Algebra liniara

g
f
exact în Mod s (A), atunci 0 ⎯ ⎯→ P * ⎯⎯→
t
N * ⎯⎯→
t
M * este un şir
exact în Mod d (A), iar dacă M ⎯ ⎯→
f
N este un epimorfism în Mod s (A),
atunci t f:N * →M * este un monomorfism în Mod d (A).
De asemenea, dacă M ⎯ ⎯→
f
N este un este izomorfism în
Mod s (A), atunci t f:N * →M * este un izomorfism în Mod d (A) şi în plus
t (f -1 )=( t f) -1 .
Definiţia 2.38. Fie M∈Mod s (A). Prin bidualul lui M
înţelegem A-modulul la stânga M ** =(M * ) * .
Propoziţia 2.39. Aplicaţia ρ M :M→M ** definită prin
ρ M (x)(f)=f(x) pentru orice x∈M şi f∈M * este un morfism de
A-module stângi (numit morfismul canonic al lui M în bidualul său).
Demonstraţie. Într-adevăr, dacă x, y∈M şi a∈A atunci a proba
că ρ M (x+y)=ρ M (x)+ρ M (y) şi că ρ M (ax)=a⋅ρ M (x) revine la a proba că
pentru orice f∈M * avem f(x+y)=f(x)+f(y) şi f(ax)=a⋅f(x), ceea ce este
evident. Corectitudinea definirii lui ρ M rezultă din aceea că dacă f,
g∈M * , atunci ρ M (x)(f+g)=(f+g)(x)=f(x)+g(x)=ρ M (x)(f)+ρ M (x)(g) şi
ρ M (x)(fa)=(fa)(x)=f(x)a=ρ M (x)(f)a. ∎
Pentru orice morfism f:M→N din Mod s (A) avem următoarea
diagramă comutativă din Mod s (A):
ρ M
M
f
N
ρ N
M ** N **
tt f
unde tt f= t ( t f).
36