da distribuição),é prevista comportar-se como:G 0 ≡ exp [lnG(R)] av∼ R −1/4 (lnR) −1/8 , (2.2)onde, novamente, o comportamento do sistema uniforme (G(R) ∼ R −η , η = 1/4) é acompanhadopor uma correção logarítmica. Note que correções são esperadas estarem ausentes paran = 1, isto é, para a média do decaimento da correlação. Para momentos de ordem superiorn ≥ 2, os termos de correção deverão estar presentes, com os expoentes correspondentesλ n ≡ n(n − 1)/8, dados na Eq. (2.2).Aqui, aplicamos métodos de matriz de transferência numéricos, juntamente com escala detamanhos finitos e conceitos de invariância conforme, para investigar o modelo de Ising deligações aleatórias, sobre tiras de uma rede quadrada (L × N, N → ∞). Nosso propósitoé confirmar os resultados analíticos obtidos por Ludwig, para os expoentes η n = n/4 eλ n = n(n − 1)/8, associados aos momentos das funções de correlação críticas do modelo.2.2 MétodoConsideramos um sistema de Ising de interações aleatórias sobre uma rede quadrada, cujoHamiltoniano é dado porH = − ∑ J ij σ i σ j , (2.3)i,jonde σ i = ±1 são as variáveis de spin (sítio), e J ij são as interações ferromagnéticas entre spinsprimeiros vizinhos, extraidas da distribuição de probabilidades temperada:P(J ij ) = 1 2 [δ(J ij − J 0 ) + δ(J ij − rJ 0 )],0 r 1. (2.4)A temperatura crítica exata é conhecida da dualidade [11,12]sinh(2β c J 0 )sinh(2β c rJ 0 ) = 1. (2.5)Em nossos cálculos consideramos inicialmente um sistema com r = 1/4, para o qual a Eq. (2.5)dá T c (1/4)/J 0 = 1.239 · · · (nestas unidades, o ponto crítico do sistema uniforme está emT c (1)/J 0 = 2.269 · · · ). Podemos também investigar desordem forte, usando r = 0.1, 0.05, e0.01 (para o último, a temperatura crítica é T c (0.01)/J 0 = 0.5089 · · · ). O cálculo das funções de

Capítulo 2 - Correlações do Modelo de Ising 37correlação spin-spin segue as linhas da Seção 1.4 da Ref. 83, com adaptações para um sistemanão homogêneo [93]. Tomando dois spins p. ex., na linha 1, separados por uma distância R, epara uma dada configuração C de ligações, tem-se:〈σ 1 0σ 1 R〉 C =∑σ˜ψ(σ0 0σ R)σ01∑σ˜ψ(σ0 0σ R)( ∏R−1i=0 T i( ∏R−1i=0 T i)σR 1 ψ(σ R)σ) 0σ Rψ(σ R )σ 0σ R, (2.6)onde σ 0 ≡ {σ 1 0 ...σ L 0 } e de maneira similar para σ R ; as ligações que participam das matrizesde transferência T i pertencem a C. Para sistemas puros, os vetores ˜ψ, ψ com 2 L −componentessão determinados por condições de contorno ao longo da tira; por exemplo, a obtenção dosautovetores dominantes, esquerdo e direito, fornece a função de correlação em um sistema infinito[83]. Aqui, devemos estar atentos para evitar efeitos transientes iniciais, visto que nãoexiste convergência dos vetores iterados. Isto é feito descartando-se as primeiras centenas deiterações do vetor inicial v 0 . Em seguida, deslocamos a origem da Eq. (2.6) ao longo da tira eobtemos os autovetores ˜ψ (esquerdo) e ψ (direito) como resultado da iteração dos vetores v T 0 ev 0 , respectivamente, até a próxima origem deslocada, acumulando-se os correspondentes resultados.Para evitar correlações fortuitas entre as variáveis dinâmicas, nas respectivas iteraçõesde ˜ψ e ψ devemos usar distintas realizações da distribuição de ligações.Quando consideramos invariância conforme esta tem sido uma ferramenta fundamentalpara o entendimento do comportamento crítico de sistemas puros em duas dimensões. Especificamente,a função de correlação spin-spin em uma tira pode ser obtida do mapeamentoconforme w = x + iy = (L/2π)ln z, do plano z = u + iv em uma tira de largura L comcondições de contorno transversais periódicas , levando ao seguinte comportamento assintóticona criticalidade [108]:G purexy⎡⎤∼ ⎣π/L(sinh 2 (πx/L) + sin 2 (πy/L) ) ⎦1/2η, (2.7)onde η = 1/4 para sistemas de Ising puros.Para sistemas de spin desordenados na criticalidade, espera-se que invariância conforme sejapreservada quando médias sobre a desordem são tomadas. De fato, evidências numéricas paraisto tem sido encontradas em diversas instâncias, por exemplo, modelo de Ising de interaçõesaleatórias [93, 102, 105], modelo de Potts q-estados de interações aleatórias [56], cadeias deIsing transversas em T = 0 (equivalente ao modelo de McCoy-Wu bidimensional) [109] e vidrosde spin de Ising [110–114].

Capítulo 2 - Correlações do Modelo de Ising 38Lembramos primeiro o caso simples onde o decaimento das correlações no volume do sistemadesordenado é puramente polinomial. Considerando funções de correlação em uma tira, apreservação da invariância conforme tal como definido, significa que os expoentes do decaimentodas correlações η i , associados aos diversos momentos m i da distribuição de probabilidades (DP)das funções de correlação no magneto desordenado, podem ser determinados a partir de umaextensão da Eq. (2.7), isto é, admitindo que:m i ∼ z −ηi , z ≡ ( sinh 2 (πx/L) + sin 2 (πy/L) ) 1/2. (2.8)O η i pode ser extraído a partir de ajuste numérico dos dados à Eq. (2.8). Resultados obtidosdesta maneira (p. e. para vidros de spin), são consistentes com aqueles vindos de diferentesmétodos analíticos que fazem uso explicito de invariância conforme [110, 115, 116].Antes de seguirmos adiante, devemos lembrar que uma extensa análise das imprecisõesassociadas a largura L finita da tira, explorada na Ref. 113, indica que efeitos de largura finitaestão essencialmente inclusos na dependência explicita em L na Eq. (2.7). Deste modo,correções de tamanho finito de ordem superior, presumivelmente, não ocupam um papel significantenas propriedades de invariância conforme dos diversos momentos da DP da função decorrelação (pelo menos quando o decaimento da correlação crítica no volume é puramente dotipo lei de potência).Voltando ao caso presente, deve-se considerar como correções logarítmicas multiplicativas,previstas nas Eqs. (2.1) e (2.2) para correlações no volume, são adaptadas a uma geometria detira. De acordo com as Refs. 115, 116, para distâncias R ≫ L ao longo da tira, o decaimentoda correlação deverá ser exponencial, com m n ≡ G n (R) ∼ exp(−R/ξ n ), ondeLπξ n= η n − λ n π bg(lnL) + O(g 2 ) . (2.9)Na expressão acima, b é uma amplitude universal relacionada à normalização da função decorrelação de três pontos [115, 116] eg(lnL) =g 01 + π bg 0 lnL , (2.10)onde g 0 é proporcional à intensidade da desordem. No limite L → ∞, a Eq. (2.9) admite umaforma independente de g 0 ,Lπξ n= η n − λ nlnL + O( 1lnL )2 . (2.11)

Capítulo 2 - Correlações do Modelo de Ising 39Uma verificação semiquantitativa da Eq. (2.11) foi dada, para n = 0 apenas, na Ref. 102.Na Sec. 2.3, aplicamos inicialmente a Eq. (2.8) aos nossos dados, isto é, as correções logarítmicasnão são explicitamente consideradas. A idéia é ficar tão próximo quanto possível aocontexto no qual se sabe que invariância conforme se aplica a sistemas desordenados e checarse os expoentes efetivos resultantes, η effi , desviam dos seus valores do sistema puro de maneiraconsistente com as correções previstas nas Eqs. (2.1) e (2.2). Em seguida, tentamos extrairinformação quantitativa comparando nossos resultados numéricos com a Eq. (2.9), bem comoa sua forma assintótica,Eq. (2.11). Finalmente, investigamos um esquema fenomenológico paraincorporar correções subdominantes ao decaimento exponencial da correlação em uma tira, queé subsequentemente aplicado à análise de dados correspondentes a desordem fraca.2.3 Resultados numéricosA estimativa de incertezas associadas aos vários momentos da distribuição das funções de correlaçãosegue o procedimento descrito na Ref. 105, onde foi mostrado que para tiras de largurafinita e comprimento N, a largura da DP permanece constante quando N varia. Embora asdispersões ∆G (ou ∆(ln G))não se reduzam a zero, é possível extrair informações confiáveis emtermos de valores médios, pois estes possuem dispersão entre amostras independentes proporcionala 1/ √ N. Pode-se checar, por exemplo, que as flutuações para estas médias são 1%para uma tira de comprimento N = 10 6 .Na Fig.2.1, apresentamos os momentos da DP da função de correlação em função davariável z, onde usamos L = 16 e N = 10 5 para 1 ≤ x ≤ 5, 0 ≤ y ≤ 8. De um ajuste demínimos quadrados aos dados, pode-se encontrar estimativas para os expoentes efetivos η effina forma sugerida pela Eq. (2.8). Os resultados são mostrados na Tabela 2.1. Desvios comrelação aos valores do sistema puro são consistentes com os sinais previstos para as correçõeslogarítmicas das Eqs. (2.1) e (2.2), a saber, um acréscimo para n = 0, neutralidade aproximadapara n = 1 e redução para n ≥ 2. Para produzir uma análise mais quantitativa, recorremos àsEqs (2.9), (2.11).Em todos os casos a serem descritos abaixo, usamos L = 10 e a distância horizontal xfoi tomada longa o suficiente para tentar detectar os efeitos que dão lugar às correções logarítmicas[115, 116], vide Eqs. (2.9), (2.11). Na prática, usamos 12 x 35 espaçamentos darede ao longo da tira, dado que notamos que o uso de x grande dá lugar a grandes flutuações

Capítulo 2 - Correlações do Modelo de Ising 40Figura 2.1: Gráfico bi-logaritmico dos momentos da distribuição da função de correlação,contra z = ( sinh 2 (πx/L) + sin 2 (πy/L) ) 1/2, para r = 1/4, L = 16, N = 10 5 .Linhas são ajustes de mínimos quadrados a uma forma de lei de potências aos dados,de cujas inclinações se extrai estimativas para os η effn da Eq. (2.8).Tabela 2.1: Estimativas de expoentes efetivos ηi eff , a partir do ajuste de mínimosquadrados aos momentos das distribuições da função de correlação à forma m i ∼ z −ηeff i .Dados para r = 1/4, L = 16 e N = 10 5 .i ηieff0 0.271(2)1 0.252(2)2 0.473(4)3 0.671(8)4 0.85(1)

Capítulo 2 - Correlações do Modelo de Ising 41amostra-amostra e, desta forma, comprometendo a acurácia dos nossos dados. Também, e pormotivo de simplicidade, fizemos y = 0.Aqui, avaliamos 10 estimativas independentes com N = 10 5 para os momentos da DP daFigura 2.2: Gráfico semi-logaritmico dos momentos da distribuição da função de correlação,contra a distancia R ao longo da tira (i.é. fazendo y = 0 na Eq. (2.7)). Linhasretas são ajustes de mínimos quadrados aos dados, de cujas inclinações os diversosvalores de λ n na Tabela 2.2 são estimados (ver texto). Aqui r = 1/4, L = 10, N = 10 5 .função de correlação, e tomamos as barras de erro como sendo três vezes o desvio padrão entreestas. Isto foi necessário, visto que tais incertezas constituem o principal impedimento para aestimativa precisa dos expoentes η n e λ n .No gráfico semi-logaritmico da Fig. 2.2, pode-se ver que um decaimento exponencial coma distância, que é uma precondição para as Eqs. (2.9), (2.11) valerem, descreve os dados comum considerável grau de acurácia para a faixa de R apresentada. Inicialmente, investigamos seos valores da largura da tira L = 10 e da desordem r = 1/4 até então podem corresponder aoregime assintótico descrito pela Eq. (2.11). As correspondentes estimativas para λ n , mostradasna Tabela 2.2, são extraidas de um ajuste de mínimos quadrados de nossos resultados à formadada na Eq. (2.11), mantendo os η i fixos em seus valores correspondentes ao sistema puro:η 0 = 1/4, η n = n/4 (n ≥ 1).

