Capítulo 10 - Programa de Engenharia Química - COPPE / UFRJ

com a seguinte função objetivo quadrática:ondex2Rt f1 2 122S[x(t),u(t),t f ] = x(tf) x(t) u(t)2R20= x T R x e R 0, Q(t) 0 e W(t) 0 são matrizes simétricas de pesos. Definindo oHamiltoniano para este problema:H[x(t),u(t),(t),t] =12Q(t)W ( t)dt2 1 2x(t) u(t)+ T [A x + B u]Q( t)W ( t)2então, pelo princípio do mínimo de Pontryagin, tem-se:x H A x + B u H Q x A T que resolvendo para u(t), chega-se a:x uH W u + B T = 0x(0) = x o(t f ) = R x(t f )u = W 1 B T x = A x B W 1 B T gerando um problema de TPBVP (two-point boundary value problem) para x e , cujasolução minimiza a função objetivo, pois 2 u H = W > 0, e é um mínimo global devido aconvexidade do problema. Se a solução (t) do problema de TPBVP puder ser expressa comouma função da solução x(t) em termos de uma transformação linear P(t) nn , isto é, x(t) seruma base de soluções para (t):(t) = P(t) x(t)então a solução do TPBVP pode ser facilmente obtida. Para verificar tal possibilidade,primeiro substitui-se esta dependência nas equações para x e , e subtrai-se uma da outraresultando em:( P +PA + A T P P B W 1 B T P + Q) x(t) = 0que deve ser satisfeita t, logo como x(t) 0 então:P = PA A T P + P B W 1 B T P Qque é uma equação diferencial matricial não linear, conhecida como equação de Riccatidinâmica, cuja condição de contorno é obtida de (t f ) = R x(t f ), ou seja:P(t f ) = RFazendo a mudança de variável = t f t, tem-se d = dt e:37