Algebra liniara

( K, p
M, N
Se probează imediat că K este submodul al lui K iar
p ) = M N . ∎
∏ P
Fie M un A-modul iar (M i ) i∈I o familie de submodule ale lui M.
Pentru i∈I prin β i :M i →M vom desemna morfismul incluziune.
Definiţia 3.13. Vom spune despre familia (M i ) i∈I de
submodule ale lui M că este independentă (sau că ∑M ieste directă)
i∈I
dacă pentru orice i∈I,
Considerăm C
i∈I
⎛ ⎞
M i
I ⎜ ∑ M j
⎟= 0 (vezi şi Definiţia 3.5.).
⎝j∈I\
{} i ⎠
M i
şi v:C
i∈I
M i
→M ca fiind unicul morfism de
A-module cu proprietatea că v∘α i =β i pentu orice i∈I ((α i ) i∈I fiind
morfismele canonice ale sumei directe definite în demonstraţia
Propoziţiei 3.1). De fapt, dacă x∈CM i
, x=(x i ) i∈I cu J=supp(x) finită,
atunci v se defineşte prin v(x)=∑
i∈J
avem un rezultat mai general:
i∈I
x. Ţinând cont şi de Propoziţia 3.4.
Teorema 3.14. Cu notaţiile de mai sus următoarele afirmaţii
sunt echivalente:
(i) Familia (M i ) i∈I este independentă
(ii) Pentru orice parte finită J⊆I, familia (M i ) i∈J este
independentă
⎛
⎞
(iii) C M = ⎜∑M
( )
i
i,
βi
i∈I
⎟
i∈I
⎝ i∈I
⎠
(iv) v este monomorfism
(v) Orice element x∈∑M are o unică scriere
i
x=∑x, cu
i
i∈I
i∈I
x i ∈M i iar supp((x i ) i∈I ) este finită.
Demonstraţie. (i)⇒(ii). este evidentă
i
48