CapÃtulo 10 - Programa de Engenharia QuÃmica - COPPE / UFRJ

More documents

Recommendations

Info

d) S(x) é convexa para > 0 .e) se todas S i (x) < x K, então S(x) = max{S 1 (x), S 2 (x), ..., S n (x)} é convexa.Quando S(x) é convexa, as condições de otimalidade simplificam-se, porque ascondições de segunda ordem são equivalentes à convexidade local da função. Além disso, ummínimo local será também global e se a função for estritamente convexa o mínimo global éúnico.Para ilustrar, define-se y = x 1 + (1 – ) x 2 e w = S(x 1 ) + (1 – ) S(x 2 )S(x) S(x)função côncavafunção convexaS(y)wS(y)wxx 1y x 2 x 1y x 2xSeja X um conjunto aberto não vazio do n e S(x) uma função diferenciável em x o X. Se S(x) é convexa em x o , entãoS(x) S(x o ) T S(x o )(x x o )Para uma função S(x) diferenciável em X,S(x) é convexa S(x 2 ) S(x 1 ) T S(x 1 )(x 2 x 1 ) x 1 , x 2 X.Seja X um conjunto aberto não vazio do n e S(x) uma função duas vezesdiferenciável em x o X. Se S(x) é convexa em x o , então 2 S(x o ) é positiva semidefinida. Parauma função S(x) duas vezes diferenciável em X,S(x) é convexa 2 S(x) é positiva semidefinida x X.Seja K um conjunto convexo não vazio do n , x o K e d um vetor não nulo tal que(x o + d) K para um > 0 suficientemente pequeno. Então, a derivada direcional de S(x)no ponto x o , ao longo da direção , denotada por S´(x o ,d), é definida pelo seguinte limite(incluindo ):( o ) ( o)( oSx dSxS x , d) lim lim T 2 S( xo) d dTS( xo)d0 0Portanto, a derivada direcional no ponto x o é dada por S´( x o ,d) = T S(x o ) d.Seja K um conjunto convexo não vazio do n e S(x) uma função convexa. Então, osub-gradiente de S(x) no ponto x o K, denotado por d, é definido como:20
S(x) S(x o ) + d T (x x o ) , x KIsto é, a aproximação linear com o uso do vetor d sempre resulta em uma sub-estimativa deS(x).Generalização de funções convexasPara generalizar a definição de funções convexas é necessário definir a continuidadede funções escalares multivariáveis.Sejam X n , x o X, e S(x): X .S(x) é contínua em x o se:para cada > 0 existir () tal que ||x x o || < |S(x) S(x o )| < , oupara cada seqüência x 1 , x 2 , ..., x m em X convergindo para x o :lim S(xmm) S lim x mm S(xS(x) é contínua em X se ela for contínua para todo x o X.S(x) é semicontínua inferior em x o se:para cada > 0 existir () tal que ||x x o || < < S(x) S(x o ), oupara cada seqüência x 1 , x 2 , ..., x m em X convergindo para x o :mlim inf S(xmm) S lim x m1 2 monde lim inf S(x ) lim min{ S(x ), S(x ),..., S(x )}.mmmo) . S(xS(x) é semicontínua inferior em X se ela for semicontínua inferior para todo x o X.o) ,função semicontínua inferiorfunção semicontínua superiorS(x) é semicontínua superior em x o se:21
Page 1 and 2: 10. INTRODUÇÃO À OTIMIZAÇÃO10.
Page 3 and 4: 10.1.2 NomenclaturaNo contexto de o
Page 5 and 6: 0.02inviáveleconomicamente00.0155X
Page 7 and 8: Se existe um número tal que S(x)
Page 10 and 11: isto é, uma matriz positiva semide
Page 12 and 13: Se d 0, então x deve satisfazer a
Page 14 and 15: Para entender a origem da função
Page 16 and 17: Supondo que S(x*) caia fora do cone
Page 18 and 19: 2g 2 (x) = x 1 x 2 0Exemplo 8: Ve
Page 22 and 23: para cada > 0 existir () tal que |
Page 24 and 25: T 1 T1função quadrática: Sx ( )
Page 26 and 27: função mista linear e inteira: S(
Page 28 and 29: 10.3 Otimização DinâmicaExemplo
Page 30 and 31: u min u(t) u max , t [0, t f ]v
Page 32 and 33: Para um ponto estacionário tem-se:
Page 34 and 35: Aplicando esta condição para o ex
Page 36 and 37: tem-se o integrando da função de
Page 38 and 39: P = PA + A T P P B W 1 B T P + QP
Page 40 and 41: Outra forma de resolver o problema
Page 42 and 43: 5) Um reator CSTR converte um reage

CapÃ­tulo 10 - Programa de Engenharia QuÃ­mica - COPPE / UFRJ

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?

CapÃtulo 10 - Programa de Engenharia QuÃmica - COPPE / UFRJ