Algebra liniara

(i′) (x+y)a=xa+ya
(ii′) x(a+b)=xa+xb
(iii′) (xa)b=x(ab)
(iv′) x·1=x.
Faptul că M este un A-modul la stânga (dreapta) se mai notează
şi prin A M (M A ).
Observaţia 1.2. 1. Dacă A o este inelul opus lui A (adică inelul
în care operaţia de adunare coincide cu cea de pe A iar înmulţirea de pe
A o se defineşte pentru a, b∈A prin a○b=ba) atunci orice A-modul stâng
M devine în mod canonic A o -modul drept (şi reciproc), definind pentru
x∈M şi a∈A o înmulţirea cu scalari prin x∗a=ax. De fiecare dată noul
modul astfel obţinut se va nota prin M o şi se va numi opusul lui M.
Astfel, în cazul în care inelul A este comutativ, cum A coincide cu A o ,
noţiunile de A-modul la stânga şi la dreapta coincid; în acest caz,
despre M vom spune pur şi simplu că este A-modul.
2. În cazul în care inelul A este un corp K, atunci orice K-modul
la stânga (dreapta) M se zice spaţiu vectorial la stânga (dreapta) peste
K (sau K-spaţiu vectorial). De obicei, în acest caz grupul aditiv abelian
M se notează prin V iar elementele lui V se numesc vectori.
În cele ce urmează (dacă nu menţionăm contrariul) prin
A-modul (sau modul dacă nu este pericol de confuzie), vom înţelege un
A-modul la stânga, (noţiunile şi rezultatele transpunându-se direct şi
pentru A-modulele la dreapta). Adoptăm aceeaşi convenţie şi pentru
K-spaţiile vectoriale.
Exemple 1. Inelul A devine în mod canonic A-modul
considerând înmulţirea de pe A ca înmulţirea cu scalari.
2. Dacă (G, +) este grup abelian, atunci G devine în mod
canonic Z-modul definind pentru n∈Z şi x∈G înmulţirea φ cu scalari
6