Capítulo 10 - Programa de Engenharia Química - COPPE / UFRJ

10. INTRODUÇÃO À OTIMIZAÇÃO10.1 Formulação de ProblemasOs componentes chaves da formulação de um problema de otimização são:1) A função objetivo2) O modelo do processo3) As restriçõesA função objetivo representa lucro, custo, energia, produção, distância, etc., em termosdas variáveis de decisão do processo ou sistema em análise. O modelo do processo e asrestrições descrevem as inter-relações entre estas variáveis.10.1.1 AplicaçõesAs técnicas de otimização, que buscam a melhor solução para um problema (máximosou mínimos de grandezas mensuráveis em seus domínios de definição), fazem-se necessáriasem muitas áreas da engenharia, tais como:• pesquisa operacional: otimização de sistemas técnico-econômicos, controle deestoques, planejamento de produção, etc.;• engenharia de processos: dimensionamento e otimização de processos, integraçãomássica e energética de processos, estimação de parâmetros, reconciliação de dados,análise de flexibilidade, etc.;• controle de processos: identificação de sistemas, controle ótimo, controle adaptativo,controle preditivo, estimadores de estados, etc.;• análise numérica: aproximações, regressão, solução de sistemas lineares e nãolineares,etc.A otimização pode ser efetuada em diferentes níveis dentro de uma empresa, desdeuma combinação complexa de plantas e unidades de suprimentos, passando por plantasindividuais, combinações de unidades, equipamentos, peças de equipamentos, até entidadesmenores. Portanto, o escopo de um problema de otimização pode ser toda a empresa, umaplanta, um processo, uma equipamento, uma peça de um equipamento, ou qualquer sistemaintermediário entre estes. Em uma indústria típica existem três níveis que podem serotimizados: nível gerencial, nível de projeto de processo e especificação de equipamento enível de operação de plantas.

Existe uma série de atributos de processos que afetam os custos ou lucros, tornando-osatrativos para aplicação de otimização, tais como:- vendas limitadas pela produção aumento de capacidade produtiva- vendas limitadas pelo mercado aumento de eficiência ou produtividade- grandes unidades de processamento redução dos custos de produção- elevados consumos de matéria-prima ou energia redução do consumo- qualidade do produto superior às especificações operar perto das restrições- perda de componentes valiosos para os efluentes ajustes e re-aproveitamentos- alto custo de mão-de-obra automação e replanejamento das unidades.Exemplo 1: No projeto de um sistema de resfriamento representado abaixo:F, t oA 1 , U 1W 1 , T 1F, t 1W 2 , T 2 W 3 , T 3F, t 2 F, t 3A 2 , U 2 A 3 , U 3W 3 , T 3W 1 , T 1W 2 , T 2deseja-se dimensionar os trocadores de calor de modo a resfriar a corrente a temperatura t opara t 3 com o menor custo possível. Uma análise econômica levou a seguinte expressão docusto do sistema:custo por unidade: ci ai Ai biWicusto total: cT3i1cionde o coeficiente a i é função do tipo de trocador de calor e do fluido refrigerante e b i é ocusto unitário do refrigerante. Uma análise técnica (balanço de energia) gerou as seguintesrelações restritivas:AiFCp ti lnU ti1i Ti T ie W FCp i ( ti1ti)onde Cp é o calor específico da corrente, U i é o coeficiente global de troca térmica e i é ocalor de vaporização do refrigerante. Portanto, dados os tipos de trocadores de calor e fluidosrefrigerantes, e conhecidas as temperaturas T i e as propriedades Cp, i e U i , o problema delevar a corrente (F, t o ) para a condição (F, t 3 ) da maneira mais econômica possível, consisteem minimizar c T no projeto dos trocadores de calor.2i

10.1.2 NomenclaturaNo contexto de otimização os problemas são tratados dentro da seguintes definições:função objetivo: é a função matemática cujo máximo ou mínimo deseja-se determinar. Noexemplo acima a função objetivo é o custo total.variáveis de decisão:são as variáveis independentes que aparecem na função objetivo.Correspondem, em número, ao excesso de variáveis em relação aonúmero de equações (restrições de igualdade), isto é, o grau deliberdade do sistema. No exemplo acima tem-se 6 equações (3 paraA i e 3 para W i ) e 8 variáveis (t 1 , t 2 , A i e W i ), portanto 2 variáveis dedecisão ou grau de liberdade igual a 2.restrições: são os limites impostos ao sistema ou estabelecidos pelas leis naturais quegovernam o comportamento do sistema, a que estão sujeitas as variáveis dedecisão. As restrições podem ser de igualdade (equações) ou de desigualdade(inequações). No exemplo acima tem-se 6 restrições de igualdade e 3 restriçõesde desigualdade: t 3 t 2 t 1 t o .região de busca:ou região viável, é a região do espaço definido pelas variáveis dedecisão, delimitada pelas restrições, em cujo interior ou em cuja fronteirase localiza o ótimo da função objetivo. No exemplo acima, tomando t 1 et 2 como variáveis de decisão, a região de busca é aquela delimitada pelasrestrições de desigualdade.t 2t 1 t 2t 3t ot 1No exemplo acima, o problema de otimização foi gerado pela busca de um projetoótimo do processo. Outra aplicação típica de técnicas de otimização aparece na melhoria dascondições de operação de um processo em produção.Exemplo 2: No processo de extração por solvente puro, ilustrado abaixo, deseja-se encontrara condição de operação com a maior lucratividade possível.3

48 WARSCHAUER ET AL.Downloaded by [University Library Utrecht] at 13:21 10 February 2014support is important when implementing one-to-one laptop programs (Drayton, Falk, Stroud,Hobbs, & Hammerman, 2010; Rutledge, Duran, & Carroll-Miranda, 2007). In Massachusetts,for example, one program deployed laptops to middle school students to use throughout theday (Bebell & Kay, 2010). Although teachers and students in this study described how laptopstransformed their classrooms into student-centered, collaborative environments, teachers’ use oflaptops varied widely. Bebell and Kay (2010, p. 48) suggest that “it is impossible to overstatethe power of individual teachers in the success or failure of 1:1 computing” given the amount ofteacher training, investment in curriculum development, and creation of new assessment methodsrequired when laptops are introduced. The financial burden of not only deploying laptops, but alsoimplementing new assessments and teacher development is a consideration when implementingthese programs in schools. These investments may particularly challenge low-SES schools,which usually face more severe budgetary constraints in providing these ongoing supports.These constraints can lead to inequitable implementation of technology programs (Becker, 2000;Warschauer, Knobel, & Stone, 2004; Wenglinsky, 2005).Laptop programs also may increase differences within schools between high- and lowachievingstudents. A study evaluating the Texas Technology Immersion Project, a one-tooneprogram in middle schools, suggested that test score gains were primarily seen in alreadyhigh-achieving students (Shapley, Sheehan, Sturges, Caranikas-Walker, Huntsberger, &Maloney, 2007); a subsequent study of this program found that the devices, teachers’ professionaldevelopment, online curriculum resources, and online student assessments variedacross schools and teachers (Shapley, Sheehan, Maloney, & Caranikas-Walker, 2010). Theseresults suggest that laptop programs may increase disparities between high- and low-performingstudents.Two of the three districts discussed in this article implemented what might be called anintegrative approach, in which provision of hardware and software is balanced with broaderforms of infrastructural and social support, including wireless Internet access, technical support,teacher training, and curricular reform (see Warschauer, 2011). The third district we studied waspart of the One Laptop per Child (OLPC) program, which emphasizes the transformative potentialof children’s ownership and autonomous use of its proprietary laptops and, thus, de-emphasizesfunding of teacher training, technology infrastructure, technical support, or curricular reform (seeOne Laptop per Child, n.d.; Warschauer & Ames, 2010).Comparing case studies from two school districts (Saugus and Littleton) following the integrativeapproach and one district (Birmingham) following the OLPC approach, this study examinesdifferences across multiple levels of implementation: models, districts, and case classrooms.METHODSResearch SitesThe three public school districts in this study—Birmingham, Littleton, and Saugus—share characteristicsthat make them suitable for comparison: each implemented a one-to-one programin upper elementary classrooms with inexpensive netbooks and open source software. Despitethese similarities, the districts vary in their demographics, implementation model, and studentoutcomes.