Capítulo 2 - Correlações do Modelo de Ising 42Tabela 2.2: Estimativas dos expoentes λ n , do ajuste de mínimos quadrados de momentosdistribuições da função de correlação a uma forma com decaimento puramenteexponencial, como dado pela Eq. (2.11), conservando os η n fixos em seus valores parao sistema puro: η 0 = 1/4, η n = n/4 (n ≥ 1). Dados para r = 1/4, L = 10 e N = 10 5 .Incertezas referentes ao último dígito são mostradas em parênteses.n λ n (calc.) λ n (esperado)0 −0.05(1) −1/81 −0.0012(7) 02 0.081(1) 1/43 0.218(2) 3/44 0.405(4) 3/2Como pode ser visto, embora as estimativas obtidas dos nossos dados tenham seu sinalcomo previsto, sua magnitude é apenas cerca de um terço do esperado (exceto para n = 1,onde o resultado calculado pode ser considerado como consistente com a ausência de correções,tal como previsto). A explicação mais provável para tais discrepâncias é, deste modo, que oregime assintótico não foi atingido ainda. Considerações similares foram usadas na Ref. 115,onde o modelo de Potts 4-estados foi analisado com auxílio da forma genérica (não assintótica)da Eq. (2.9). Dos dados para a energia livre, os valores numéricos de g(lnL) para L = 6 − 10foram obtidos e foi mostrado que estes explicam os respectivos desvios da escala do “gap” comrelação aos valores exatos conhecidos.Um grande obstáculo para seguir os mesmos passos aqui é a presença da aleatoriedade, quelimita severamente a acurácia de estimativas tanto da energia livre (ver, p. ex., a Ref. [93])quanto da função de correlação. Além disto, a energia livre exata do “bulk” não é conhecida,ao contrário do caso do modelo de Potts 4-estados [115].Comparamos dados para a função de correlação pertencentes a diferentes valores de L,especificamente L = 10 e 16 (ambos para r = 1/4). Encontramos que, por exemplo, ajustandodados para L = 16 à forma assintótica da Eq. (2.11), obtemos estimativas para λ n que caemessencialmente dentro das barras de erro daqueles dados na Tabela 2.2 para L = 10. Em adiçãoao efeito da aleatoriedade já mencionado, esta baixa resolução também reflete a dependêncialogarítmica com L das correções em estudo e indica que para os valores de L 25 dentrodo alcance atual dos cálculos de matriz de transferência, existe pouca esperança de se obterinformações confiáveis ao considerar a variação de L.

Capítulo 2 - Correlações do Modelo de Ising 43A seguir, investigamos o comportamento dos nossos resultados em função da variação dadesordem. Isto significa variar r na Eq. (2.4), o que corresponde a variar g 0 na Eq. (2.10).A dependência funcional g 0 = g 0 (r) não é conhecida, a menos do fato de que g 0 deve crescerquando r decresce em direção a zero. Um grau de liberdade similar está ausente no modelo dePotts 4-estados investigado na Ref. 115. Das Eqs. (2.9), (2.10), e (2.11), fazendo isto para Lfixo espera-se estar efetuando um deslocamento ao longo do “crossover” entre os regimes de Lpequeno e grande.Figura 2.3: Expoentes de correção logaritmica λ n , calculados por meio da expressãoassintótica, Eq. (2.11) de momentos da distribuição da função de ccorrelação contra aintensidade da desordem r (desordem aumenta com o decréscimo de r, ver Eq. (2.4)).Barras de erros são da mesma ordem, ou menores do que, o tamanho dos símbolos.Linhas horizontais tracejadas partindo do eixo vertical marcam os valores esperadosde λ n = −1/8, 0, 1/4, 3/4, e 3/2 respectivamente para n = 0 − 4. Todos para L = 10,N = 10 5 .Calculamos momentos de ordem 0 −4 das DPs da função de correlação, para r = 0.1, 0.05,e 0.01. Ajustes dos nossos dados à forma assintótica da Eq. (2.11) são mostrados na Fig. 2.3.Para todos os n ≠ 1, o sinal dos expoentes calculados permanece de acordo com as previsõese seus valores absolutos crescem com o aumento da desordem (λ 1 permanece muito próximode zero, atingindo 0.07(1) para r = 0.01). Entretanto, a tendência com a desordem crescente

Capítulo 2 - Correlações do Modelo de Ising 44é claramente dirigida para além das previsões teóricas, sem qualquer sinal de estabilização.Parece razoável excluir a possibilidade de comportamento não monotônico para r aindamenor do que 0.01, o que levaria aos valores dos expontes previstos. A explicação mais simplespara o comportamento observado na Fig. 2.3 é que, em r 0.05 ou em torno disto (paraL = 10 fixo), os efeitos do ponto fixo da percolação em r = 0, T c (0) = 0, estão começandoa se manifestar. De fato, a descrição sintetizada na Eq. (2.9) implicitamente contempla umcenário onde o comportamento do tipo Ising puro é modificado por um operador marginalmenterelevante, o qual induz as correções logarítmicas investigadas aqui. Deste modo, é plausívelque tal estrutura possa falhar ao incluir desordem extrema muito próximo ao ponto fixo detemperatura zero.Para checar esta hipótese, podemos voltar à forma não assintótica,Eq. (2.9), e perguntar se (para L fixo) existe uma faixa de desordem na qual as correçõesaos expoentes do sistema puro podem ser decompostos em um produto de fatores, um dependentede n e outro independente de n (respectivamente, λ n e πbg(ln L)) como na Eq. (2.9), ese tal faixa é limitada pela desordem crescente. Como exposto acima, ao contrário da Ref. 115,aqui estamos livres para variar g 0 , que pode ser substituir a variação de L investigada naquelaReferência.Admitindo que os η n and λ n tem seus valores exatos previstos e, de estimativas numéricasdos momentos das DPs da função de correlação, calculamos πbg(lnL) para n = 0, 2, 3, e 4.Os resultados são exibidos na Fig. 2.4. Notamos primeiro que os dados para n = 0 mostramuma faixa muito mais larga de variação do que resto. Isto pode estar relacionado a propriedadesespecíficas do momento de ordem zero da DP da função de correlação, em cujo cálculo aocorrência de pequenos valores ocupa um papel desproporcionalmente importante (comparadoaos momentos de ordem n ≥ 1).Entretanto, não podemos oferecer uma explicação específica para este ponto. Decidimosconcentrar nossa análise nos dados para n = 2 − 4, cuja média dá πbg(lnL) = 0.30(3) parar = 1/4, e 0.56(8) para r = 0.1. Para r menor vemos que a dispersão torna-se grande, de umamaneira consistente com a idéia de que a descrição física da Eq. (2.9) se deteriora quando adesordem aumenta. A concordância é qualitativa e, em uma medida razoavel, quantitativa, nosentido de que ambas as Figuras 2.3 and 2.4 indicam r ≈ 0.1 como o limiar além do qual adescrição perturbativa falha definitivamente (para L ≈ 10; para L grande este limiar deverápresumivelmente se mover em direção a desordens maiores).

Capítulo 2 - Correlações do Modelo de Ising 45Figura 2.4: Estimativas de π bg(lnL) da Eq. (2.11) (admitindo η n , λ n terem seusvalores exatos) calculados dos momentos da distribuição da função de correlação, contraa intensidade da desordem r. Barras de erros são da mesma ordem, ou menores doque, o tamanho dos símbolos. Para todos L = 10, N = 10 5 .Agora retornamos ao caso de desordem relativamente baixa, com r = 1/4, e investigamosse é possível formular um esquema perturbativo que dê conta das características exibidas porfunções de correlação em geometrias de tira. Especificamente, a Eq. (2.9) prevê que, emsistemas desordenados, correlações em uma tira possuem decaimento puramente exponencial,como em tiras do tipo Ising puro, apenas com uma pequena mudança no expoente. No regimede “crossover” do qual L = 10, r = 1/4 certamente faz parte, tais modificações incipientespodem se manisfestar como uma correção efetiva subdominante (menos do que exponencial)para nossos dados numéricos. Deste modo, poderiamos esperar um comportamento efetivo:G n (R) ∼ exp(−πR η n /L)[R] Λn , (2.12)onde η n são os expoentes do sistema puro e as correções subdominantes são admitidas tomara forma de uma possível lei de potências, com os Λ n a serem determinados. Seguindo esteraciocínio e lembrando o comportamento das correlações do “bulk” dadas nas Eqs. (3.1) e (3.2),

Capítulo 2 - Correlações do Modelo de Ising 46Figura 2.5: Diagrama principal: gráfico bi-logaritmico do momento de ordem n = 0da distribuição da função de correlação, contra [z (lnz) q ] para q = 1/2. A linhacorresponde a η 0 = 0.2505 (melhor estimativa obtida para q = 1/2 fixo, ver texto);L = 10, r = 1/4. Janela: gráfico semi-logaritmico de χ 2 d.o.f. contra −Λ 0, para ajustesde dados para o momento n = 0 contra z −η 0[lnz] Λ 0, com η 0 = 0.2505 (fixo).observa-se que uma transposição literal da dependência em R da última em uma dependênciaem z das correlações de tira (em analogia com a Eq. (2.8)), deveria corresponder a:G n (z) ∼ z −ηn [lnz] λn = [z (lnz) qn ] −ηn , (2.13)onde η 0 = 1/4, λ 0 = −1/8, η n = n/4, λ n = n(n − 1)/8 (n ≥ 1), e q n = −λ n /η n . No regimex = R ≫ L, y = 0 considerado na Eq. (2.9), que corresponde a z ∼ exp(πR/L) na Eq. (2.8),isto significa escreverG n (R) ∼ exp(−πR η n /L)[R] λn , (2.14)isto é, decaimento exponencial do tipo Ising puro com correções do tipo lei de potência. Vistoque a Eq. (2.13), tanto quanto é de nosso conhecimento, não tem uma justificativa rigorosa combase na teoria de invariância conforme, a identificação prevista Λ n = λ n , obtida da comparaçãoda Eq. (2.12) à Eq. (2.14), deve ser considerada cautelosamente. Entretanto, da análise precedentesumarizada nas Tabelas 2.1 e 2.2, espera-se, para cada n, que Λ n e λ n tenham o mesmo

