+ + Ð (Ð) - ÐомоÑÑ ÑÑÑденÑам
+ + Ð (Ð) - ÐомоÑÑ ÑÑÑденÑам
+ + Ð (Ð) - ÐомоÑÑ ÑÑÑденÑам
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
И.П. ЕГОРОВА<br />
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА.<br />
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ<br />
ВЕРОЯТНОСТЕЙ<br />
И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ<br />
СТАТИСТИКИ<br />
f(x)<br />
= 1<br />
= 3<br />
= 7,5<br />
0<br />
x<br />
Сызрань<br />
Сызранский филиал<br />
Самарского государственного технического университета<br />
2009
Федеральное агентство по образованию<br />
Государственное образовательное учреждение<br />
высшего профессионального образования<br />
«Самарский государственный технический университет»<br />
Филиал в г. Сызрань<br />
И.П. ЕГОРОВА<br />
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА.<br />
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ<br />
И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ<br />
Утверждено научно-методическим советом механического факультета<br />
Сызранского филиала Самарского государственного технического<br />
университета в качестве учебного пособия<br />
Сызрань<br />
Сызранский филиал<br />
Самарского государственного технического университета<br />
2009
УДК 378.147:51<br />
Е30<br />
Р е ц е н з е н т ы :<br />
канд. физ.-мат. наук, доцент В.Б. Кислинский,<br />
канд. физ.-мат. наук, доцент В.Н. Анисимов<br />
Егорова И.П.<br />
Е30 Высшая математика. Элементы теории вероятностей и математической<br />
статистики: учеб. пособ. / И.П. Егорова. Сызранский филиал Самар.<br />
гос. техн. ун-та. Сызрань, 2009. 140 с.<br />
ISBN<br />
Учебное пособие можно рассматривать как курс 10 лекций по одному из<br />
разделов высшей математики "Элементы теории вероятностей и математической<br />
статистики". Рассмотрены основные понятия, свойства, теоремы и формулы,<br />
необходимые для успешного изучения указанного раздела, которые сопровождаются<br />
достаточным количеством задач.<br />
Несмотря на то, что материал представлен в краткой форме, основные вопросы<br />
изложены достаточно полно.<br />
Предназначено для инженерных, экономических и других нематематических<br />
вузовских специальностей.<br />
УДК 378.147:51<br />
Е30<br />
ISBN И.П. Егорова, 2009<br />
Сф СамГТУ, 2009
Учебное издание<br />
ЕГОРОВА Ирина Петровна<br />
Высшая математика.<br />
Элементы теории вероятностей и математической статистики<br />
Редактор Г.В. Загребина<br />
Верстка Е.Э. Парсаданян<br />
Выпускающий редактор Н.В. Беганова<br />
Подписано в печать 20.12.09.<br />
Формат 6084 1 16<br />
. Бумага офсетная. Печать офсетная.<br />
Усл. п. л. 8,14. Уч-изд. л. 2,89.<br />
Тираж 100 экз. Рег. №<br />
Государственное образовательное учреждение<br />
высшего профессионального образования<br />
"Самарский государственный технический университет"<br />
443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244. Главный корпус<br />
Отпечатано в типографии Сф СамГТУ<br />
446001, Самарская обл., г. Сызрань, ул. Советская. 45.
ВВЕДЕНИЕ<br />
До появления теории вероятностей как действительно общепризнанной<br />
теории в науке господствовал детерминизм, согласно которому<br />
осуществление определенных условий однозначно определяет<br />
результат. Классическим примером является механика: если известны<br />
начальное положение, скорость материальной точки и действующие<br />
силы, то можно определить ее дальнейшее движение. Развитие<br />
этого подхода привело знаменитого французского математика и механика<br />
П. Лапласа к своеобразной механистической модели мироздания.<br />
Однако практика показала, что этот подход далеко не всегда<br />
применим. Во многих случаях предсказать наступление определенного<br />
явления при реализации соответствующих условий невозможно,<br />
оно может произойти, а может и не произойти. Например, в механике<br />
мы никогда абсолютно точно не знаем начальных данных, действующих<br />
сил, следовательно, и в дальнейшем движении есть некоторая<br />
неопределенность. Развитие науки, в особенности физики, еще<br />
более поставило под вопрос единственность детерминистического<br />
подхода к изучению многих явлений. Более того, многие выдающиеся<br />
естествоиспытатели и философы современности склонны даже<br />
считать, что все без исключения законы природы на самом деле имеют<br />
вероятностный характер. Еще больше сомнений в справедливости<br />
детерминизма дало развитие естествознания (генетика, медицина и<br />
др.) и общественных наук (экономика, в частности страховое дело,<br />
демография и так далее).<br />
Приведем более простые примеры: при бросании монеты она<br />
может упасть кверху гербом или цифрой; продолжительность жизни<br />
определенного человека заранее неизвестна. Число таких примеров из<br />
различных областей науки и техники можно неограниченно продолжить.<br />
3
Индивидуальные результаты таких опытов непредсказуемы, однако<br />
их многократное повторение приводит к интересным закономерностям.<br />
Если бросить одну монету, никто не сможет предсказать, какой<br />
стороной она упадет кверху, но если бросить две тонны монет, то<br />
каждый скажет, что примерно одна тонна монет упадет кверху гербом.<br />
4<br />
Раздел I. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ<br />
Лекция № 1. ПРЕДМЕТ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ<br />
1.1. Основные определения<br />
В окружающем нас мире можно наблюдать события (явления),<br />
которые обязательно произойдут, если будет осуществлена определенная<br />
совокупность условий. Такие события принято называть достоверными.<br />
Например, если нагреть в сосуде воду до температуры<br />
100 при нормальном атмосферном давлении, то обязательно наступит<br />
процесс кипения воды. Если в урне находятся только цветные<br />
шары и из урны наугад извлечен шар, то событие "извлечен цветной<br />
шар" произойдет обязательно. Событие, которое заведомо не произойдет,<br />
если будет осуществлена определенная совокупность условий,<br />
называется невозможным событием. Например, если в ящике<br />
имеются только стандартные детали и из ящика наугад извлечена деталь,<br />
то невозможно будет событие "извлечена нестандартная деталь".<br />
Однако подобная однозначность далеко не всегда имеет место.<br />
Часто приходится сталкиваться с событиями, которые при осуществлении<br />
определенных условий могут произойти, а могут и не произойти.<br />
Такие события называются случайными. Совокупность условий,<br />
при осуществлении которых случайное событие может либо<br />
произойти, либо не произойти, будем называть испытанием или<br />
опытом. Например, "брошена монета" – испытание, "появление герба"<br />
– случайное событие; "произведен выстрел по мишени" – испытание,<br />
"попадание" – случайное событие; "брошена игральная кость"<br />
(однородный кубик, на гранях которого отмечено от одного до шести<br />
очков) – испытание, "выпадение четырех очков" – случайное событие.
Случайные события обозначаются заглавными буквами латинского<br />
алфавита А, В, С, … Например, событие А – "попадание в мишень<br />
при стрельбе", событие В – "появление герба при бросании монеты".<br />
Достоверное событие будем обозначать буквой U, невозможное<br />
V.<br />
Отметим, что всякое случайное событие является следствием<br />
очень многих причин. Например, выпадение герба или цифры при<br />
бросании монеты зависит от силы, с которой брошена монета, ее<br />
формы, сплава и многих других причин. Попадание или промах при<br />
стрельбе зависят от расстояния до мишени, формы и веса пули (снаряда),<br />
от направления и силы ветра и других случайных причин. В<br />
связи с этим невозможно заранее предсказать, произойдет единичное<br />
событие или нет. Иначе обстоит дело при изучении многократно повторяющихся<br />
опытов.<br />
Оказывается, что однородные случайные события при многократном<br />
повторении опыта подчиняются определенным закономерностям.<br />
Изучением этих закономерностей и занимается теория вероятностей.<br />
Возникла теория вероятностей в середине XVII века. У ее истоков<br />
стояли французские математики Б. Паскаль и П. Ферма, а также<br />
голландский математик Х. Гюйгенс. В переписке между ними, вызванной<br />
анализом задач, связанных с азартными играми, формировались<br />
основные понятия теории вероятностей. При этом следует отметить,<br />
что выдающиеся ученые, решая различные задачи азартных игр,<br />
предвидели фундаментальную роль науки, изучающей случайные явления.<br />
Большое значение в становлении теории вероятностей как математической<br />
науки имели работы Я. Бернулли, А. Муавра, П. Лапласа,<br />
К. Гаусса, С. Пуассона. С середины XIX века и до двадцатых годов<br />
ХХ века развитие теории вероятностей связано в основном с именами<br />
русских ученых: П.Л. Чебышева, А.А. Маркова, А.М. Ляпунова и<br />
других. Неоценимый вклад в развитие теории вероятностей внесли<br />
5
советские ученые А.Н. Колмогоров, А.Я. Хинчин, Б.В. Гнеденко, Н.В.<br />
Смирнов и др.<br />
В настоящее время теория вероятностей характеризуется всеобщим<br />
подъемом интереса к ней, а ее методы находят широкое применение<br />
в различных отраслях науки и народного хозяйства.<br />
Наука о случайных явлениях завоевывает все новые и новые области<br />
применения. Теперь немыслимо успешное развитие теории<br />
массового обслуживания, теории информации, теории управления,<br />
теории надежности, физики, геодезии, астрономии, экономики и других<br />
разделов науки без четких представлений о случайных явлениях<br />
(событиях) и их закономерностей, к изучению которых мы приступаем.<br />
6<br />
1.2. Виды случайных событий<br />
Определение. Два события называются несовместными,<br />
если появление одного из них исключает появление другого.<br />
В противном случае события называются совместными.<br />
Пример 1. В ящике имеются стандартные и нестандартные детали.<br />
Наугад берут одну деталь. События А 1 – "появилась стандартная<br />
деталь" и А 2 – "появилась нестандартная деталь" являются несовместными<br />
событиями.<br />
Пример 2. Брошена игральная кость. Событие А 1 – "появление<br />
двух очков" и событие А 2 – "появление четного числа очков" совместны,<br />
так как появление одного из них не исключает появление другого.<br />
Определение. События А 1 , А 2 , …, А n называются попарно<br />
несовместными, если любые два из этих событий несовместны.<br />
Пример 3. Произведено два выстрела по мишени. События А 1 –<br />
"два попадания", А 2 – "только одно попадание", А 3 – "ни одного попадания"<br />
попарно несовместны.<br />
Определение. События А 1 , А 2 , …, А n образуют полную<br />
группу событий, если в результате данного испытания непременно<br />
произойдет хотя бы одно из них.<br />
Пример 4. Учащемуся на экзаменах достался билет с двумя теоретическими<br />
вопросами. События А 1 – "учащийся знает оба вопро-
са", А 2 – "учащийся знает первый вопрос, но не знает второго", А 3 –<br />
"учащийся знает второй вопрос, но не знает первого", А 4 – "учащийся<br />
не знает ни одного из вопросов" образуют полную группу событий,<br />
связанных с данным экспериментом.<br />
В теории вероятностей важную роль играет полная группа попарно<br />
несовместных событий, т.е. такая группа событий, что в результате<br />
данного испытания непременно произойдет одно и притом<br />
только одно событие данной системы.<br />
Пример 5. Из ящика, в котором имеются стандартные и нестандартные<br />
детали, наугад извлечены три детали. События А 1 – "все три<br />
детали стандартные", А 2 – "две детали стандартные и одна нестандартная",<br />
А 3 – "одна деталь стандартная и две нестандартные", А 4 –<br />
"все три детали нестандартные" образуют полную группу попарно<br />
несовместных событий.<br />
Различают события элементарные и составные.<br />
Пример 6. При однократном бросании игральной кости элементарными<br />
являются события: А 1 ={1} – "появление одного очка",<br />
А 2 ={2} – "появление двух очков", А 3 ={3} – "появление трех очков",<br />
А 4 ={4} – "появление четырех очков", А 5 ={5} – "появление пяти очков",<br />
А 6 ={6} – "появление шести очков". События В 1 ={1,3,5} – "появление<br />