0.02inviáveleconomicamente00.0155X20.01180.00510150.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03X1Outra aplicação muito comum, que utiliza as técnicas de otimização, é o ajuste demodelos matemáticos a dados experimentais (ajuste de curvas), onde a função objetivoutilizada, S(x), é formada pelos quadrados dos desvios do modelo em relação aos dadosexperimentais (mínimos quadrados):NSx ( ) [ y( x) y ]j1jonde y(x) é o modelo proposto (ou tipo de curva) para ser ajustado aos N dadosexperimentais y exp , e x são os parâmetros de ajuste do modelo. Ou, se for utilizado o métododa máxima verossimilhança:NexpjexpSx ( ) 1 [ yj( x) yj]2j1 j2onde j são as variâncias dos dados experimentais.2210.1.3 Procedimento geralNão existe um único método que pode ser aplicado eficientemente para todos osproblemas. O método escolhido para um caso particular depende das características da funçãoobjetivo, da natureza das restrições e do número de variáveis do problema. Contudo, osseguintes passos devem ser observados na formulação e solução de um problema deotimização:1) Análise do processo e suas variáveis;2) Determinação do critério para otimização e especificação da função objetivo em termosdas variáveis do processo;5

3) Desenvolvimento do modelo para o processo, relacionando as suas variáveis através derestrições de igualdade e desigualdade. Cálculo do grau de liberdade do sistema;4) Se a formulação do problema é de dimensão elevada, então procurar particionar oproblema em partes menores ou simplificar a função objetivo e/ou o modelo;5) Aplicação de técnicas apropriadas de otimização;6) Analisar a solução obtida e a sua sensibilidade frente a variações em parâmetros domodelo e suas considerações (hipóteses).10.1.4 Dificuldades encontradasProblemas de otimização que apresentam funções objetivo e/ou restrições complicadaspodem apresentar grandes dificuldades para obter a solução pelo uso de algumas técnicas deotimização. Algumas destas complicações estão listadas abaixo:- função objetivo e/ou restrições podem apresentar descontinuidades;- função objetivo e/ou restrições não lineares;- função objetivo e/ou restrições podem estar definidas em termos de complicadasinterações entre as variáveis, podendo ocorrer valores não únicos destas variáveis para ovalor ótimo da função objetivo;- função objetivo e/ou restrições podem exibir patamares (pouca sensibilidade à variaçãodas variáveis) para alguns intervalos das variáveis e comportamento exponencial (muitasensibilidade) para outros intervalos;- função objetivo pode apresentar ótimos locais.10.2. Conceitos Básicos10.2.1 Mínimos e máximosSeja uma função S: X n . Diz-se que x* é um mínimo global (ou absoluto) deS se S(x*) S(x) x X, e que x* é um mínimo local (ou relativo) de S se existe > 0, talque S(x*) S(x) x tal que ||x x*|| < . Se as desigualdades forem estritas, isto é,S(x*) < S(x) tem-se mínimos globais e locais estritos.S(x)mínimos locaismínimo global 6x

Se existe um número tal que S(x) x X e, para um suficientemente pequeno,S(x) < + para algum x X, então é o ínfimo (ou valor inferior) de S(x). Considerando ospontos , então toda função S(x) tem um ínfimo e um supremo (ou valor superior) em X.Nem toda função tem mínimo (máximo), mas se ele existir deve ser finito e é obtido noínfimo (supremo), isto é,S(x*) = min S(x) inf S(x)[S(x*) = max S(x) sup S(x)]xXxXPor exemplo, a função S(x) = e x não tem máximo em X = e a função S(x) = e -x não temmínimo em X = . Contudo, o supremo de e x é +, e o ínfimo de e -x é zero.xXxX10.2.2 Condições para a otimalidadeOtimização sem restriçãoNo caso da otimização sem restrições, onde deseja-se encontrar os pontos extremos dafunção objetivo, tem-se as seguintes condições de otimalidade.• Condição necessária de primeira ordem:Para que x* seja um mínimo (máximo) local da função S(x), diferenciável em x*, énecessário que:S(x*) = 0• Condição necessária de segunda ordem:Para que x* seja um mínimo (máximo) local da função S(x), duas vezes diferenciávelem x*, é necessário que:S(x*) = 0 e queH(x*) 2 S(x*) seja positiva (negativa) semidefinidaonde H(x*) é chamada de matriz Hessiana.Observa-se que estas condições são apenas necessárias porque os termos de primeira esegunda ordem podem estar nulos, deixando ainda dúvida sobre a natureza de x*.• Condição suficiente:Seja S(x) duas vezes diferenciável em x* tal que:S(x*) = 0 eH(x*) seja positiva (negativa) definidaentão x* é um mínimo (máximo) local estrito de S.7

Pode-se analisar a condição da matriz Hessiana, H(x*), pelas seguintes formas:1) Pela sua contribuição no termo de segunda ordem da expansão em série de Taylor em tornodo ponto ótimo.1 TS( x) S(x*) ( x x*)H ( x*)(x x*)22) Pelos sinais dos valores característicos de H(x*).Decompondo a matriz Hessiana em seus valores e vetores característicos:H(x*) = V V -1onde V é a matriz dos vetores característicos (nas colunas) e é a matriz dos valorescaracterísticos (na diagonal). Definindo z(x) = V -1 (x - x*) e lembrando que sendo a matrizHessiana simétrica então V -1 = V T (matriz ortogonal) e (x - x*) T V = z T . Desta forma aexpansão em série de Taylor pode ser escrita como:1S(x) S(x*)2zT1 n2 z izi23) Pelos sinais dos determinantes das primeiras menores principais de H(x*) (critério deSylvester).A menor M ij de uma matriz H é definida como a matriz obtida pela remoção da i-ésima linha e da j-ésima coluna de H. Uma menor principal de ordem k é uma matriz obtidapela remoção de quaisquer n – k colunas e suas linhas correspondentes de uma matriz deordem n. A primeira menor principal de ordem k de uma matriz H, denotada por M k (H), éobtida pela remoção das últimas n – k colunas e linhas da matriz H. Observa-se que osdeterminantes das primeiras menores principais de ordem 1,2,...,n da matriz são,respectivamente: 1 , 1 2 , ..., 1 2 3 n .Na tabela a seguir apresenta-se as relações entre a matriz Hessiana e as três formas deanalisar a sua condição.H(x*) Taylor k = det (M k )positiva semidefinida x T H x 0 0 0positiva definida x T H x > 0 > 0 > 0negativa semidefinida x T H x 0 0 (-1) k k 0negativa definida x T H x < 0 < 0 (-1) k k > 0i1não definida x T H x 0 0 dos acima8

isto é, uma matriz positiva semidefinida. O gráfico abaixo ilustra a função S(x), onde observaseque x* = 0 não é um ponto de mínimo. Fazendo a mesma análise com a mudança de2variável y , verifica-se que a origem é um ponto sela.x 215010050S(x)0-50-1005005x2-5-5x1Otimização com restriçõesNa otimização com restrição o problema que está sendo resolvido é:min S(x) ou max S(x)sujeito a restrições de igualdade e/ou de desigualdade, que definem a região viável, sendo quequalquer ponto nesta região é uma solução viável. Dependendo do tipo de função objetivo ede suas restrições, os problemas de otimização com restrição são comumente chamados deprogramação linear, programação quadrática, programação não-linear, programação inteira eprogramação mista.Programação linear: função objetivo e restrições linearesmin S(x) = c T xsujeito a: A x bx 0onde A é uma matriz m x n, isto é, m restrições e n variáveis.Programação quadrática: função objetivo quadrática e restrições linearesminTS( x) c x sujeito a: A x b10x 012Tx Qx

Programação não-linear: função objetivo e/ou restrições não-linearesmin S(x)sujeito a:h j (x) = 0 , j = 1, 2, ..., mg j (x) 0 , j = 1, 2, ..., ponde h j (x) são m restrições de igualdade e g j (x) são p restrições de desigualdade.Programação inteira: variáveis de decisão pertencem ao campo dos números inteiros.Programação mista: é uma combinação da programação inteira com as demais. Por exemplo,no problema de projeto de trocadores de calor as variáveis de decisão poderiam ser astemperaturas das correntes (campo real) e os tipos de trocadores existentes (campo inteiro).g(x):Seja o problema de otimização sujeito a restrições de igualdade, h(x), e desigualdade,min S(x)sujeito a:h j (x) = 0 , j = 1, 2, ..., mg j (x) 0 , j = 1, 2, ..., px X nonde S(x), g(x), e h(x) C 2 . O conjunto de todos os pontos viáveis é definido por:K = {x X n / h(x) = 0, g(x) 0}Uma restrição de desigualdade g j (x) é chamada de ativa em um ponto viável x seg j ( x ) = 0, caso contrário ela é uma restrição inativa. As restrições ativas restringem a regiãode viabilidade, enquanto que as inativas não impõem restrição alguma na vizinhança do pontox , definida pela hiperesfera de raio em torno deste ponto, denotada por B ( x ).Um vetor d é chamado de vetor de direção viável a partir do ponto x se existe umahiperesfera de raio tal que:( x + d) {B ( x) K} para todo 0 d .O conjunto de vetores de direções viáveis a partir de x é chamado de cone de direçõesviáveis de K no ponto x . A figura abaixo ilustra estas definições.11

