CapÃtulo 10 - Programa de Engenharia QuÃmica - COPPE / UFRJ

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Se d 0, então x deve satisfazer as seguintes condições:d T h( x ) = 0d T 0g( x ) 0 para as g( x ) ativas, pois gx ( ) gx ( ) T gxd ( ) 0e se d T S( x ) < 0, então d é uma direção viável e promissora, isto é,S( x + d) < S( x ) para todo 0 , pois S( x) S( x) S( x) d 0 .dTSe x = x* é um ponto de mínimo local do problema, então para um suficientementepequeno, tem-se:S(x*) S(x* + d).A idéia chave para desenvolver as condições necessárias e suficientes para umproblema de otimização com restrições é transformá-lo em um problema de otimização semrestrições e aplicar as condições para este caso. Uma forma de fazer esta transformação éatravés da introdução de uma função auxiliar, chamada de função de Lagrange, L(x, , ),definida como:L(x, , ) = S(x) + T h(x) + T g(x) , 0onde e são os multiplicadores de Lagrange associados com as restrições de igualdade edesigualdade, respectivamente ( são também conhecidos como multiplicadores de Kuhn-Tucker). Deste modo, o problema transformado torna-se:max, 0minxL(x, , )onde os multiplicadores associados com as restrições de igualdade, h(x) = 0, assumemsinais positivos quando h(x) 0 e negativos quando h(x) 0. No ponto ótimo tem-se:L(x*, *, *) = S(x*)12
Cada multiplicador de Lagrange indica o quão sensível é a função objetivo em relaçãoà restrição associada. Por exemplo, se as restrições de igualdade são perturbadas por um vetorb, isto é, h b (x) = b, então: b S(x*) = *.Note que neste caso a função de Lagrange tem a forma:L(x, ) = S(x) + T [h b (x) b]e sua sensibilidade em relação ao parâmetro b é dada por: T b T x T b b L = x [ x S(x) + h b (x) ] + [h b (x) b] Como os termos entre colchetes da expressão acima devem ser nulos no ponto ótimo(condição necessária de primeira ordem), então: b L(x*, *) = * e b S(x*) = *pois b L(x*, *) = b S(x*) + T b [h b (x*) b] + T b h b (x*) * * ,h b (x) = b e b h b (x) = IPortanto, o valor de S(x) aumenta ou diminui a partir de S(x*) com um aumento oudiminuição em b, dependendo do sinal de *. Por isso, os multiplicadores de Lagrange sãotambém conhecidos como “shadow prices” ou “custos marginais” das restrições, porque amudança no valor ótimo da função objetivo por unidade de acréscimo no lado direito darestrição de igualdade é dado por *.Exemplo 5: Seja o seguinte problema de otimização com restriçãomin S(x) = (x 1 5) 2 + (x 2 5) 2sujeito a: h(x) = x 1 x 2 = 0Introduzindo uma perturbação na restrição de igualdade do tipo: x 1 x 2 = b, então a função deLagrange toma a forma:L(x, ) = (x 1 5) 2 + (x 2 5) 2 + (x 1 x 2 b)cujo gradiente nulo com relação a x 1 , x 2 e leva ao seguinte sistema de equações:2 (x 1 5) + = 02 (x 2 5) = 0x 1 x 2 b = 0resultando na solução ótima: x 1 * = 5 + b / 2, x 2 * = 5 b / 2 e * = b.Deste modo S(x*) = b 2 / 2 e b S(x*) = b = *.13
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Page 24 and 25: T 1 T1função quadrática: Sx ( )
Page 26 and 27: função mista linear e inteira: S(
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