нечетного числа очков", В 2 ={3,6} – "появление числа очков,<br />
кратного 3", В 3 ={1,2,3,4} – "появление числа очков, меньшего пяти"<br />
являются составными, так как их можно разложить соответственно на<br />
три {1}, {3}, {5}, два {3},{6} и четыре {1}, {2}, {3}, {4} элементарных<br />
события.<br />
Определение. События А 1 , А 2 , …, А n называются равновозможными,<br />
если условия испытания обеспечивают одинаковую<br />
возможность осуществления каждого из них.<br />
Пример 7. Появление того или иного числа очков при бросании<br />
игральной кости есть события равновозможные, так как игральная<br />
кость изготовляется из однородного материала и имеет строго симметричную<br />
форму.<br />
7
Определение. Множество всех элементарных событий,<br />
связанных с некоторым опытом, называется пространством<br />
элементарных событий.<br />
Каждое событие А определяется как подмножество в множестве<br />
элементарных событий пространства. При этом те элементарные события,<br />
при которых событие А наступает, называются благоприятствующими<br />
событию А.<br />
Очевидно, что невозможному событию не благоприятствует ни<br />
одно элементарное событие, т.е. оно совпадает с пустым множеством<br />
(поэтому его обозначают и символом Ø); достоверному событию<br />
благоприятствуют все элементарные события пространства.<br />
1.3. Операции над событиями<br />
Рассмотрим события: А – "появление трех очков при бросании<br />
игральной кости", А={3}, В – "появление нечетного числа очков при<br />
бросании игральной кости", В={1,3,5}.<br />
Очевидно, что если произошло событие А, то непременно произошло<br />
и событие В. В этом случае говорят: "А влечет за собой В"<br />
(или "В является следствием А") и записывают АВ (или ВА).<br />
Определение. Если события А и В таковы, что АВ и<br />
ВА, то они называется равными (равносильными), при этом<br />
пишут А=В.<br />
Пример 8. Брошена симметричная монета. Событие А "появление<br />
герба", событие В "непоявление цифры". Очевидно, что АВ<br />
и ВА, и следовательно, А=В.<br />
Определение. Суммой или объединением двух событий А<br />
и В называется событие С, состоящее в наступлении хотя бы<br />
одного из событий А или В.<br />
Символически это записывают так:<br />
С = А + В или С = А В. (1.1)<br />
Сумма событий интерпретируется как объединение (сумма) множеств<br />
(подмножеств множества элементарных событий) (рис. 1.1).<br />
8
Определение. Суммой или<br />
объединением нескольких событий<br />
А 1 , А 2 , …, А n называется событие<br />
С, состоящее в наступлении<br />
хотя бы одного из событий<br />
А 1 , А 2 , …, А n .<br />
Символически:<br />
С<br />
<br />
n<br />
А i<br />
i1<br />
А + В<br />
А<br />
Р и с. 1.1.<br />
В<br />
(1.2)<br />
Пример 9. Найти сумму событий А "появление одного очка<br />
при бросании игральной кости" и В "появление двух очков при<br />
бросании игральной кости".<br />
Суммой А+В является событие – "появление не больше двух очков<br />
при бросании игральной кости".<br />
Определение. Произведением или пересечением двух событий<br />
А и В называется событие С, состоящее в одновременном<br />
наступлении А и В.<br />
Символически произведение записывают так:<br />
С = А В или С = А В. (1.3)<br />
Если А и В несовместные события, то АВ = Ø, т.е. их пересечение<br />
пусто (невозможное событие).<br />
Геометрическая интерпретация произведения дана на рис. 1.2.<br />
Определение. Произведением<br />
или пересечением нескольких событий<br />
А 1 , А 2 , …, А n называется А<br />
В<br />
А В<br />
событие С, состоящее в одновременном<br />
наступлении всех событий<br />
А 1 , А 2 , …, А n .<br />
Р и с. 1.2.<br />
Символически:<br />
С<br />
<br />
n<br />
А i<br />
i1<br />
(1.4)<br />
9
Пример 10. Найти произведение событий А "студенту попался<br />
экзаменационный билет с четным номером" и В "студенту попался<br />
экзаменационный билет с номером, кратным пяти".<br />
Произведением АВ является событие – "студенту попался экзаменационный<br />
билет с номером, кратным десяти".<br />
Определение. Два случайных события называются противоположными,<br />
если одно из них происходит в том и только в<br />
том случае, когда не происходит другое. Событие, противоположное<br />
событию А, обозначают через А (читают "не А").<br />
Пример 11. Попадание и промах при выстреле по мишени –<br />
противоположные события. Если А – попадание, то А промах.<br />
Пример 12. Появление четного числа очков при бросании игральной<br />
кости – событие, противоположное появлению нечетного<br />
числа очков.<br />
Так как в результате испытания обязательно произойдет одно из<br />
противоположных событий, то противоположные события образуют<br />
полную группу попарно несовместных событий, т.е. А А есть<br />
достоверное, а А А невозможное события.<br />
1.3. Задания для самостоятельного решения<br />
1. Найти среди событий А i достоверные и невозможные:<br />
А 1 "появление 10 очков при бросании игральной кости";<br />
А 2 "появление 10 очков при бросании трех игральных костей";<br />
А 3 "появление 20 очков при бросании трех игральных костей";<br />
А 4 "наугад выбранное двузначное число меньше 100";<br />
А 5 "появление двух гербов при бросании двух монет".<br />
2. Являются ли несовместными события А 1 и А 2 :<br />
а) испытание – бросание монеты; события: А 1 – "появление герба",<br />
А 2 – "появление цифры";<br />
б) испытание – бросание игральной кости; события: А 1 – "появление<br />
трех очков", А 2 – "появление нечетного числа очков";<br />
10
в) испытание – бросание двух монет; события: А 1 – "появление<br />
герба на одной из монет", А 2 – "появление герба на второй монете"<br />
3. Являются ли равновозможными события А 1 и А 2 :<br />
а) испытание – бросание игральной кости; события: А 1 – "появление<br />
двух очков", А 2 – "появление пяти очков";<br />
б) испытание – бросание игральной кости; события: А 1 – "появление<br />
двух очков", А 2 – "появление четного числа очков";<br />
в) испытание – два выстрела по мишени; события: А 1 – "промах<br />
при первом выстреле", А 2 – "промах при втором выстреле"<br />
4. Образуют ли полную группу события:<br />
а) испытание – бросание монеты; события: А 1 – "появление герба",<br />
А 2 – "появление цифры";<br />
б) испытание – три выстрела по мишени; события: А 1 – "ни одного<br />
попадания", А 2 – "одно попадание", А 3 – "два попадания", А 4 –<br />
"три попадания".<br />
Являются ли они попарно несовместными<br />
5. Найти сумму событий:<br />
а) испытание – два выстрела по мишени; события: А "попадание<br />
с первого выстрела", В "попадание со второго выстрела";<br />
б) испытание – бросание игральной кости; события: А "появление<br />
одного очка", В "появление двух очков", С "появление<br />
трех очков";<br />
в) испытание – приобретение лотерейных билетов; события: А <br />
"выигрыш 10 рублей", В "выигрыш 20 рублей", С "выигрыш 25<br />
рублей"<br />
6. Найти произведение событий:<br />
а) испытание – два выстрела по мишени; события: А "попадание<br />
первым выстрелом", В "попадание вторым выстрелом";<br />
б) испытание – бросание игральной кости; события: А "непоявление<br />
трех очков", В "непоявление пяти очков", С "непоявление<br />
нечетного числа очков".<br />
7. Назовите противоположные события для событий:<br />
11
А – "выпадение двух гербов при бросании двух монет";<br />
В – "появление белого шара", если опыт состоит в извлечении<br />
одного шара из урны, в которой имеются белые, черные и красные<br />
шары;<br />
С – "пять попаданий при пяти выстрелах";<br />
D – "не более трех попаданий при пяти выстрелах";<br />
Е – "хотя бы одно попадание при пяти выстрелах".<br />
Лекция № 2. ЧАСТОТА И ВЕРОЯТНОСТЬ СОБЫТИЯ<br />
2.1. Классическое определение вероятности<br />
Пусть А – случайное событие, связанное с некоторым опытом.<br />
Повторим опыт n раз в одних и тех же условиях и пусть при этом<br />
событие А появилось m раз.<br />
Определение. Отношение m/n числа m опытов, в которых<br />
событие А появилось, к общему числу n проведенных<br />
опытов называется частотой события А.<br />
Оказывается, что при многократном повторении опыта частота<br />
события принимает значения, близкие к некоторому постоянному<br />
числу. Например, при многократном бросании игральной кости частота<br />
выпадения каждого из очков от 1 до 6 колеблется около числа<br />
1/6.<br />
Многократно проводились опыты бросания однородной монеты,<br />
в которых подсчитывали число появлений "герба", и каждый раз, когда<br />
число опытов было достаточно велико, частота события "выпадение<br />
герба" незначительно отличалась от 1/2. Для наглядности приводим<br />
табл. 2.1 результатов, полученных в XVIII в. французским естествоиспытателем<br />
Бюффоном и в начале ХХ в. – английским статистиком<br />
Пирсоном.<br />
12
Таблица 2.1<br />
Экспериментатор Число бросаний<br />
Число<br />
выпадений Частота<br />
герба<br />
Бюффон 4040 2048 0,5080<br />
К. Пирсон 12000 6014 0,5016<br />
К. Пирсон 24000 12012 0,5006<br />
Свойство устойчивости частоты случайного события было подмечено<br />
и на явлениях демографического характера. Посчитано, например,<br />
что частота рождения мальчика колеблется около числа<br />
0,517.<br />
Описанные в приведенных примерах явления, а также неоднократные<br />
наблюдения и других массовых явлений позволяют сделать<br />
вывод, что если опыт повторяется в одинаковых условиях достаточно<br />
большое количество раз, то частота некоторого события А приобретает<br />
статистическую устойчивость, колеблясь около некоторой постоянной<br />
величины р, к которой она все более приближается с увеличением<br />
числа повторений опыта.<br />
Определение. Постоянная величина р, к которой все более<br />
приближается частота событий А при достаточно большом<br />
повторении опыта, называется вероятностью события А<br />
и обозначается р = Р(А).<br />
На практике часто за численное значение вероятности события А<br />
приближенно принимается частота этого события, вычисленная при<br />
достаточно большом количестве опытов. Математическим обоснованием<br />
близости частоты m/n и вероятности р некоторого события А<br />
служит теорема Бернулли.<br />
Классический способ определения вероятности базируется на понятии<br />
равновозможных элементарных событий. Рассмотрим конкретный<br />
пример.<br />
Пример 1. При однократном подбрасывании правильной и однородной<br />
игральной кости пространство элементарных событий<br />
U={A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , A 5 , A 6 }. Учитывая однородность и симметричность<br />
13
кости, можно предположить, что выпадение любой грани, а следовательно,<br />
и наступление любого из событий А i ={i} (i=1,2,3,4,5,6), имеет<br />
одинаковый шанс, т.е. эти события равновозможны. В таком случае<br />
говорят, что вероятность каждого из этих событий равна 1/6, т.е.<br />
Р(А i )=1/6.<br />
Рассмотрим конечное пространство элементарных событий<br />
U={A 1 , A 2 , …, A n }, где A 1 , A 2 , …, A n попарно несовместные и равновозможные<br />
элементарные события. Пусть некоторому событию А<br />
благоприятствуют m из n элементарных событий пространства U.<br />
Определение. Вероятностью Р(А) события А называется<br />
отношение числа m элементарных событий, благоприятствующих<br />
событию А, к общему числу n равновозможных<br />
элементарных событий:<br />
Р(А) = m/n. (2.1)<br />
Из определения вероятности вытекают следующие ее свойства:<br />
1. 0 Р(А) 1, так как 0 m n (2.2)<br />
2. Р(U) = 1, так как Р(U) = m/n = n/n = 1 (2.3)<br />
3. Р(V) = 0, так как Р(V) = m/n = 0/n = 0 (2.4)<br />
Пример 2. В урне 3 белых и 9 черных шаров. Из урны наугад<br />
вынимают один шар. Какова вероятность того, что вынутый шар<br />
окажется черным (событие А)<br />
Имеем n = 12, m = 9, и поэтому Р(А) = 9/12 = 3/4.<br />
Пример 3. Набирая номер телефона, абонент забыл одну цифру<br />
и набрал ее наугад. Найти вероятность того, что набрана нужная<br />
цифра.<br />
Обозначим через А событие – набрана нужная цифра. Абонент<br />
мог набрать любую из 10 цифр, поэтому общее число возможных<br />
элементарных исходов равно 10. Эти исходы несовместны, равновозможны<br />
и образуют полную группу. Благоприятствует событию А<br />