Se d 0, então x deve satisfazer as seguintes condições:d T h( x ) = 0d T 0g( x ) 0 para as g( x ) ativas, pois gx ( ) gx ( ) T gxd ( ) 0e se d T S( x ) < 0, então d é uma direção viável e promissora, isto é,S( x + d) < S( x ) para todo 0 , pois S( x) S( x) S( x) d 0 .dTSe x = x* é um ponto de mínimo local do problema, então para um suficientementepequeno, tem-se:S(x*) S(x* + d).A idéia chave para desenvolver as condições necessárias e suficientes para umproblema de otimização com restrições é transformá-lo em um problema de otimização semrestrições e aplicar as condições para este caso. Uma forma de fazer esta transformação éatravés da introdução de uma função auxiliar, chamada de função de Lagrange, L(x, , ),definida como:L(x, , ) = S(x) + T h(x) + T g(x) , 0onde e são os multiplicadores de Lagrange associados com as restrições de igualdade edesigualdade, respectivamente ( são também conhecidos como multiplicadores de Kuhn-Tucker). Deste modo, o problema transformado torna-se:max, 0minxL(x, , )onde os multiplicadores associados com as restrições de igualdade, h(x) = 0, assumemsinais positivos quando h(x) 0 e negativos quando h(x) 0. No ponto ótimo tem-se:L(x*, *, *) = S(x*)12

Cada multiplicador de Lagrange indica o quão sensível é a função objetivo em relaçãoà restrição associada. Por exemplo, se as restrições de igualdade são perturbadas por um vetorb, isto é, h b (x) = b, então: b S(x*) = *.Note que neste caso a função de Lagrange tem a forma:L(x, ) = S(x) + T [h b (x) b]e sua sensibilidade em relação ao parâmetro b é dada por: T b T x T b b L = x [ x S(x) + h b (x) ] + [h b (x) b] Como os termos entre colchetes da expressão acima devem ser nulos no ponto ótimo(condição necessária de primeira ordem), então: b L(x*, *) = * e b S(x*) = *pois b L(x*, *) = b S(x*) + T b [h b (x*) b] + T b h b (x*) * * ,h b (x) = b e b h b (x) = IPortanto, o valor de S(x) aumenta ou diminui a partir de S(x*) com um aumento oudiminuição em b, dependendo do sinal de *. Por isso, os multiplicadores de Lagrange sãotambém conhecidos como “shadow prices” ou “custos marginais” das restrições, porque amudança no valor ótimo da função objetivo por unidade de acréscimo no lado direito darestrição de igualdade é dado por *.Exemplo 5: Seja o seguinte problema de otimização com restriçãomin S(x) = (x 1 5) 2 + (x 2 5) 2sujeito a: h(x) = x 1 x 2 = 0Introduzindo uma perturbação na restrição de igualdade do tipo: x 1 x 2 = b, então a função deLagrange toma a forma:L(x, ) = (x 1 5) 2 + (x 2 5) 2 + (x 1 x 2 b)cujo gradiente nulo com relação a x 1 , x 2 e leva ao seguinte sistema de equações:2 (x 1 5) + = 02 (x 2 5) = 0x 1 x 2 b = 0resultando na solução ótima: x 1 * = 5 + b / 2, x 2 * = 5 b / 2 e * = b.Deste modo S(x*) = b 2 / 2 e b S(x*) = b = *.13

Para entender a origem da função de Lagrange, o ótimo do exemplo acima devesatisfazer as seguintes condições:SdS = x 1 +x 1Sx 2 = 0x 2dh =hx1 +x 1hx2 = 0x 2Se S(x) fosse uma função sem restrição, então as suas duas derivadas parciais seriam nulas noponto ótimo e dS(x*) seria nulo para quaisquer valores das variações x 1 e x 2 . Entretanto,como as variáveis x 1 e x 2 estão restritas (x 1 e x 2 não são independentes), as duas derivadasparciais de S(x) não podem ser arbitrariamente igualadas a zero. Contudo, S(x) deve ser umextremo no ponto ótimo e portanto dS(x*) = 0. A segunda condição, dh(x*) = 0, existe porqueh(x) = 0. Para se obter uma solução (x 1 e x 2 ) não trivial do sistema de equações acima, amatriz dos coeficientes do sistema: SSx1 x2 hhx1x2deve ter determinante nulo, ou seja, as linhas da matriz são linearmente dependentes:Sx 1h+ x 1= 0 eSx 2h+ Então, definindo uma função auxiliar: L(x, ) = S(x) + T h(x)as condições acima são satisfeitas se: x L(x, ) = 0. Para que a restrição de igualdade, h(x) =0, seja também satisfeita é necessário que L(x, ) = 0. Portanto, no ponto ótimo énecessário que L(x*, *) = 0.A existência dos multiplicadores de Lagrange depende da forma das restrições, eestará garantida se e somente se os gradientes das restrições de desigualdade ativas, g j (x*), edas restrições de igualdade, h(x*), forem linearmente independentes. Por exemplo, no casode um problema somente com restrições de igualdade, a condição necessária de primeiraordem para L(x, ) fica: x S(x) + [ x h(x)] T = 0cuja solução para existirá somente se a matriz x h(x) possuir posto completo, m, isto é, estarcomposta por m vetores linearmente independentes.• Condição necessária de primeira ordem de Karush-Kuhn-Tucker (KKT):x 2= 014

Para que x* seja um ótimo local do problema com restrições, com S(x), g(x), e h(x)diferenciáveis em x*, é necessário que:os gradientes das restrições de desigualdade ativas, g j (x*), e das restrições de igualdade,h(x*), sejam linearmente independentes (qualificação de segunda ordem das restrições), eque as seguintes condições sejam satisfeitas: x L(x*, *, *) = S(x*) + (*) T h(x*) + (*) T g(x*) = 0h(x*) = 0g(x*) 0 j * g j (x*) = 0 , j = 1, 2, ..., p (condições de complementaridade)* 0A condição de independência linear pode ser relaxada por outras qualificações deprimeira e segunda ordens das restrições (Floudas, 1995, pg. 59 e 64).A condição do gradiente nulo, x L(x*, *, *) = 0, implica em:(*) T h(x*) + (*) T g(x*) = S(x*)que interpretada graficamente, figura abaixo, mostra que o vetor S(x*) pertence ao conedas direções viáveis, formado pelos gradientes das restrições de igualdade e desigualdadeativas (uma vez que * j = 0 para as restrições inativas).15

Supondo que S(x*) caia fora do cone das direções viáveis, então haveria umadireção d tal que d T S(x*) < 0, d T g(x*) 0 e d T h(x*) = 0, isto é, existiria um pontomelhor que x*, como ilustra a figura abaixo.• Condição necessária de segunda ordem de KKT:Para que x* seja um mínimo local do problema com restrições, com S(x), g(x), e h(x)duas vezes diferenciáveis em x*, é necessário que:a condição de primeira ordem de KKT seja satisfeita e, que a matriz Hessiana da função deLagrange, L(x*, *, *), seja positiva semidefinida para todo vetor não nulo d tal que: 2 xd T h i (x*) = 0 , i = 1, 2, ..., md T g j (x*) = 0 para as g j (x*) ativasisto é, d T 2 x L(x*, *, *) d 0.• Condição suficiente de KKT:Para que x* seja um mínimo local do problema com restrições, com S(x), g(x), e h(x)duas vezes diferenciáveis em x*, é suficiente que:a condição de primeira ordem de KKT seja satisfeita e, que a matriz Hessiana da função deLagrange, 2 xL(x*, *, *), seja positiva definida para todo vetor não nulo d tal que:d T h i (x*) = 0 , i = 1, 2, ..., m16

