Algebra liniara

Demonstraţie. Fie M un ideal maximal (vezi Capitolul 3, §10)
iar ML mulţimea combinaţiilor liniare finite ale elementelor din L cu
scalari din M (adică ML={a 1 x 1 +…+a n x n | a 1 ,…,a n ∈M şi x 1 ,…,x n ∈L}).
Se deduce imediat că ML este un A-submodul al lui L şi fie
V=L/ML. Cum K=A/M este corp (vezi Capitolul 3, §10) şi
M⊆Ann A (V), ţinând cont de Lema 2.24., deducem că V devine în mod
canonic K-spaţiu vectorial. Vom nota pentru a∈A prin a imaginea lui a
prin epimorfismul canonic A→A/ML=K iar prin p:L→V=L/ML celălalt
epimorfism canonic.
Fie B={e 1 ,…,e n }⊆L o bază finită a lui L (ce există conform
enunţului).
Este suficient să demonstrăm că p(B)={p(e 1 ),…,p(e n )} este o
bază a lui V ca spaţiu vectorial peste K (vezi Corolarul 1.18.).
Cum p este epimorfism, conform Propoziţiei 2.16., deducem că
p(B) este un sistem de generatori ai lui V.
Mai avem de demonstrat ind K p(B) iar pentru aceasta fie
a ,..., a n
1
∈K (a 1 ,…,a n ∈A) a.î. a1 p( e1
) ... + an p( en
) = p( 0)
+ . Obţinem că
a 1 p(e 1 )+…+a n p(e n )=p(0)⇔p(a 1 e 1 +…+a n e n )=p(0), adică
a 1 e 1 +…+a n e n ∈ML, deci există m 1 ,…,m n ∈M a.î. a e =
∑
i∈I
i
i
∑
i∈I
m e , de
unde deducem că a i =m i ∈M, 1≤i≤n, deci a = 0 , 1≤i≤n, adică
ind K p(B). ∎
Definiţia 2.26. Spunem că un A-modul liber L este de rang
finit dacă admite o bază finită şi are proprietatea de invarianţă a
numărului elementelor bazei, număr ce se notează prin rang A L.
Conform Teoremei 2.25., dacă A este inel unitar comutativ cu 0≠1,
atunci orice A-modul liber ce admite o bază finită se bucură de
proprietatea de invarianţă a numărului de elemente din acea bază.
i
i
i
infinit):
Definiţia 2.27. Un şir de morfisme şi A-module (finit sau
f1
f2
fi−
1
fi
fn−1
(1) M ⎯⎯→
M ⎯⎯→... ⎯⎯→ M ⎯⎯→...
⎯⎯→M
....
1 2
i
n
28