лишь одни исход (нужная цифра лишь одна). Искомая вероятность<br />
равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к<br />
числу всех элементарных исходов: Р(А) = 1/10.<br />
14
Пример 4. Подбрасывают две игральные кости. Найти вероятность<br />
того, что на них в сумме выпадет 6 очков (событие А).<br />
При подбрасывании двух игральных костей общее число равновозможных<br />
элементарных исходов равно числу пар (х; у), где х и у<br />
принимают значения 1, 2, 3, 4 ,5, 6:<br />
(1; 1) (1; 2) (1; 3) (1; 4) (1; 5) (1; 6)<br />
(2; 1) (2; 2) (2; 3) (2; 4) (2; 5) (2; 6)<br />
(3; 1) (3; 2) (3; 3) (3; 4) (3; 5) (3; 6)<br />
(4; 1) (4; 2) (4; 3) (4; 4) (4; 5) (4; 6)<br />
(5; 1) (5; 2) (5; 3) (5; 4) (5; 5) (5; 6)<br />
(6; 1) (6; 2) (6; 3) (6; 4) (6; 5) (6; 6),<br />
т.е. n = 36. Событию А благоприятствуют пять пар: (1; 5), (2; 4),<br />
(3; 3), (4; 2), (5; 1), т.е. m = 5. Следовательно, искомая вероятность<br />
Р(А) = 5/36 0,139.<br />
В 1933 г. А.Н. Колмогоров ввел так называемое аксиоматическое<br />
определение вероятности. Согласно этому определению, числовая<br />
функция Р, определенная на множестве F всех событий, связанных<br />
с данным опытом, определяет вероятность любого события<br />
А F, если выполняются следующие аксиомы:<br />
1. 0 Р(А) 1 для любого А F,<br />
2. Р(U) = 1, где U достоверное событие,<br />
3. Р(А + В) = Р(А) + Р(В), если А и В несовместны.<br />
2.2. Ограниченность классического определения вероятности.<br />
Геометрическая вероятность<br />
Классическое определение вероятности предполагает, что число<br />
элементарных исходов испытания конечно. На практике же весьма<br />
часто встречаются испытания, число возможных исходов которых<br />
бесконечно. В таких случаях классическое определение неприменимо.<br />
Этот факт указывает на ограниченный характер определения.<br />
Указанный недостаток может быть преодолен введением понятия<br />
геометрической вероятности – вероятности попадания точки в об-<br />
15
ласть (в отрезок, как часть прямой; в область, как часть плоскости; в<br />
тело, как часть пространства).<br />
Пусть отрезок составляет часть отрезка L. На отрезок L наугад<br />
поставлена точка. Это означает выполнение следующих предположений:<br />
поставленная точка может оказаться в любой точке отрезка<br />
L, вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине<br />
этого отрезка и не зависит от его расположения относительно отрезка<br />
L. В этих предположениях вероятность попадания точки на<br />
отрезок определяется равенством<br />
Р = длина / длина L. (2.5)<br />
Пример 5. На отрезок ОА длины L числовой оси Ох наугад<br />
поставлена точка В(х). Найти вероятность того, что меньший из отрезков<br />
ОВ и ВА имеет длину, большую L/3. Предполагается, что<br />
вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка<br />
и не зависит от его расположения на числовой оси.<br />
Разобьем отрезок ОА точками С и D на 3 равные части. Требование<br />
задачи будет выполнено, если точка В(х) попадет на отрезок<br />
СD длины L/3. Искомая вероятность Р = (L/3) / L = 1/3.<br />
Пусть плоская фигура g составляет часть плоской фигуры G.<br />
На фигуру G наугад брошена точка. Это означает выполнение следующих<br />
предположений: брошенная точка может оказаться в любой<br />
точке фигуры G, вероятность попадания брошенной точки на фигуру<br />
g пропорциональна площади этой фигуры и не зависит ни от ее<br />
расположения относительно G, ни от формы g. В этих предположениях<br />
вероятность попадания точки в фигуру g определяется равенством<br />
Р = площадь g / площадь G. (2.6)<br />
Пример 6. На плоскости начерчены две концентрические окружности,<br />
радиусы которых 5 и 10 см соответственно. Найти вероятность<br />
того, что точка, брошенная наугад в большой круг, попадет в<br />
кольцо, образованное построенными окружностями. Предполагается,<br />
что вероятность попадания точки в плоскую фигуру пропорциональ-<br />
16
на площади этой фигуры и не зависит от ее расположения относительно<br />
большого круга.<br />
Площадь кольца (фигуры g) S g = (10 2 – 5 2 ) = 75.<br />
Площадь большого круга (фигуры G) S G = 10 2 = 100.<br />
Искомая вероятность Р = 75 / (100) = 0,75.<br />
Замечание. Приведенные определения являются частными случаями<br />
общего определения геометрической вероятности. Если обозначить<br />
меру (длину, площадь, объем) области через mes, то вероятность<br />
попадания точки, брошенной наугад (в указанном выше смысле)<br />
в область d – часть области D, равна<br />
Р =<br />
mes d<br />
. (2.7)<br />
mes D<br />
2.3. Элементы комбинаторики. Размещения, перестановки,<br />
сочетания<br />
При решении ряда задач требуется из элементов конечного множества<br />
по заданным правилам составлять различные комбинации и<br />
производить их подсчет. Такие задачи принято называть комбинаторными,<br />
а раздел математики, занимающийся их решением, комбинаторикой.<br />
Комбинаторика широко применяется в теории вероятностей,<br />
теории массового обслуживания, теории управляющих систем<br />
и вычислительных машин (основанием последних является математическая<br />
логика) и других разделах науки и техники.<br />
Чтобы определить сходства и различия комбинаторных задач,<br />
рассмотри следующие примеры.<br />
Пример 7. В группе 30 студентов. Сколькими способами могут<br />
быть выбраны староста и представитель в студенческий совет, если<br />
каждый студент может быть избран на одну из этих должностей (Из<br />
30 элементного множества создаются, и подсчитывается число всех<br />
двухэлементных подмножеств.)<br />
Итак, существует 30 способов выбрать одного студента на должность<br />
старосты из 30, представителем в студсовет от группы может<br />
17
стать любой из 29 оставшихся, тогда применяя правило произведения<br />
30×29 = 870 способов.<br />
Пример 8. Для проведения экзамена создается комиссия из двух<br />
преподавателей. Сколько различных комиссий можно составить из<br />
пяти преподавателей<br />
Обозначив для удобства преподавателей буквами А, В, С, D, Е,<br />
нетрудно выписать все возможные варианты для состава комиссии, а<br />
именно: АВ, АС, АD, АЕ, ВС, ВD, ВЕ, СD, СЕ, DЕ. Таким образом,<br />
число различных комиссий равно 10. Пример удалось решить<br />
простым перебором всех возможных случаев. Данный метод применим<br />
тогда, когда число элементов множества преподавателей конечно.<br />
Пример 9. Для дежурства в группе в течение недели (кроме<br />
воскресенья) выделены 6 студентов. Сколькими способами можно<br />
установить очередность дежурств, если каждый студент дежурит<br />
один раз<br />
В понедельник может дежурить любой из 6 человек, во вторник <br />
каждый из еще не дежуривших пяти человек. Следовательно, расписание<br />
дежурства на первые два дня можно составить 6×5=30 способами.<br />
На среду дежурного можно назначить 4 способами. Каждый из<br />
этих способов может комбинироваться с любым из 30 способов дежурных<br />
на понедельник и вторник. Таким образом, существует<br />
6×5×4 способов на первые три дня недели. Рассуждая аналогично,<br />
получим 6×5×4×3×2×1 = 6! = 720 способов.<br />
Рассмотрим, что общего в этих примерах и есть ли какая-либо<br />
существенная разница между ними.<br />
Прежде всего отметим, что во всех примерах речь идет о некотором<br />
конечном множестве элементов и о количестве его подмножеств,<br />
удовлетворяющих заданным требованиям.<br />
Различие заключается в том, что слова "различные подмножества"<br />
понимаются по-разному. Например, в примере 8 подмножества<br />
отличались по крайней мере одним элементом. Порядок следования<br />
элементов во внимание не принимался. В примере 7, наоборот, подмножества,<br />
отличающиеся друг от друга только порядком элементов,<br />
18
считались различными. В примере 9, подмножества отличались только<br />
порядком следования элементов.<br />
В комбинаторных задачах всегда необходимо подсчитать число<br />
всех подмножеств данного множества, удовлетворяющих определенным<br />
условиям. Мы рассмотрим основные типы комбинаций: размещения,<br />
перестановки и сочетания (без повторения элементов).<br />
Размещения. Пусть дано множество, состоящее из n элементов.<br />
Определение. Размещением из n элементов по m<br />
(0 m n) элементов называется упорядоченное подмножество,<br />
содержащее m различных элементов данного множества.<br />
Из определения вытекает, что размещения из n элементов по m<br />
элементов – это все m-элементные подмножества, отличающиеся составом<br />
элементов или порядком их следования.<br />
Число всех возможных размещений из n элементов по m элементов<br />
обозначают <br />
А m n и вычисляют по формуле:<br />
т<br />
А п = n (n – 1)(n – 2) … (n – m + 1). (2.8)<br />
Докажем формулу (2.8).<br />
Так как в качестве первого элемента может быть выбран любой<br />
из данных n элементов, то первый элемент можно выбрать n различными<br />
способами. Очевидно, что в качестве второго элемента<br />
можно выбрать любой из оставшихся n – 1 элементов, поэтому его<br />
можно выбрать n – 1 различными способами. Так как каждый из<br />
способов выбора первого элемента можно объединить с каждым из<br />
способов выбора второго элемента, то существуют n(n – 1) различных<br />
способов выбора первых двух элементов. Рассуждая аналогично,<br />
приходим к выводу, что существуют n(n – 1)(n – 2) различных способов<br />
выбора первых трех элементов и т.д. Наконец, существует<br />
n (n – 1)(n – 2) … (n – m + 1) способов выбора m различных элементов,<br />
т.е. имеет место равенство (2.8).<br />
А – первая буква французского слова arrangement, что означает "размещение,<br />
приведение в порядок".<br />
19
Умножив и разделив правую часть равенства (2.8) на произведение<br />
123 … (n – m), получим<br />
или<br />
m<br />
А n<br />
<br />
n<br />
n<br />
1n<br />
2...<br />
n<br />
m 1n<br />
m<br />
1<br />
2 3... n<br />
m<br />
m<br />
А n<br />
...3 2 1<br />
,<br />
n!<br />
(2.9)<br />
n<br />
m!<br />
Здесь n! = 123 … (n m) n (читается "эн факториал") и<br />
(n m)! = 123 … (n m 1)(n m) (читается "эн минус эм фактори-<br />
0 0 !<br />
ал"). Условимся считать 0! = 1, поэтому А 0 = =1.<br />
0!<br />
Пример 10. В группе из 30 студентов нужно выбрать старосту,<br />
профорга и физорга. Сколькими способами это можно сделать, если<br />
каждый из 30 учащихся активист-общественник, член профсоюза и<br />
спортсмен<br />
Искомое число способов равно числу размещений из 30 элементов<br />
по 3 элемента, т.е.<br />
3<br />
А 30. Положив в формуле (2.9) n = 30, m = 3,<br />
3<br />
получаем А 30 = 302928 = 24360.<br />
Перестановки. Пусть дано множество, состоящее из n элементов.<br />
Определение. Перестановкой из n элементов называется<br />
размещение из n элементов по n элементов.<br />
Так как каждая перестановка содержит все n элементов множества,<br />
то различные перестановки отличаются друг от друга только<br />
порядком следования элементов.<br />
Число всех возможных перестановок из n элементов обозначают<br />
) Р n . Из определения перестановок следует<br />
Р<br />
n<br />
<br />
А<br />
n<br />
n<br />
<br />
<br />
n!<br />
<br />
n n !<br />
<br />
n!<br />
<br />
0!<br />
n!<br />
n!<br />
1<br />
т.е. Р n = n! (2.10)<br />
) Р – первая буква французского слова permutation перестановка.<br />
20
Пример 11. Сколькими способами можно расставить на одной<br />
полке шесть различных книг<br />
Искомое число способов равно числу перестановок из 6 элементов,<br />
т.е.<br />
Р 6 = 6! = 123456 = 720.<br />
Сочетания. Пусть дано множество, состоящее из n элементов.<br />
Определение. Сочетанием из n элементов по m (0 m n)<br />
элементов называется любое подмножество, которое содержит m<br />
различных элементов данного множества.<br />
Следовательно, сочетания из n элементов по m элементов – это<br />
все m-элементные подмножества n-элементного множества, причем<br />
различными подмножествами считаются только те, которые имеют<br />
неодинаковый состав элементов. Подмножества, отличающиеся друг<br />
от друга лишь порядком следования элементов, не считаются различными.<br />
Число всех возможных сочетаний из n элементов по m элементов<br />
обозначают *)<br />
С m n и вычисляют по формуле<br />
m<br />
С n<br />
m<br />
n<br />