d T g j (x*) = 0 para as g j (x*) ativas {g j (x*) = 0 e j * > 0}d T g j (x*) 0 para as g j (x*) inativas {g j (x*) < 0 e j * = 0}isto é, d T 2 x L(x*, *, *) d > 0.A positividade da matriz Hessiana com restrição, isto é:d T 2 L(x*, *, *) d > 0 d {d / d T h i (x*) = 0, d T xg j (x*) = 0, d 0}é garantida se todas as raízes do polinômio característicop ( )2xTI MLM0 0forem positivas, onde M é a matriz formada pelos gradientes de h(x*) e g(x*) ativas, isto é, amatriz tal que d T M = 0, com m+p a < n e com posto completo (p a é o número de restrições gativas). O mesmo critério se aplica para semipositividade, negatividade e seminegatividade,com os respectivos sinais das raízes.Uma maneira de resolver o problema de valor característico acima é usando adecomposição decomposição QR (ou decomposição ortogonal-triangular, ou decomposiçãode Householder) da matriz M (= Q R) para obter a matriz de projeção, Z T , do vetor d no subespaçonulo de M, isto é, d T M = 0, ou então a decomposição em valores singulares da matrizM T (= U S V H ). A matriz Z é formada pelas últimas w colunas de Q, ou ainda pelas últimas wcolunas de V, onde w é a dimensão do espaço nulo (número de valores singulares nulos, ounúmero de linhas nulas da matriz R):Z i,j = Q i,j = V i,j i = 1,2,..., n , j = m+p a w+1,...,m+p aonde Q H RM = (Q é uma matriz unitária e Q 1 = Q H é a transposta conjugada)0Uma vez encontrada a matriz Z, obtém-se os valores característicos da matriz Hessianaprojetada neste sub-espaço: Z T 2 x L Z.Exemplo 6: Verificar as condições necessárias e suficientes para o seguinte problema (Edgar& Himmelblau, 1988 , pg. 314):min S(x) = (x 1 1) 2 +2x 22sujeito a: g 1 (x) = x 1 x 2 / 4 0Exemplo 7: Verificar as condições necessárias e suficientes para o problema com a mesmafunção objetivo do exemplo 2.4, mas usando a seguinte restrição:17

2g 2 (x) = x 1 x 2 0Exemplo 8: Verificar se o ponto x* = [1 4,9] T é um mínimo local para o seguinte problema(Edgar & Himmelblau, 1988 , pg. 316):2min S(x) = 4 x 1 x 2 122x 12x 2sujeito a: h 1 (x) = 25 = 02x 12x 2g 1 (x) = 10 x 1 + 10 x 2 + 34 0g 2 (x) = (x 1 3) 2 (x 2 1) 2 0g 3 (x) = x 1 0g 4 (x) = x 2 018

10.2.3 ConvexidadeUm subconjunto K de um espaço vetorial X é dito convexo se x 1 , x 2 K e 0 1: x 1 + (1 – ) x 2 Ke apresenta as seguintes propriedades:a) K = {x K x = y, y K } é convexo para ;b) K + L e K L são convexos para subconjunto convexo L de X.Seja K um convexo não vazio do n . A função S: K é dita convexa se x 1 , x 2 K e 0 1:S[ x 1 + (1 – ) x 2 ] S(x 1 ) + (1 – ) S(x 2 )A função S(x) é estritamente convexa se a desigualdade for estrita. Uma função T(x) écôncava se a função S(x) = –T(x) for convexa.Sejam S(x), S i (x), i=1,2,...,n, funções convexas em um convexo não vazio K do n ,então as seguintes propriedades são apresentadas:a) S(x) é contínua em qualquer ponto do interior de K;b) as seções K = {x K S(x) } são conjuntos convexos;nc) S(x) = S i ( x)é uma função convexa. Se no mínimo uma S i (x) é estritamente convexa,i1então S(x) é estritamente convexa;19

d) S(x) é convexa para > 0 .e) se todas S i (x) < x K, então S(x) = max{S 1 (x), S 2 (x), ..., S n (x)} é convexa.Quando S(x) é convexa, as condições de otimalidade simplificam-se, porque ascondições de segunda ordem são equivalentes à convexidade local da função. Além disso, ummínimo local será também global e se a função for estritamente convexa o mínimo global éúnico.Para ilustrar, define-se y = x 1 + (1 – ) x 2 e w = S(x 1 ) + (1 – ) S(x 2 )S(x) S(x)função côncavafunção convexaS(y)wS(y)wxx 1y x 2 x 1y x 2xSeja X um conjunto aberto não vazio do n e S(x) uma função diferenciável em x o X. Se S(x) é convexa em x o , entãoS(x) S(x o ) T S(x o )(x x o )Para uma função S(x) diferenciável em X,S(x) é convexa S(x 2 ) S(x 1 ) T S(x 1 )(x 2 x 1 ) x 1 , x 2 X.Seja X um conjunto aberto não vazio do n e S(x) uma função duas vezesdiferenciável em x o X. Se S(x) é convexa em x o , então 2 S(x o ) é positiva semidefinida. Parauma função S(x) duas vezes diferenciável em X,S(x) é convexa 2 S(x) é positiva semidefinida x X.Seja K um conjunto convexo não vazio do n , x o K e d um vetor não nulo tal que(x o + d) K para um > 0 suficientemente pequeno. Então, a derivada direcional de S(x)no ponto x o , ao longo da direção , denotada por S´(x o ,d), é definida pelo seguinte limite(incluindo ):( o ) ( o)( oSx dSxS x , d) lim lim T 2 S( xo) d dTS( xo)d0 0Portanto, a derivada direcional no ponto x o é dada por S´( x o ,d) = T S(x o ) d.Seja K um conjunto convexo não vazio do n e S(x) uma função convexa. Então, osub-gradiente de S(x) no ponto x o K, denotado por d, é definido como:20

S(x) S(x o ) + d T (x x o ) , x KIsto é, a aproximação linear com o uso do vetor d sempre resulta em uma sub-estimativa deS(x).Generalização de funções convexasPara generalizar a definição de funções convexas é necessário definir a continuidadede funções escalares multivariáveis.Sejam X n , x o X, e S(x): X .S(x) é contínua em x o se:para cada > 0 existir () tal que ||x x o || < |S(x) S(x o )| < , oupara cada seqüência x 1 , x 2 , ..., x m em X convergindo para x o :lim S(xmm) S lim x mm S(xS(x) é contínua em X se ela for contínua para todo x o X.S(x) é semicontínua inferior em x o se:para cada > 0 existir () tal que ||x x o || < < S(x) S(x o ), oupara cada seqüência x 1 , x 2 , ..., x m em X convergindo para x o :mlim inf S(xmm) S lim x m1 2 monde lim inf S(x ) lim min{ S(x ), S(x ),..., S(x )}.mmmo) . S(xS(x) é semicontínua inferior em X se ela for semicontínua inferior para todo x o X.o) ,função semicontínua inferiorfunção semicontínua superiorS(x) é semicontínua superior em x o se:21

para cada > 0 existir () tal que ||x x o || < S(x) S(x o ) < , oupara cada seqüência x 1 , x 2 , ..., x m em X convergindo para x o :mlim sup S(xmm) S lim x monde lim sup S(x ) lim max{ S(x ), S(x ),..., S(x )}.mmm1 2 m S(xS(x) é semicontínua superior em X se ela for semicontínua superior para todo x o X.o) ,Seja K um convexo não vazio do n . A função S: K é dita quasi-convexa se x 1 ,x 2 K e 0 1:S[ x 1 + (1 – ) x 2 ] max{S(x 1 ), S(x 2 )}A função S(x) é estritamente quasi-convexa se a desigualdade for estrita quando S(x 1 ) S(x 2 ).Uma função T(x) é (estritamente) quasi-côncava se a função S(x) = –T(x) for (estritamente)quasi-convexa. Um mínimo local de uma função estritamente quasi-convexa será tambémglobal.Função quasi-convexaFunção estritamente quasi-convexaDefinindo as seções K = {x K S(x) }, então:S(x) é quasi-convexa K é convexo .Seja S(x) uma função semicontínua inferior no convexo K n . Se S(x) é estritamentequasi-convexa em K, então S(x) é quasi-convexa, mas o converso não é verdadeiro.A soma de funções quasi-convexas não é necessariamente uma função quasi-convexa,propriedade válida para funções convexas. Por outro lado, o recíproco de uma função quasiconvexa,1/S(x), é uma função quasi-côncava, mas o recíproco de uma função convexa não é22

