CapÃtulo 10 - Programa de Engenharia QuÃmica - COPPE / UFRJ

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Aplicando esta condição para o exemplo acima tem-se:2 1 x 2(1 x)3/ 2 0logo, a solução ótima x*(t) minimiza o funcional S(x).Retornando ao problema de otimização de sistema dinâmicos, seja então o problema:t fmin, x(t),u(t),t[0,tf][x(t),u(t),t f ] = [x(t f ),t f ] +tf 0[x(t),u(t),t] dtsujeito a:x(t)= f[x(t),u(t),t] , x(0) = x oh[(t f ),t f ] = 0Introduzindo os multiplicadores de Lagrange associado às restrições chega-se a:L[x(t),u(t),(t),,t f ] = [x(t f ),t f ] + T h[x(t f ),t f ] +que pode ser dividida em duas funções:[x(t f ),,t f ] = [x(t f ),t f ] + T h[x(t f ),t f ] et f{ [x(t),u(t),t] + T (t) (f[x(t),u(t),t] x(t) )} dt0[x(t),u(t),(t),t] = [x(t),u(t),t] + T (t) (f[x(t),u(t),t] x(t) )resultando no funcional:L[x(t),u(t),(t),,t f ] = [x(t f ),,t f ] +t f 0que ao ser minimizado resulta nas equações de Euler-Lagrange:dT x [ x ] 0 x x fdtonde ddt[ ] 0 cte[x(t),u(t),(t),t] dt (t) = u(t), e pelas condições de complementaridade para t ) :T[ ]f 0 0 0 para t = t fpois (t f ) é livre ( f 0) e não depende de , chega-se a 0 t, ou seja:( f 0 T f u TufDefinindo a seguinte função de Hamilton (ou Hamiltoniano):H[x(t),u(t),(t),t] = [x(t),u(t),t] + T (t) f[x(t),u(t),t]34
então, as condições necessárias de primeira ordem (Euler-Lagrange) descritas acima sãoequivalentes a:x H fxH x Txf uH u Tuf 0que devem ser resolvidas juntamente com as condições iniciais e finais e as condições decomplementaridade:x(0) = x oh[x(t f ),t f ] = 0[ x t (t f )] T x(t f ) = 0 )( f{H[x(t f ),u(t f ),(t f ),t f ] + ft } t f = 0A condição de segunda ordem pode ser verificada pela positividade de 2 u H . Este conjuntode condições são conhecidos como Princípio do Mínimo de Pontryagin (1962), e osmultiplicadores de Lagrange, (t), são conhecidos como variáveis adjuntas. Para as partes docaminho u(t) sobre as restrições u min ou u max , vale a seguinte condição de otimalidade, nolugar de H 0 :upara todos as possíveis funções u(t).H[x*(t),u*(t),*(t),t] H[x*(t),u(t),*(t),t]Para problemas com restrições de desigualdade do tipo:g[x(t),u(t),t] 0 , t [0, t f ]onde g p é duas vezes continuamente diferenciável e o subconjunto de restrições ativas,g a , não deve ser maior que o número de variáveis de controle, u, e deve apresentar umamatriz Jacobiana, u g a , de posto completo t [0, t f ]. Exemplos de restrições dedesigualdade que satisfazem estas condições são:u min u(t) u max , t [0, t f ]u min [x(t),t] u(t) u max [x(t),t] , t [0, t f ]|u(t)| u m , t [0, t f ]||u(t)|| 2 r 2, t [0, t f ] , r Introduzindo funções de folga z(t) , isto é:g i [x(t),u(t),t] + ( ) = 0 , i = 1,2,...,pz 2 it35
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Page 36 and 37: tem-se o integrando da função de
Page 38 and 39: P = PA + A T P P B W 1 B T P + QP
Page 40 and 41: Outra forma de resolver o problema
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