8 Dynamika Soustav Těles Uvolňováním-cvičení

40
8 DYNAMIKA SOUSTAV TĚLES
Řešení pohybu soustav těles lze řešit v zásadě 3 základními způsoby:
1/ Uvolňováním jednotlivých těles ze soustavy a sestavením pohybových rovnic (ať již
Newtonovým nebo D´Alembertovým způsobem) pro jednotlivá tělesa. Vazby mezi tělesy se
přitom zohlední pomocí příslušných kinematických vztahů. Metodu uvolňování hlavně
používáme v případě, kdy nás zajímají hodnoty reakcí (např. jsou-li od těchto hodnot závislé
pasivní odpory). Nevhodné pro složité soustavy
2/ Použitím věty o změně kinetické energie, zákonů zachování energie, hybnosti, momentu
hybnosti tak jak byli zmiňovány pro soustavu hmotných bodů.
3/ Použitím metod analytické mechaniky tj. aplikací principu virtuální práce, metodou redukce
hmotových a silových veličin, obecné rovnice dynamiky, Lagrangeových rovnic II. apod.
Sestavování pohybových rovnic pomocí uvolňování
Př. 2. Tělesa o hmotnostech m
1
, m2
jsou postavena jedno na druhé ve výtahu, který se
pohybuje svisle vzhůru konstantním zrychlením a . Určete tlak N
2
mezi tělesem a
podlahou výtahu.
Řešení:
Podobně rovnice dynamické rovnováhy pro těleso 2:
N
2
− N1
− m2
⋅ g − m2
⋅ a = 0 , tedy
N
2
= N1
+ m2
⋅ g + m2
⋅ a
N m + m ⋅ g + a
( ) ( )
2
=
1 2
Na těleso 1 působí setrvačná síla:
m ⋅ a
F s
=
1 1
,
obdobně na těleso 2:
m ⋅ a
F s
=
2 2
.
Rovnice dynamické rovnováhy pro těleso
1:
N − m ⋅ g − F 0
1 1 s
=
1
1
− m1
⋅ g − m1
⋅ a = 0
1
= m1
⋅ g + m1
⋅ a = m1
N
N ⋅ g + a
( )
40

41
41

42
42

43
a
r
a
r
43

44
SL. 6.21 Vozík, jehož korba má hmotnost M a čtyři kola o celkové hmotnosti m se rozjíždí po
svahu, jehož sklon je β. Valivé odpory a tření v čepech zanedbáme.
a-Vypočítejte zrychlení a v vozíku, jestliže jednotlivá kola se odvalují a považujeme je za
2( M + m)sin
β
stejnorodé válce. [ av
=
g ]
2M
+ 3m
b-Při jaké hodnotě součinitele smykového tření f min začne docházet ke smýkání kol, které
m
z nich se začnou smýkat při l 1 =l 2 =h. [f min = tg 2 M + 3 m β ]
l 1
l 2
m/4
M T
m/4
h
α
β
44

45
2.18.
Malíř pracuje na závěsné sedačce (obr.2.12). Jeho hmotnost je m 1 =72 kg. Potřebuje se rychle i
se sedačkou zvednout. Táhne za provaz takovou silou, že se jeho tlak na sedačku zmenší na
N=400N. Sedačka samotná má hmotnost m 2 =12 kg. Hmotnost kladky zanedbejte. a) Jak velké
je zrychlení malíře a sedačky? b) Jak velké je celkové zatížení kladky?
−2
3,33ms , 1120N
[ ]
45