necessariamente uma função côncava (já o recíproco de uma função côncava positiva é umafunção convexa). Por exemplo, S(x) = e x é convexa e 1/S(x) é convexa também.então:Seja S(x) uma função diferenciável em um conjunto convexo aberto não vazio K n ,S(x) é quasi-convexa S(x 2 ) S(x 1 ) T S(x 1 )(x 2 x 1 ) 0 x 1 , x 2 K.Seja S(x) uma função quasi-côncava duas vezes diferenciável em um conjuntoconvexo aberto não vazio K n , então uma direção, d, ortogonal ao S(x) exibe asseguintes propriedades:a) se x o K, d n e d T S(x o ) = 0, então d T 2 S(x o ) d 0;b) a matriz Hessiana de S(x) tem no máximo um valor característico positivo x K. Isto é,a generalização da concavidade de funções (para quasi-côncavidade) é equivalente àexistência de no máximo um valor característico positivo da Hessiana.Seja S(x) uma função diferenciável em um conjunto aberto não vazio X n .S(x) é pseudo-convexa se S(x 2 ) < S(x 1 ) T S(x 1 )(x 2 x 1 ) < 0 x 1 , x 2 X.Uma função T(x) é pseudo-côncava se a função S(x) = –T(x) for pseudo-convexa. Orecíproco de uma função pseudo-côncava, 1/S(x), é uma função pseudo-cônvexa. As seguintesrelações são válidas:a) uma função convexa diferenciável é pseudo-convexa;b) uma função convexa é estritamente quasi-convexa;c) uma função convexa é quasi-convexa;d) uma função pseudo-convexa é estritamente quasi-convexa;e) uma função estritamente quasi-convexa e semicontínua inferior é quasi-convexa.10.2.4 Formas funcionaisO método empregado para solucionar um problema de otimização depende,fundamentalmente, da forma da função objetivo e de suas restrições. Com relação a funçãoobjetivo tem-se:função linear: Sx ( ) ac x acxTni1iicomo neste caso S(x) = c 0 x, a função S(x) não apresenta pontos de máximo oumínimo. Para este tipo de função objetivo, só faz sentido a existência de um problema deotimização com restrição, cuja solução, se existir, estará localizada em algum ponto dafronteira da região de busca.23

T 1 T1função quadrática: Sx ( ) acx x Ax acx i i aijxix22ni1 i1j1como x T A x é um escalar x T A x = [x T A x] T = x T A T x,T 1 T T T T 1 T tem-se que: x A x ( x A xx A x) x AA x2( )2 ,1então definindo QAA T2 ( ), que é uma matriz simétrica: Q = QT ,resulta em: x T A x = x T Q x, isto é:T 1 T1Sx ( ) ac x x Qx acx i i qijxix22ni1 i1j1nnnnjje portanto: n nS 1 xSxc q x x x x xi( )kij j i k 2 i 1 j 1 k xjk ,mas como xxik ik0 1, i k, i k n n1, tem-se: Sx ( ) ck ( qkj xj qik xi) 2 i1j1e sabendo que a matriz Q é simétrica:nSx ( ) ck qik xi c Qx i1eH(x) = 2 S(x) = Qcom isto, a condição necessária de primeira ordem, S(x*) = 0, para este tipo de funçãoresulta em:Q x* = c ou de forma similar (x*) T Q = c TeT 1 T 1 TSx ( *) ac x* ( x*) Qx* acx*22Subtraindo S(x*) da função S(x) tem-se:Sx Sx c T 1( ) ( *) ( xx*) x T Qx( x*) T Qx*2como c T = (x*) T Q,24

1Sx ( ) Sx ( *) x T Qx( x*) T Qx* ( x*) T Q( xx*) ( x*) T Q( xx*)21Sx ( ) Sx ( *) x T Qx( x*) T Qx( x*) T Q( xx*)21TTSx ( ) Sx ( *) ( xx*) Qx( x*) Q( xx*)21Sx ( ) Sx ( *) ( xx*) T Q( xx*)2função não linear: S(x): n a expansão em série de Taylor de S(x) em torno de um ponto x o é dada por:T1 T 2Sx ( ) Sx ( 0) Sx ( 0)( xx0) ( xx0) Sx ( 0)( xx0)2No caso particular de x o = x*, tem-se S(x*) = 0 e:1Sx ( ) Sx ( *) ( xx*) T Hx ( *)( xx*)2SSe S(x) for duas vezes diferenciável em x*, então Hx ( *) xix2jx*é simétrica.Portanto, tanto no caso de função quadrática, onde H(x*) = Q, quanto no caso geral de funçãonão-linear, a matriz Hessiana fornece as características do(s) ponto(s) ótimo(s) de S(x).Algumas observações adicionais:1) no caso de S(x) ser uma função quadrática, o ponto ótimo é global;2) se H(x*) é positiva definida, então S(x) é estritamente convexa na vizinhança de x* (ou xno caso da função quadrática);3) se H(x*) é positiva semidefinida, então S(x) é convexa na vizinhança de x* (ou x no casoda função quadrática)..4) se H(x*) é negativa definida, então S(x) é estritamente côncava na vizinhança de x* (ou x no caso da função quadrática);5) se H(x*) é negativa semidefinida, então S(x) é côncava na vizinhança de x* (ou x nocaso da função quadrática).25

função mista linear e inteira: S(x, y) = c T x + d T y , x X ne y Yonde y é um vetor de variáveis inteiras de dimensão q, Y q , ou um vetor de variáveisbinárias de dimensão q, Y = {0, 1} q . Como a função é linear, só faz sentido a existência de umproblema de otimização com restrição.função mista não linear e inteira: S(x, y): X Y Problemas de otimização mista não linear e inteira apresentam grandes desafios e dificuldadesassociados com o caráter combinatorial do domínio discreto (inteiro) junto com ascomumente encontradas não convexidades e não linearidades do domínio contínuo.função unimodal: é a função que apresenta apenas um extremo.função multimodal: é a função que apresenta mais de um extremo.NOTA: toda função côncava ou convexa é unimodal, mas nem toda função unimodal énecessariamente côncava ou convexa. Veja exemplo S(x) = (x 2 – 1) 3 .10.2.5 Álgebra vetorialSejam x e y X n , A e B nn , S(x): X , g(x) e h(x): X X. Então asseguintes regras de diferenciação se aplicam:[g(x) T h(x)] = T g(x) h(x) + T h(x) g(x)[S(x) g(x)] = g(x) T S(x) + S(x) g(x)(A x) = A(x T A) = A(x T A x) = (A + A T ) xS[g(x)] = T g(x) g S(g)S{g[h(x)]} = T h(x) T h g(h) g S(g)g[h(x)] = h g(h) h(x)Td(x y)dt xTy xTyd(A x)dtAx A x26

d(A B) AB A BdtTd(x A x) xdtTA x xTAx xTA xExercícios de fixação1. Teste as condições necessárias e suficientes do problema abaixo.min S(x) = x 1 x 221 122sujeito a: g ( x) x x25 02. Determine se as funções abaixo são côncavas, convexas, estritas ou não, ou nenhumdestes casos ?a) S(x) = 2 x 1 + 3 x 2 + 6b) S(x) =21 3 x1x2 22 xx223 21 2 3 1 2 c) S(x) = x x x 8 x 23. Verifique se as restrições abaixo, definindo uma região fechada, formam uma regiãoconvexa.2g 1 (x) = x 1 + x 2 1 e g 2 (x) = x 2 x 1 2NOTA: se todas as restrições colocadas na forma g i (x) 0 são funções convexas (ou na formag i (x) 0 são funções côncavas), então elas formam uma região convexa. Funções lineares sãotanto convexas quanto côncavas.4. Mostre que a função S(x) = x 1 x 2 com x 1 0 e x 2 0 é quasi-convexa. Ela é tambémconvexa ? Por quê ?25. Mostre que a função S(x) = x1 5 x1x2 3 x2com x 1 > 0 e x 2 > 0 é pseudo-convexa.Ela é também convexa ? Por quê ?227

