Capítulo 10 - Programa de Engenharia Química - COPPE / UFRJ

Para um ponto estacionário tem-se:tS 2t1Tx Tx dt 0sobre qualquer função arbitrária (t). O segundo termo no integrando pode ser integrado porpartes (u = x e v = ), resultando em:t2t1Tx dt [ Tx tt ]21t2t1ddt[ Tx ] dtSe a função x(t) é fixada nos contornos, t 1 e t 2 , então (t) deve se anular nestes pontos, poisnão pode existir variação de x(t) nos contornos. Deste modo o primeiro termo da integraçãopor partes é nulo. Para o caso mais geral, onde algum contorno pode estar livre, as seguintescondições de complementaridade devem ser satisfeitas: T x 0 para t = t 1 e t = t 2ou seja, se S é para ser zero para todas as variações admissíveis (restritas somente pelacontinuidade e diferenciabilidade) então o primeiro termo da integração por partes deve sersempre nulo. No caso de existir uma contribuição terminal na função objetivo:S x) [ x(t ), t ] [ t,x(t),x( t)]dt2( 2 2a condição de complementaridade terminal seria:T T[ x x ] 0 para t = t 2Substituindo a integração por partes em S = 0, tem-se então:t2T d TS x [ x t dt1tt1] dt 0Como a equação acima deve ser satisfeita para qualquer função arbitrária (t), contínua,diferenciável e que satisfaça as condições de contorno, então o termo entre parêntesis deve sernulo, resultando na equação de Euler-Lagrange:x ddt[ ] 0xExemplo 10: Para ilustrar, considere o problema de determinar a curva de menorcomprimento conectando dois pontos no espaço, conforme a figura abaixo.32