46
46

47
Metoda redukce silových a hmotových veličin
V případě velkého počtu členů je při metodě uvolňování i velký počet sestavovaných
pohybových rovnic. Pokud nás nezajímají hodnoty reakcí, studovaná soustava těles má jeden
stupeň volnosti a zajímáme se jen o kinematiku některého z členů, je vhodné použití metody
redukce. Pohyb soustavy s jedním stupněm volnosti lze vyjádřit pohybem myšleného členu,
který se pohybuje shodně se zvoleným reálným členem soustavy. Na tento zvolený člen
redukujeme všechny hmoty i všechny pracovní silové účinky. Těleso, na které provádíme
redukci, může konat buď rotační pohyb nebo posuvný pohyb. Přitom platí
M
red
= Ired
α , (8.18)
resp.
Fred
= mred
a . (8.19)
Potřebné redukované veličiny určíme z rovnosti kinetických energií skutečné a redukované
soustavy
[ E k
] skutečná
[ E k
] redukovaná
= , (8.11)
z rovnosti výkonů skutečné a redukované soustavy
P = P
(8.12)
[ ] [ ]
skutečný
redukovaný
Příklad 8.8 Určete zrychlení břemene u zdvihacího ústrojí (viz. obr.8.12).
Řešení: Jako základní (redukční) člen si zvolíme posouvající se břemeno 5, jeho poloha je
určena souřadnicí y, jeho rychlost je v= yɺ , zrychlení a= yɺɺ .
Kinetická energie soustavy je dána výrazem
1 1 1 1
EK
= I ɺ ɺ ɺ ϕ
) ɺ
2 2 2 2
kde ϕ
i
jsou úhly natočení jednotlivých členů. Zdvihací ústrojí je soustavou s konstantními
převody. Úhlové rychlosti a úhly natočení hřídelů jsou
2 R3
2 R3
ϕɺ
2
= v ⇒ ϕ2
= y ,
r r
r r
2
2
2
2
2
ϕ
2
+ I3
ϕ3
+ I4
4
+ ( m4
+ m5
y , (a)
2
3
3
2v
2 y
ϕɺ
3
= ⇒ ϕ3
= ,
r
r
v
y
ϕɺ
4
= ⇒ ϕ4
= .
r
r
4
4
3
2
3
(b)
Vztah (a) pro kinetickou energii soustavy můžeme s využitím vztahů (b) přepsat do tvaru
2
1 ⎡ ⎛ 2 R ⎞
3
4 I3
I ⎤
4
2 1 2
E
K
= ⎢ I2
m
2 2 4
m5
v mred
v
2
⎜
⎥ =
r2
r
⎟ + + + +
, (c)
⎢
3
r3
r4
⎥ 2
⎣ ⎝ ⎠
⎦
odkud pro redukovanou hmotnost m
red
plyne
2
⎛ 2 R ⎞
3
4 I3
I4
mred = I2
⎜ + + + m4
+ m5
= konst.
2 2
r2
r
⎟
. (d)
⎝ 3 ⎠ r3
r4
Zanedbáme-li pasivní odpory, výkon pracovních silových účinků M a ( + m ) g je
m4
5
P
= M ϕɺ
2
− ( m4
+ m5
) g v , (e)
což využitím prvního výrazu ze soustavy (b) dává
47

48
α 2
α 3
a) b)
I 3
M
r 2
r
R 3
F red
2
I 2
3
m red
a
r 4
4
q=y
m 4 , I 4
α 4
y
5
m 5
a tudíž podle (8.10) platí
Obr.8.12. Schéma zdvihacího mechanismu - a), redukce na posouvající člen 5 - b).
⎡ 2 R
= ⎢ M
⎣ r2
r
3
P
5
3
⎤
− ( m4
+ m ) g ⎥ v , (f)
⎦
2 R3
= M − ( m4
+ m ) g . (g)
r r
Fred
5
2 3
Dosazením výrazů (g) a (e) do rovnice Fred = mred
a dostaneme pohybovou rovnici
zdvihacího ústrojí ve tvaru
2
2 R ⎡
3 ⎛
2 R3 ⎞
4 I3 I
⎤
4
M − ( m4 + m5 ) g = ⎢
I2 ⎜
⎟
+ + + m
2 2 4 +
m5
⎥
a . (h)
r2 r3 ⎢
r2 r3 r3 r
⎣
⎝
⎠
4
⎥
⎦
48

49
Příklad 8.9. Vyšetřete dobu rozběhu předlohové převodovky (obr.8.13), která je poháněna
konstantním hnacím momentem M
2
působícím na vstupní hřídel 2, a to z klidu na
1
požadované otáčky n
2
( min − ). Výstupní hřídel 4 nechť je zatížen konstantním momentem
M
4
. Pasivní odpory neuvažujte.
z 4
M 4
4
ϕ 4
z 3
3´
ϕ 3
z´3
3
M 2
2
z 2
ϕ 2
Obr.8.13. Schématické znázornění předlohové převodovky.
Řešení. Za základní (redukční) člen vybereme vstupní hřídel 2, který koná rotační
pohyb. Kinetická energie soustavy je dána výrazem
1 2 1 2 1 2
EK
= I ɺ
2
ϕ2
+ I ɺ
3
ϕ3
+ I ɺ
4
ϕ4
.
2 2 2
Uvážíme-li, že platí
z 2
z′
ɺ ϕ ϕ
3 = ɺ
2 ,
3
z2
z′
3
ɺ ϕ4
= ɺ ϕ3
= ɺ ϕ2
,
z3
z4
z3
z4
potom můžeme pro kinetickou energii psát
2
2
1 ⎡ ⎛ z ⎞ ⎛
2
z2
z′
⎞ ⎤
3
2 1 2
EK
= ⎢ I2
+ I3
I4
⎥ ɺ ϕ2
= I ɺ
red
ϕ2
2
⎜
⎢ z
⎟ +
⎜
3
z3
z
⎟
,
4 ⎥ 2
⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎦
odkud pro redukovaný moment setrvačnosti plyne
2
⎛ z ⎞ ⎛ z z′
⎞
2
2 3
Ired = I2
+ I3
⎜ I4
= konst.
z
⎟ +
⎜
3
z3
z
⎟
⎝ ⎠ ⎝ 4 ⎠
Zanedbáme-li pasivní odpory, které jsou závislé na rychlostních a akceleračních poměrech
mechanismu, je výkon pracovních silových účinků (zde dvojic M
2
a M
4
)
⎡ z2
z′
⎤
3
P
= M ɺ
2
ϕ2
− M ɺ
4
ϕ4
= ⎢ M
2
− M
4 ⎥ ɺ ϕ2
= M ɺ
red
ϕ2
,
⎣ z3
z4
⎦
odkud vyplývá pro redukovaný moment výraz
2
49