10.3 Otimização DinâmicaExemplo 9: Para ilustrar o problema de otimização dinâmica, algumas vezes chamado deotimização em dimensão infinita, pois envolve variáveis de decisão que são funções,considere o sistema abaixo de um reator semi-batelada, com duas reações exotérmicas:onde C é o produto de interesse e D é um sub-produto. Iniciando com o reator vazio, asalimentações de A e B, bem com a taxa de água de resfriamento, estão livres para variar aolongo da operação. Para um dado reator, com dimensões fixas, o objetivo operacional podeser o de determinar o tempo de duração da operação e as taxas de alimentação de reagentes eágua, de modo a maximizar a concentração final de C. O projeto do equipamento tambémpode ser parte do objetivo do problema. Geralmente, quando as variáveis de decisãoenvolvem somente variáveis operacionais, o problema é denominado de controle ótimo.por:A formulação matemática do processo acima pode ser genericamente representadaF(x(t), x(t) ,y(t),u(t),v) = 0onde x(t), x(t) são as variáveis diferenciais e suas derivadas em relação a variávelindependente, t (geralmente o tempo), y(t) são as variáveis algébricas, u(t) são as variáveis decontrole e v são os parâmetros invariantes no tempo, a serem determinados pela otimização.Para o exemplo, u(t) representa as taxas de alimentação dos reagentes e da água derefrigeração e v pode ser o volume do reator. As condições iniciais para este problema podemser descritas genericamente por:I(x(0), x(0) ,y(0),u(0),v) = 0que juntamente com a forma funcional de u(t) e os valores de v determinam completamente aresposta transiente do sistema.28

10.3.1 Formulação da função objetivo e restriçõesA formulação da função objetivo para um problema de otimização dinâmica pode estarassociada a determinação dos seguintes valores:horizonte de tempo da operação, t f (tempo final); parâmetros invariantes no tempo, v; variação temporal das variáveis de controle, u(t), para t [0, t f ].de modo a minimizar (ou maximizar) um funcional (u(t),v,t f ). A função objetivo é umfuncional pois depende da escolha da função u(t). No problema do reator semi-batelada seria a concentração final do produto C e t f seria a duração da batelada, resultando noproblema de otimização abaixo:onde x 3 é a concentração de C.fmaxt , v,u(t),t[0,t = x 3 (t f )]t f(u(t),v,t f ) = (x(t), x(t) ,y(t),u(t),v) dtfsujeito a: F(x(t), x(t) ,y(t),u(t),v) = 0I(x(0), x(0) ,y(0),u(0),v) = 0Se a função objetivo a ser minimizada for a integral de uma função sobre todo ointervalo [0, t f ]:0pode-se adicionar ao sistema de equações algébrico-diferenciais do problema, a seguinteequação: = (x(t), x(t) ,y(t),u(t),v)com a condição inicial (0) = 0, para ser integrada simultaneamente. Para o caso particular de = 1, tem-se o problema de minimização do tempo de operação, t f .seja:Uma formulação mais geral para a função objetivo envolve as duas formas acima, out f(u(t),v,t f ) = (x(t f ), x ( t f) ,y(t f ),u(t f ),v) + (x(t), x(t) ,y(t),u(t),v) dt0Dentre as mais variadas formas de restrições adicionais em um problema deotimização dinâmica, tem-se:a) Limites nas variáveis de decisãot min maxf t f t f29

u min u(t) u max , t [0, t f ]v min v v maxb) Restrições terminaisde igualdade: w(t f ) = w*de desigualdade: w min w(t f ) w maxonde w representa alguma variável do sistema (x ou y), ou uma relação entre elas. Para oexemplo do reator, a quantidade final de material no reator pode ser fixada ou a temperaturafinal pode estar limitada em uma dada faixa.c) Restrições interioresAparecem quando algumas variáveis devem estar limitadas em alguns pontos no interior dointervalo de operação, ou seja:w min (t I ) w(t I ) w max (t I )onde t I [0, t f ). Como por exemplo, limitar a curva de aquecimento do reator dentro de umafaixa determinada.d) Restrições de trajetóriaSão aquelas restrições que devem ser satisfeitas durante todo o intervalo de operação, ou seja:w min w(t) w max , t [0, t f ]Por exemplo, no reator semi-batelada pode-se impor que a temperatura da reação não devaultrapassar um determinado valor para evitar a degradação do produto.10.3.2 Princípio do Mínimo de PontryaginAntes de enunciar o princípio do mínimo de Pontryagin, é necessário introduzir osconceitos do cálculo variacional, que trata da seleção de uma função desconhecida queaparece no integrando de uma integral que deve ser minimizada ou maximizada em funçãodesta seleção.Considere a seguinte integral:tS(x) [t,x(t),x( t)]dt 2 t1onde x(t) é a derivada de x(t) em relação a t. O problema do cálculo variacional consiste naseleção de x(t) de modo a minimizar (ou maximizar) o funcional S(x). Supondo que x*(t) é afunção que minimiza S(x) e x(t) é uma outra função com uma diferença infinitesimal de x*(t)em cada ponto dentro do intervalo (t 1 , t 2 ), define-se:30

x = x(t) x*(t)como o operador variação, ou seja, a variação de uma função representa uma mudançainfinitesimal arbitrária na função a um dado valor de t. Note que a variação difere dadiferenciação, pois esta última corresponde a uma medida da mudança de uma funçãoresultante de uma mudança específica (não arbitrária) na variável independente. A equaçãoacima pode ser escrita como:x = x(t) x*(t) = (t)onde (t) é uma função arbitrária contínua e diferenciável e é um parâmetro variável quetende a zero.Como o operador variação acarreta uma mudança infinitesimal em uma função paraum valor fixo de t, tem-se:t = 0ou seja, a variável independente não participa do processo de variação. Outra propriedadeimportante do operador variação é a comutatividade com os operadores de diferenciação eintegração:d dddx dx dx * ddx [ (t)] e ( x x*) dt dtdt dt dt dt dtdtt2t1x ( t)dt t2t1x(t)dt t2t1x *( t)dt t2t1[ x(t) x *( t)]dt t2t1x(t)dtComo a condição necessária de primeira ordem para o mínimo local de uma função,S(x), pode ser interpretada como a existência de um ponto estacionário da função objetivo,então dentro de uma região infinitesimal em torno deste ponto tem-se que:S = 0Usando a propriedade comutativa chega-se a:t2S dtt1onde = [x, x (t) ,t] [x*, x * ( t),t] = [x* + , x *(t)+ (t),t] [x*, x *(t),t].Expandindo em série de Taylor tem-se:[x* + (t), x * ( t)+ (t), t] = [x*, x * ( t), t] + [x*, x * ( t), t] (t) +que eliminando os termos de ordem O( 2 ), resulta em:TxTx = { [x*, x * ( t), t] (t) + [x*, x * ( t) , t] (t)}Tx [x*, x * ( t), t] (t)+ O[ 2 2 (t), 2 2 ( t)]Tx31

Para um ponto estacionário tem-se:tS 2t1Tx Tx dt 0sobre qualquer função arbitrária (t). O segundo termo no integrando pode ser integrado porpartes (u = x e v = ), resultando em:t2t1Tx dt [ Tx tt ]21t2t1ddt[ Tx ] dtSe a função x(t) é fixada nos contornos, t 1 e t 2 , então (t) deve se anular nestes pontos, poisnão pode existir variação de x(t) nos contornos. Deste modo o primeiro termo da integraçãopor partes é nulo. Para o caso mais geral, onde algum contorno pode estar livre, as seguintescondições de complementaridade devem ser satisfeitas: T x 0 para t = t 1 e t = t 2ou seja, se S é para ser zero para todas as variações admissíveis (restritas somente pelacontinuidade e diferenciabilidade) então o primeiro termo da integração por partes deve sersempre nulo. No caso de existir uma contribuição terminal na função objetivo:S x) [ x(t ), t ] [ t,x(t),x( t)]dt2( 2 2a condição de complementaridade terminal seria:T T[ x x ] 0 para t = t 2Substituindo a integração por partes em S = 0, tem-se então:t2T d TS x [ x t dt1tt1] dt 0Como a equação acima deve ser satisfeita para qualquer função arbitrária (t), contínua,diferenciável e que satisfaça as condições de contorno, então o termo entre parêntesis deve sernulo, resultando na equação de Euler-Lagrange:x ddt[ ] 0xExemplo 10: Para ilustrar, considere o problema de determinar a curva de menorcomprimento conectando dois pontos no espaço, conforme a figura abaixo.32

