Capítulo 10 - Programa de Engenharia Química - COPPE / UFRJ

Se existe um número tal que S(x) x X e, para um suficientemente pequeno,S(x) < + para algum x X, então é o ínfimo (ou valor inferior) de S(x). Considerando ospontos , então toda função S(x) tem um ínfimo e um supremo (ou valor superior) em X.Nem toda função tem mínimo (máximo), mas se ele existir deve ser finito e é obtido noínfimo (supremo), isto é,S(x*) = min S(x) inf S(x)[S(x*) = max S(x) sup S(x)]xXxXPor exemplo, a função S(x) = e x não tem máximo em X = e a função S(x) = e -x não temmínimo em X = . Contudo, o supremo de e x é +, e o ínfimo de e -x é zero.xXxX10.2.2 Condições para a otimalidadeOtimização sem restriçãoNo caso da otimização sem restrições, onde deseja-se encontrar os pontos extremos dafunção objetivo, tem-se as seguintes condições de otimalidade.• Condição necessária de primeira ordem:Para que x* seja um mínimo (máximo) local da função S(x), diferenciável em x*, énecessário que:S(x*) = 0• Condição necessária de segunda ordem:Para que x* seja um mínimo (máximo) local da função S(x), duas vezes diferenciávelem x*, é necessário que:S(x*) = 0 e queH(x*) 2 S(x*) seja positiva (negativa) semidefinidaonde H(x*) é chamada de matriz Hessiana.Observa-se que estas condições são apenas necessárias porque os termos de primeira esegunda ordem podem estar nulos, deixando ainda dúvida sobre a natureza de x*.• Condição suficiente:Seja S(x) duas vezes diferenciável em x* tal que:S(x*) = 0 eH(x*) seja positiva (negativa) definidaentão x* é um mínimo (máximo) local estrito de S.7