Capítulo 2 - Correlações do Modelo de Ising 47Figura 2.6: Diagrama principal: gráfico bi-logaritmico do momento de ordem n = 1 dadistribuição da função de correlação, contra [z (lnz) q ] para q = 0. A linha correspondea η 1 = 0.2505 (melhor estimativa obtida para q = 0 fixo, ver texto); L = 10, r = 1/4.Janela: gráfico semi-logaritmico de χ 2 d.o.f. contra Λ 1 , para ajustes de dados do momentode ordem n = 1 contra z −η 1[lnz] Λ 1, com η 1 = 0.2505 (fixo).sinal e, possivelmente, a mesma ordem de magnitude. Deste modo, a seguir deveremos fazerconsiderações com base na Eq. (2.13) como um ponto de partida para reanalizar o conjunto dedados mostrados na Fig. 2.2.Usando a Eq. (2.13), o momento de ordem n = 0 deve corresponder a q = 1/2. Na Fig. 2.5,ajustando os dados para o momento de ordem n = 0, primeiro fixamos q = 1/2 e deixamos η 0variar na Eq. (2.13). O melhor ajuste foi encontrado para η 0 = 0.2505(7), correspondendo a χ 2por grau de liberdade (χ 2 d.o.f. ) igual a 0.012. Fixamos, então, η 0 na estimativa central obtida evariamos Λ 0 da Eq. (2.12). Os χ 2 d.o.f.para este último ajuste são mostrados no quadro internoda Fig. 2.5, com um claro mínimo em Λ 0 = −0.125.De acordo com a Eq. (3.1), o momento de ordem n = 1 não é esperado apresentar correçõeslogarítmicas. Para checar isto, fixamos q = 0 na Eq. (2.13) e deixamos η 1 variar. O melhorajuste, mostrado na figura Fig. 2.6, foi encontrado para η 1 = 0.2505(1), muito próximo a 1/4

Capítulo 2 - Correlações do Modelo de Ising 48de um sistema uniforme, correspondendo a χ 2 d.o.f.= 0.02. No quadro interno da figura, pode-sever que, deixando η 1 fixo na estimativa central citada acima e variando Λ 1 da Eq. (2.12) , omelhor ajuste ocorre para Λ 1 = 0.Quando tratamos de momentos de ordem superior n ≥ 2, notamos que não é possível, emgeral, produzir bons ajustes para toda a faixa de dados mostrados na Fig. 2.2 para as variáveissugeridas pela Eq. (2.13). Entretanto, subconjuntos dos dados podem ser bem ajustados emtermos de tais variáveis, como está ilustrado na Fig. 2.7. Deveremos retornar a este ponto nofim da Seção.Para o momento de ordem n = 2, novamente fixamos q = −1/2 na Eq. (2.13) e deixamosη 2 variar. O melhor ajuste foi encontrado para η 2 = 0.4992(8), correspondendo a χ 2 d.o.f. = 0.03.Dados para este conjunto de expoentes são mostrados no diagrama da Fig. 2.8. No quadrointerno da Figura, deixamos η 2 fixo no valor central já obtido e variamos Λ 2 da Eq. (2.12). Oχ 2 d.o.f. dos respectivos ajustes são mostrados, com um claro mínimo em λ 2 = 0.25.O procedimento prévio foi aplicado para os momentos de ordem n = 3 e n = 4. Os resultadospara todos os expoentes investigados, η n e Λ n são mostrados na Tabela 2.3.Tabela 2.3: Estimativas dos expoentes η n e Λ n , de ajustes de mínimos quadradosdos momentos das distribuições da função de correlação obtidas com G n (z) ∼[z (lnz) qn ] −ηn , como dadas pela Eq. (2.13); ver também Eq. (2.12). Dados para r = 1/4,L = 10 e N = 10 5 . Incertezas nos últimos dígitos são mostradas em parênteses.n η n Λ n0 0.2505(7) −0.124(4)1 0.2505(1) 0.000(2)2 0.4992(8) 0.248(6)3 0.751(2) 0.75(1)4 1.032(6) 1.54(4)Pode ser visto da Tabela 2.3 que tanto acurácia e precisão (a última em comparação comprevisões teóricas de λ n ) dos resultados tornam-se mais baixos para os momentos de ordem superior;em particular, nossa estimativa de η 4 já difere um pouco de η 4 = 1 previsto na Eq. (3.2)(apesar de que Λ 4 é marginlmente consistente com λ 4 = 3/2 da mesma Equação). Para n > 4verificamos que a situação se deteriora consideravelmente. Isto porque: (i) desvios de curtadistância do comportamento assintótico tendem a aumentar com n, e (ii) em distâncias relativamentegrandes, onde o comportamento assintótico se configura, as próprias funções de

Capítulo 2 - Correlações do Modelo de Ising 49Figura 2.7: Gráfico bi-logaritmico de momentos de ordem superior da distribuição dafunção de correlação, contra [z (lnz) q ] com q = −1/2, −1, e −3/2 respectivamentepara n = 2, 3, e 4. Linhas contínuas mostram o subconjuntos dos dados usados noajuste de mínimos quadrados de η n para q fixo como acima. L = 10, r = 1/4.correlação e a fortiori seus momentos superiores tornam-se pequenos e suas médias tendema exibir altas flutuações relativas. Lembramos a tendência ilustrada na Figura 2.7, contra ncrescente,: para os três conjuntos de dados mostrados ali, as linhas densas contínuas (correspondendo,respectivamente a 19 ≤ x ≤ 32 (n = 2), 21 ≤ x ≤ 32 (n = 3), e 20 ≤ x ≤ 31 (n = 4)))denotam a faixa de dados usados para extrair os resultados citados na Tabela 2.3. Observa-seque, visto que |q| cresce com n, o conjunto de dados para a mesma faixa de x torna-se umafaixa mais estreita quando traçado contra [z (lnz) q ] e desta forma, aumentando as incertezasno ajuste.Como se pode esperar, um cenário de bons ajustes à Eq. (2.12), produzindo estimativasde η n e λ n muito próximas aos valores exatos, deixa de valer para desordem alta. Por exemplo,para r = 0.1, n = 2, nosso melhor ajuste à Eq. (2.12) dá η 2 = 0.433(1), λ 2 = 0.019(5)(χ 2 d.o.f. = 0.04). Fixando η 2 = 1/2, λ 2 = 1/4 da χ 2 d.o.f. ≈ 24.

Capítulo 2 - Correlações do Modelo de Ising 50Figura 2.8: Diagrama principal: gráfico bi-logaritmico do momento de ordem n = 2da distribuição da função de correlação, contra [z (lnz) q ] para q = −1/2. A linhacorresponde a η 2 = 0.4992 (melhor estimativa obtida para q = −1/2 fixo, ver texto);L = 10, r = 1/4. Janela: gráfico semi-logaritmico de χ 2 d.o.f. contra Λ 2, para ajuste dedados do momento de ordem n = 2 contra z −η 2[lnz] Λ 2, com η 2 = 0.4992 (fixo).2.4 ConclusõesTestamos as previsões teóricas, dadas nas Eqs. (2.1) e (2.2), de correções logarítmicas ao comportamentoassintótico das funções de correlação spin-spin, no modelo de Ising de interaçõesaleatórias (não frustradas) bidimensional. O uso de uma geometria de tira foi acompanhadopelas correspondentes considerações de escala de tamanhos finitos e invariância conforme. Atéo momento, a validade da última, quando tratamos com sistemas não uniformes, refere-se aquantidades médias sobre a desordem, e está estabelecida apenas em casos onde o decaimentodas correlações críticas é puramente polinomial [110, 113, 114].Da análise dos dados de curta distância (ver Fig. 2.1, e Tabela 2.1), podemos apenas estabelecerque os expoentes obtidos são consistentes com correções do mesmo sinal que o previstopela teoria. A situação é similar àquela encontrada na Ref. [103], onde o mapeamento conformeda rede quadrada em um quadrado finito foi usada e apenas n = 0 foi investigado. Os autoresconcluíram que, para os tamanhos da rede usados, eles seriam capazes apenas de assegurar que

Capítulo 2 - Correlações do Modelo de Ising 51o sinal das correções era como previsto.Considerando distâncias convenientemente grandes ao longo da tira, tentamos atingir o regimeonde o efeito das correções logarítmicas sobre uma geometria de tira é esperado ser maisfacilmente isolado, como previsto nas Refs. 115, 116. Variações da intensidade da desordemproduziram uma configuração na qual estamos aptos a identificar o domínio de validade dosresultados dados nas Refs. 115, 116, mesmo para tiras de largura relativamente pequenas. Istodepende essencialmente da identificação do intervalo da intensidade da desordem r, ao longodo qual um fator aproximadamente independente de n pode ser isolado dos dados numéricos,de acordo com as formas não assintóticas previstas na Eq. (2.9). Os dados correspondentes sãomostrados na Fig. 2.4.Também produzimos um esquema de ajuste fenomenológico, que espera-se valer no regimede baixa desordem, sintetizado na Eq. (2.12), da qual estimativas dos expoentes postuladosΛ n foram extraídas. Embora a analogia à Eq. (2.8), usada para estabelecer as Eqs. (2.13)and (2.14), careça de uma justificativa rigorosa com base na teoria de invariância conforme,a subsequente previsão de que Λ n = λ n parece ser confirmada em uma ampla medida pelosnossos dados para desordem baixa r = 1/4. Como esperado, a validade deste esquema não semantém para a desordem crescente.Em resumo, as evidências apontadas aqui fornecem uma verificação da validade das Eqs. (2.1)e (2.2) para sistemas de Ising desordenados, no limite apropriado de grandes distâncias. Seriainteressante averiguar se existe alguma conexão entre a forma fenomenológica da Eq. (2.12) eas propriedades de invariância conforme.

Capítulo 3Propriedades do Ponto deNishimori na Rede QuadradaO conteúdo deste capítulo corresponde ao artigo “Properties of the multicritical point of ±JIsing spin glasses on the square lattice”, por J. C. Lessa e S. L. A. de Queiroz, Physical ReviewB 74, 134424 (2006).Usamos métodos de matriz de transferência numéricos para investigar as propriedades doponto multicrítico de vidros de spin de Ising binários sobre uma rede quadrada, cuja localizaçãoassumimos ser dada exatamente por uma conjectura proposta por Nishimori e Nemoto.Calculamos os dois maiores expoentes de Lyapunov, bem como susceptibilidades uniformeslinear e não-linear a campo zero, sobre tiras de larguras 4 ≤ L ≤ 16 sítios, dos quais estimamosa anomalia conforme c, o expoente η do decaimento das correlações e os expoentesdas susceptibilidades linear e não-linear γ/ν e γ nl /ν, com o auxílio de conceitos de invariânciaconforme e escala de tamanhos finitos. Nossos resultados são: c = 0.46(1); 0.187 η 0.196;γ/ν = 1.797(5); γ nl /ν = 5.59(2). Uma avaliação direta das funções de correlação na geometriade tira, e da estatística do momento de ordem zero da distribuição de probabilidades associada,dá η = 0.194(1), consistente com o cálculo via expoentes de Lyapunov. Ademais, estes valorestendem a ser inconsistentes com a classe de universalidade da percolação, ainda que por pequenasquantidades. A relação de escala γ nl /ν = 2γ/ν +d (com dimensionalidade espacial d = 2)é obedecida com boa acurácia, não revelando assim qualquer evidência de comportamento demultiescala das susceptibilidades.

