Algebra liniara

Observaţia 3.2. 1. De multe ori (dacă nu este pericol de
confuzie) când vorbim de produsul direct sau suma directă înţelegem
doar A-modulul subiacent (fără a mai specifica familiile (p i ) i∈I sau (α i ) i∈I
de morfisme structurale).
2. Dacă I este o mulţime finită atunci ∏ M
i
= C M i
.
Propoziţia 3.3. Un A-modul S este sumă directă de injecţii
canonice (α i ) i∈I a modulelor (M i ) i∈I dacă şi numai dacă pentru orice
x∈S există x i ∈M i unic determinaţi şi aproape toţi nuli a.î.
α .
∑
i∈I
x= ( )
i
x i
Demonstraţie. ,,⇒”. Dacă considerăm L={x∈S | există x i ∈M i
α }, se verifică imediat că L este
∑
i∈I
aproape toţi nuli a.î. x= ( )
i
x i
submodul al lui S şi să considerăm epimorfismul canonic p:S→S/L.
Cum Im(α i )⊆L pentru orice i∈I deducem că p∘α i =0 pentru orice i∈I.
i∈I
Să considerăm pentru fiecare i∈I diagrama:
i∈I
α i
M i
α iʹ
S
p
0
S/L
cu p∘α i =α iʹ. Deoarece p şi morfismul nul 0:S→S/L închid diagrama de
mai înainte (pentru orice i∈I), datorită unicităţii din definiţia sumei
directe, deducem că p=0, adică S=L.
p o α x =(p j ∘α j )(x j )=
= ( x )
M j
j
∑
i∈I
Dacă x= α ( ), atunci p j (x)= ( )( )
i
x i
1 =x j (p j fiind proiecţia canonică), de unde deducem unicitatea
scrierii lui x ca în enunţ.
∑
i∈I
j
i
i
40