1 n<br />
2...<br />
n<br />
m 1<br />
An<br />
n <br />
<br />
(2.11)<br />
P<br />
m!<br />
m<br />
m<br />
Докажем формулу (2.11). Число А n размещений из n элементов<br />
по m найдем следующим образом. Сначала составим все возможные<br />
подмножества, содержащие по m различных элементов. Их число<br />
m<br />
равно С n . Затем в каждом из полученных таким образом подмножеств<br />
(сочетаний) сделаем все перестановки, в результате получим<br />
все размещения из n элементов по m. Так как число перестановок<br />
из m элементов равно m!, то число<br />
по m будет в m! раз больше, чем число<br />
m<br />
С n сочетаний из n элементов<br />
по m, т.е.<br />
m<br />
n<br />
m<br />
n<br />
m<br />
А = m! С = P m С .<br />
n<br />
m<br />
А n размещений из n элементов<br />
*) С – первая буква французского слова combination сочетание.<br />
21
Отсюда<br />
Так как<br />
m<br />
С n<br />
m<br />
А n<br />
m<br />
n<br />
1 n<br />
2...<br />
n<br />
m 1<br />
An<br />
n <br />
<br />
.<br />
P<br />
m!<br />
m<br />
n!<br />
, то<br />
n<br />
m!<br />
m<br />
С n<br />
n!<br />
(2.12)<br />
m!n<br />
m!<br />
m<br />
Число С n сочетаний из n элементов по m определяют по одной<br />
из формул (2.11) или (2.12).<br />
Пример 12. В бригаде из 25 человек нужно выделить четырех<br />
для работы на определенном участке. Сколькими способами это<br />
можно сделать<br />
Так как порядок выбранных четырех человек не имеет значения,<br />
то это можно сделать<br />
4<br />
С 25 способами. По формуле (2.11) находим<br />
4 25<br />
24 23<br />
22<br />
С 25 <br />
12650.<br />
1<br />
2 3<br />
4<br />
При решении комбинаторных задач наиболее часто применяются<br />
следующие основные правила:<br />
Правило суммы: если элемент а может быть выбран р способами,<br />
а элемент b q способами, то выбор "либо а, либо b " может<br />
быть осуществлен р + q способами.<br />
Правило произведения: если элемент а может быть выбран<br />
р способами, а элемент b q способами, то выбор "а и b " (пару<br />
элементов в указанном порядке (а; b)) можно осуществить р q<br />
способами. Действительно, с каждым способом выбора элемента а<br />
существует q способов выбора элемента b.<br />
2.4. Примеры вычисления вероятности события<br />
Комбинаторика широко применяется при вычислении вероятностей.<br />
Рассмотрим характерные примеры.<br />
Пример 13. На каждой из семи одинаковых карточек напечатана<br />
одна из следующих букв: н, о, п, р, с, т, у. Найти вероятность того,<br />
22
что на пяти взятых наугад и расположенных в ряд карточках можно<br />
будет прочесть слово "спорт" (событие А).<br />
Общее число возможных элементарных исходов n =<br />
5<br />
А 7 =<br />
= 76543 = 2520, а благоприятствует событию А лишь один, т.е.<br />
1<br />
m = 1. Поэтому Р(А) =<br />
5<br />
А = 1 0,0004.<br />
2520<br />
7<br />
Пример 14. В урне 4 белых и 7 черных шаров. Из урны одновременно<br />
вынимают два шара. Какова вероятность того, что оба шара<br />
белые (событие А).<br />
Здесь общее число возможных элементарных событий<br />
2 1110<br />
n = С 11=<br />
= 55. Число случаев, благоприятствующих событию А:<br />
1<br />
2<br />
2 4 3<br />
m = С 4 = = 6. Следовательно, Р(А) = 6/55.<br />
1 2<br />
Пример 15. В урне а белых и b черных шаров. Из урны наугад<br />
вынимают k шаров. Найти вероятность того, что среди них будет<br />
белых, а следовательно,<br />
Число элементарных событий n =<br />
k черных ( а, k b).<br />
k<br />
Ca<br />
b<br />
. Подсчитаем число элементарных<br />
событий, благоприятствующих интересующему нас событию<br />
А: среди k взятых шаров будет белых и k черных. Очевидно,<br />
что число способов, которыми можно выбрать белых шаров<br />
из а, равно<br />
<br />
С а , а число способов, которыми можно к ним "добавить"<br />
k <br />
k черных шаров, равно С b . Каждая комбинация белых шаров<br />
может сочетаться с каждой комбинацией черных, поэтому<br />
m =<br />
C<br />
k<br />
a C b<br />
. Следовательно,<br />
Р(А) =<br />
С<br />
<br />
а<br />
C<br />
k<br />
Сb<br />
k<br />
ab<br />
<br />
. (2.13)<br />
Пример 16. В партии из 12 деталей имеется 7 стандартных.<br />
Найти вероятность того, что среди шести взятых наугад деталей 4<br />
стандартных.<br />
23
Нетрудно заметить сходство между этой и предыдущей задачами.<br />
Здесь в качестве "урны" фигурирует партия деталей, среди которых 7<br />
стандартных ("белые шары") и 5 нестандартных ("черные шары"), а<br />
роль вынимаемых шаров играет контрольная партия из шести деталей.<br />
Поэтому искомую вероятность находим по формуле (2.13) для<br />
случая а = 7, b = 5, k = 6, = 4: Р(А) =<br />
С<br />
4 2<br />
7 С5<br />
<br />
6<br />
C12<br />
25<br />
.<br />
66<br />
Пример 17. Десять различных книг расставляются наугад на<br />
одной полке. Найти вероятность того, что три определенные книги<br />
окажутся поставленными рядом.<br />
Представим себе, что три определенные книги связаны вместе.<br />
Тогда число возможных способов расположения связки на полке равно<br />
числу перестановок из 8 элементов (связка плюс остальные 7<br />
книг), т.е. Р 8 = 8! Внутри связки 3 книги можно переставлять Р 3 = 3!<br />
раз. При этом каждая комбинация внутри связи может сочетаться с<br />
каждой из Р 8 комбинаций. Поэтому число m благоприятных случаев<br />
равно Р 8 Р 3 , т.е. m = Р 8 Р 3 . Число n возможных случаев, очевидно,<br />
равно Р 10 = 10! Таким образом, искомая вероятность<br />
Р<br />
1<br />
р =<br />
8 Р3<br />
8!3! 1<br />
2 3<br />
4 5 6 7 8<br />
1<br />
2 3<br />
<br />
Р 10! 1<br />
2 3 4 5 6 7 8<br />
9 10<br />
.<br />
15<br />
10<br />
Пример 18. Первенство по футболу оспаривают 18 команд, среди<br />
которых 5 лидирующих. Путем жеребьевки команды распределяются<br />
на две группы по 9 команд в каждой. Какова вероятность попадания<br />
всех лидирующих команд в одну группу (событие А) Какова<br />
вероятность попадания двух лидирующих команд в одну группу и<br />
трех – в другую (событие В)<br />
9<br />
Одну группа из 9 команд может быть составлена С 18 способами,<br />
при этом автоматически образуется и вторая группа. Следовательно,<br />
n =<br />
9<br />
С 18.<br />
Тогда<br />
m A<br />
5 4 4 5<br />
5 C13<br />
C13<br />
C5<br />
C<br />
,<br />
m B<br />
2 7 3 6<br />
5 C13<br />
C5<br />
C13<br />
C<br />
.<br />
24
Р(В) =<br />
Следовательно, Р(А) =<br />
2<br />
7<br />
m 1 A , n 34<br />
m B C5 C13<br />
C5<br />
C13<br />
12<br />
<br />
<br />
9<br />
.<br />
n C 17<br />
18<br />
3<br />
6<br />
2.5. Задания для самостоятельного решения<br />
1. В урне 100 шаров, помеченных номерами 1, 2, …, 100. Из урны<br />
наугад вынимают один шар. Какова вероятность того, что номер вынутого<br />
шара содержит цифру 5<br />
2. Из урны, в которой находятся 7 красных, 8 желтых и 5 зеленых<br />
шаров, наугад вынимается один. Найти вероятность того, что вынутый<br />
шар окажется: а) красным; б) желтым; в) черным; г) зеленым.<br />
3. Среди 50 деталей 5 нестандартных. Найти вероятность того,<br />
что наугад взятая деталь окажется: а) стандартной; б) нестандартной.<br />
4. Брошена игральная кость. Найти вероятность следующих событий:<br />
А – "выпало 3 очка", В – "выпало нечетное число очков".<br />
5. Монета брошена два раза. Какова вероятность того, что хотя<br />
бы один раз выпадет герб<br />
6. Куб, все грани которого окрашены, распилен на тысячу кубиков<br />
одинакового размера, которые затем тщательно перемешаны.<br />
Найти вероятность того, что наугад извлеченный кубик будет иметь<br />
окрашенных граней: а) одну; б) две; в) три.<br />
7. Из тщательно перемешанного полного набора 28 костей домино<br />
наугад извлечена кость. Найти вероятность того, что вторую наугад<br />
извлеченную кость можно будет приставить к первой, если первая<br />
кость: а) оказалась дублем; б) не есть дубль.<br />
8. В замке на общей оси пять дисков. Каждый диск разделен на<br />
шесть секторов, на которых написаны различные буквы. Замок открывается<br />
только в том случае, если каждый диск занимает одно определенное<br />
положение относительно корпуса замка. Найти вероятность<br />
того, что при произвольной установке дисков замок можно будет<br />
открыть.<br />
25
9. В партии из 100 деталей отдел технического контроля обнаружил<br />
5 нестандартных деталей. Чему равна относительная частота появления<br />
нестандартных деталей<br />
10. При стрельбе из винтовки относительная частота попадания в<br />
цель оказалась равной 0,85. Найти число попаданий, если всего было<br />
произведено 120 выстрелов.<br />
11. На отрезок ОА длины L числовой оси 0х наугад поставлена<br />
точка В(х). Найти вероятность того, что меньший из отрезков ОВ и<br />
ВА имеет длину, меньшую, чем L/3. Предполагается, что вероятность<br />
попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и<br />
не зависит от его расположения на числовой оси.<br />
12. Внутрь круга радиуса R наугад брошена точка. Найти вероятность<br />
того, что точка окажется внутри вписанного в круг квадрата.<br />
Предполагается, что вероятность попадания точки в квадрат пропорциональна<br />
площади квадрата и не зависит от его расположения относительно<br />
круга.<br />
13. Два студента условились встретиться в определенном месте<br />
между 12 и 13 часами дня. Пришедший первым ждет второго в течение<br />
1/4 часа, после чего уходит. Найти вероятность того, что встреча<br />
состоится, если каждый студент наугад выбирает момент своего прихода<br />
(в промежуток от 12 до 13 часов). (Ввести в рассмотрение прямоугольную<br />
систему координат х0у и принять для простоты, что<br />
встреча должна состояться между 0 и 1 часами).<br />
14. Наугад взяты два положительных числа х и у, каждое из которых<br />
не превышает двух. Найти вероятность того, что х у 1, а<br />
у/х < 2.<br />
15. В квадратном окне со стороной а имеется квадратная форточка<br />
со стороной b. Во время игры мяч случайно попадает в окно.<br />
Какова вероятность того, что мяч через открытую форточку влетит в<br />
комнату, не разбив окна (событие А) Какова вероятность, что окно<br />
разобьется (событие В)<br />
16. Вычислить:<br />
26
а)<br />
А<br />
А6<br />
А<br />
; б)<br />
3<br />
А<br />
3 3 3<br />
7 А6<br />
А5<br />
г) Р 6 ( Р 7 – Р 3 ); д)<br />
17. Найти n, если:<br />
а)<br />
3 2<br />
n2 4An<br />
3<br />
А ; б)<br />
4<br />
5<br />
6<br />
4<br />
6<br />
; в)<br />
Р Р<br />
5 0<br />
С14<br />
С<br />
С7 С5<br />
; е)<br />
10<br />
С<br />
4<br />
n<br />
3<br />
n 2<br />
A 15A<br />
;<br />
m3<br />
в) A n Pn<br />
4 42Pn<br />
2; г) Pn<br />
5 240 An3<br />
Pn<br />
m<br />
;<br />
д)<br />
3 4<br />
5 n C n 2<br />
n1<br />
n<br />
C ; е) C C 15n<br />
2<br />
5<br />
9<br />
Р<br />
4<br />
15<br />
n 4 n3<br />
.<br />
18. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из<br />
цифр 1, 2, 3, 4, 5 при условии, что в каждом числе нет одинаковых<br />
цифр<br />
19. Группа учащихся изучает восемь различных учебных дисциплин.<br />
Сколькими способами можно составить расписание занятий в<br />
субботу, если в этот день недели должно быть три различных урока<br />
20. Сколькими способами восемь различных книг можно расставить<br />
на одной полке так, чтобы:<br />
а) две определенные книги оказались рядом;<br />
б) две определенные книги не оказались рядом<br />
21. Сколько шестизначных чисел можно составить из цифр 0, 1,<br />
2, 3, 4, 5, не повторяя цифр в числе<br />
22. В урне 10 белых и 5 черных шаров. Сколькими способами из<br />
урны можно вынимать наугад 3 шара, чтобы:<br />
а) все три шара оказались белыми;<br />
б) все три шара оказались черными;<br />
в) два шара оказались белыми, а один черным;<br />
г) один шар оказался белым, а два черными<br />
23. В розыгрыше личного первенства вуза по шахматам было<br />
сыграно 120 игр. Сколько было участников, если каждые два участника<br />
встречались между собой один раз<br />
6<br />
;<br />
10<br />
14<br />
.<br />
27
24. В группе 20 юношей и 10 девушек. Сколькими способами<br />
можно избрать трех юношей и двух девушек для участия в слете студентов<br />
25. Сколько можно записать двузначных чисел в десятичной системе<br />
счисления<br />
26. В высшей лиге 18 команд. Борьба идет за золотые, серебряные<br />