Capítulo 3 - Propriedades do Ponto de Nishimori 533.1 IntroduçãoO comportamento crítico de vidros de spin de Ising tem sido objeto de intensa investigação nopassado recente [79]. Uma série de resultados teóricos e numéricos foram obtidos; entretanto,muitos aspectos de interesse não foram esclarecidos até o momento. Entre estes estão as propriedadesdo ponto multicrítico, o qual existe para concentrações convenientemente baixas deinterações antiferromagnéticas, mesmo para redes bidimensionais onde uma fase de vidro despin não é esperada ocorrer em temperaturas diferentes de zero.Aqui, consideramos vidros de spin binários (±J), isto é, assumimos que momentos magnéticostipo Ising de spin-1/2 interagem via acoplamentos entre primeiros vizinhos J ij de igual intensidade,cujos sinais são dados por uma distribuição de probabilidades temperada (quenched):P(J ij ) = pδ(J ij − J 0 ) + (1 − p)δ(J ij + J 0 ). (3.1)Neste caso, o diagrama de fase no plano temperatura-concentração (T − p) exibe uma linhacrítica que, para baixas concentrações 1 − p de ligações antiferromagnéticas, separa as fasesferro e paramagnéticas [79, 110]. Quando p decresce, também o faz a temperatura de transição.Abaixo de uma concentração crítica p c , a ordem ferromagnética desaparece, e uma fase de vidrode spin surge em T = 0. Para dimensionalidades d ≥ 3, a fase de vidro de spin se estende paratemperaturas finitas também. Temos ainda no plano T − p uma linha de simetria especial, alinha de Nishimori (LN), definida pore −2J0/T = 1 − pp(LN, p > 1 2 ) . (3.2)Sobre esta linha, uma série de resultados exatos foram obtidos [79]. Em particular, a energiainterna média configuracional é uma função analítica de T, mesmo no ponto multicrítico (oponto de Nishimori, PN) onde a LN intercepta a fronteira de fase ferro-paramagnética [117].Além disto, a LN é invariante sob transformações do grupo de renormalização, de modo que PNcorresponde a um ponto fixo. Trabalhos numéricos em sistemas bidimensionais [118] mostramque flutuações da energia interna ao longo da LN vão a um máximo no PN, indicando umamudança no comportamento da distribuição das plaquetas frustradas. Isto, em parte, é consistentecom a imagem de que a transição é de natureza geométrica (embora não necessariamentena mesma classe de universalidade da percolação aleatória).Recentemente foi previsto que, sobre uma rede quadrada, o PN deve pertencer a umsubespaço do plano T − p que é invariante sob certas transformações de dualidade. Para

Capítulo 3 - Propriedades do Ponto de Nishimori 55universalidade das correlações no PN. Na Seção 3.4, as susceptibilidades linear e não lineara campo zero são investigadas. Enquanto a primeira foi avaliada previamente para as redesquadrada [121], bem como triangular e hexagonal [114], nenhum resultado para a última pareceestar disponível. Como explicado abaixo, o comportamento de escala da susceptibilidadenão linear pode dar indicações de comportamento de multiescala. Finalmente, na Seção 3.5,exibimos nossas conclusões.3.2 Energia livre e carga centralConsideramos tiras de largura L sítios e condições de contorno transversais periódicas. Paraconsistência com trabalho anterior [121], usamos apenas larguras pares, para acomodar possíveisocorrências de estados fundamentais ferromagnéticos não frustrados (embora resultados posterioresmostram que, na prática, ao menos para concentrações relativamente baixas de ligaçõesantiferromagnéticas em torno do PN, nenhuma distorção apreciável ocorre quando valoresímpares de L são também considerados [110, 114]).Uma amostragem apropriada da desordemtemperada é produzida usando tiras de comprimentos N ≫ 1, ao longo das quais as configuraçõesdas ligações são obtidas da distribuição Eq. (3.1). A média configuracional (negativa)da energia livre f L (em unidades de k B T) é dada porf L = L −1 Λ 0 (L), (3.4)onde Λ 0 é o maior expoente de Lyapunov característico [85], extraído do produto de N → ∞matrizes de transferência T j que conectam as colunas de sítios j e j + 1, isto é,∥⎛⎞∥∥∥∥∥1N∏Λ 0 = limN→∞ N ln ⎝ T j⎠ |v 0 〉∥ , (3.5)onde |v 0 〉 é um vetor inicial arbitrário de módulo unitário. Expoentes de ordem superior podemser obtidos através da iteração de um conjunto de vetores iniciais |v i 〉, ortogonais entre si e a|v 0 〉, com adequada reortogonalização a cada poucos passos, para evitar contaminação [85].j=1Em nossos cálculos utilizamos N ∼ 10 5 − 10 6 . As incertezas relacionadas ao número finitode termos na Eq. (3.5) são estimadas como segue. Para evitar efeitos transientes, as primeirasN 0 ∼ 10 3 iterações são descartadas. Médias acumuladas são avaliadas e armazenadas paracada 10 3 iterações subsequentes. Deste conjunto de médias, calcula-se então médias globaise suas correspondentes flutuações. Em nosso estudo, usamos uma distribuição canônica da

Capítulo 3 - Propriedades do Ponto de Nishimori 56desordem, isto é, os acoplamentos +J 0 e −J 0 são aleatoriamente extraídos de um reservatórioque inicialmente contém exatamente a quantidade prevista para cada um deles, de acordo coma Eq. (3.1), com o valor de p correspondendo, por exemplo, ao PNC. Desta maneira, as flutuaçõesamostra-amostra são consideravelmente reduzidas. Estimativas finais da energia livree outras quantidades de interesse são extraídas de médias aritméticas para distintas realizaçõesda desordem.A anomalia conforme, ou carga central c, que caracteriza a classe de universalidade de ummodelo conformalmente invariante no ponto crítico, podem ser avaliados via escala de tamanhosfinitos da energia livre em uma tira com condições de contorno transversais periódicas [125],f(T c ,L) = f(T c , ∞) + πc6L 2 + O ( 1L 4 ), (3.6)onde f(T c , ∞) = lim L→∞ f(T c ,L) é um termo regular que corresponde à energia livre de“bulk” do sistema. Para sistemas desordenados, espera-se que a Eq. (3.6) seja válida, coma energia livre (média configuracional) dada pela Eq. (3.4), e c tendo o significado de umaanomalia conforme efetiva [126].Para nossas estimativas da carga central efetiva, ajustamos T e p correspondendo ao PNC,e tomamos médias da energia livre f(T c ,L) sobre três realizações independentes. A Figura 3.1mostra a energia livre no PNC para 4 ≤ L ≤ 16, contra 1/L 2 . Um ajuste de mínimos quadradoslinear aos dados fornece c = 0.478(4). Este é próximo, mas cerca de 3% fora, doresultado dado na Ref. 110, c = 0.464(4), que presumivelmente foi obtido por aqueles autoresa partir de sua própria estimativa da localização do PN, p = 0.8906(2). Por ouro lado, oresultado acima é compatível com o valor correspondente à percolação no modelo de Ising, asaber c p = 5 √ 3 ln 2/4π ≈ 0.4777 [100].Incorporando curvatura através do termo de correção L −4 , como sugerido pela Eq. (3.6),resulta no mesmo f(T c , ∞) (dentro de 0.01%) que na extrapolação linear. Entretanto, a estimativada anomalia conforme é alterada para c = 0.46(1), que é compatível com o resultadocitado na Ref. 110, mas parece imcompatível com a percolação do modelo de Ising. Trabalhosanteriores em sistemas de Ising puros [127] e de ligações aleatórias não frustradas [93, 100],para uma rede quadrada, indicam que o termo L −4 representa uma importante contribuiçãopara a estabilidade e acurácia das extrapolações da energia livre (note, entretanto, que aquio efeito da curvatura é imperceptível ao olho nú; ver Figura 3.1). A mesma tendencia deverá

Capítulo 3 - Propriedades do Ponto de Nishimori 57valer no presente caso e c = 0.46(1) deverá ser a mais confiável das duas estimativas produzidasaqui.Figura 3.1: Energia livre negativa no ponto de Nishimori conjecturado, para tiras delargura 4 ≤ L ≤ 16 e N = 10 6 , contra 1/L 2 . A linha usa a estimativa central deum ajuste de mínimos parabólicos aos dados, via Eq. (3.6), que dá f L = 1.7228(1) +0.46(1)π/6L 2 + 0.15(9)/L 4 .3.3 O expoente ηComo uma consequência da preservação da invariância conforme em uma transição de fase desegunda ordem, o comprimento de correlação ξ L em uma geometria de tira com condições decontorno transversais periódicas (calculado no ponto crítico do correspondente sistema bidimensionalinfinito) é conectado ao expoente η do decaimento das correlações pela relação [86]ξ L = Lπ η . (3.7)Para tiras de sistemas de spin homogêneos, o inverso do comprimento de correlação dominante(relacionado ao decaimento lento das correlações críticas) é dado pelo primeiro “gap” espectralda matriz de transferência [83]. Uma adaptação direta para casos desordenados pode serfeita através da substituição dos autovalores do sistema puro pelo seu correspondente em um

