Algebra liniara

44
Definiţia 3.10. Convenim să notăm
f = ∏ f i
şi g C
i∈I
= şi
să le numim pe f şi g ca fiind produsul direct (respectiv suma directă)
a familiei (f i ) i∈I .
Fie (M iʹ) i∈I , (M i ) i∈I şi (M iʹʹ) i∈I
i∈I
trei familii de A-module iar
(f i ) i∈I , (g i ) i∈I două familii de morfisme de A-module cu f i :M iʹ→M i iar
g i :M i →M iʹʹ. Notăm f ′ = ∏ f i
, g ′ = ∏ g i
, f ′′ = C f i
şi g′ = C g i
.
i∈I
i∈I
Propoziţia 3.11. Dacă pentru orice i∈I şirul
′ f g ″
0 ⎯→
M ⎯⎯→ i
⎯⎯→ i
⎯→ 0
i
M
i
M
i
este exact, atunci şi şirurile
′ f ′
g ′ ″
0 ⎯⎯→
M ⎯⎯→ M ⎯⎯→ M i ⎯→ 0
exacte.
∏
i∈I
i
∏
i∈I
i
f ′′
g ′′ ″
0 ⎯⎯→
M ⎯⎯→ M ⎯⎯→ M ⎯→ 0 sunt
C
i∈I
Demonstraţie.
i
C
i∈I
i
i∈I
∏
i∈I
C
i∈I
i
i∈I
′
Fie xʹ=(x iʹ) i∈I ∈∏ M
i
a.î. fʹ(xʹ)=0. Cum
fʹ(xʹ)=(f i (x iʹ)) i∈I deducem că f i (x iʹ)=0 adică x iʹ=0 şi astfel xʹ=0, deci fʹ
este monomorfism.
″
Dacă alegem xʹʹ=(x iʹʹ) i∈I ∈∏ M , atunci x
i
iʹʹ=g i (x i ) cu
x i ∈M i , astfel că dacă notăm x=(x i ) i∈I avem xʹʹ=gʹ(x), deci gʹ este
epimorfism.
Deoarece gʹ∘fʹ= ( g o ) = 0 , deducem că Im(fʹ)⊆Ker(gʹ).
∏
i∈I
i
f i
i∈I
Fie x=(x i ) i∈I ∈Ker(gʹ). Atunci pentru orice i∈I g i (x i )=0, deci
x i ∈Ker(g i )=Im(f i ), adică x i =f i (x iʹ) cu x iʹ∈M iʹ. Dacă notăm
′
xʹ=(x iʹ) i∈I ∈∏ M atunci x=fʹ(xʹ) şi x∈Im(fʹ), deci Ker(gʹ)⊆Im(fʹ), de
i
i∈I
unde egalitatea Im (fʹ) = Ker(gʹ).
Faptul că al doilea şir este exact se probează analog. ∎
Teorema 3.12. Categoria Mod s (A) este o categorie cu sume şi
produse fibrate.
i∈I
f i