Capítulo 10 - Programa de Engenharia Química - COPPE / UFRJ

x = x(t) x*(t)como o operador variação, ou seja, a variação de uma função representa uma mudançainfinitesimal arbitrária na função a um dado valor de t. Note que a variação difere dadiferenciação, pois esta última corresponde a uma medida da mudança de uma funçãoresultante de uma mudança específica (não arbitrária) na variável independente. A equaçãoacima pode ser escrita como:x = x(t) x*(t) = (t)onde (t) é uma função arbitrária contínua e diferenciável e é um parâmetro variável quetende a zero.Como o operador variação acarreta uma mudança infinitesimal em uma função paraum valor fixo de t, tem-se:t = 0ou seja, a variável independente não participa do processo de variação. Outra propriedadeimportante do operador variação é a comutatividade com os operadores de diferenciação eintegração:d dddx dx dx * ddx [ (t)] e ( x x*) dt dtdt dt dt dt dtdtt2t1x ( t)dt t2t1x(t)dt t2t1x *( t)dt t2t1[ x(t) x *( t)]dt t2t1x(t)dtComo a condição necessária de primeira ordem para o mínimo local de uma função,S(x), pode ser interpretada como a existência de um ponto estacionário da função objetivo,então dentro de uma região infinitesimal em torno deste ponto tem-se que:S = 0Usando a propriedade comutativa chega-se a:t2S dtt1onde = [x, x (t) ,t] [x*, x * ( t),t] = [x* + , x *(t)+ (t),t] [x*, x *(t),t].Expandindo em série de Taylor tem-se:[x* + (t), x * ( t)+ (t), t] = [x*, x * ( t), t] + [x*, x * ( t), t] (t) +que eliminando os termos de ordem O( 2 ), resulta em:TxTx = { [x*, x * ( t), t] (t) + [x*, x * ( t) , t] (t)}Tx [x*, x * ( t), t] (t)+ O[ 2 2 (t), 2 2 ( t)]Tx31