Capítulo 3 - Propriedades do Ponto de Nishimori 58contexto desordenado, a saber, os expoentes de Lyapunov característicos [83, 85, 100]. Pode-seentão, calcular o comprimento de correlação (e, deste modo, o expoente η da Eq. (3.7)), viaξ −1L= Λ(0) L− Λ(1) L , (3.8)onde Λ (0)L , Λ(1) Lsão, respectivamente, o maior e segundo maior expoentes de Lyapunov.No presente caso, as correlações dominantes são ferromagnéticas e o Hamiltoniano é invariantesob inversão global de spin. Deste modo, para calcular Λ (0)L(Λ(1) L), é suficiente iterar|v 0 〉 (|v 1 〉) que seja par (ímpar) sob esta mesma simetria [44, 83], sem necessidade de descontaminaçãodas iterações de |v 1 〉.Antes de ir adiante, deve-se lembrar que funções de correlação no PN são multifractais [110–114, 122]. Em outras palavras, a taxa de decaimento (contra a distância R) dos momentos dasdiversas ordens, G n (R), da distribuição da função de correlação é regulada por um conjuntode expoentes {η n }, que não são conectados por um único expoente de “gap”, como é o casopara sistemas puros onde η n = nη 1 . O expoente estimado via Eqs. (3.7) e (3.8) é de fato η 0 ,que caracteriza o momento de ordem zero da distribuição da função de correlação, isto é, estefornece o típico, ou mais provável, valor desta quantidade (ver, p. ex. Ref. 102). Tem-se, no“bulk”,G 0 (R) ≡ exp [ln〈σ 0 σ R 〉] av∼ R −η0 . (3.9)Avaliando estimativas de η 0 para a faixa de larguras de tiras dentro do alcance de nossas possibilidadescomputacionais, podemos, em princípio, extrapolar a sequência L/πξ L para L → ∞,dando conta, presumivelmente, de correções de tamanhos finitos de ordem superior para aEq. (3.7). Resultados anteriores para sistemas puros [127] indicam novamente que L −2 é umavariável conveniente em função da qual devemos adotar um esquema de extrapolação.Podemos também calcular funções de correlação diretamente sobre uma tira, como é feitonas Refs. 110, 113, 114 e examinar o comportamento do seu momento de ordem zero em funçãoda distância, da qual o comprimento de correlação apropriado pode ser extraído e substituídona Eq. (3.7). Note que valores negativos da função de correlação deverão estar presentes naamostragem; isto não é um obstáculo insuperável para o cálculo de médias logarítmicas aqui,onde se sabe que a distribuição no PN é um pico agudo próximo à unidade [113]. Consequentemente,pode-se tratar com valores absolutos, lembrando que uma média logarítmica é a mesmaque o logarítmo de uma média geométrica: desde que a maioria dos sinais do produto de todos

Capítulo 3 - Propriedades do Ponto de Nishimori 59os termos sejam positivos (o que temos razão para acreditar aqui), não importa que alguns(poucos) sejam negativos.Figura 3.2: Expoente η L contra 1/L 2 . Os dados são para L = 6, · · · , 16. A setaapontando para o eixo vertical indica o valor da percolação, η p = 5/24. A linha reta éum ajuste de mínimos quadrados aos dados para L = 8−16. A área sombreada próximaao eixo vertical corresponde a limites de confiança aproximados para a extrapolaçãodos dados de tamanhos finitos. A barra vertical à esquerda do eixo vertical dá a faixade η 0 da avaliação direta do momento zero da distribuição da função de correlação(ver texto). Linhas verticais à esquerda do gráfico mostram faixas de algumas recentesestimativas de η 1 . Linha cheia, Refs. 110, 113; tracejada curta, Ref. 114; tracejadalonga, Ref. 121.Na Figura 3.2, apresentamos η L calculado via Eqs. (3.7) e (3.8), contra 1/L 2 . Para Lcrescente de 4 (não mostrado) até 8, existe uma tendência de decréscimo em η L que pareceestacionar e atingir um comportamento aproximadamente independente de L, quando valorescorrespondentes a L ≤ 16 são considerados. Dado as circunstâncias, a direção segura a seguiré: (i) admitir que o comportamento aproximadamente constante não deverá mudar significantementepara L maior do que a faixa de nossa capacidade computacional, e (ii) extrapolaros dados da maneira mais simples possível, tratando os resultados com uma grande dose deceticismo.

Capítulo 3 - Propriedades do Ponto de Nishimori 60De um ajuste linear de mínimos quadrados aos dados para L = 8 − 16 contra L −2 , mostradona Figura 3.2, obtemos uma estimativa central extrapolada η ≈ 0.192. Considerando asbarras de erros associadas a estimativas de tamanho finito, parece que qualquer valor na faixa0.187 η 0.196 ( a extensão da área sombreada na Figura) deverá ser plausível.Também avaliamos funções de correlação diretamente e avaliamos o momento de ordemzero de sua distribuição de probabilidade. Seguindo a Ref. 113, usamos L = 10, e tiras decomprimento N = 10 7 colunas; encontramos que o melhor conjunto de resultados correspondea correlações calculadas ao longo da tira, para distâncias 1 ≤ x ≤ 18; quando expressos emum gráfico com uma escala semi-logarítmica, nossos dados mostram uma suave curvatura para1 ≤ x ≤ 3, e se ajustam bem a uma reta para 4 ≤ x ≤ 18, de onde obtém-se η = 0.194(1)(mostrado na Figura, como uma barra mais densa à esquerda do eixo vertical) via Eq. (3.7)Este valor é consistente com, e mais acurado do que, a extrapolação dos dados para o expoentede Lyapunov referido acima.Uma comparação com dados de trabalhos prévios é como segue. Estimativas numéricasa partir do cálculo direto do primeiro momento da distribuição de probanilidade das funçõesde correlação spin-spin fornecem η 1 = 0.182(5) (rede quadrada, localização aproximada doPN em p = 0.8905(5)) [121]; η 1 = 0.1854(19) (rede quadrada, localização aproximada do PNem p = 0.8906(2)) [110]; η 1 = 0.1854(17) (rede quadrada, PNC) [113]; η 1 = 0.181(1) (redetriangular e hexagonal, PNC) [114]. Todos são mostrados na Figura 3.2 para fácil visualização.Enquanto a superposição entre estes e as barras de erro do presente caso não é mais do quemarginal, está claro que todas as estimativas, para η 0 e η 1 , excluem o valor da percolação,η p = 5/24 = 0.208333 · · · [128] (mostrado na Figura por uma seta) por um intervalo seguro .Sumarizamos a situação como segue. O uso da Eq. (3.8) como uma definição do comprimentode correlação para sistemas aleatórios é bem justificado na teoria [83, 85, 100], e dá ataxa de decaimento inversa do momento zero da distribuição da função de correlação. Comovisto acima, no presente caso o expoente η 0 associado parece diferir levemente de η 1 o qualestá relacionado ao primeiro momento. Esta é provavelmente a regra mais do que a exceção; defato, foi mostrado que para sistemas de Ising não frustrados, estimativas numéricas de escalade tamanhos finitos de η 0 , obtidas no contexto das Eqs. (3.7) e (3.8) diferem dos resultadosobtidos diretamente do decaimento espacial de funções de correlação [93, 102]. Enquanto naquelecaso a origem da discrepância se deve a efeitos do operador [102] desordem marginal,que se sabe ocorrer na ausência de frustração, a estrutura análoga de operadores no PN não é

Capítulo 3 - Propriedades do Ponto de Nishimori 61conhecida até o momento. Entretanto, parece plausível relacionar as pequenas diferenças entreos mesmos grupos de resultados aqui, a causas similares.3.4 SusceptibilidadesA susceptibilidade magnética uniforme a campo zero χ L sobre uma tira é dada pela segundaderivada da energia livre, relativa a um campo uniforme h:[ ∂ 2 f Lχ L =∂h 2 ]h=0. (3.10)Como usual no cálculo de derivadas numéricas deve-se tomar o devido cuidado para evitar a introduçãode erros fortuitos. Consideramos um campo infinitesimal δh = 10 −4 (em unidades deJ 0 ), para as diferenças finitas usadas na diferenciação denotada na Eq. (3.10). Usamos também,a mesma configuração de ligações (isto é, a mesma sequência de números pseudoaleatórios) parao cálculo das energias livres em diferentes valores do campo: energias livres correspondentes àmesma geometria de ligações devem ser subtraídas. Deste modo, as flutuações nas diferençasfinitas usadas no cálculo das derivadas são muito menores do que aquelas para as própriasenergias livres [121]. Para os cálculos reportados nesta Seção, usamos tipicamente tiras decomprimento N = 10 7 .Argumentos de escala de tamanhos finitos sugerem o seguinte comportamento para χ L noponto crítico T c :χ L ∼ L γ/ν , (3.11)onde γ e ν são, respectivamente, os expoentes caracterizando as singularidades do “bulk” dasusceptibilidade uniforme e comprimento de correlação.Outra quantidade de interesse é a susceptibilidade não linear χ (nl)L,dada em termos daexpansão em lei de potências da magnetização m:m = χ h − χ (nl) h 3 + · · · , (3.12)onde[χ (nl) ≡ ∂3 m ∂ 4∂h 3 = f∂h]h=04 . (3.13)A susceptibilidade não linear na criticalidade obedece uma relação de escala de tamanhos

Capítulo 3 - Propriedades do Ponto de Nishimori 62Figura 3.3: Gráfico bi-logarítmico da susceptibilidade linear a campo zero χ L no pontode Nishimori conjecturado, para L = 4−16. A linha é um ajuste de mínimos quadradosde uma lei de potência simples aos dados para L = 6 − 16, possibilitando a estimaçãode γ/ν com o uso da Eq. (3.11).finitos similar à Eq. (3.11), com a substituição [129] γ → γ nl . Esta quantidade tem sido investigadano contexto de fenômenos críticos em magnetos puros [129, 130] e vidros de spin(quânticos) [131]. O procedimento numérico descrito acima, para o cálculo de derivadas, éseguido aqui também.Na Figura 3.3 mostramos dados para a susceptibilidade linear χ L , avaliada no PNC, osquais foram ajustados à forma tipo lei de potência, Eq. (3.11). Notamos que o χ 2 por grau deliberdade reduz de 2.3 para um ajuste incluindo L = 4 (do qual a estimativa γ/ν = 1.82(1) éextraída), para 0.38 para um ajuste de dados para L = 6−16 apenas, indicando uma clara melhorana qualidade do ajuste. O último procedimento fornece γ/ν = 1.797(5), que, pelas razõesjá mencionadas, assumimos ser o melhor resultado a ser extraído do presente conjunto de dados.Isto é consistente, marginalmente, com o valor da percolação (γ/ν) p = 43/24 ≈ 1.7917 [128].Em trabalhos prévios, os seguintes resultados foram encontrados: γ/ν = 1.80(2) [121] (redequadrada, localização aproximada do PN em p = 0.8905(5)), γ/ν = 1.795(20) [114] (rede triangular).Ambos são consistentes com a estimativa presente.

Capítulo 3 - Propriedades do Ponto de Nishimori 63Dados para a susceptibilidade não linear a campo zero (χ nlL ), avaliados no PNC, são exibidosna Figura 3.4. Um procedimento de ajuste, similar àquele usado para extrair o expoente dasusceptibilidade linear, leva a γ nl /ν = 5.59(2), quando dados para L = 4 − 16 são usados, e aγ nl /ν = 5.55(2) quando L = 4 é descartado. Entretanto, o χ 2 por grau de liberdade diminueapenas de 1.3 para 0.75 entre o anterior e o último ajuste. Lembrando que estamos tratandocom um pequeno número de estimativas de tamanhos finitos, tal variação não justifica descartarL = 4 com base em uma significante melhora na qualidade do ajuste. O valor γ nl /ν = 5.59(2)é consistente com a relação de escala γ nl /ν = 2γ/ν + d = 5.59(1) (usando γ/ν obtido acima ed = 2 para a dimensionalidade do espaço).Figura 3.4: Gráfico bi-logarítmico da susceptibilidade não linear a campo zero χ nlL noponto de Nishimori conjecturado, para L = 4 − 16. A linha é um ajuste de mínimosquadrados de uma lei de potência simples aos dados para L = 4 − 16, possibilitando aestimação de γ nl /ν com o uso da Eq. (3.11).