или бронзовые медали. Сколькими способами медали могут быть<br />
распределены между командами<br />
27. На тренировках занимаются 12 баскетболистов. Сколько может<br />
быть образовано тренером разных стартовых пятерок<br />
28. Для полета на Марс необходимо укомплектовать экипаж космического<br />
корабля: командир, первый его помощник, второй, два<br />
бортинженера и один врач. Командующая тройка может быть отобрана<br />
из числа 25 готовящихся к полету летчиков, два бортинженера<br />
– из числа 20 специалистов и врач – из числа 8 медиков. Сколькими<br />
способами можно укомплектовать экипаж исследователей космоса<br />
29. В одной арабской сказке речь идет о такой задаче. Вокруг костра<br />
сидят 12 разбойников. Каждый из них смертельно ненавидит<br />
двух ближайших соседей. С целью спрятать награбленное необходимо<br />
выделить 5 разбойников. Сколькими способами атаман может назначить<br />
пятерых так, чтобы между ними не было распри<br />
30. В колоде 32 карты. Раздаются 3 карты. Сколько может быть<br />
случаев появления одного туза среди розданных карт<br />
31. Укротителю диких зверей предстоит вывести на арену цирка<br />
один за другим 5 львов и 4 тигров. Сколькими способами он может<br />
сгруппировать зверей так, чтобы ни разу два тигра не следовали один<br />
за другим<br />
32. Сколько можно составить трехзначных чисел из цифр 1, 2, 3,<br />
4, 5, если цифры могут повторяться<br />
33. Сколькими способами можно распределить 30 различных<br />
книг между тремя студентами так, чтобы каждый получил 10 книг<br />
28
34. В урне 9 белых и 6 черных шаров. Из урны вынимают два шара.<br />
Какова вероятность того, что оба шара окажутся: а) белыми; б)<br />
черными; в) разного цвета<br />
35. В партии из 8 деталей имеется 6 стандартных. Найти вероятность<br />
того, что среди пяти взятых наугад деталей три стандартных.<br />
36. Бросаются одновременно две игральные кости. Найти вероятность<br />
следующих событий:<br />
А – "сумма выпавших очков равна 8";<br />
В – "произведение выпавших очков равно 8";<br />
С – "сумма выпавших очков больше, чем их произведение".<br />
37. Восемь различных книг расставляются наугад на одной полке.<br />
Найти вероятность того, что две определенные книги окажутся поставленными<br />
рядом.<br />
38. В книжном магазине на полке 10 различных книг, причем 5<br />
книг стоят по 4 рубля каждая; 3 книги – по одному рублю и две книги<br />
– по 3 рубля. Найти вероятность того, что взятые наугад две книги<br />
стоят 5 рублей.<br />
39. Оля и Коля договорились встретить Новый год в компании из<br />
десяти человек. Они оба хотели сидеть за праздничным столом рядом.<br />
Найти вероятность исполнения их желания, если среди друзей<br />
принято места распределять по жеребьевке.<br />
40. Тридцать три буквы русского алфавита написаны на карточках<br />
разрезной азбуки. Пять карточек вынимают наугад одну за другой<br />
и укладывают на стол в порядке появления. Найти вероятность того,<br />
что получится слово "конец".<br />
41. Набирая номер телефона, абонент забыл последние две цифры<br />
и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наугад. Найти<br />
вероятность того, что набраны нужные цифры.<br />
42. В мешочке имеется 5 одинаковых кубиков. На всех гранях<br />
каждого кубика написана одна из следующих букв: о, п, р, с, т. Найти<br />
вероятность того, что на вынутых по одному и расположенных в одну<br />
линию кубиков можно будет прочесть слово "спорт".<br />
29
30<br />
2.6. Контрольная работа по теме "Элементы комбинаторики"<br />
6! 5 3<br />
1. Вычислить: а) С<br />
С <br />
2. Найти n, если:<br />
А<br />
7<br />
10<br />
k 1<br />
7 7 ; б)<br />
<br />
n1<br />
k n ! Ak<br />
1<br />
n1<br />
n<br />
k<br />
а) Сn 4 Cn3<br />
15n<br />
2; б) n<br />
!<br />
132<br />
A n Pn<br />
k<br />
A<br />
4<br />
143<br />
; г)<br />
n 4<br />
в) n 2 ! 4Pn<br />
Р<br />
2 ;<br />
n<br />
105 3<br />
n1<br />
105<br />
8C C .<br />
3. На пять студентов выделены три путевки. Сколькими способами<br />
их можно распределить, если:<br />
а) все путевки различны;<br />
б) все путевки одинаковы.<br />
4. Сколькими способами можно расположить в ряд 5 белых и 4<br />
черных шара так, чтобы черные шары не лежали рядом Рассмотреть<br />
два случая:<br />
а) шары одного цвета не отличимы друг от друга;<br />
б) все шары разные.<br />
5. На первой из двух параллельных прямых лежат 10 точек, на<br />
второй – 20. Сколько существует треугольников с вершинами в этих<br />
точках<br />
6. Четыре автора должны написать книгу из 17 глав, причем первый<br />
и третий должны написать по 5 глав, второй – 4, а четвертый – 3<br />
главы книги. Сколькими способами можно распределить главы между<br />
авторами<br />
7. Сколько различных десятизначных чисел можно написать, используя<br />
цифры 1 и 2<br />
8. Автомобильные номера состоят из трех букв (всего используется<br />
30 букв) и четырех цифр (используются все 10 цифр). Сколько<br />
автомобилей можно занумеровать таким образом, чтобы никакие два<br />
автомобиля не имели одинакового номера<br />
9. Из цифр 0, 1, 2, 3 составлены всевозможные четырехзначные<br />
числа так, что в каждом числе нет одинаковых цифр. Сколько получилось<br />
чисел Сколько среди них четных чисел<br />
.
10. Хоккейная команда состоит из 2 вратарей, 7 защитников и 10<br />
нападающих. Сколькими способами тренер может образовать стартовую<br />
шестерку, состоящую из вратаря, двух защитников и трех нападающих<br />
11. На полке стоят m книг в черных переплетах и n книг в синих<br />
переплетах, причем все книги разные. Сколькими способами<br />
можно расставить книги так, чтобы книги в черных переплетах стояли<br />
рядом<br />
12. Сколько шестизначные чисел, кратных пяти, можно составить<br />
из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 при условии, что в числе цифры не повторяются.<br />
13. Сколько различных перестановок можно образовать из букв<br />
слова "задача" Из букв слова "зебра"<br />
14. Сейф запирается на замок, состоящий из пяти дисков, на каждом<br />
из которых изображены цифры 0, 1, 2, …, 9. Замок открывается,<br />
если на дисках набрана одна определенная комбинация цифр. Хватит<br />
ли 10 дней на открытие сейфа, если "рабочий день" продолжается 13<br />
часов, а на набор одной комбинации цифр уходит 5 секунд<br />
Лекция № 3. ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ<br />
ВЕРОЯТНОСТЕЙ СЛУЧАЙНЫХ СОБЫТИЙ<br />
Рассмотрим ряд теорем, которые позволят нам в дальнейшем выразить<br />
вероятность одного события через вероятности других. Именно<br />
эта ситуация, когда по известным вероятностям одних событий<br />
требуется определить вероятность интересующего нас события, наиболее<br />
типична для задач теории вероятностей.<br />
3.1. Теоремы сложения вероятностей<br />
Теорема 1. Вероятность суммы двух несовместных событий<br />
А и В равна сумме вероятностей этих событий, т.е.<br />
Р(А + В) = Р(А) + Р(В). (3.1)<br />
31
Пусть n общее число равновозможных несовместных элементарных<br />
событий испытания, в результате которого может произойти<br />
одно из событий А или В, m A число элементарных событий, благоприятствующих<br />
событию А, m В число элементарных событий,<br />
благоприятствующих событию В. Так как события А и В несовместны,<br />
то событию А+В благоприятствуют m A +m В элементарных событий<br />
из общего числа n равновозможных несовместных элементарных<br />
событий. Поэтому<br />
mA<br />
mB<br />
mA<br />
mB<br />
Р(А + В) = = Р(А) + Р(В).<br />
n n n<br />
Заметим без доказательства, что теорема 1 может быть обобщена.<br />
Теорема 2. Вероятность суммы конечного числа попарно<br />
несовместных событий А 1 , А 2 , …, А n равна сумме вероятностей<br />
этих событий, т.е.<br />
Р(А 1 + А 2 +…+ А n ) = Р(А 1 ) + Р(А 2 ) + … + Р(А n ). (3.2)<br />
Весьма важно подчеркнуть, что теорема сложения вероятностей<br />
несовместных событий справедлива и для случая, когда элементарные<br />
события не равновозможны.<br />
Пример 1. В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых.<br />
Найти вероятность появления цветного шара.<br />
Появление цветного шара означает появление либо красного, либо<br />
синего.<br />
Вероятность появления красного шара (событие А)<br />
Р(А) = 10/30 = 1/3.<br />
Вероятность появления синего шара (событие В)<br />
Р(В) = 5/30 = 1/6.<br />
События А и В несовместны, так как появление шара одного<br />
цвета исключает возможность появления шара другого цвета, поэтому<br />
теорема 1 применима:<br />
Р(А + В) = Р(А) + Р(В) = 1/3 + 1/6 = 3/6 = 1/2.<br />
32
Следствие 1. Если события А 1 , А 2 , …, А n образуют полную<br />
группу попарно несовместных событий, то сумма их вероятностей<br />
равна единице, т.е.<br />
Р(А 1 ) + Р(А 2 ) + … + Р(А n ) = 1. (3.3)<br />
Так как события А 1 , А 2 , …, А n попарно несовместны и образуют<br />
полную группу, то А 1 + А 2 +…+ А n достоверное событие. Следовательно,<br />
Р(А 1 ) + Р(А 2 ) + … + Р(А n ) = Р(А 1 + А 2 + … + А n ) = 1.<br />
Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий<br />
равна единице, т.е.<br />
Р(А) + Р( А ) = 1. (3.4)<br />
Это непосредственно следует из формулы (3.3.), так как противоположные<br />
события образуют полную группу попарно несовместных<br />
событий.<br />
Пример 2. В ящике 40 деталей: 20 – первого сорта, 15 – второго<br />
сорта, 5 – третьего сорта. Найти вероятность того, что наугад извлеченная<br />
деталь окажется не третьего сорта (событие А).<br />
Первый способ. Событие А наступит, если извлеченная наугад<br />
деталь окажется либо первого сорта (событие В), либо второго<br />
сорта (событие С), т.е. событие А есть сумма несовместных событий<br />
В и С. Поэтому, применяя теорему 1, получим<br />
20 15 35 7<br />
Р(А) = Р(В + С) = Р(В) + Р(С) = .<br />
40 40 40 8<br />
Второй способ. Из условия задачи Р( А ) = 5/40 = 1/8 – деталь<br />
третьего сорта. Согласно следствию 2, Р(А) = 1Р( А ) = 1 – 1/8 = 7/8.<br />
Пример 3. На заочное отделение техникума поступают контрольные<br />
работы по математике из городов А, В и С. Вероятность<br />
поступление контрольной работы из города А равна 0,6, из города<br />
В 0,1. Найти вероятность того, что очередная контрольная работа<br />
поступит из города С.<br />
События "контрольная работа поступила из города А", "контрольная<br />
работа поступила из города В" и "контрольная работа по-<br />
33
ступила из города С" образуют полную группу, поэтому сумма их вероятностей<br />
равна единице:<br />
0,6 + 0,1 + р = 1, т.е. р = 0,3.<br />
Пример 4. Вероятность того, что день будет ясным, р = 0,85.<br />
Найти вероятность q того, что день будет облачным.<br />
События "день ясный" и "день облачный" противоположные, поэтому<br />
р + q = 1, т.е. q = 1 р = 1 – 0,85 = 0,15.<br />
Пример 5. В ящике имеется n деталей, из которых m – стандартных.<br />
Найти вероятность того, что среди k наугад извлеченных<br />
деталей есть хотя бы одна стандартная (событие А).<br />
34<br />
Р(А) = 1 Р( А ), где А среди k извлеченных деталей нет ни<br />
одной стандартной: Р( А ) =<br />
Искомая вероятность:<br />
Р(А) =1 Р( А ) =1 <br />
k<br />
n m<br />
k<br />
n<br />
C<br />
k<br />
n m<br />
k<br />
n<br />
С <br />
.<br />
C<br />
С <br />
=1 n m ! k!<br />
n k !<br />
=1 n m ! n k <br />
k!<br />
n<br />
m k ! n!<br />
n<br />
m k ! n!<br />
Мы рассмотрели теорему сложения для несовместных событий.<br />
Теперь рассмотрим случай, когда события А и В совместны, т.е. появление<br />
одного из них не исключает возможность появления другого<br />
в одном и том же испытании, причем известны вероятности этих событий<br />
и вероятность их совместного появления.<br />
Теорема 3. Вероятность появления хотя бы одного из<br />
двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий<br />
без вероятности их совместного появления:<br />
Р(А + В) = Р(А) + Р(В) Р(АВ) (3.5)<br />
Поскольку события А и В по условию совместны, то событие<br />
А + В наступит, если наступит одно из следующих трех несовместных<br />
событий: А В , А В или АВ. По теореме сложения вероятностей несовместных<br />
событий<br />
Р(А + В) = Р( А В ) + Р( А В) + Р(АВ). (3.6)<br />
Событие А произойдет, если наступит одно из двух несовместных<br />
событий: А В или АВ.<br />
!<br />
.
