Estudo de Propriedades Cr´ıticas de Sistemas de Spin de Ising ...

Capítulo 1 - Introdução 22A função de partição pode ser escrita comoZ M,N = ∑ µ jAssumindo condições de contorno periódicas⎧⎫⎨ Nexp⎩ −β ∑⎬[H 1 (µ j ,µ j+1 ) + H 2 (µ j )]⎭ . (1.55)j=1µ 1 ≡ µ N+1 , (1.56)podemos reescrever a função de partição como⎡N∏Z M,N = Tr ⎣j=1T j⎤⎦, (1.57)onde T j é a matriz de transferência q M × q M definida por〈µ j |T j |µ j+1 〉 = e −β[H1(µj,µj+1)+H2(µj)] . (1.58)Para um sistema puro, o teorema de Perron-Frobenius 8 [84] garante que existe um autovalordominante λ 0 , positivo e não degenerado, tal que a energia livre por sítio pode ser escrita comof = − 1β M limN→∞= − 1β M limN→∞1N ln[ Tr ( T N)] (1.59)⎧ ⎡⎤⎫1 ⎨N ln ∑q M ⎬⎩ λN 0⎣1 + (λ i /λ 0 ) N ⎦(1.60)⎭i=2= − 1β M lnλ 0. (1.61)Para calcular funções de correlação [83], assumimos que a matriz de transferência tem umconjunto completo de autovetores direito ψ 0 , ψ 1 ,· · · , e esquerdo ˜ψ 0 , ˜ψ1 ,· · · com componentesψ 0 (µ), ψ 1 (µ),· · · , ˜ψ 0 (µ), ˜ψ 1 (µ),· · · , respectivamente, e autovalores λ 0 > |λ 1 | ≥ · · · . A componentedo autovetor ψ 0 (µ), sendo a função de partição condicional assintótica, é a probabilidaderelativa para uma coluna de sítios à extrema esquerda (fronteira) de um sistema semi-infinitoestar no estado µ. Analogamente, ˜ψ0 (µ) é a probabilidade relativa para uma coluna de sítiosà extrema direita de um sistema semi-infinito (que se estende, a partir desta fronteira, infinitamentepara a esquerda) estar no estado µ. Generalizando este argumento, ˜ψ0 (µ)ψ 0 (µ) éa probabilidade relativa de uma coluna de sítios no “meio” de um sistema infinito estar no8 O teorema se aplica apenas a matrizes de ordem n × n finita. Assim, para sistemasbidimensionais M × N, devemos ter M finito.