Capítulo 10 - Programa de Engenharia Química - COPPE / UFRJ

Supondo que S(x*) caia fora do cone das direções viáveis, então haveria umadireção d tal que d T S(x*) < 0, d T g(x*) 0 e d T h(x*) = 0, isto é, existiria um pontomelhor que x*, como ilustra a figura abaixo.• Condição necessária de segunda ordem de KKT:Para que x* seja um mínimo local do problema com restrições, com S(x), g(x), e h(x)duas vezes diferenciáveis em x*, é necessário que:a condição de primeira ordem de KKT seja satisfeita e, que a matriz Hessiana da função deLagrange, L(x*, *, *), seja positiva semidefinida para todo vetor não nulo d tal que: 2 xd T h i (x*) = 0 , i = 1, 2, ..., md T g j (x*) = 0 para as g j (x*) ativasisto é, d T 2 x L(x*, *, *) d 0.• Condição suficiente de KKT:Para que x* seja um mínimo local do problema com restrições, com S(x), g(x), e h(x)duas vezes diferenciáveis em x*, é suficiente que:a condição de primeira ordem de KKT seja satisfeita e, que a matriz Hessiana da função deLagrange, 2 xL(x*, *, *), seja positiva definida para todo vetor não nulo d tal que:d T h i (x*) = 0 , i = 1, 2, ..., m16