Algebra liniara

deci ρ M (e i )=e i ** pentru 1≤i≤n. Deducem că ρ M duce o bază a lui M în
bază a lui M ** , adică este izomorfism.∎
§3. Produse şi sume directe în Mod s (A). Sume directe
de submodule. Produse şi sume directe de morfisme de A-
module. Sume şi produse fibrate în Mod s (A).
În cele ce urmează prin I vom desemna o mulţime nevidă (ce
va fi folosită în cea mai mare parte ca mulţime de indici) iar prin (M i ) i∈I
o familie de A-module.
Propoziţia 3.1. În Mod s (A) există produsul direct şi suma
directă a familiei (M i ) i∈I .
Demonstraţie. Să probăm la început existenţa produsului direct
iar pentru aceasta fie M = X M ={(x i ) i∈I |x i ∈M i pentru orice i∈I}.
Pentru x, y∈M, x=(x i ) i∈I , y=(y i ) i∈I şi a∈A definim:
i ∈ I
i
x+y=(x i +y i ) i∈I şi ax=(ax i ) i∈I .
Lăsăm pe seama cititorului verificarea faptului că în felul acesta
M devine A-modul ca şi faptul că pentru orice j∈I, proiecţia p j :M→M j
(definită prin p j (x)=x j pentru orice x=(x i ) i∈I ∈M) este morfism de A-
module.
Să probăm acum că ∏ M ( ( )
i
= M, p )
j
iar pentru aceasta fie
j∈I
i∈I
Mʹ un alt A-modul iar (p jʹ) j∈I o familie de morfisme de A-module cu
p jʹ:Mʹ→M j
Mʹ
u
M
p jʹ
p j
M j
38