Capítulo 10 - Programa de Engenharia Química - COPPE / UFRJ

d T g j (x*) = 0 para as g j (x*) ativas {g j (x*) = 0 e j * > 0}d T g j (x*) 0 para as g j (x*) inativas {g j (x*) < 0 e j * = 0}isto é, d T 2 x L(x*, *, *) d > 0.A positividade da matriz Hessiana com restrição, isto é:d T 2 L(x*, *, *) d > 0 d {d / d T h i (x*) = 0, d T xg j (x*) = 0, d 0}é garantida se todas as raízes do polinômio característicop ( )2xTI MLM0 0forem positivas, onde M é a matriz formada pelos gradientes de h(x*) e g(x*) ativas, isto é, amatriz tal que d T M = 0, com m+p a < n e com posto completo (p a é o número de restrições gativas). O mesmo critério se aplica para semipositividade, negatividade e seminegatividade,com os respectivos sinais das raízes.Uma maneira de resolver o problema de valor característico acima é usando adecomposição decomposição QR (ou decomposição ortogonal-triangular, ou decomposiçãode Householder) da matriz M (= Q R) para obter a matriz de projeção, Z T , do vetor d no subespaçonulo de M, isto é, d T M = 0, ou então a decomposição em valores singulares da matrizM T (= U S V H ). A matriz Z é formada pelas últimas w colunas de Q, ou ainda pelas últimas wcolunas de V, onde w é a dimensão do espaço nulo (número de valores singulares nulos, ounúmero de linhas nulas da matriz R):Z i,j = Q i,j = V i,j i = 1,2,..., n , j = m+p a w+1,...,m+p aonde Q H RM = (Q é uma matriz unitária e Q 1 = Q H é a transposta conjugada)0Uma vez encontrada a matriz Z, obtém-se os valores característicos da matriz Hessianaprojetada neste sub-espaço: Z T 2 x L Z.Exemplo 6: Verificar as condições necessárias e suficientes para o seguinte problema (Edgar& Himmelblau, 1988 , pg. 314):min S(x) = (x 1 1) 2 +2x 22sujeito a: g 1 (x) = x 1 x 2 / 4 0Exemplo 7: Verificar as condições necessárias e suficientes para o problema com a mesmafunção objetivo do exemplo 2.4, mas usando a seguinte restrição:17