Algebra liniara

Demonstraţie. Dacă x∈M, atunci x=∑∈I
a e , unde a i i
i∈A sunt
i
unic determinaţi şi aproape toţi nuli. Definim f:M→N prin
def
( x) =
∑∈ i I
f a y şi se verifică imediat că f∈Hom A (M, N) iar f(e i )=y i
i
i
pentru orice i∈I. Dacă mai avem g∈Hom A (M, N) a.î. g(e i )=y i pentru
orice i∈I, atunci pentru orice x∈M, x=∑∈I
i i
i
avem
g x = a g e = a f e = f x , de unde g=f. ∎
∑
∑
( ) ( ) ( ) ( )
i∈I
i
i
i∈I
i
i
Teorema 2.20. (a defectului) Fie V şi W două K-spaţii
vectoriale de dimensiuni finite iar f∈Hom K (V, W). Atunci:
dim K Ker(f)+dim K Im(f)=dim K V.
Demonstraţie. Fie (v i ) 1≤i≤n bază pentru Ker(f) iar (w j ) 1≤j≤m bază
pentru Im(f). Alegem (v jʹ) 1≤i≤m ⊂V a.î. f(v jʹ)=w j pentru orice 1≤j≤m.
Vom demonstra că B={v 1 ,…,v n , v 1ʹ, …,v mʹ} este o bază pentru
V şi astfel teorema va fi demonstrată.
Să arătăm la început ind K B iar pentru aceasta fie α 1 ,…,α n ,
β 1 ,…,β m ∈K a.î. α 1 v 1 +…+α n v n +β 1 v 1ʹ+…+β m v mʹ=0. Deducem că
α 1 f(v 1 )+…+α n f(v n )+β 1 f(v 1ʹ)+…+β m f(v mʹ)=0 sau β 1 w 1 +…+β m w m =0, de
unde β 1 =…=β m =0.
Atunci α 1 v 1 +…+α n v n =0, de unde şi α 1 = …=α n =0.
Pentru a arăta că B este şi sistem de generatori pentru V (adică
(B)=V), fie x∈V. Atunci f(x)∈Im(f) şi deci există β 1 ,…,β m ∈K a.î.
f(x)=β 1 w 1 +…+β m w m =β 1 f(v 1ʹ)+…+β m f(v mʹ)=f(β 1 v 1ʹ+…+β m v mʹ), de unde
concluzia că x-(β 1 v 1ʹ+…+β m v mʹ)∈Ker(f), adică există α 1 ,…,α n ∈K a.î.
x-(β 1 v 1ʹ+…+β m v mʹ)=α 1 v 1 +…+α n v n ⇔x=α 1 v 1 +…+α n v n +β 1 v 1ʹ+…+β m v mʹ.
∎
Corolar 2.21. Fie V un K spaţiu vectorial de dimensiune
finită iar Vʹ⊂V un subspaţiu al lui V. Atunci
dim K V=dim K Vʹ+dim K (V/Vʹ).
26