Capítulo 3 - Propriedades do Ponto de Nishimori 643.5 ConclusõesCalculamos diversas quantidades críticas na localização conjecturada exata do ponto Nishimori(PNC) para vidros de spin de Ising ±J em uma rede quadrada, a saber p = 0.889972 · · · ,T/J 0 = 0.956729 · · · . Trabalhando nesta localização fixa, tentamos eliminar uma entre tantasfontes de incertezas com as quais tem-se que tratar no estudo de sistemas desordenados. Certamente,se esta escolha introduz ou não distorções sistemáticas, só pode ser revelado atravésda comparação de um conjunto de resultados pertinentes ao problema sob investigação.Nossa extrapolação dos dados para a energia livre de tamanhos finitos, com o objetivo deproduzir uma estimativa da carga central efetiva, foi cuidadosa ao levar em conta efeitos decurvatura, que sabe-se serem relevantes em tais circunstâncias [93, 100, 127]. Nossa estimativafinal [110], c = 0.46(1), é consistente com um resultado anterior [110], c = 0.464(4), calculadoem p = 0.8906(2), o qual foi estendido e reanalizado recentemente [133] reafirmando estes mesmosresultados. Tanto o nosso quanto este último resultado para c, parecem excluir o valorda percolação [100], c p ≈ 0.4777. Se não incluirmos efeitos de curvatura, deveriamos atingirc = 0.478(4), que levaria a uma conclusão oposta.Concluimos que se existirem diferenças entre as energias livres avaliadas no PNC e aquelascalculadas em locais aproximados tais como aqueles dados nas Refs. 110 e 133, seu efeito sobresubsequentes estimativas da carga central não é detectável entre o ruído associado a outrasfontes de incertezas. Relevante entre estas é o atual limite superior nas larguras das tiras,L ≈ 20, imposto por considerações práticas.Avaliamos comprimentos de correlação de tamanhos finitos via a diferença entre os doismaiores expoentes de Lyapunov. Com o auxílio de conceitos de invariância conforme, estesforam usados para produzir uma sequência de estimativas do expoente η 0 do decaimento decorrelações, relacionado ao decaimento do momento zero da distribuição de probabilidade dafunção de correlação. Embora tal sequência não se comporte tão suavemente quanto a suacontraparte energia livre, parece seguro afirmar que esta aponta para 0.187 η 0.196.Também calculamos diretamente funções de correlação sobre uma tira e, deste modo, avaliamosa estatística do momento de ordem zero mencionado acima. O resultado correspondente,η 0 = 0.194(1) é consistente com, e mais acurado do que, aquele obtido dos expoentes de Lyapunov.Ambas as estimativas, diferem levemente de η 1 , relacionado ao momento de primeiraordem da mesma distribuição, para o qual estimativas disponíveis [110, 113, 114, 121]caem

Capítulo 3 - Propriedades do Ponto de Nishimori 65na faixa 0.180 η 0.187. Em todos os casos, tanto para η 0 quanto para η 1 , o valor dapercolação aleatória η p = 0.208333 · · · , está definitivamente excluído.De dados para a susceptibilidade a campo zero, obtemos γ/ν = 1.797(5), que cai dentroda faixa de resultados prévios [114, 121] e aproximadamente toca o valor da percolação(γ/ν) p = 43/24 ≈ 1.7917 [128], no limite inferior da barra de erro. Similarmente ao caso daRef. [114], parece que de (γ/ν) apenas é difícil obter evidência conclusiva a favor ou contra ocomportamento no PN estar na mesma classe de universalidade da percolação.Quando consideramos susceptibilidade não linear, nosso estudo foi motivado pelo bemconhecido comportamento de multiescala das funções de correlação no PN [110–114, 122]. Aconexão entre susceptibilidade linear χ e o primeiro momento da distribuição da função decorrelação é dada através do teorema da flutuação-dissipação, o que (invocando argumentosde escala [132]) implica a relação de escala γ/ν = 2 − η 1 . A susceptibilidade não linear χ (nl) ,por outro lado, pode ser expressa em termos de correlações de quatro pontos e produtos decorrelações de dois pontos [129]. Assim, não é obvio a priori, se qualquer destas propriedadesde multiescala, observada para os diversos momentos da função de correlação de dois pontos,deverá influenciar χ (nl) . O padrão de referência disponível é dado pela relação de escala detamanhos finitos padrão entre os expoentes associados a χ e χ (nl) , a saber γ nl /ν = 2γ/ν + d.Isto é estabelecido sob considerações de propriedades de escala de tamanhos finitos da energialivre [129], evitando assim qualquer conexão com funções de correlação. Se o comportamentode multiescala ocorresse para quantidades do tipo magnetização (via conexões a funções decorrelação agregadas), deveriamos ver alguma coisa similar aos expoentes de “gap” observadospara a estatística de funções de correlação (isto é, “gaps” de expoentes da magnetização nãoconstantes [132]), que deveriam implicar no colapso da relação mencionada. Como visto acima,obtivemos que a relação é de fato obedecida, com excelente acurácia numérica. Deste modo,não foi detectada qualquer evidência de comportamento de multiescala das susceptibilidadesmagnéticas.

Capítulo 4Introdução ao Modelo deBlume-Capel Desordenado4.1 IntroduçãoSabemos que a introdução de desordem temperada, em geral, modifica as propriedades críticasdos sistemas puros. O critério de Harris [34] fornece uma descrição sobre o efeito que a desordem(nas ligações) produz em relação às transições de fase de segunda ordem do sistemauniforme. Evidências numéricas sugerem que os expoentes críticos de sistemas bidimensionaisde Ising podem ser modificados apenas por correções logarítmicas aos expoentes críticos docorrespondente sistema puro.Tratando-se de sistemas uniformes que exibem transição de fase de primeira ordem, osefeitos da desordem podem ser mais severos. Um argumento de grupo de renormalização fenomenológicodevido a Hui e Berker [60], bem como uma prova rigorosa em termos do teorema deAizenman e Wehr [61], prevêem que transições de fase de primeira ordem são substituídas portransi-ções de segunda ordem em sistemas com dimensões d ≤ 2. Para d ≥ 3, ocorre redução datemperatura correspondente a pontos tricríticos e críticos terminais, enquanto que as transiçõesde fase de primeira ordem deixam de existir apenas para um certo limiar da desordem.O modelo de Blume-Capel com um campo cristalino aleatório tem sido usado para modelaro comportamento crítico da mistura 3 He- 4 He em um meio poroso (aerogel) [138, 139] emtermos de um método de variação de cluster. Outros trabalhos em modelos de Blume-Capelcom desordem no campo cristalino podem ser encontrados nas Refs. 140–144. Para o nosso

Capítulo 4 - Modelo de Blume-Capel Desordenado 67conhecimento, existem poucos estudos numéricos disponíveis na literatura que tratam modelosdesordenados, em especial com desordem nas ligações, cujas versões uniformes apresentamtransição de fase primeira ordem. Podemos citar aqui a Ref. [145] que trata do modelo dePotts em d = 2 e a Ref. [146], onde o modelo de Blume-Capel é analisado em duas versões,com campo cristalino aleatório e desordem nas ligações, ambas em d = 3.Neste estudo, vamos desenvolver uma sistemática para investigar o modelo de Blume-Capelbidimensional com desordem nas ligações. Técnicas de matriz de transferência numéricas, escalade tamanhos finitos e conceitos de invariância conforme serão utilizados para uma geometriaem forma de tiras longas de uma rede quadrada, sujeita a condições de contornoperiódicas transversais. Adotaremos um procedimento muito preciso para a determinação depontos críticos, com base numa análise conjunta do comprimento de correlação e da energialivre de paredes de domínios. Para verificar a eficácia desta metodologia, vamos aplicá-la aomodelo uniforme e comparar os nossos resultados com aqueles disponíveis na literatura. Comisto, teremos todas as ferramentas necessárias ao estudo do modelo desordenado, cujo objetivoprincipal é analisar as possíveis mudanças que a desordem produz sobre as transições de fasede primeira ordem, como previstos pela teoria.4.2 O Modelo de Blume-Capel UniformeO modelo de Blume-Capel é uma generalização do modelo de Ising para sistemas de spin-1e foi proposto originalmente por Blume [134] e Capel [135] para estudar transições de fasemagnéticas de primeira ordem. O Hamiltoniano que descreve o modelo é dado porH = −J ∑ 〈i,j〉s i s j + D ∑ is 2 i − h ∑ is i , (4.1)onde os spins s i podem assumir os valores 0, ±1, J é a constante de troca restrita a primeirosvizinhos, D é um campo de anisotropia (ou campo cristalino) e h um campo magnéticoaplicado. O modelo não apresenta solução exata e tem sido estudado com o auxílio deuma variedade de métodos, tais como, aproximação de campo médio [134, 135], expansõesem séries [136], grupo de renormalização [137], simulações de Monte Carlo [147–150], matrizde transferência [151–153], dentre outros. Também é possível mapeá-lo em um modeloquântico [154–156], cujo comportamento crítico é o mesmo daquele do modelo clássico.Uma versão estendida deste protótipo, denominada modelo de Blume-Emery-Griffiths [157],contendo um termo adicional biquadrático no Hamiltoniano, −K ∑ 〈i,j〉 s2 i s2 j , tem sido empre-

Capítulo 4 - Modelo de Blume-Capel Desordenado 68gada na descrição de misturas 3 He- 4 He, onde o estado s = 0 representa um átomo de 3 He, eos estados com s = ±1 representam os átomos de 4 He. Uma transição superfluido correspondea uma quebra de simetria entre os estados s = ±1.O diagrama de fase do modelo de Blume-Capel para dimensões d ≥ 2 e na ausência decampo magnético, apresenta uma linha de transição separando as fases ferromagnéticas e paramagnéticasque muda de caráter de segunda ordem para primeira ordem num ponto tricrítico.A magnetização 〈m〉 sofre um salto descontínuo através da fronteira de fase de primeira ordem.A localização do ponto tricrítico foi determinada: T t = 0.610(5), D t = 1.9655(5) [151],T t = 0.609(4), D t = 1.965(5) [152], através de técnicas de matrizes de transferência juntamentecom escala de tamanhos finitos; enquanto que T t = 0.609(3), D t = 1.965(15) [158] ,via grupode renormalização de Monte Carlo e T t = 0.608(1), D t = 1.9665(3) [149], com Monte Carlo. Acarga central c da teoria de campo conforme é dada por [159]c = 1 −6; (m = 2,3,4...), (4.2)m(m + 1)onde m = 3 descreve o modelo de Ising e m = 4 pontos tricríticos. Estimativas de tamanhosfinitos fornecem [152], c = 0.50(3), no ponto crítico T c = 0.764(7), D c = 1.9 e c = 0.698(9)para o ponto tricrítico T t = 0.609(4), D t = 1.965(5). A Ref. 151 apresenta estimativas parao expoente η do decaimento das correlações no ponto crítico. Para a linha crítica, η = 0.253e no ponto tricrítico η = 0.154, que estão de acordo com os valores esperados η = 1/4 eη = 3/20 [160, 161], respectivamente.4.3 Modelo Desordenado e TécnicaEm nosso modelo, o Hamiltoniano da Eq. (4.1), na ausência de campo externo, é agora reescritocomoH = − ∑ J ij s i s j + D ∑ s 2 i, (4.3)〈i,j〉ionde J ij são variáveis aleatórias (temperadas) obtidas da distribuição de probabilidadesP(J ij ) = pδ(J ij − J 0 ) + (1 − p)δ(J ij − r J 0 ). (4.4)sendo p a concentração de ligações ferromagnéticas J 0 e r 0 ≤ r ≤ 1 uma intensidade para adesordem (que escolheremos arbitrariamente igual a 0.25).