По теореме сложения вероятностей несовместных событий имеем<br />
Р(А) = Р( А В ) + Р(АВ). Отсюда<br />
Аналогично имеем Р(В) = Р(<br />
Р( А В ) = Р(А) Р(АВ). (3.7)<br />
А В) + Р(АВ). Отсюда<br />
Р( А В) = Р(В) Р(АВ). (3.8)<br />
Подставив (3.7) и (3.8) в (3.6), окончательно получим<br />
Р(А + В) = Р(А) + Р(В) Р(АВ).<br />
Пример 6. Вероятности попадания в цель при стрельбе первого<br />
и второго орудий соответственно равны р 1 = 0,7; р 2 = 0,8. Найти вероятность<br />
попадания при одном залпе хотя бы одним орудием.<br />
Вероятность попадания в цель одним орудием (событие А) и другим<br />
орудием (событие В) являются независимыми. Искомая вероятность<br />
Р(А + В) = Р(А) + Р(В) Р(АВ) = 0,7 + 0,8 – 0,56 = 0,94.<br />
Пример 7. Из 20 студентов 5 человек сдали на двойку экзамен<br />
по истории, 4 – по английскому языку, причем 3 студента получили<br />
двойки по обоим предметам. Каков процент студентов в группе, не<br />
имеющих двоек по этим предметам (событие А)<br />
Р(А) = 1 Р( А ) = 1 (Р(Ист + Анг)) =<br />
= 1 Р(Ист) Р(Анг) + Р(Ист) Р(Анг) =<br />
5 4 3 14 7<br />
= 1 0, 7 (70%).<br />
20 20 20 20 10<br />
3.2. Теоремы умножения вероятностей<br />
Условная вероятность. Часто при осуществлении некоторого<br />
эксперимента вероятность наступления интересующего нас события<br />
В изменяется в зависимости от наступления (или ненаступления)<br />
другого события А, связанного с тем же опытом. в таких случаях<br />
говорят об условной вероятности события В при условии А. Интуитивно<br />
под условной вероятностью события В при условии А понимают<br />
вероятность события В, вычисленную в предложении, что<br />
событие А наступило, и обозначают ее Р(В|А) или Р А (В).<br />
35
Пример 8. В урне 4 белых и 3 черных шара. Из урны последовательно<br />
вынимают два шара. Найти вероятность того, что второй шар<br />
окажется черным при условии, что первый шар был черным.<br />
Обозначим события: А – "первый шар черный"; В –"второй шар<br />
черный". Если произошло событие А, то в урне осталось 6 шаров, из<br />
которых 2 черных. Поэтому искомая условная вероятность Р(В|А) =<br />
= 2/6 = 1/3.<br />
Дадим строгое определение условной вероятности.<br />
Определение. Условной вероятностью события В при условии<br />
А называется отношение<br />
АВ<br />
РА<br />
Р<br />
<br />
вероятности произведения<br />
событий А и В к вероятности события А при Р(А) 0.<br />
Таким образом, по определению<br />
Р(В|А) =<br />
АВ<br />
РА<br />
Р<br />
<br />
. (3.9)<br />
Аналогично определяется и условная вероятность события А при<br />
условии В:<br />
Р(А|В) =<br />
ВА<br />
РВ<br />
Р<br />
<br />
=<br />
АВ<br />
РВ<br />
Р<br />
<br />
при Р(В) 0. (3.10)<br />
Покажем, что если в примере 8 условную вероятность Р(В|А) вычислим<br />
по формуле (3.9), то получим тот же результат.<br />
Так как из 7 шаров, имеющихся в урне, 3 черных, то Р(А) = 3/7.<br />
Для нахождения Р(АВ) вычислим n общее число исходов (совместного<br />
появления двух шаров безразлично какого цвета) по формуле<br />
n = А 2 7 = 76 = 42. Из этого числа событию АВ благоприятствуют m<br />
= А 2 3 = 32 = 6 исходов. Поэтому Р(АВ) = 6/42 = 1/7. По формуле (3.9)<br />
получаем Р(В|А) =<br />
АВ<br />
РА<br />
Р<br />
<br />
=<br />
1 3 1 : , т.е. тот же результат.<br />
7 7 3<br />
Теорема умножения вероятностей произвольных<br />
событий. Из формул (3.9) и (3.10) следует<br />
Р(АВ) = Р(А) Р(В|А) = Р(В) Р(А|В). (3.11)<br />
36
Формулы (3.11), выражающие вероятность произведения двух<br />
событий через вероятности и условные вероятности этих событий,<br />
представляют собой теорему умножения вероятностей.<br />
Теорема 4. Вероятность произведения двух произвольных<br />
событий равна произведению вероятности одного из этих событий<br />
на условную вероятность другого при условии, что<br />
первое произошло.<br />
Можно доказать, что в случае n событий А 1 , А 2 , …, А n справедлива<br />
формула<br />
Р(А 1 А 2 … А n ) = Р(А 1 ) Р(А 2 |А 1 ) Р(А 3 |А 1 А 2 ) …<br />
… Р(А n |А 1 А 2 … А n1 ), (3.12)<br />
где Р(А k |А 1 А 2 … А k1 ) – вероятность события А k , вычисленная при<br />
условии, что произошли события А 1 , А 2 , …, А k1 .<br />
Пример 9. В учебных мастерских техникума изготовляются детали<br />
на двух станках. Вероятность изготовления детали на первом<br />
станке равна 0,6. Вероятность появления годной детали на первом<br />
станке равна 0,8. Найти вероятность того, что годная деталь изготовлена<br />
на первом станке.<br />
Обозначим события: А – "деталь изготовлена на первом станке",<br />
В – "деталь годная". Имеем: Р(А) = 0,6; Р(В|А) = 0,8. По формуле<br />
(3.10) находим:<br />
Р(АВ) = Р(А) Р(В|А) = 0,6 0,8 = 0,48.<br />
Пример 10. В ящике находится 7 деталей первого сорта, 5 –<br />
второго сорта и 3 – третьего сорта. Из ящика последовательно вынимают<br />
три детали. Найти вероятность того, что первая наугад вынутая<br />
деталь окажется первого сорта (событие А 1 ), вторая деталь – второго<br />
сорта (событие А 2 ) и третья деталь – третьего сорта (событие А 3 ).<br />
Очевидно, что<br />
Р(А) = 7/15, Р(А 2 |А 1 ) = 5/14 и Р(А 3 |А 1 А 2 ) = 3/13.<br />
По формуле (3.12) находим<br />
Р(А 1 А 2 А 3 ) = Р(А 1 ) Р(А 2 |А 1 ) Р(А 3 |А 1 А 2 ) =<br />
7 5 3 1<br />
.<br />
15 14 13 26<br />
37
Независимые события. Пусть события А и В таковы, что<br />
вероятность события В не изменяется в зависимости от наступления<br />
(или ненаступления) события А. В таких случаях говорят о независимости<br />
события В от события А.<br />
Определение. Событие В называется независимым от события<br />
А, если уловная вероятность события В при условии<br />
А равна вероятности события В, т.е. если Р(В|А) = Р(В) при<br />
Р(А) 0.<br />
Если же Р(В|А) Р(В), то событие В называется зависимым<br />
от события А.<br />
Пример 11. В ящике имеется 90 стандартных деталей и 10 нестандартных.<br />
Из ящика наугад берут одну за другой две детали. Вероятность<br />
появления стандартной детали при первом испытании (событие<br />
А) равна Р(А) = 90/100 = 0,9. Вероятность появления стандартной<br />
детали при втором испытании (событие В) зависит от результата<br />
первого испытания: если в первом испытании событие А уже произошло,<br />
то Р(В|А) = 89/99; если же событие А не произошло, то<br />
Р(В| А ) = 90/99 = 10/11. Следовательно, события А и В зависимые.<br />
Покажем, что если событие В не зависит от события А, то и событие<br />
А не зависит от события В при условии, что Р(В) 0.<br />
Согласно теореме умножения, имеем<br />
Р(АВ) = Р(А) Р(В|А).<br />
Но Р(В|А) = Р(В), следовательно, Р(АВ) = Р(А) Р(В). С другой<br />
стороны, Р(АВ) = Р(В) Р(А|В).<br />
Из последних двух равенств имеем Р(А) Р(В) = Р(В) Р(А|В),<br />
откуда Р(А|В) = Р(А).<br />
Таким образом, свойство зависимости или независимости двух<br />
событий является взаимным. На практике независимость событий устанавливается<br />
по смыслу задачи.<br />
Теорема 5. Вероятность произведения двух независимых<br />
событий равна произведению вероятностей этих событий, т.е.<br />
Р(АВ) = Р(А) Р(В). (3.13)<br />
38
Пусть события А и В независимы. По теореме умножения вероятностей<br />
Р(АВ) = Р(А) Р(В|А).<br />
Так как событие В не зависит от события А, то<br />
Р(В|А) = Р(В). Следовательно, Р(АВ) = Р(А) Р(В).<br />
Пример 12. Найти вероятность совместного появления герба<br />
при одном бросании двух монет.<br />
Вероятность появления герба на первой монете (событие А):<br />
Р(А) = 1/2. Вероятность появления герба на второй монете (событие<br />
В): Р(В) = 1/2. События А и В независимые, поэтому искомая вероятность<br />
по теореме умножения равна Р(АВ) = Р(А) Р(В) = 1/4.<br />
Возвращаясь к теореме сложения совместных событий, можно<br />
сформулировать ряд замечаний.<br />
Замечание 1. При использовании формулы Р(А+В) = Р(А) +<br />
+ Р(В) Р(АВ) следует иметь в виду, что события А и В могут<br />
быть как независимыми, так и зависимыми.<br />
Для независимых событий<br />
Р(А + В) = Р(А) + Р(В) Р(А) Р(В);<br />
для зависимых событий<br />
Р(А + В) = Р(А) + Р(В) Р(А) Р А (В).<br />
Замечание 2. Если события А и В несовместны, то их совмещение<br />
есть невозможное событие и, следовательно, Р(АВ) = 0.<br />
Формула для несовместных событий принимает вид Р(А + В) =<br />
= Р(А) + Р(В).<br />
Мы вновь получили теорему сложения для несовместных событий.<br />
Таким образом, формула (3.5) справедлива как для совместных,<br />
так и для несовместных событий.<br />
3.3. Вероятность появления хотя бы одного события<br />
Пусть в результате испытания могут появиться n событий, независимых<br />
в совокупности, либо некоторые из них, причем вероятности<br />
появления каждого из событий известны. Как найти вероятность<br />
39
того, что наступит хотя бы одно из этих событий Ответ на поставленный<br />
вопрос дает следующая теорема.<br />
Теорема 6. Вероятность появления хотя бы одного из событий<br />
А 1 , А 2 , …, А n , независимых в совокупности, равна разности<br />
между единицей и произведением вероятностей противоположных<br />
событий<br />
А<br />
1 , А 2 , ,<br />
Аn<br />
:<br />
Р(А) = 1 q 1 q 2 … q n (3.14)<br />
Обозначим через А событие, состоящее в появлении хотя бы одного<br />
из событий А 1 , А 2 , …, А n . События А и<br />
А<br />
1 А 2 <br />
Аn<br />
(ни одно<br />
из событий не наступило) противоположны, следовательно, сумма их<br />
вероятностей равна единице: Р(А) + Р( А 1 А 2 Аn<br />
) = 1.<br />
Отсюда, пользуясь теоремой умножения, получим<br />
Р(А) = 1 Р( А 1 А 2 Аn<br />
) = 1 Р( А 1 )Р( А 2 ) … Р( А n ), или<br />
Р(А) = 1 q 1 q 2 … q n .<br />
Следствие. Если события А 1 , А 2 , …, А n имеют одинаковую вероятность,<br />
равную р, то вероятность появления хотя бы одного из<br />
этих событий<br />
Р(А) = 1 q n . (3.15)<br />
Пример 13. Вероятности попадания в цель при стрельбе из трех<br />
орудий таковы: р 1 = 0,8; р 2 = 0,7; р 3 = 0,9. Найти вероятность хотя<br />
бы одного попадания (событие А) при одном залпе из всех орудий.<br />
Вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от<br />
результатов стрельбы из других орудий, поэтому рассматриваемые<br />
события А 1 (попадание первого орудия), А 2 (попадание второго орудия)<br />
и А 3 (попадание третьего орудия) независимы в совокупности.<br />
Вероятности событий, противоположных событиям А 1 , А 2 и А 3<br />
(т.е. вероятности промахов), соответственно равны:<br />
q 1 = 1 р 1 = 1 – 0,8 = 0,2; q 2 = 1 р 2 = 1 – 0,7 = 0,3;<br />
q 3 = 1 р 3 = 1 – 0,9 = 0,1.<br />
Искомая вероятность<br />
Р(А) = 1 q 1 q 2 q 3 = 1 – 0,2 0,3 0,1 = 0,994.<br />
40
Рассмотреть решение задачи, используя теорему сложения вероятностей,<br />
самостоятельно.<br />
Пример 14. Вероятность того, что при одном выстреле стрелок<br />
попадет в цель, равна 0,4. Сколько выстрелов должен произвести<br />
стрелок, чтобы с вероятностью не менее 0,9 он попал в цель хотя бы<br />
один раз.<br />
Обозначим через А событие "при n выстрелах стрелок попадет<br />
в цель хотя бы один раз". События, состоящие в попадании в цель<br />
при первом, втором выстрелах и т.д., независимы в совокупности, поэтому<br />
применима формула (3.15)<br />
Р(А) = 1 q n .<br />
Приняв во внимание, что по условию Р(А) 0,9; р = 0,4 (следовательно,<br />
