Algebra liniara

More documents

Recommendations

Info

Referenţi ştiinţifici: Prof.univ.dr. Constantin NIŢĂ – UNIVERSITATEA BUCUREŞTI Prof.univ.dr. Alexandru DINCĂ – UNIVERSITATEA CRAIOVA © 2001 EUC – CRAIOVA All rights reserved. No part of this publication may be reproduce, stored in a retrieval system, or transmitted, in any forms or by any means, electronic, mechanical, photocopying, recording, or other wise, without the prior written permission of the publisher. Tehnoredactare computerizată : Dana Piciu Coperta: Cătălin Buşneag Bun de tipar: 29.03.2001 Tipografia Universităţii din Craiova, Strada, Al. Cuza, nr.13 Craiova, România Published in Romania by: EDITURA UNIVERSITARIA CRAIOVA 4 Descrierea CIP a Bibliotecii Naţionale Dumitru Buşneag (coordonator), Algebră liniară 161p.; 21 cm Craiova – Editura Universitaria – 2001 Bibliogr . 512,512.553,516.64 ISBN 973 – 8043 – 62 – 2
CAPITOLUL 1: MODULE ŞI SPAŢII VECTORIALE În cadrul acestui capitol prin A vom desemna un inel unitar (când va fi cazul vom preciza dacă A este sau nu comutativ). §1. Modul. Submodul. Calcule într-un modul. Operaţii cu submodule. Submodul generat de o mulţime. Laticea submodulelor unui modul. Sistem de generatori. Elemente liniar independente (dependente). Module libere. Spaţii vectoriale. Submodul maximal. Modul simplu. Factorizarea unui modul printr-un submodul. Modul factor. Definiţia 1.1. Vom spune despre un grup abelian (M,+) că este A-modul stâng (sau modul la stânga peste A) dacă este definită o operaţie algebrică externă pe M, φ:A×M→M, φ(a,x)=ax, pentru orice a∈A şi x∈M a.î. pentru oricare a, b∈A şi verificate condiţiile: 5 (i) a(x+y)=ax+ay (ii) (a+b)x = ax+bx (iii) a(bx)=(ab)x (iv) 1·x=x x, y∈M sunt În acest caz, elementele lui A se numesc scalari iar φ se numeşte înmulţire cu scalari. În mod analog se defineşte noţiunea de A-modul la dreapta: un grup abelian (M,+) se zice că este A-modul drept (sau modul la dreapta peste A ) dacă este definită o înmulţire cu scalari, ψ:M×A→M ψ(x,a)=xa, pentru orice a∈A şi x∈M a.î. pentru oricare a, b∈A şi x, y∈M sunt verificate condiţiile:
Page 1 and 2: PREFAŢĂ, După ce în lucrarea [5
Page 3: §6. Produs tensorial de module. Pr
Page 7 and 8: ⎧ ⎪14243 x + .... + x pentru n
Page 9 and 10: fiind cel mai mic submodul al lui M
Page 11 and 12: dependente peste A (acest lucru rev
Page 13 and 14: Demonstraţie. Se face inducţie ma
Page 15 and 16: Dacă dim K V este finită vom spun
Page 17 and 18: şi x∈M definim: a(x+N)=ax+N∈M/
Page 19 and 20: 19 4. Dacă M şi N sunt două A-mo
Page 21 and 22: deducem că g(x)=h(x), oricare ar f
Page 23 and 24: În continuare vom prezenta anumite
Page 25 and 26: (iv). Dacă y∈N, atunci cum N=(Y)
Page 27 and 28: 27 Demonstraţie. Dacă p:V→W=V/V
Page 29 and 30: se numeşte şir exact de module da
Page 31 and 32: Demonstraţie. Dacă x∈Ker(f), at
Page 33 and 34: monomorfismelor şi epimorfismelor
Page 35 and 36: Definind pentru f∈Hom A (M, N) ş
Page 37 and 38: 37 Într-adevăr, dacă x∈M avem
Page 39 and 40: Definind u:Mʹ→M prin u(x)=((p j
Page 41 and 42: 41 ,,⇐”. Pentru a proba că M =
Page 43 and 44: (ii)⇒(i). Dacă x∈M, din f(f(x)
Page 45 and 46: Demonstraţie. Trebuie să demonstr
Page 47 and 48: Definim u: S →T prin u(x+Sʹ)=v(x
Page 49 and 50: ⎛ ⎞ (ii)⇒(i). Fie i∈I şi x
Page 51 and 52: Demonstraţie. Conform Corolarului
Page 53 and 54: 53 Definim u : M → M ′ prin u (
Page 55 and 56:
M i f i M iʹ u ij u ijʹ M j f j M
Page 57 and 58:
M i f i M iʹ ε i ε iʹ f M M ′
Page 59 and 60:
Conform Corolarul 4.2. (ii), exist
Page 61 and 62:
pentru orice pereche (i, j) de elem
Page 63 and 64:
Coker(αʹ)≈Coker(α). Cum N este
Page 65 and 66:
Propoziţia 5.3. Pentru N∈L A (M)
Page 67 and 68:
(i) N∩P este esenţial în M dac
Page 69 and 70:
Corolar 5.14. Submodulele complemen
Page 71 and 72:
,,⇐”. Această implicaţie este
Page 73 and 74:
β(x)=β(xʹ). 73 Deducem imediat c
Page 75 and 76:
Definiţia 5.22. Un grup abelian (G
Page 77 and 78:
Pentru orice j∈supp(y), există x
Page 79 and 80:
Definiţia 5.30. Fie M∈Mod s (A).
Page 81 and 82:
canonic fʹ se defineşte prin ⎛
Page 83 and 84:
(ii) P este sumand direct într-un
Page 85 and 86:
85 (ii) Pentru orice şir din Mod s
Page 87 and 88:
Propoziţia 5.42. Pentru G∈Mod s
Page 89 and 90:
Unicitatea trebuie înţeleasă în
Page 91 and 92:
(xa)⊗y=x⊗(ay). De asemenea, ded
Page 93 and 94:
Să vedem în continuare cum transp
Page 95 and 96:
(ii). Se demonstrează analog ca (i
Page 97 and 98:
Propoziţia 6.12. Dacă M este un A
Page 99 and 100:
morfisme de grupuri abeliene, atunc
Page 101 and 102:
101 Ţinând cont de Lema 6.16. ded
Page 103 and 104:
(iii) Dacă M este un (B, A)-bimodu
Page 105 and 106:
(ii) Dacă Mʹ este un alt A-modul
Page 107 and 108:
cu liniile exacte iar coloanele izo
Page 109 and 110:
109 ⎛ a11 ⎜ ⎜a12 Atunci M(B,
Page 111 and 112:
0 0 ... ... şi acum totul rezultă
Page 113 and 114:
B v 1 v 2 v 3 v e 1 1 -1 1 e 3 1 0
Page 115 and 116:
Acum, egalitatea din enunţ rezult
Page 117 and 118:
CAPITOLUL 2 : DETERMINANŢI. SISTEM
Page 119 and 120:
(iii) Dacă o matrice are două lin
Page 121 and 122:
Proprietatea 8: Dacă într-un dete
Page 123 and 124:
Definiţia 1.9. Numim minor complem
Page 125 and 126:
Teorema 1.12. Dacă M=(a ij ) 1≤i
Page 127 and 128:
k A 12 ... ... k k k + 1 −1 ⋅ M
Page 129 and 130:
În continuare vom prezenta o formu
Page 131 and 132:
evident t M = t M şi vom nota M *
Page 133 and 134:
Corolar 1.23. Fie m, n∈N * cu 2
Page 135 and 136:
Raţionând inductiv deducem existe
Page 137 and 138:
Observaţia 2.2. Matricea M * const
Page 139 and 140:
Baza M c 1 c M I2 I2 c 2 c 1 2 e 1
Page 141 and 142:
Observaţia 2.7. În condiţiile Te
Page 143 and 144:
Pentru a demonstra că ( l M 1 , M
Page 145 and 146:
145 Calculând acum cei doi minori
Page 147 and 148:
147 [S] ⎧a11x1 + ... + a1n xn = b
Page 149 and 150:
Exemplu. Să considerăm în R sist
Page 151 and 152:
D r , j a n ( x1,..., xn ) = ⋅x
Page 153 and 154:
Demonstraţie. Fie α, β∈K şi x
Page 155 and 156:
(ii) Numai soluţia banală dacă
Page 157 and 158:
Lema 3.11. Dacă pentru o valoare p
Page 159 and 160:
159 Într-adevăr, dacă λ∈K est
Page 161 and 162:
Aplicaţia < , > : R n ×R n →R p
Page 163 and 164:
în Lema 1.1. deducem că putem ale
Page 165 and 166:
z j 165 = m ∑ t= 1 • z ~ = (z 1
Page 167 and 168:
167 c λ 1 … λ m λ m+1 … λ j
Page 169 and 170:
Acest fapt poate produce fenomenul
Page 171 and 172:
171 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛
Page 173 and 174:
⎛ a11 a12 ... a1m a1, m+ 1 ... a1
Page 175 and 176:
⎧ ⎧x1 − x2 + 2x3 + 2x4 = −2
Page 177 and 178:
z 2 3 3 0 1/3 4/3 40/3 Δ 0 2 0 0 1
Page 179 and 180:
⎛1 3 −1 0 0 1 0 0⎞ a ⎜ ⎟
Page 181 and 182:
Exemple de probleme de programare l
Page 183 and 184:
Dacă se notează cu c j beneficiul
Page 185 and 186:
deci I 2 ={5} astfel că pentru a d
Page 187 and 188:
t t , ) ( , ) ( ~ t t t b x y = b x
Page 189 and 190:
De exemplu, dacă f:R 3 →R, este
Page 191 and 192:
Egalităţile (4) se scriu matricea
Page 193 and 194:
∆ i Teorema 2.5. (Jacobi). Dacă
Page 195 and 196:
În sfârşit căutăm pe e´3 pe s
Page 197 and 198:
Bibliografie 1. Atiyah M., Mac Dona
Page 199:
16. Vladimirescu I., Matematici spe
show all

Algebra liniara

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?