Capítulo 4 - Modelo de Blume-Capel Desordenado 69É de fundamental importância no estudo de sistemas críticos a localização precisa de pontoscríticos, uma vez que isto permite eliminar uma potencial fonte de incerteza dentre tantasoutras relacionadas a sistemas aleatórios. Uma técnica extremamente eficaz na obtenção datemperatura crítica T c do sistema foi introduzida por Mazzeo e Khun [55], e consiste da análiseconjunta do comportamento de tamanho finito do comprimento de correlação ξ L e da energialivre de paredes de domínios (ou tensão interfacial) σ L . As técnicas de escala de tamanhosfinitos assumem que o comprimento de correlação em um sistema com geometria de tira escalacom L (a largura da tira) de acordo comξ L ≈ L Q(L yt t), (4.5)onde t = (T − T c )/T c e y t = 1/ν caracteriza o comportamento assintótico de escala do comprimentode correlação no sistema infinito quando t → 0. Na fase desordenada, ξ L /L é umafunção decrescente de L, enquanto que na fase ordenada é crescente. Na criticalidade, ξ L /Lé assintoticamente independente de L para L grande. Desta forma, graficos de ξ L /L contraT, para vários valores de L, deverão interceptar em pontos (T ξ L) que são estimativas de escalade tamanhos finitos que irão convergir para o valor exato à medida que L cresce. Paraencontrarmos pontos tricríticos, devemos analisar o comprimento de persitência ξ ∗ L , definidocomoξ ∗ L =em analogia ao comprimento de correlaçãoξ L =1ln(λ 1 /λ 3 ) , (4.6)1ln(λ 1 /λ 2 ) , (4.7)onde λ 1 , λ 2 e λ 3 são os três maiores autovalores (expoentes de Lyapunov) da matriz de transferênciado sistema puro (desordenado). O comprimento de correlação é uma medida do tamanhomédio do domínio ordenado, enquanto o comprimento de persistência é uma medidado domínio desordenado. Em uma transição de segunda ordem, apenas os dois maiores autovaloresserão assintoticamente degenerados, enquanto numa transição de primeira ordem ostrês maiores autovalores da matriz de transferência serão degenerados no limite de L → ∞,devido a coexistência das três fases; duas ferromagnéticas ordenadas e uma paramagnéticadesordenada. Sobre uma linha de transição, o comprimento de persistência escalado, ξ ∗ L /L, éuma função crescente de L quando a transição é de primeira ordem, e decrescente quando atransição é de segunda ordem. No ponto tricrítico, o comprimento de persistência escalado éassintoticamente independente de L. Assim, um procedimento análogo ao descrito acima parao comprimento de correlação pode ser usado para localizar o ponto tricrítico.

Capítulo 4 - Modelo de Blume-Capel Desordenado 70Podemos aplicar os mesmos argumentos de escala usados para ξ L à energia livre de paredesde domínios σ L , isto é,σ L ∼ L −1 , (4.8)e avaliar os pontos (TL σ) para os quais as curvas 1/Lσ L para os diversos tamanhos de L se cruzam.A análise da sequência de interseção mútua dos pontos comuns às curvas ξ L /L e 1/Lσ L ,contra T, para valores fixos de L, nos permite obter pontos críticos com grande precisão, alémde ser muito mais rápida a sua convergência comparada às sequências individuais para ξ L /L e1/Lσ L .A estimativa das diversas quantidades termodinâmicas a serem investigadas serão obtidas apartir de conceitos e métodos já descritos em Capítulos anteriores e serão omitidos nesta Seção.A seguir, iremos empregar as técnicas descritas aqui na determinação de pontos críticos dodiagrama de fases do modelo de Blume-Capel, bem como avaliar algumas de suas propriedadescríticas.L/πξ L, Lσ L/π0.40.30.2D = 1.90L = 5L = 6L = 7L = 8L = 9L=10T c= 0.7650.10.74 0.76 0.78 0.8TFigura 4.1: Localização da temperatura crítica para D = 1.90, a partir da interseçãomútua do conjunto de curvas para L/π ξ L (inclinação positiva) e L σ L /π (inclinaçãonegativa) em função de T, fornecendo o valor T c = 0.765(5).

Capítulo 4 - Modelo de Blume-Capel Desordenado 714.4 Resultados PreliminaresA título de ilustração e também para testar a nossa metodologia, vamos aplicar as nossastécnicas numa reanálise do modelo de Blume-Capel uniforme. Os resultados servirão para umaposterior comparação com o modelo desordenado a ser tratado.Inicialmente, vamos determinanar a temperatura crítica correspondente a D = 1.9. NaFig. 4.1, mostramos a localização da temperatura crítica correspondente, onde podemos observaruma convergência (em destaque) muito rápida para o ponto crítico a partir da interseçãomútua das curvas L/π ξ L e Lσ L /π em função de T, para diversos valores de L. EncontramosT c = 0.765(5), mais preciso do que T c = 0.764(7) da Ref. [152]. A incerteza correspondenteao último dígito foi avaliada de maneira sugestiva, observando-se a convergência para o pontocrítico das sequências individuais para (TL σ) e (T ξ L ).Tabela 4.1: Estimativas de pontos críticos T c e D c em torno da posição estimada doponto tricrítico T = 0.610, D = 1.9655 da Ref. 151.T cD c0.600 1.96820.605 1.96680.610 1.96540.615 1.96390.620 1.9620Nosso passo seguinte é encontrar o ponto tricrítico do diagrama de fase do modelo. Paraisto, fizemos uma varredura em torno da posição estimada do ponto tricrítico T = 0.610,D = 1.9655 [151] e localizamos os pontos críticos da Tabela 4.1. Calculamos, então, o comprimentode persistência ξ ∗ ao longo do setor da linha crítica, perto do ponto tricrítico, de ondepudemos localizar a temperatura tricrítica T t = 0.609(2), a partir da interseção das linhas paraos diversos tamanhos de L, como pode ser visto na Fig 4.2. Com o valor fixo estimado para T t ,traçamos várias curvas para L/π ξ L e Lσ L /π em função do campo cristalino D e encontramoso valor D t = 1.9657(1), mostrado na Fig. 4.3.Tendo localizado o ponto tricrítico, vamos prosseguir na obtenção de algumas quantidadescríticas, a saber a carga central c e o expoente η que descreve o decaimento das correlaçõesna criticalidade. Para a avaliar a carga central, usamos escala de tamanhos finitos da energia

Capítulo 4 - Modelo de Blume-Capel Desordenado 720.90.850.8L = 7L = 8L = 9L = 10L = 11ξ * L /L0.750.7T t = 0.609(2)0.650.6 0.605 0.61 0.615 0.62TFigura 4.2: Comprimento de persistência escalado ao longo do trecho sobre a curvacrítica em função da temperaura, para os dados da Tabela 4.1. O cruzamento dascurvas é uma estimativa de tamanhos finitos para a temperatura tricrítica e nos forneceo valor T c = 0.609(2).0.18T t = 0.609L = 7L = 8L = 9L = 10L/πξ L, Lσ L/π0.160.14D t = 1.96570.121.964 1.965 1.966 1.967DFigura 4.3: Conjunto de curvas L/π ξ L (inclinação positiva) e L σ L /π (inclinação negativa)em função da temperatura. A interseção mútua das curvas converge para ovalor D t = 1.9657(1).

Capítulo 4 - Modelo de Blume-Capel Desordenado 73livre em uma tira com condições de contorno periódicas transversais [125],f(T c ,L) = f(T c , ∞) + πc6L 2 + O ( 1L 4 ), (4.9)onde f(T c , ∞) = lim L→∞ f(T c ,L) é um termo regular que corresponde à energia livre de“bulk” do sistema. Já foi visto no Cap. 3, quando calculamos a carga central para o pontoNishimori, e em trabalhos anteriores em sistemas de Ising puros [127] e de ligações aleatórias nãofrustradas [93, 100] que, para uma rede quadrada, o termo L −4 representa uma importantecontribuição para a estabilidade e acurácia das extrapolações da energia livre. Entretanto,verificamos que, no caso do modelo de Blume-Capel, isto não é suficiente. Vamos adotaraqui um procedimento semelhante ao usado na Ref. [162], onde o autor considerou ordens maiselevadas na expansão da energia livre, para determinar a melhor estimativa para a carga centraldo modelo de Ising. Naquele caso, a energia livre do sistema infinito é conhecida exatamente,de modo que a melhor estimativa para c é aquela que corresponde á ordem do polinômio parao qual se obtém a melhor acurácia para a energia livre do “bulk” (f ∞ ). Aqui, não conhecemosesta última exatamente e vamos considerar a carga central como o parâmetro a ser usado paraencontrar a ordem do polinômio que fornece o melhor ajuste para a energia livre. Na Tabela 4.2são mostrados os valores de f ∞ e c obtidos a partir do ajuste de mínimos quadrados via Eq. (4.9)aos nossos dados, para as diversas ordens 2 ≤ n ≤ 18 de L −n . Podemos verificar que a melhorestimativa para c é obtida para um polinômio de grau n = 10. Na Fig. 4.4 apresentamos umajuste de mínimos quadrados não-linear aos dados para f L , cosiderando termos até ordem deL −10 na Eq. (4.9), o que nos fornece c = 0.70002(2), em concordância com o valor teóricoc = 7/10.Tabela 4.2: Estimativas para a energia livre f ∞ e carga central c obtidas do procedimentode ajuste via Eq. (4.9), para várias ordens de n em 1/L. A melhor estimativapara c corresponde a n = 10.n f ∞ c2 0.11550(4) 0.727(3)4 0.115643(2) 0.6968(3)6 0.1156343(4) 0.6996(1)8 0.1156325(1) 0.70043(6)10 0.11563317(3) 0.70002(2)12 0.11563325(7) 0.69995(5)14 0.11563334(7) 0.69986(6)16 0.11563210(3) 0.70132(4)18 0.1156322(1) 0.70119(9)

Capítulo 4 - Modelo de Blume-Capel Desordenado 74Figura 4.4: Energia livre negativa no ponto tricrítico, para tiras de larguras 4 ≤ L ≤ 14.A linha corresponde a um ajuste de mínimos quadrados não- linear aos dados, viaEq. (4.9) até ordem de L −10 , e fornece a melhor estimativa para a carga central,c = 0.70002(2).Para o cálculo do expoente η, usamos a relaçãoη L = Lπ ξ L, (4.10)obtida da invariância conforme para uma geometria de tira com condições de contorno periódicastransversais. Na Fig. 4.5 apresentamos estimativas para L/π ξ L em função de 1/L, no pontotricrítico, para vários valores de L. Observando-se que para 11 ≤ L ≤ 14 η assume um comportamentoaproximadamente linear, um ajuste de mínimos quadrados linear a este conjuntode dados nos fornece uma estimativa aproximada para η, isto é, η ≈ 0.1511, bem próximo dovalor previsto η = 0.15 e bem mais acurado do que aquele obtido na Ref. 151, η = 0.154.Fizemos também um cálculo direto de fiunções de correlação, como descrito na Seção 1.3.1do Capítulo 1. Neste caso, o expoente η pode ser estimado a partir da expressão obtida dainvariância conforme para sistemas de Ising em tiras de largura L e condições de contorno

