П. А. Флоренский / Мнимости в геометрии: расширение области ...

Оrраничивая.сь теnерь такими КОJJЛiшеарньн.ш
преобразоваm1ями, длн ноторых
iD.Mi=1, (12)
т. е. истинньн .. Jи движениями обрааа , как неrlаменя е ­
мой rеометричесхоА системы, мы замечаем следующе е :
1. При таких преобраэован11ях абсолютпаи в еличина
nлощади не меняется:
16.' 1=16. 1 [1 3]
2. Знах площади может быть как полож11тельным ,
так и отрицательным , в зависимости от анака при lJ
или при D., тогда каt; знак М существенно положи -
телен.
Знак детерминанта 3амещения D не :может н е быть ,
в случае истинных движений, положителен; в противном
случае, всякое, даже бесконечно-малое перемещение
треуi'Ольника, меняJю бы энак площади, а это
ке соответствовало бы непрерывной11 движенин. Вариирул
координаты вершин треугольника , т. е. ааменяя
:С11 , у11 , z~ чреэ х~ --t-гх~ , Y.~- +tyk, z.+tг-11 (где k= 1, 2, 3).
по неnрерывности детерминанта, как функции его
элементов, мы не можем персменить его знака, инач е,
как лрох.одл чрез ну .. 1ь , а нулем площадь треугольник а
стать не может. Следовательно, nри кодлинеарных npe·
образованиях площадь не менлет своеi'О анака. А, еле ·
довате.'lьно, знак детер;-.mнанта замещения должен быть
положителен, т. к. в противном случае и знак,-каков а
бы ни была вариацил,-непременно менялея бы.
§ 3. Коллинеарные преобразования площади не
меняют ел знака, по крайней :мере nокуда они имею т
кинематический смысл движений в пределах рассма·
триnаемого плоского пространства. Но это не значит.
чтобы такое изменение знака было в о о б щ е невозможно.
Предаоложим, что мы подняли рассматриваемый треуголь ­
ШiК АВО н ад плос1шстью Р, т. е., воспользовавшись
mpemtu.и иэмерением прострпнства, перевернули треугольник
и снова по.'lожили nлашмя на шюскость Р(чер -
16