Algebra liniara

12
Fie F={B⊆V|I⊆B⊆G şi ind K B} (deoarece I∈F deducem că
F≠∅). Se verifică imediat că dacă (B i ) i∈I este o familie total ordonată
(faţă de incluziune) de elemente din F, atunci U B i
∈F, de unde
concluzia că (F, ⊆) este o mulţime inductivă. Conform Lemei lui Zorn
există un element maximal B 0 ∈F. Dacă vom demonstra că (B 0 )=V, cum
ind K B 0 , vom deduce că B 0 este bază pentru V şi teorema este
demonstrată.
Pentru aceasta este suficient să demonstrăm că G⊆(B 0 ) (căci
atunci am deduce că V=(G)⊆(B 0 ), de unde (B 0 )=V).
Cum B 0 ⊆G, fie x 0 ∈G\B 0 . Atunci I⊆B 0 ∪{x 0 }⊆G iar datorită
maximalităţii lui B 0 deducem că vectorii din B 0 ∪{x 0 } trebuie să fie
liniar dependenţi peste K. Există deci λ 0 , λ 1 , …, λ n ∈K nu toţi nuli şi
x 1 , …, x n ∈B 0 a.î. λ 0 x 0 + λ 1 x 1 +…+λ n x n =0.
Să observăm că λ 0 ≠0 (căci în caz contrar, cum ind K B 0 am
deduce că λ 1 =…=λ n =0, absurd), de unde deducem că
−1
−1
x ( λ λ ) x ( λ λ n
)
0
= −
0 1 1
+ ... + −
0
x n
adică x 0 ∈(B 0 ). Deducem deci că G⊆(B 0 )
şi astfel (B 0 )=V, adică B 0 este o bază pentru V. ∎
Ţinând cont de observaţia de la începutul demonstraţiei
Teoremei 1.13., deducem imediat următorul rezultat:
Corolar 1.14. (i) Dacă K este un corp oarecare, atunci orice
K-spaţiu vectorial nenul admite cel puţin o bază.
(ii) Orice parte I liniar independentă a unui sistem de
generatori G al unui K-spaţiu vectorial V poate fi completată cu
elemente din G pînă la o bază a lui V.
(iii) Orice sistem de vectori liniar independenţi ai unui
spaţiu vectorial poate fi completat pînă la o bază a spaţiului.
Teorema 1.15. (Teorema schimbului). Fie K un corp
oarecare iar V un K-spaţiu vectorial nenul. Dacă x 1 , …, x n ∈V sunt
liniar independenţi peste K iar y 1 , …, y m ∈V un sistem de generatori
pentru V, atunci n≤m şi există o reindexare a vectorilor y 1 , …, y m
a.î. (x 1 , …, x n , y n+1 , …, y m )=V.
i∈I