Capítulo 4 - Modelo de Blume-Capel Desordenado 75Figura 4.5: Estimativas para η obtidas da Eq. 4.10, no ponto tricrítico para tiras delarguras 4 ≤ L ≤ 14. A linha corresponde a um ajuste de mínimos quadrados linearpara valores de 11 ≤ L ≤ 14, fornecendo o valor aproximado η ≈ 0.1511.periódicas transversais na criticalidade,G purexy⎡⎤∼ ⎣π/L(sinh 2 (πx/L) + sin 2 (πy/L) ) ⎦1/2η, (4.11)onde (x,y) corresponde às posições relativas dos spins na rede. Na Figura (), mostramosG(z), z ≡ ( sinh 2 (πx/L) + sin 2 (πy/L) ) 1/2, para L = 12, 1 ≤ x ≤ 10, 0 ≤ y ≤ 6, no pontotricrítico do modelo de Blume-Capel. Um ajuste de mínimos quadrados linear nos forneceη = 0.151(1), que concorda com o valor obtido anteriormente através do comprimento decorrelação ξ = ln −1 (λ 1 /λ 2 ) via Eq. (4.10), e inclui, dentro da barra de erro, o valor previstoteoricamante η = 0.15.Voltando ao modelo de Blume-Capel com desordem nas ligações, fizemos uma série devarreduras em busca de pontos críticos no plano T − D. Podemos observar que a adiçãode desordem ao sistema reduz a temperatura crítica do mesmo. Nossos resultados são aindapreliminares e vamos apresentar aqui apenas uma amostra dos mesmos, visto que ainda seencontram num estágio muito primitivo de análise. Na Fig. 4.6 mostramos a temperaturacrítica para D = 1.9657 (correspontente ao ponto tricrítico do modelo puro) com apenas 2%

Capítulo 4 - Modelo de Blume-Capel Desordenado 76Figura 4.6: Estimativa para η obtida da Eq. (4.11) contra z ≡(sinh 2 (πx/L) + sin 2 (πy/L) ) 1/2, no ponto tricrítico, para L = 12 e pontos nointervalo 1 ≤ x ≤ 10, 0 ≤ y ≤ 6. A linha corresponde a um ajuste de mínimosquadrados linear e fornece o valor η = 0.151(1).(p = 0.98) de desordem nas ligações e r = 0.6. Esta baixa concentração de desordem é suficientepara baixar a temperatura crítica para T = 0.539(3). Não foi possível estimar, nesteponto, expoentes críticos ou a carga central, muito provavelmente por conta de fortes efeitos decrossover, uma vez que estamos muito próximo do ponto tricrítico e usando uma concentraçãorazoavelmente baixa da desordem.4.5 Comentários e PerspectivasAplicamos métodos de matriz de transferência numéricos ao estudo do modelo de Blume-Capel sobre tiras de uma rede quadrada com condições de contorno periódicas. Juntamentecom conceitos de teoria de escala de tamanhos finitos, usamos uma técnica muito precisa nadeterminação de pontos críticos, que consiste em encontrar a interseção mútua do comprimentode correlação L/π ξ L com a energia livre de paredes de domínios Lσ L /π, em função da temperatura,para várias larguras L da tira. Podemos observar que a localização do ponto tricríticodo modelo uniforme, T c = 0.609(2), D t = 1.9657(1), é mais precisa do que aquelas dadas nas

Capítulo 4 - Modelo de Blume-Capel Desordenado 770.3d = 1.9657T C= 0.539(3)p = 0.98, r = 0.6L = 6L = 7L = 8L = 9L/πξ L, Lσ L/π0.20.100.52 0.54 0.56TFigura 4.7: Conjunto de curvas L/π ξ L (inclinação positiva) e L σ L /π (inclinação negativa)em função da temperatura, para vários valores de L. As linhas são ajustes demínimos quadrados parabólicos aos dados (a simples conexão dos pontos leva ao mesmoresultado, desde que os pontos não estejam suficientemente separados). A interseçãomútua das curvas converge para o valor T c = 0.539(3).Refs. 151, 152. Também calculamos a carga central c = 0.70002(2) e o expoente η = 0.151(1)deste modelo no ponto tricrítico, os quais estão de acordo com os valores esperados, c = 0.70e η = 0.15, respectivamente. Nossas estimativas para estas quantidades são mais acuradas doque aquelas encontradas nas Refs. 151 e 152.Quanto ao modelo desordenado, nosso ferramental está completo e podemos usá-lo paraeste propósito. Como em todo trabalho numérico, é necessário fazermos muita análise de dadospara chegarmos à conclusões proveitosas. Neste sentido, é conveniente que façamos uma sériede cálculos para várias concentrações da desordem e, na medida do possível, evitar que efeitosde crossover obscureçam a interpretação dos nossos dados. É o que pretendemos fazer em umestudo posterior a partir de agora.

Capítulo 5ConclusãoNeste trabalho, usamos métodos de matrizes de transferência numéricos, juntamente com conceitosde escala de tamanhos finitos e invariância conforme, no estudo de propriedades críticasde sistemas magnéticos desordenados, constituídos de momentos magnéticos discretos (spinsde Ising) localizados nos sítios de uma rede quadrada (L × N, N → ∞). Para sistemas puros,as quantidades termodinâmicas podem ser obtidas a partir dos autovalores dominantes damatriz de transferẽncia. Tratando-se de sistemas desordenados, as matrizes de transferêncianão comutam, e devemos agora calcular médias configuracionais das quantidades de interesse,tais como energia livre e comprimento de correlação, que são dados em termos de expoentesde Lyapunov do produto de um número infinito de matrizes de transferêcia. Nosso trabalhopode ser sumarizado como segue:(i) Inicialmente, apresentamos uma breve revisão sobre a teoria de fenômenos críticos etransições de fase e os principais aspectos relacionados a sistemas magnéticos desordenados,bem como de modelos e problemas a serem abordados. Introduzimos a metodologia usada notrabalho, onde definimos a matriz de transferência e descrevemos como se obtêm os expoentesde Lyapunov, os conceitos de transformações conformes e escala de tamanhos finitos;(ii) Estudamos funções de correlação spin-spin críticas do modelo de Ising bidimensionalcom desordem nas ligações e na ausência de frustração. Nossos dados são analisados do pontode vista das expressões obtidas da teoria de invariância conforme, específicas para correções logarítmicasde correlações em geometrias de tira. Os expoentes associados ao termo de correçãologarítmica, para os momentos de ordem 0 ≤ n ≤ 4 investigados, estão corretos com respeitoao sinal. Encontramos um intervalo da intensidade da desordem, ao longo do qual as correçõesao comportamento do sistema puro podem ser decompostas em um produto de fatores depen-

Capítulo 5 - Conclusão 79dentes de n e outro aproximadamente independente, de acordo com previsões estabelecidas.Propomos um procedimento fenomenológico de ajuste aos nosos dados para dar conta dostermos subdominantes das funções de correlação em tiras. No limite de baixa desordem, osresultados obtidos estão em completo acordo com as previsões teóricas, desde que uma hipóteseadicional seja adotada. As estimativas para os expoentes postulados estão em excelente acordocom os resultados previstos por Ludwig, para os momentos de ordem n = 0 − 3;(iii) Investigamos propriedades do ponto multicrítico de vidros de spin de Ising ±J em umarede quadrada, cuja localização admitimos ser dada exatamente por uma recente cojectura propostapor Nishimori e Nemoto. Esta escolha nos permite eliminar uma dentre muitas fontesde incertezas com as quais temos de tratar no estudo de sistemas desordenados. Trabalhos anteriorestiveram como base estimativas aproximadas para a localização do ponto multicrítico,para o qual foram calculados expoentes críticos associados, levando-se à conclusão de que atransição de fase naquele ponto não pertence à classe de universalidade da percolação aleatória.Calculamos os dois maiores expoentes de Lyapunov bem como as susceptibilidades linear e nãolinear uniformes a campo zero, sobre tiras de largura 4 ≤ L ≤ 16 sítios, dos quais calculamosa carga central (ou anomalia conforme) c, o expoente η do decaimento das correlações, e osexpoentes das susceptibilidades linear γ/ν e não linear γ nl /ν. Nossa estimativas fornecem:c = 0.46(1); 0.187 η 0.196; γ/ν = 1.797(5); γ nl /ν = 5.59(2). Uma avaliação direta dasfunções de correlação em geometria de tira e da estatística do momento de ordem zero dadistribuição de probabilidades associada leva a η = 0.194(1), consistente com o cálculo viaexpoentes de Lyapunov. Nossos resultados indicam que este modelo não pertence à mesmaclasse de universalidade da percolação. Por outro lado, a relação de escala γ nl /ν = 2γ/ν + d(com a dimensionalidade espacial d = 2) é obedecida com excelente acurácia, indicando nãohaver qualquer evidência de comportamento de multi-escala das susceptibilidades;(iv) Desenvolvemos uma sistemática para investigar o Modelo de Blume-Capel com desordemnas ligações. Usamos técnicas de matriz de transferência numéricas, escala de tamanhosfinitos e conceitos de invariância conforme para uma geometria em forma de tiras longas deuma rede quadrada, sujeita a condições de contorno periódicas transversais. Para determinaçãode pontos críticos, adotamos um procedimento muito preciso que consiste numa análise conjuntado comprimento de correlação e da energia livre de paredes de domínios. Para verificara eficiência deste procedimento, fizemos uma reanálise do modelo uniforme e comparamos osnossos resultados com aqueles disponíveis na literatura. Nossos resultados para a localizaçãode pontos críticos são mais precisos e as quantidades críticas estimadas são mais acuradas doque os correspondentes na literatura consultada. Como um estudo preliminar, calculamos a

Capítulo 5 - Conclusão 80temperatura crítica associada ao campo cristalino tricrítico, para uma baixa configuração dedesordem, e observamos que a mesma sofre uma redução considerável em relação à correspondentetemperatura tricrítica do sistema uniforme, como previsto teoricamente.Esperamos poder contribuir para um melhor entendimento sobre transições de fase efenômenos críticos em sistemas magnéticos desordenados, em especial, às correções logarítimicasao decaimento de correlações do modelo de Ising ferromagnético com desordem nas ligações,bem como sobre a natureza do ponto de Nishimori em vidros de spin de Ising ±J bidimensionais.Quanto ao modelo de Blume-Capel desordenado, dispomos agora de um conjunto deferramentas úteis para um posterior estudo deste sistema. Neste sentido, é conveniente quefaçamos uma série de cálculos para várias concentrações da desordem e valores do campo cristalino(D), localizando os correspondentes pontos críticos e, desta maneira, procedermos naanálise de suas propriedades críticas.

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