Algebra liniara

(cu
14
i
Demonstraţie. (i). Pentru fiecare i∈I există ( a )
j j∈
J
de suport finit
i
i
i
e = a f , unde C i =supp ( a ) = { j ∈ J a ≠ 0}
(care
i
a ∈A) a.î.
j
i
∑∈ j C i
este mulţime finită).
Să demonstrăm că J=U
j
j
C i
i∈I
j j∈J
iar pentru aceasta fie j∈J. Deoarece
(e i ) i∈I este bază pentru M, există b ∈
i
, bi
,..., b A a.î.
1 2 in
f
j
= bi
ei
+ ... + b e . Deducem imediat că :
1 1
in in
(∗)
Dacă prin absurd,
⎛ ⎞ ⎛
⎜
i1
f = ⎟ + + ⎜
j
bi
⎜∑
a
j
f
j
... b
⎟
in
⎜ ∑ a
j∈C j∈C ⎝ i 1 ⎠ ⎝ i n
⎞
⎟
⎟
⎠
in
j
f .
1 j
U
j ∉ atunci cu atît mai mult U n
j ∉
C i
i∈I
deci f j nu se găseşte printre elementele (
U
deducem că { f } { }
Prin urmare
j f k U n
k∈
C i p
p=1
U
C i
i∈I
) U
n
f k k∈
p=1
C i p
j
C ik
k=1
şi
şi astfel din (∗)
este o mulţime liniar dependentă, absurd.
J = şi atunci este clar că dacă J este infinită atunci cu
necesitate şi I este infinită (deoarece C i este mulţime finită pentru orice
i∈I). Analog deducem că dacă I este infinită atunci şi J este infinită.
(ii). Ţinând cont de faptul că J = şi de anumite rezultate
U
C i
i∈I
elementare din teoria mulţimilor (vezi Capitolul 1, paragraful §10)
deducem că
I = J .∎
J = UCi ≤∑
Ci
≤ χ 0 ⋅ I = I şi simetric, I ≤ J , de unde
i∈I
i∈I
Corolar 1.18. Dacă V este un K-spaţiu vectorial nenul
atunci oricare două baze ale lui V au acelaşi cardinal.
Observaţia 1.19. Ceva mai tîrziu vom demonstra un rezultat
asemănător Corolarului 1.16. şi pentru module (vezi Teorema 2.5.).
Definiţia 1.20. Dacă V este un K-spaţiu vectorial nenul vom
nota cu dim K V sau [V:K] cardinalul unei baze arbitrare a lui V ce
se va numi dimensiunea lui V peste K.