O comprimento de uma curva conectando os pontos (t 1 , x 1 ) e (t 2 , x 2 ) é dado por:s(t2S(x) ds 1x1)s(t )tt212dtonde [ t,x(t),x( t)] 1xeinfinitesimal da curva.222ds dt dx que é o comprimento de um segmentoAplicando a equação de Euler-Lagrange para o problema acima, tem-se: x 0x x x x21xx ou seja:ddt[ x] 0 x 21 xddt xddtx1x2 0 constante, o que implica quex * ( t)= constante. Portanto, como nãopoderia deixar de ser, o caminho mais curto entre dois pontos é uma reta: x*(t) = a t + b.Naturalmente, para assegurar que a função x(t) minimize o funcional S(x), a condiçãosuficiente de segunda ordem deve ser verificada, que no caso de variações significa que asegunda variação de S deve ser positiva para todas variações possíveis de x, isto é:que é equivalente a (x) TLegendre:2 xS 2 S > 0 , x(x*) x > 0, ou ainda pela condição de segunda ordem de2 x( x*,x*, t)> 033

Aplicando esta condição para o exemplo acima tem-se:2 1 x 2(1 x)3/ 2 0logo, a solução ótima x*(t) minimiza o funcional S(x).Retornando ao problema de otimização de sistema dinâmicos, seja então o problema:t fmin, x(t),u(t),t[0,tf][x(t),u(t),t f ] = [x(t f ),t f ] +tf 0[x(t),u(t),t] dtsujeito a:x(t)= f[x(t),u(t),t] , x(0) = x oh[(t f ),t f ] = 0Introduzindo os multiplicadores de Lagrange associado às restrições chega-se a:L[x(t),u(t),(t),,t f ] = [x(t f ),t f ] + T h[x(t f ),t f ] +que pode ser dividida em duas funções:[x(t f ),,t f ] = [x(t f ),t f ] + T h[x(t f ),t f ] et f{ [x(t),u(t),t] + T (t) (f[x(t),u(t),t] x(t) )} dt0[x(t),u(t),(t),t] = [x(t),u(t),t] + T (t) (f[x(t),u(t),t] x(t) )resultando no funcional:L[x(t),u(t),(t),,t f ] = [x(t f ),,t f ] +t f 0que ao ser minimizado resulta nas equações de Euler-Lagrange:dT x [ x ] 0 x x fdtonde ddt[ ] 0 cte[x(t),u(t),(t),t] dt (t) = u(t), e pelas condições de complementaridade para t ) :T[ ]f 0 0 0 para t = t fpois (t f ) é livre ( f 0) e não depende de , chega-se a 0 t, ou seja:( f 0 T f u TufDefinindo a seguinte função de Hamilton (ou Hamiltoniano):H[x(t),u(t),(t),t] = [x(t),u(t),t] + T (t) f[x(t),u(t),t]34

então, as condições necessárias de primeira ordem (Euler-Lagrange) descritas acima sãoequivalentes a:x H fxH x Txf uH u Tuf 0que devem ser resolvidas juntamente com as condições iniciais e finais e as condições decomplementaridade:x(0) = x oh[x(t f ),t f ] = 0[ x t (t f )] T x(t f ) = 0 )( f{H[x(t f ),u(t f ),(t f ),t f ] + ft } t f = 0A condição de segunda ordem pode ser verificada pela positividade de 2 u H . Este conjuntode condições são conhecidos como Princípio do Mínimo de Pontryagin (1962), e osmultiplicadores de Lagrange, (t), são conhecidos como variáveis adjuntas. Para as partes docaminho u(t) sobre as restrições u min ou u max , vale a seguinte condição de otimalidade, nolugar de H 0 :upara todos as possíveis funções u(t).H[x*(t),u*(t),*(t),t] H[x*(t),u(t),*(t),t]Para problemas com restrições de desigualdade do tipo:g[x(t),u(t),t] 0 , t [0, t f ]onde g p é duas vezes continuamente diferenciável e o subconjunto de restrições ativas,g a , não deve ser maior que o número de variáveis de controle, u, e deve apresentar umamatriz Jacobiana, u g a , de posto completo t [0, t f ]. Exemplos de restrições dedesigualdade que satisfazem estas condições são:u min u(t) u max , t [0, t f ]u min [x(t),t] u(t) u max [x(t),t] , t [0, t f ]|u(t)| u m , t [0, t f ]||u(t)|| 2 r 2, t [0, t f ] , r Introduzindo funções de folga z(t) , isto é:g i [x(t),u(t),t] + ( ) = 0 , i = 1,2,...,pz 2 it35

tem-se o integrando da função de Lagrange na forma:[x(t),u(t),(t),t] = [x(t),u(t),t] + T (t) (f[x(t),u(t),t] x (t) ) + T (t) (g[x(t),u(t),t] + z 2 ( t))onde o vetor z 2 ( t)= [... ( ) ...] T . Neste caso as equações de Euler-Lagrange são dadas por:d [ x]dtx0 zddtddt[ ] 0 z 2 itx Txf cte[ ] 0 ctezzTxg De modo análogo às condições de complementaridade para (t), que resultam em 0 t, para a função z(t) tem-se:T[ z z ]zf 0 z z 0 z 0 para t = t flogo, 0 t e, pela definição de , i z = 0, ou ainda i g i = 0, i = 1,2,...,p. zDefinindo o Hamiltoniano para este caso:iH[x(t),u(t),(t),t] = [x(t),u(t),t] + T (t) f[x(t),u(t),t] + T (t) g[x(t),u(t),t]então o Princípio do Mínimo de Pontryagin (ou condições necessárias de otimalidade parasystemas dinâmicos) é dado por:x H f H uHx u xTufTxf Tu Txg 0g 0 2 u HT a 0 {u | ug u = 0}juntamente com as condições iniciais, finais e de complementaridade:x(0) = x oh[x(t f ),t f ] = 0 )[ x t (t f )] T x(t f ) = 0( f{H[x(t f ),u(t f ),(t f ),t f ] + i g i = 0, i = 1,2,...,p. ft } t f = 010.3.3 Controle ótimoAnalisando inicialmente o problema de controle ótimo para sistemas lineares:x (t) = A(t) x(t) + B(t) u(t) , x(0) = x o36

com a seguinte função objetivo quadrática:ondex2Rt f1 2 122S[x(t),u(t),t f ] = x(tf) x(t) u(t)2R20= x T R x e R 0, Q(t) 0 e W(t) 0 são matrizes simétricas de pesos. Definindo oHamiltoniano para este problema:H[x(t),u(t),(t),t] =12Q(t)W ( t)dt2 1 2x(t) u(t)+ T [A x + B u]Q( t)W ( t)2então, pelo princípio do mínimo de Pontryagin, tem-se:x H A x + B u H Q x A T que resolvendo para u(t), chega-se a:x uH W u + B T = 0x(0) = x o(t f ) = R x(t f )u = W 1 B T x = A x B W 1 B T gerando um problema de TPBVP (two-point boundary value problem) para x e , cujasolução minimiza a função objetivo, pois 2 u H = W > 0, e é um mínimo global devido aconvexidade do problema. Se a solução (t) do problema de TPBVP puder ser expressa comouma função da solução x(t) em termos de uma transformação linear P(t) nn , isto é, x(t) seruma base de soluções para (t):(t) = P(t) x(t)então a solução do TPBVP pode ser facilmente obtida. Para verificar tal possibilidade,primeiro substitui-se esta dependência nas equações para x e , e subtrai-se uma da outraresultando em:( P +PA + A T P P B W 1 B T P + Q) x(t) = 0que deve ser satisfeita t, logo como x(t) 0 então:P = PA A T P + P B W 1 B T P Qque é uma equação diferencial matricial não linear, conhecida como equação de Riccatidinâmica, cuja condição de contorno é obtida de (t f ) = R x(t f ), ou seja:P(t f ) = RFazendo a mudança de variável = t f t, tem-se d = dt e:37

