CapÃtulo 10 - Programa de Engenharia QuÃmica - COPPE / UFRJ

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Para entender a origem da função de Lagrange, o ótimo do exemplo acima devesatisfazer as seguintes condições:SdS = x 1 +x 1Sx 2 = 0x 2dh =hx1 +x 1hx2 = 0x 2Se S(x) fosse uma função sem restrição, então as suas duas derivadas parciais seriam nulas noponto ótimo e dS(x*) seria nulo para quaisquer valores das variações x 1 e x 2 . Entretanto,como as variáveis x 1 e x 2 estão restritas (x 1 e x 2 não são independentes), as duas derivadasparciais de S(x) não podem ser arbitrariamente igualadas a zero. Contudo, S(x) deve ser umextremo no ponto ótimo e portanto dS(x*) = 0. A segunda condição, dh(x*) = 0, existe porqueh(x) = 0. Para se obter uma solução (x 1 e x 2 ) não trivial do sistema de equações acima, amatriz dos coeficientes do sistema: SSx1 x2 hhx1x2deve ter determinante nulo, ou seja, as linhas da matriz são linearmente dependentes:Sx 1h+ x 1= 0 eSx 2h+ Então, definindo uma função auxiliar: L(x, ) = S(x) + T h(x)as condições acima são satisfeitas se: x L(x, ) = 0. Para que a restrição de igualdade, h(x) =0, seja também satisfeita é necessário que L(x, ) = 0. Portanto, no ponto ótimo énecessário que L(x*, *) = 0.A existência dos multiplicadores de Lagrange depende da forma das restrições, eestará garantida se e somente se os gradientes das restrições de desigualdade ativas, g j (x*), edas restrições de igualdade, h(x*), forem linearmente independentes. Por exemplo, no casode um problema somente com restrições de igualdade, a condição necessária de primeiraordem para L(x, ) fica: x S(x) + [ x h(x)] T = 0cuja solução para existirá somente se a matriz x h(x) possuir posto completo, m, isto é, estarcomposta por m vetores linearmente independentes.• Condição necessária de primeira ordem de Karush-Kuhn-Tucker (KKT):x 2= 014
Para que x* seja um ótimo local do problema com restrições, com S(x), g(x), e h(x)diferenciáveis em x*, é necessário que:os gradientes das restrições de desigualdade ativas, g j (x*), e das restrições de igualdade,h(x*), sejam linearmente independentes (qualificação de segunda ordem das restrições), eque as seguintes condições sejam satisfeitas: x L(x*, *, *) = S(x*) + (*) T h(x*) + (*) T g(x*) = 0h(x*) = 0g(x*) 0 j * g j (x*) = 0 , j = 1, 2, ..., p (condições de complementaridade)* 0A condição de independência linear pode ser relaxada por outras qualificações deprimeira e segunda ordens das restrições (Floudas, 1995, pg. 59 e 64).A condição do gradiente nulo, x L(x*, *, *) = 0, implica em:(*) T h(x*) + (*) T g(x*) = S(x*)que interpretada graficamente, figura abaixo, mostra que o vetor S(x*) pertence ao conedas direções viáveis, formado pelos gradientes das restrições de igualdade e desigualdadeativas (uma vez que * j = 0 para as restrições inativas).15
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Page 3 and 4: 10.1.2 NomenclaturaNo contexto de o
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