Capítulo 10 - Programa de Engenharia Química - COPPE / UFRJ

d) S(x) é convexa para > 0 .e) se todas S i (x) < x K, então S(x) = max{S 1 (x), S 2 (x), ..., S n (x)} é convexa.Quando S(x) é convexa, as condições de otimalidade simplificam-se, porque ascondições de segunda ordem são equivalentes à convexidade local da função. Além disso, ummínimo local será também global e se a função for estritamente convexa o mínimo global éúnico.Para ilustrar, define-se y = x 1 + (1 – ) x 2 e w = S(x 1 ) + (1 – ) S(x 2 )S(x) S(x)função côncavafunção convexaS(y)wS(y)wxx 1y x 2 x 1y x 2xSeja X um conjunto aberto não vazio do n e S(x) uma função diferenciável em x o X. Se S(x) é convexa em x o , entãoS(x) S(x o ) T S(x o )(x x o )Para uma função S(x) diferenciável em X,S(x) é convexa S(x 2 ) S(x 1 ) T S(x 1 )(x 2 x 1 ) x 1 , x 2 X.Seja X um conjunto aberto não vazio do n e S(x) uma função duas vezesdiferenciável em x o X. Se S(x) é convexa em x o , então 2 S(x o ) é positiva semidefinida. Parauma função S(x) duas vezes diferenciável em X,S(x) é convexa 2 S(x) é positiva semidefinida x X.Seja K um conjunto convexo não vazio do n , x o K e d um vetor não nulo tal que(x o + d) K para um > 0 suficientemente pequeno. Então, a derivada direcional de S(x)no ponto x o , ao longo da direção , denotada por S´(x o ,d), é definida pelo seguinte limite(incluindo ):( o ) ( o)( oSx dSxS x , d) lim lim T 2 S( xo) d dTS( xo)d0 0Portanto, a derivada direcional no ponto x o é dada por S´( x o ,d) = T S(x o ) d.Seja K um conjunto convexo não vazio do n e S(x) uma função convexa. Então, osub-gradiente de S(x) no ponto x o K, denotado por d, é definido como:20