q = 1 – 0,4 = 0,6), получим<br />
1 – 0,6 n 0,9; отсюда 0,6 n 0,1.<br />
Прологарифмируем это неравенство по основанию 10:<br />
n lg 0,6 lg 0,1.<br />
Отсюда, учитывая, что lg 0,6 < 0, имеем<br />
n lg 0,1 / lg 0,6 = 4,5.<br />
Итак, n 5, т.е. стрелок должен произвести не менее 5 выстрелов.<br />
Пример 15. Вероятность того, что событие появится хотя бы<br />
один раз в трех независимых в совокупности испытаниях, равна<br />
0,936. Найти вероятность появления события в одном испытании<br />
(предполагается, что во всех испытаниях вероятность появления события<br />
одна и та же).<br />
Так как рассматриваемые события независимы в совокупности,<br />
то применима формула (3.15) Р(А) = 1 q n .<br />
По условию, Р(А) = 0,936; n = 3. Следовательно,<br />
0,936 = 1 q 3 , или q 3 = 1 – 0,936 = 0,064.<br />
Отсюда q = 3 0 , 064 = 0,4. Искомая вероятность<br />
р = 1 q = 1 – 0,4 = 0,6.<br />
41
3.4. Задания для самостоятельного решения<br />
1. Учебные мастерские техникума получают изделия от заводов<br />
А, В и С. Вероятность поступления изделий от завода А равна 0,35,<br />
от завода В 0,4. Найти вероятность того, что очередная партия изделий<br />
поступит от завода С.<br />
2. В группе 30 учащихся, из которых отличников – 8, хорошистов<br />
– 13 и слабо успевающих – 9. На предстоящем экзамене отличники<br />
могут получить только оценки "5", хорошисты могут получить с равной<br />
вероятностью оценки "4" и "5", слабо успевающие могут получить<br />
с равной вероятностью оценки "3", "4" и "5". Для сдачи экзамена<br />
вызывается наугад один учащийся. Найти вероятность того, что он<br />
получит оценку не ниже "4".<br />
3. В партии из 30 пар обуви имеется 10 пар мужской, 8 пар женской<br />
и 12 пар детской обуви. Найти вероятность того, что взятая наугад<br />
пара обуви окажется не детской.<br />
4. В партии 10 деталей, из них 8 стандартных. Найти вероятность<br />
того, что среди взятых наугад двух деталей есть хотя бы одна стандартная.<br />
5. В денежно-вещевой лотерее на каждые 10000 билетов разыгрывается<br />
150 вещевых и 50 денежных выигрышей. Чему равна вероятность<br />
выигрыша, безразлично денежного или вещевого, для владельца<br />
одно лотерейного билета<br />
6. Вероятность того, что стрелок при одном выстреле выбьет 10<br />
очков, равна 0,1; вероятность выбить 9 очков равна 0,3; вероятность<br />
выбить 8 или меньше очков равна 0,6. Найти вероятность того, что<br />
при одном выстреле стрелок выбьет не менее 9 очков.<br />
7. В ящике 10 деталей, среди которых 2 нестандартных. Найти<br />
вероятность того, что в наугад отобранных 6 деталях окажется не более<br />
одной нестандартной детали.<br />
8. События А, В, С и D образуют полную группу. Вероятности<br />
событий таковы: Р(А) = 0,1; Р(В) = 0,4; Р(С) = 0,3. Чему равна вероятность<br />
события D<br />
42
9. По статистическим данным ремонтной мастерской в среднем<br />
на 20 остановок токарного станка приходится: 10 – для смены резца;<br />
3 – из-за неисправности привода; 2 – из-за несвоевременной подачи<br />
заготовок. Остальные остановки происходят по другим причинам.<br />
Найти вероятность остановки станка по другим причинам.<br />
10. Вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадет в<br />
мишень, равна р = 0,9. Стрелок произвел 3 выстрела. Найти вероятность<br />
того, что все 3 выстрела дали попадание.<br />
11. Брошены монета и игральная кость. Найти вероятность совмещения<br />
событий: "появился герб", "появилось 6 очков".<br />
12. В двух ящиках находятся детали: в первом – 10 (из них 3<br />
стандартных), во втором – 15 (из них 6 стандартных). Из каждого<br />
ящика наугад вынимают по одной детали. Найти вероятность того,<br />
что обе детали окажутся стандартными.<br />
13. В студии телевидения 3 телевизионных камеры. Для каждой<br />
камеры вероятность того, что она включена в данный момент, равна<br />
р = 0,6. Найти вероятность того, что в данный момент включена хотя<br />
бы одна камера (событие А).<br />
14. Чему равна вероятность того, что при бросании трех игральных<br />
костей 6 очков появится хотя бы на одной из костей (событие А)<br />
15. Предприятие изготовляет 95% изделий стандартных, причем<br />
из них 86% первого сорта. Найти вероятность того, что взятое наугад<br />
изделие, изготовленное на этом предприятии, окажется первого сорта.<br />
16. Монета бросается до тех пор, пока 2 раза подряд она не выпадет<br />
одной и той же стороной. Найти вероятности следующих событий:<br />
а) опыт окончится до шестого бросания; б) потребуется четное<br />
число бросаний.<br />
17. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 сначала вбирается одна, а затем из оставшихся<br />
четырех – вторая цифра. Предполагается, что все 20 возможных<br />
исходов равновероятны. Найти вероятность того, что будет выбрана<br />
нечетная цифра: а) в первый раз; б) во второй раз; в) в оба<br />
раза.<br />
43
18. Вероятность того, что при одном выстреле стрелок попадает в<br />
десятку, равна 0,6. Сколько выстрелов должен сделать стрелок, чтобы<br />
с вероятностью не менее 0,8 он попал в десятку хотя бы один раз<br />
19. Три электрические лампочки последовательно включены в<br />
цепь. Вероятность того, что одна (любая) лампочка перегорит, если<br />
напряжение в сети превысит номинальное, равна 0,6. Найти вероятность<br />
того, что при повышенном напряжении тока в цепи не будет.<br />
20. Вероятность того, что событие А появится хотя бы один раз<br />
при двух независимых испытаниях, равна 0,75. Найти вероятность<br />
появления события в одном испытании (предполагается, что вероятность<br />
появления события в обоих испытаниях одна и та же).<br />
21. Три команды А 1 , А 2 , А 3 спортивного общества А состязаются<br />
соответственно с тремя командами общества В. Вероятности того,<br />
что команды общества А выиграют матчи у команд общества В, таковы:<br />
при встрече А 1 с В 1 0,8; А 2 с В 2 0,4; А 3 с В 3 0,4. Для победы<br />
необходимо выиграть не менее двух матчей из трех (ничьи во<br />
внимание не принимаются). Победа какого из обществ вероятнее<br />
22. Вероятность поражения цели первым стрелком при одном выстреле<br />
равна 0,8, а вторым стрелком – 0,6. Найти вероятность того,<br />
что цель будет поражена только одним стрелком.<br />
23. Из последовательности чисел 1, 2, …, n наугад одно за другим<br />
выбираются два числа. Найти вероятность того, что одно из них<br />
меньше целого положительного числа k, а другое больше k, где<br />
1< k < n.<br />
24. Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность.<br />
Вероятность того, что изделие нестандартно, равна 0,1. Найти<br />
вероятность того, что: а) из трех проверенных изделий только одно<br />
окажется нестандартным; б) нестандартным окажется только четвертое<br />
по порядку проверенное изделие.<br />
44
3.5. Контрольная работа по теме "Вероятность случайного<br />
события. Теоремы сложения и умножения вероятностей"<br />
1. Четырем игрокам раздается поровну колода из 32 карт. Определить<br />
вероятность того, что каждый игрок получил карты только<br />
одной масти.<br />
2. Номер телефона состоит из пяти цифр. Какова вероятность того,<br />
что все цифры наугад набранного номера разные.<br />
3. На первом этаже семиэтажного дома в лифт зашли 3 человека.<br />
Вероятность выхода каждого из лифта на любом этаже одинакова.<br />
Найдите вероятности событий:<br />
А – "все вышли из лифта на 4 этаже";<br />
В – "все вышли из лифта на одном и том же этаже";<br />
С – "все выходили из лифта на разных этажах".<br />
4. Быстровращающийся диск разделен на четное число равных<br />
секторов, попеременно окрашенных в белый и черный цвет. По диску<br />
произведен выстрел. Найти вероятность того, что пуля попадет в<br />
один из белых секторов.<br />
5. Плоскость разграфлена параллельными прямыми, находящимися<br />
друг от друга на расстоянии 2а. На плоскость наугад брошена<br />
монета радиуса r < a. Найти вероятность того, что монета не пересечет<br />
ни одной из прямых.<br />
6. Три стрелка стреляют по цели. Вероятность попадания в цель<br />
для первого стрелка равна 0,7, для второго – 0,8, для третьего – 0,9.<br />
Найти вероятность р того, что в цель попадет хотя бы один стрелок.<br />
7. В учебных мастерских техникума работают три станка с программным<br />
управлением. Вероятность того, что в течение рабочей<br />
смены первый из них не потребует ремонта, равна 0,5, для второго<br />
станка такая вероятность равна 0,6, для третьего – 0,8. Найти вероятность<br />
следующих событий: А – "ни один из станков в течение рабочей<br />
смены не потребует ремонта"; В – "первый станок потребует ремонта,<br />
а второй и третий нет"; С – "первый и второй станок потребу-<br />
45
ет ремонта, а третий нет"; D – "хотя бы один из станков потребует<br />
ремонта".<br />
8. Три стрелка стреляют по одной и той же цели. Вероятность попадания<br />
в цель первого, второго и третьего стрелков соответственно<br />
равна 0,7, 0,8 и 0,9. Найти вероятность того, что все три стрелка попадут<br />
в цель.<br />
9. Из трех станков, обслуживаемых одним рабочим, вероятность<br />
остановки в течение рабочей смены для первого станка равна 0,1, для<br />
второго – 0,15, для третьего – 0,2. Найти вероятность бесперебойной<br />
работы всех трех станков в течение одной смены.<br />
10. В ящике имеются 20 изделий первого сорта и 5 высшего<br />
сорта. Из ящика наугад берут одно за другим два изделия. Найти вероятность<br />
того, что оба изделия окажутся высшего сорта.<br />
11. В каждой из трех партий, содержащих по 20 изделий, имеется<br />
соответственно одно, два и четыре бракованных изделия. Из каждой<br />
партии наугад извлекают по одному изделию. Найти вероятность того,<br />
что все три изделия окажутся бракованными.<br />
12. Вероятности попадания в цель при стрельбе из трех орудий<br />
соответственно равны 0,7, 0,8 и 0,9. Найти вероятность хотя бы одного<br />
попадания при одном залпе из всех орудий.<br />
13. Предприятие изготовляет 98% изделий стандартных, причем<br />
из них 90% первого сорта. Найти вероятность того, что взятое наугад<br />
изделие окажется первого сорта.<br />
14. Вероятность поражения цели первым стрелком при одном выстреле<br />
равна 0,9, а вторым стрелком – 0,8. Найти вероятность того,<br />
что цель будет поражена только одним стрелком. Задачу решить двумя<br />
способами.<br />
46
Лекция № 4. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ.<br />
ФОРМУЛЫ БАЙЕСА<br />
4.1. Формула полной вероятности<br />
Формулу полной вероятности можно продемонстрировать на<br />
конкретном примере. Пусть имеются три урны, в каждой их которых<br />
находятся шары определенного цвета. Наугад выбирается урна и извлекается<br />
шар. Определить вероятность того, что наугад извлеченный<br />
шар белого (черного) цвета (событие А).<br />
Пусть событие А может произойти только с одним из событий<br />
Н 1 , Н 2 , …, Н n , образующих полную систему попарно несовместных<br />
событий:<br />
А = Н 1 А + Н 2 А + Н 3 А + … Н n А (4.1)<br />
Тогда попарно несовместны и события А Н 1 , А Н 2 , …, А Н n .<br />
Используя для вычисления вероятности события А теорему сложения<br />
вероятностей, получим:<br />
