Capítulo 10 - Programa de Engenharia Química - COPPE / UFRJ

O comprimento de uma curva conectando os pontos (t 1 , x 1 ) e (t 2 , x 2 ) é dado por:s(t2S(x) ds 1x1)s(t )tt212dtonde [ t,x(t),x( t)] 1xeinfinitesimal da curva.222ds dt dx que é o comprimento de um segmentoAplicando a equação de Euler-Lagrange para o problema acima, tem-se: x 0x x x x21xx ou seja:ddt[ x] 0 x 21 xddt xddtx1x2 0 constante, o que implica quex * ( t)= constante. Portanto, como nãopoderia deixar de ser, o caminho mais curto entre dois pontos é uma reta: x*(t) = a t + b.Naturalmente, para assegurar que a função x(t) minimize o funcional S(x), a condiçãosuficiente de segunda ordem deve ser verificada, que no caso de variações significa que asegunda variação de S deve ser positiva para todas variações possíveis de x, isto é:que é equivalente a (x) TLegendre:2 xS 2 S > 0 , x(x*) x > 0, ou ainda pela condição de segunda ordem de2 x( x*,x*, t)> 033