Algebra liniara

Demonstraţie. Trebuie să arătăm că dacă P, Q, R∈L A (M) şi
R⊆P, atunci P∧(Q∨R)=(P∧Q)∨R⇔P∩(Q+R)=(P∩Q)+R.
Cum incluziunea (P∩Q)+R⊆P∩(Q+R) este evidentă, fie
x∈P∩(Q+R). Atunci x∈P şi x=y+z cu y∈Q şi z∈R. Cum R⊆P
deducem că y=x-z∈P şi cum y∈Q avem că y∈P∩Q, adică
x∈(P∩Q)+R, deci este adevărată şi incluziunea P∩(Q+R)⊆(P∩Q)+R,
de unde egalitatea P∩(Q+R)=(P∩Q)+R. ∎
Observaţia 1.10. 1. În general, laticea (L A (M), ⊆) poate să nu
fie distributivă. Contraexemplul ne este oferit de Z-modulul M=Z×Z
(vezi [2, Exc. 6.16.] şi [19, p. 77]).
2. Laticea submoduleleor Z-modulului Z (adică laticea idealelor
inelului (Z, +, ⋅)) este distributivă. Într-adevăr, dacă avem trei ideale I,
J, K ale inelului Z atunci I=mZ, J=nZ, K=pZ cu m, n, p∈N. Se verifică
imediat că
I∩J=[m, n]Z iar I+J=(m, n)Z, astfel că egalitatea
I∩(J∨K)=(I∩J)∨(I∩K) este echivalentă cu [m, (n, p)]=([m, n], [m, p])
iar ultima egalitate este adevărată (vezi [4]).
elementele
Definiţia 1.11. Fie M un A-modul stâng. Vom spune despre
x 1 , …, x n ∈M că sunt liniar independente peste A dacă
având o combinaţie liniară nulă a 1 x 1 +…+a n x n = 0 cu a 1 , …, a n ∈A,
deducem că a 1 =a 2 =…=a n =0.
Dacă notăm F={x 1 , …, x n } convenim să notăm fapul că
elementele lui F sunt liniar independente peste A scriind ind A F.
Dacă M׳⊆M este o submulţime oarecare a lui M, vom spune
că elementele lui ׳M sunt liniar independente peste A dacă orice
submulţime finită ׳F⊆M este formată din elemente liniar
‏.(׳M independente peste A (vom nota lucrul acesta scriind ind A
În cazul în care elementele x 1 , …, x n ∈M nu sunt liniar
independente peste A vom spune despre ele că sunt liniar
10