50
M
z′
2 3
red
= M
2
− M
4
.
z3
z4
Protože převodové ústrojí je soustavou s konstantními převody, pohybová rovnice má tvar
(8.18). Z ní dostaneme úhlové zrychlení vstupního hřídele
z2
z′
3
M
2
− M
4
M
red
z3 z4
α
≡ ɺɺ ϕ2 = =
.
2 2
Ired
⎛ z2 ⎞ ⎛ z2
z′
3
⎞
I2 + I3 ⎜ ⎟ +
I4
⎜ ⎟
⎝ z3 ⎠ ⎝ z3 z4
⎠
Za předpokladu
z2
z′
3
z2
z′
3
M
2
− M
4
> 0 ⇒ M
2
> M
4
,
z z
z z
3
4
je rozběh rovnoměrně zrychlený a potřebný čas pro dosažení otáček n
2
je
t
R
π n2
π n
= =
30α
30
2
2
I
2
+ I
3
z
2
⎛ z ⎞ ⎛
2
z2
z′
⎞
3
⎜ I4
z
⎟ +
⎜
3
z3
z
⎟
⎝ ⎠ ⎝ 4 ⎠
z2
z′
3
M
2
− M
4
z z
3
4
3
4
2
.
50

51
51

52
Postup při sestavení pohybové rovnice pomocí metody redukce při konstantních převodech:
1-Ověříme, zda soustava má 1 0 volnosti.
2- Do pracovního schématu zakreslíme všechny pracovní silové účinky
3-Analyzujeme vazby, není – li některá ideální, příslušný vazební silový účinek zahrneme do
pracovních
4-Soustavou myšleně pohneme. Zakreslíme vektory virtuálních přemístění δ r
j
, δϕ
j
v místech
působišť pracovních sil a pracovních momentů
5- Pokud redukujeme na i-tý člen soustavy, který je translační, pak jeho virtuální posunutí
δ r = δ r = δ r zvolíme jako základní. Všechna zbylá posunutí vyjádříme pomocí tohoto
i
red
základního tj. nalezneme vztahy δr j = f j (δr ) a δϕ f ( δ r)
j
= . Pokud redukujeme na rotační člen,
pak jako základní bereme pootočení tohoto členu δϕi = δϕred
= δϕ a nalezneme vztahy
δ r f δϕ δϕ = f δϕ . Přitom používáme geometrické souvislosti mezi souřadnicemi,
j
= ( ) a ( )
j
j
j
podmínku valení a kinematické vztahy mezi rychlostmi bodů nebo úhlovými rychlostmi těles
6- Napíšeme vztah pro kinetickou energii celé soustavy (jednotlivé rychlosti přitom vyjádříme
pomocí rychlosti redukovaného členu) a členu redukovaného. Z rovnosti obou energií tj. ze vztahu
[ E k
] skutečná
= [ E k
] redukovaná
zjistíme hodnotu redukované hmotnosti resp. redukovaného momentu
setrvačnosti
7- Napíšeme vztah pro virtuální všech práci všech pracovních sil a pracovních momentů
působících v rámci dané soustavy, přitom se řídíme pravidly pro skalární násobení vektorů sil a
vektorů virtuálních přemístění znázorněných na pracovním schématu. Z rovnosti obou virtuálních
δ A = δ A zjistíme redukovanou sílu resp. redukovaný
prací tj. ze vztahu [ ] [ ]
skutečná
redukovaná
moment. Vzhledem k tomu, že u konstantních převodů jsou vztahy mezi rychlostmi a virtuálními
posunutími stejné, můžeme redukovanou sílu resp. redukovaný moment určit také z rovnosti
P = P
výkonů tj. ze vztahu [ ] [ ]
skutečný
redukovaný
8- V případě redukce na translační člen pak zjistíme zrychlení členu na který byla prováděna
redukce ze vztahu
Fred
= mred
a
resp. v případě redukce na rotační člen ze vztahu
M = I α
red
red
j
52

53
53