Algebra liniara

Fie M∈Mod s (A) fixat. Pentru N∈Mod s (A) definim
h M (N)=Hom A (M, N); conform Propoziţiei 2.3., h M (N) împreună cu
adunarea morfismelor devine grup abelian. Deci, dacă notăm cu Ab
categoria ale cărei obiecte sunt grupurile abeliene iar morfismele sunt
morfismele de grupuri, atunci h M (N)∈Ab.
α∈h M (N).
Să mai considerăm P∈Mod s (A) şi f∈Hom A (N, P).
Definim h M (f):h M (N)→h M (P) prin h M (f)(α)=f∘α, oricare ar fi
Deoarece pentru oricare α, β∈h M (N),
h M (f)(α+β)=f∘(α+β)=f∘α+f∘β=h M (f)(α)+h M (f)(β) deducem că h M (f) este
morfism în Ab.
Lema 2.31. h M :Mod s (A)→Ab este un functor covariant.
Demonstraţie. Dacă avem N, P, Q∈Mod s (A) cum
h M (1 M )(α)=1 M ∘α=α, oricare ar fi α∈h M (M) deducem că h M (1 M )= 1
h
M ( M )
iar din h M (f∘g)(α)=(f∘g)∘α=f∘(g∘α)=(h M (f)∘h M (g))(α), oricare ar fi
f∈Hom A (N, P), g∈Hom A (P, Q) şi α∈h M (N) deducem că
h M (f∘g)=h M (f)∘h M (g), adică h M este functor covariant de la Mod s (A) la
Ab.∎
Observaţia 2.32. Analog se probează că h M :Mod s (A)→Ab
definit prin h M (N)=Hom A (N, M) oricare ar fi N∈Mod s (A) iar pentru
P∈Mod s (A) şi f∈Hom A (N, P) h M (f):h M (P)→h M (N) h M (f)(α)=α∘f,
oricare ar fi α∈h M (P) este functor contravariant de la Mod s (A) la Ab.
Propoziţia 2.33. Pentru orice M∈Mod s (A), functorul h M
duce monomorfisme în monomorfisme iar h M duce epimorfisme în
monomorfisme.
Demonstraţie. Reamintim că în Capitolul 2 se probează că în
Ab monomorfismele coincid cu morfismele injective de grupuri,
epimorfismele cu morfismele surjective de grupuri iar caracterizarea
32