P = PA + A T P P B W 1 B T P + QP(0) = RPortanto, o problema de TPBVP foi transformado em um problema de valor inicial dedimensão n (n + 1) / 2, pois P(t) é uma matriz simétrica. Com a solução da equação de Riccatidinâmica, a lei de controle ótimo quadrático é dada por:u* = K(t) x*(t)K(t) = W(t) 1 B(t) T P(t)que é independente da condição inicial x o . O sistema dinâmico em malha fechada pode serescrito como:x * = (A B W 1 B T P) x* = A K x* , x(0) = x oonde A K (t) = A B W 1 B T P é a matriz característica da dinâmica do sistema regulado.Observa-se também que o valor ótimo da função objetivo é dado por:S[x*,u*,t f ] =12Tox P(0)xonde P(0) é obtido em t = 0 ( = t f ). Este resultado pode ser verificado pela equação:ddt( xTP x) xque ao substituir as expressões para P eddtTTP x xToPx xx *, resulta em:TP x( x P x) = x T Q x x T P B W 1 B T P x = x T Q x u T W uIntegrando a equação acima em [0, t f ] tem-se:pois P(t f ) = R.t fx(0) T P(0) x(0) = x(t f ) T P(t f ) x(t f ) + ( x Q x u W u)dt = S[x(t),u(t),t f ]Fazendo a integração em [t, t f ] tem-se:0x(t) T P(t) x(t) = x(t f ) T R x(t f ) + ( x Q x u W u)dt 0de onde conclui-se que P(t) é positiva semidefinida.Tt ftPara o caso particular de um sistema invariante no tempo, com [A B] controlável, t f = e matrizes pesos constantes, a lei de controle ótimo pode ser obtida através da solução daequação de Ricatti estacionária:PA + A T P P B W 1 B T P + Q = 0TTT38

que pode ser eficientemente resolvida via decomposição em valores característicos dogradiente do Hamiltoniano associado. Neste caso a matriz de ganhos, K, da lei de controle éinvariante no tempo.Na maioria dos casos de controle ótimo não linear, é mais eficiente tratar o problemacomo uma programação não linear do que utilizar o princípio do mínimo de Pontryagin, paraobter o controle ótimo, u(t). Nestes casos, a escolha da forma das variáveis de controle tomaum aspecto mais de engenharia do que matemático, pois dependerá da forma com que asações de controle serão implementadas na prática. Alguns tipos de variações mais comunspara as variáveis de controle estão ilustrados abaixo.Sendo as duas primeiras mais freqüentemente utilizadas em controle ótimo de processos.Para qualquer um dos casos acima, o algoritmo abaixo mostra uma maneira desolucionar o problema de otimização dinâmica via NLP, conhecida como método datentativa-e-erro ou single-shooting.algoritmo1) Escolher um perfil inicial para as variáveis de controle, u 0 (t), k = 0.2) Integrar o sistema de equações algébrico diferenciais.3) Calcular a função objetivo e restrições.4) Corrigir as variáveis de controle pelo uso de métodos de NLP.5) Verificar a convergência de u k (t). Caso não esteja satisfeita k k + 1 (ir para 2).6) FIM.39

Outra forma de resolver o problema é através da discretização das equaçõesdiferenciais (ou método de multiple-shooting) por técnicas de elementos finitos, diferençasfinitas ou aproximação polinomial, gerando um problema algébrico de programação nãolinear de elevada dimensão, que também pode ser resolvido por qualquer método de NLP comrestrição.Lista de Exercícios1) A figura abaixo representa um extrator onde entram uma solução com uma vazão F = 10 4kg H 2 O / h e uma concentração x o = 0,02 kg A / kg H 2 O, e um solvente B puro a uma vazãoW kg B / h a ser determinada. A corrente rafinada sai com uma vazão F = 10 4 kg H 2 O / h euma concentração x kg A / kg H 2 O e ainda um pouco de solvente B dissolvido em água. Noextrato, a vazão é de W kg B / h e a concentração y kg A / kg B. Calcular a vazão ótima W deB.dados: preço do soluto no extrato: 0,4 $ / kg Apreço do solvente B: 0,01 $ / kg Bsolubilidade de B em água: 0,0007 kg B / kg H 2 Orelação de equilíbrio: y = k x (k = 4)o despejo não tem valor comercial.critério de desempenho: Lucro = $ soluto extraído - $ solvente utilizado.2) Calcular as vazões ótimas de solvente para o exercício anterior quando dois extratores emsérie são utilizados no lugar de apenas um extrator, conforme figura abaixo. Considere amesma relação de equilíbrio e a mesma solubilidade de B em água para os dois extratores.40

3) A figura abaixo representa um trocador de calor em contra-corrente, onde uma corrente deprocesso com vazão W 1 = 1000 kg / h e temperatura T 1 = 200 °C é resfriada a T 2 = 100 °Cpor uma corrente fria a t 2 = 60 °C. Calcular a vazão ótima W 2 do refrigerante (kg / h) bemcomo a área de troca térmica ótima A (m 2 ). Considerar cp = 1 kcal / kg °C para as duascorrentes e U = 500 kcal / h m 2 °C.dados: investimento do trocador de calor: 3200 (A / 50) 0,48 $custo do refrigerante: 5 x 10 -6 $ / kgcusto de manutenção: 2 % do investimento / anotempo de operação: 8640 h / anocritério de desempenho: custo anual = 50 % custooperacional + 10 % ao ano sobre o investimento4) A figura abaixo representa um sistema de dois trocadores de calor em série, onde umacorrente de processo com vazão F o = 1000 kg / h e temperatura t o = 20 °C deve seraquecida a t 2 = 100 °C por correntes de vapor saturado a T 1 = 100 °C e T 2 = 120 °C,respectivamente. Calcular as vazões ótimas W 1 e W 2 das correntes de vapor (kg / h) bemcomo as áreas de troca térmica ótimas A 1 e A 2 (m 2 ). Considerar cp = 1 kcal / kg °C, U 1 =300 kcal / h m 2 °C, U 2 = 400 kcal / h m 2 °C, 1 = 500 kcal / kg e 2 = 600 kcal / kg.F o , t oA 1 , U 1t 1t 2A 2 , U 2W 1 , T 1W 2 , T 2dados: investimento dos trocadores de calor: 160 (A 1 ) 0,5 $ e 320 (A 2 ) 0,5 $custo do vapor: (a 100 °C) 5 x 10 -6 $ / kg e (a 120 °C) 1 x 10 -5 $ / kgcusto de manutenção: 2 % do investimento / anotempo de operação: 8640 h / anocritério de desempenho:custo anual = 50 % custo operacional + 10 % ao ano sobre o investimento41

5) Um reator CSTR converte um reagente A em um produto B através de uma reaçãocatalítica endotérmica. O catalisador pode ser continuamente injetado no reator e atemperatura do reator pode ser controlada pela injeção de vapor através de uma serpentina.Alguma conversão pode ser obtida somente com o aquecimento, sem a adição de catalisador.Por outro lado, pode-se também obter alguma conversão somente com a adição de catalisador,sem o aquecimento. O produto B pode ser vendido por R$ 50 / mol de B. O custo docatalisador (R$ / mol da alimentação) é dado pela expressão:Cc 210 X 20c2X conde X c é a fração molar de catalisador. O custo do vapor (R$ / mol da alimentação) é dadopela expressão:Cs 10,003 S 2 10 6 S2onde S é a relação de kg de vapor / mol de alimentação. A conversão em termos dasquantidades de catalisador e vapor é dada por:X 0, 10,3 X 10 S 10Bc 4 4X S conde X B é a relação de mol de B / mol de alimentação. Deseja-se saber qual o lucro máximodeste processo produtivo por mol de alimentação.6) Encontre o mínimo global da função2122f ( x) x x 3x 15x1 2sujeito a: ( x x ) 4( x x ) 01 221 242

Bibliografia Básica• The Variational Method in Engineering – R. S. Schechter – McGraw-Hill, 1967.• Optimization: Theory and Practice – G. S. G. Beveridge & R. S. Schechter – McGraw-Hill, 1970.• Applied Nonlinear Programming – D. M. Himmelblau – McGraw-Hill, 1972.• Nonlinear Programming – M. S. Bazaraa & C. M. Shetty – John Wiley & Sons, 1979.• Mathematical Programming. Theory and Algorithms – M. Minoux – John Wiley & Sons,1986.• Programação Não-Linear. Introdução à Teoria e aos Métodos – P. Mahey – EditoraCampus, 1987.• Optimization of Chemical Processes – T. F. Edgar & D. M. Himmelblau – McGraw-Hill,1988.• Nonlinear and Mixed-Integer Optimization: Fundamentals and Applications – C.A.Floudas – Oxford Press, 1995.• Optimierung – M. Papageorgiou – Oldenbourg Ed., 1996.• Systematic Methods of Chemical Process Design – L.T. Biegler, I.E. Grossmann, A.W.Westerberg – Prentice Hall, Inc., 1997.• Numerical Optimization – J. Nocedal & S. J. Wright – Springer, 1999.• Numerical Optimization – J. F. Bonnans, J. C. Gilbert, C. Lemaréchal & C. A.Sagastizábal – Springer, 2003.43