Р(А) = Р(Н 1 А) + Р(Н 2 А) + … + Р(Н n А).<br />
Применив к каждому слагаемому последнего равенства теорему<br />
умножения вероятностей зависимых событий, имеем:<br />
Р(А) = Р(Н 1 ) Р<br />
Н 1<br />
(А) + Р(Н 2 ) Р<br />
Н 2<br />
(А) +…+ Р(Н n ) Р (А). (4.2)<br />
Полученная формула называется формулой полной вероятности.<br />
Пример 1. В учебных мастерских на станках а, b и с изготовляют<br />
соответственно 25%, 35% и 40% всех деталей. В их продукции<br />
брак составляет соответственно 15%, 12% и 6%. Найти вероятность<br />
того, что наугад взятая деталь дефектна.<br />
Обозначим события:<br />
А – "наугад взятая деталь дефектна";<br />
Н 1 "деталь изготовлена на станке а";<br />
Н 2 "деталь изготовлена на станке b";<br />
Н 3 "деталь изготовлена на станке с".<br />
События Н 1 , Н 2 , Н 3 образуют полную группу попарно несовместных<br />
событий и Р(Н 1 )=0,25, Р(Н 2 )=0,35, Р(Н 3 )=0,4. Кроме того,<br />
Н n<br />
47
числа 0,15; 0,12; 0,06 (15%, 12% и 6%) являются условными вероятностями<br />
события А при условии событий (гипотез) Н 1 , Н 2 , Н 3 соответственно,<br />
т.е. Р Н 1<br />
(А) = 0,15,<br />
По формуле (4.2) находим:<br />
= Р(Н 1 ) <br />
Р Н 1<br />
3<br />
Р Н 2<br />
(А) = 0,12,<br />
Р(А) = Р ( ) Р(А|Н i ) =<br />
i1<br />
(А) + Р(Н 2 ) <br />
Н i<br />
Р Н 2<br />
(А) + Р(Н 3 ) <br />
Р Н 3<br />
(А) = 0,06.<br />
Р Н 3<br />
(А) =<br />
= 0,250,15 + 0,350,12 +0,40,06 = 0,1035.<br />
Пример 2. В первой коробке содержится 20 радиоламп, из них<br />
18 стандартных; во второй коробке – 10 ламп, из них 9 стандартных.<br />
Из второй коробки наугад взята лампа и переложена в первую. Найти<br />
вероятность того, что лампа, наугад извлеченная из первой коробки,<br />
будет стандартной.<br />
Обозначим через А событие "из первой коробки извлечена стандартная<br />
лампа". После того, как в первую коробку была переложена<br />
одна лампа, можно выдвинуть следующие предположения:<br />
Н 1 "наугад извлеченная лампа из первой коробки, раньше ей<br />
принадлежала";<br />
Н 2 "наугад извлеченная лампа из первой коробки, раньше ей не<br />
принадлежала":<br />
Р(Н 1 ) = 20/21; Р(Н 2 ) = 1/21.<br />
Р Н 1<br />
(А) = 18/20;<br />
Р Н 2<br />
(А) = 9/10.<br />
Искомая вероятность того, что из первой коробки будет извлечена<br />
стандартная лампа, по формуле полной вероятности равна:<br />
Р(А) = Р(Н 1 ) <br />
Р Н 1<br />
(А) + Р(Н 2 ) <br />
Р Н 2<br />
(А) =<br />
20 18 1 9<br />
= 0, 9<br />
21 20 21 10<br />
Пример 3. По цели произведено три последовательных выстрела.<br />
Вероятность попадания при первом выстреле р 1 = 0,5, при втором<br />
р 2 = 0,6, при третьем р 3 = 0,8. При одном попадании вероятность<br />
48
поражения цели равна 0,4, при двух 0,7, при трех 1,0. Найти вероятность<br />
поражения цели при трех выстрелах.<br />
Обозначим события:<br />
А "поражение цели при трех выстрелах";<br />
Н 1 "одно попадание";<br />
Н 2 "два попадания";<br />
Н 3 "три попадания";<br />
Н 4 "ни одного попадания".<br />
Согласно формуле полной вероятности<br />
Р(А) = Р(Н 1 ) Р<br />
Н 1<br />
(А) + Р(Н 2 ) Р<br />
Н 2<br />
(А) + Р(Н 3 ) Р<br />
Н 3<br />
(А) + Р(Н 4 ) Р<br />
Н 4<br />
(А).<br />
Из условия задачи имеем<br />
Р Н 1<br />
(А) = 0,4; Р Н 2<br />
(А) = 0,7; Р Н 3<br />
(А) = 1,0; Р Н 4<br />
(А) = 0.<br />
Вычислим вероятности событий Н 1 , Н 2 , Н 3 , Н 4 . Подчеркнем, что<br />
если р 1 , р 2 , р 3 соответственно вероятности попаданий при первом,<br />
втором и третьем выстрелах, то 1р 1 , 1р 2 , 1р 3 соответственно<br />
вероятности промахов при тех же выстрелах. Следовательно,<br />
Р(Н 1 ) = р 1 (1р 2 )(1р 3 ) + (1р 1 ) р 2 (1р 3 ) + (1р 1 )(1р 2 ) р 3 =<br />
= 0,50,40,2 + 0,50,60,2 + 0,50,40,8 = 0,26.<br />
Р(Н 2 ) = р 1 р 2 (1р 3 ) + р 1 (1р 2 ) р 3 + (1р 1 ) р 2 р 3 =<br />
= 0,50,60,2 + 0,50,40,8 + 0,50,60,8 = 0,46.<br />
Р(Н 3 ) = р 1 р 2 р 3 = 0,50,60,8 = 0,24.<br />
Р(Н 4 ) = (1р 1 )(1р 2 )(1р 3 ) = 0,50,40,2 = 0,04.<br />
Подставив полученные значения вероятностей в равенство, найдем<br />
Р(А) = 0,260,4 + 0,460,7 + 0,241 + 0,040 = 0,666.<br />
4.2. Вероятность гипотез. Формулы Байеса<br />
Пусть событие А может наступить при условии появления одного<br />
из несовместных событий Н 1 , Н 2 , …, Н n , образующих полную<br />
группу. Поскольку заранее не известно, какое из этих событий наступит,<br />
их называют гипотезами. Вероятность появления события А<br />
определяется по формуле полной вероятности (4.2)<br />
49
Р(А) = Р(Н 1 ) Р<br />
Н 1<br />
(А) + Р(Н 2 ) Р<br />
Н 2<br />
(А) + … + Р(Н n ) Р<br />
Допустим, что произведено испытание, в результате которого<br />
появилось событие А. Поставим своей задачей определить, как изменились<br />
(в связи с тем, что событие А уже наступило) вероятности<br />
гипотез. Другими словами, будем искать условные вероятности<br />
Р А (Н 1 ), Р А (Н 2 ), …, Р А (Н n ).<br />
Найдем сначала условную вероятность Р А (Н 1 ). По теореме умножения<br />
имеем Р(АН 1 ) = Р(А)Р А (Н 1 ) = Р(Н 1 ) Р (А). Отсюда Р А (Н 1 ) =<br />
=<br />
Р(<br />
Н<br />
1<br />
) Р<br />
Н<br />
1<br />
Р(<br />
А)<br />
Р А (Н 1 ) =<br />
Н 1<br />
Н n<br />
(А).<br />
( А)<br />
. Заменив здесь Р(А) по формуле (4.2), получим<br />
Р(<br />
Н<br />
1<br />
) Р<br />
Н<br />
1<br />
Р(<br />
Н<br />
( А)<br />
Р(<br />
Н<br />
2<br />
1<br />
) Р<br />
) Р<br />
Н<br />
2<br />
Н<br />
1<br />
( А)<br />
( А)<br />
... Р(<br />
Н<br />
n<br />
) P<br />
H n<br />
.<br />
( A)<br />
Аналогично выводятся формулы, определяющие условные вероятности<br />
остальных гипотез, т.е. условная вероятность любой гипотезы<br />
Н i (i = 1, 2, …, n) может быть вычислена по формуле<br />
Р(<br />
Нi<br />
) РН<br />
( А)<br />
i<br />
Р А (Н i ) =<br />
. (4.3)<br />
Р(<br />
Н ) Р ( А)<br />
Р(<br />
Н ) Р ( А)<br />
...<br />
Р(<br />
Н ) P ( )<br />
1 Н<br />
Н<br />
n H A<br />
1 2<br />
Полученные формулы называют формулами Байеса (по имени<br />
английского математика, который их вывел; опубликованы в 1764 г.).<br />
Формулы Байеса позволяют переоценить вероятности гипотез после<br />
того, как становится известным результат испытания, в итоге которого<br />
появилось событие А.<br />
Пример 4. Детали, изготовляемые цехом завода, попадают для<br />
проверки их на стандартность к одному из двух контролеров. Вероятность<br />
того, что деталь попадет к первому контролеру, равна 0,6, а ко<br />
второму – 0,4. Вероятность того, что годная деталь будет признана<br />
стандартной первым контролером, равна 0,94, вторым – 0,98. Годная<br />
деталь при проверке была признана стандартной. Найти вероятность<br />
того, что эту деталь проверил первый контролер.<br />
Обозначим через А событие, состоящее в том, что годная деталь<br />
признана стандартной. Можно сделать два предположения:<br />
2<br />
n<br />
50
деталь проверил первый контролер (гипотеза Н 1 );<br />
деталь проверил второй контролер (гипотеза Н 2 ).<br />
Искомую вероятность того, что деталь проверил первый контролер,<br />
найдем по формуле Байеса:<br />
Р А (Н 1 ) =<br />
Р(<br />
Н<br />
1<br />
) Р<br />
Р(<br />
Н<br />
Н<br />
1<br />
1<br />
) Р<br />
Н<br />
1<br />
( А)<br />
( А)<br />
Р(<br />
Н<br />
2<br />
) Р<br />
Н<br />
2<br />
.<br />
( А)<br />
Р Н 1<br />
По условию задачи имеем:<br />
Р(Н 1 ) = 0,6 (вероятность того, что деталь попадет к первому контролеру);<br />
Р(Н 2 ) = 0,4 (вероятность того, что деталь попадет ко второму<br />
контролеру);<br />
( А)<br />
= 0,94 (вероятность того, что годная деталь будет признана<br />
первым контролером стандартной);<br />
( А)<br />
= 0,98 (вероятность того, что годная деталь будет призна-<br />
Р Н 2<br />
на вторым контролером стандартной).<br />
0,6 0,94<br />
Искомая вероятность Р А (Н 1 ) = 0,59.<br />
0,6 0,94 0,4 0,98<br />
Как видно, до испытания вероятность гипотезы Н 1 равнялась<br />
0,6, а после того, как стал известен результат испытания, вероятность<br />
этой гипотезы (точнее, условная вероятность) изменилась и стала<br />
равной 0,59. Таким образом, использование формулы Байеса позволило<br />
переоценить вероятность рассматриваемой гипотезы.<br />
Пример 5. Имеются три одинаковые по виду урны. В первой<br />
урне 15 белых шаров, во второй – 10 белых и 5 черных, а в третьей –<br />
15 черных шаров. Из выбранной наугад урны вынули белый шар.<br />
Найти вероятность того, что шар вынут из первой урны.<br />
Обозначим события:<br />
А – "появление белого шара";<br />
Н 1 "выбор первой урны";<br />
Н 2 "выбор второй урны";<br />
Н 3 "выбор третьей урны".<br />
51
52<br />
Имеем Р(Н 1 ) = Р(Н 2 ) = Р(Н 3 ) = 1/3,<br />
Р Н 1<br />
(А) = 1, Р Н 2<br />
(А) = 10/15 = 2/3, Р Н 3<br />
(А) = 0.<br />
Искомую вероятность Р А (Н 1 ) находим по формуле (4.3):<br />
Р(<br />
Н1)<br />
РН<br />
( А)<br />
1<br />
Р А (Н 1 ) =<br />
=<br />
P(<br />
H ) P ( A)<br />
P(<br />
H ) P ( A)<br />
P(<br />
H ) P ( A)<br />
1<br />
Н<br />
1<br />
1<br />
1<br />
= 3 3<br />
0,6.<br />
1 1 2 1<br />
1<br />
0<br />
5<br />
3 3 3 3<br />
Пример 6. Двадцать учащихся, уезжающих в студенческий<br />
строительный отряд, пришли сдавать экзамен по математике досрочно.<br />
Шестеро из них подготовились отлично, восемь хорошо, четверо<br />
удовлетворительно, а двое совсем не подготовились – понадеялись,<br />
что все помнят. В билетах 50 вопросов. Отлично подготовившиеся<br />
учащиеся могут ответить на все 50 вопросов, хорошо – на 40, удовлетворительно<br />
– на 30 и неподготовившиеся – на 10 вопросов. Приглашенный<br />
учащийся ответил правильно на все три заданных ему вопроса.<br />
Найти вероятность того, что он отлично подготовился к экзамену.<br />
Обозначим события:<br />
Н 1 "приглашен учащийся, подготовившийся отлично";<br />
Н 2 "приглашен учащийся, подготовившийся хорошо";<br />
2<br />
Н 3 "приглашен учащийся, подготовившийся удовлетворительно";<br />
Н 4 "приглашен учащийся, не подготовившийся к экзамену";<br />
А – "приглашенный учащийся ответил на все три вопроса".<br />
Имеем Р(Н 1 ) = 6/20 = 0,3, Р(Н 2 ) = 8/20 = 0,4,<br />
Р(Н 3 ) = 4/20 = 0,2, Р(Н 4 ) = 2/20 = 0,1.<br />
Находим условные вероятности:<br />
40 39 38<br />
Р Н 1<br />
(А) = 1,<br />
Р Н 2<br />
(А) = 0,504,<br />
50 49 48<br />
30 29 28<br />
10 9 8<br />
Р Н 3<br />
(А) = 0,207, Р Н<br />
50 49 48<br />
4<br />
(А) = 0,006.<br />
50 49 48<br />
Согласно условию задачи требуется найти Р А (Н 1 ). Применив<br />
формулу Байеса, получим<br />
Н<br />
2<br />
3<br />
Н<br />
3
P(<br />
H<br />
1<br />
) P<br />
=<br />
Н<br />
1<br />
( A)<br />
P(<br />
H<br />
2<br />
) P<br />
Р(<br />
Н<br />
Н<br />
2<br />
Р А (Н 1 ) =<br />
1<br />
) Р<br />
Н<br />
1<br />
( A)<br />
P(<br />
H<br />
( А)<br />
3<br />
) P<br />
Н<br />
3<br />
( A)<br />
Р(<br />
Н<br />
4<br />
) Р<br />
0,31<br />
= 0,552.<br />
0,31<br />
0,40,504<br />
0,20,207<br />
0,1<br />
0,006<br />
Н<br />
4<br />
<br />
( А)<br />
Искомая вероятность сравнительно невелика. Поэтому для уточнения<br />
оценки желательно предложить учащемуся дополнительные<br />
вопросы.<br />
4.3. Задания для самостоятельного решения<br />
1. В первом ящике содержится 20 деталей, из них 15 стандартных,<br />
во втором 30 деталей, из них 24 стандартных, в третьем 10 деталей,<br />
из них 6 стандартных. Найти вероятность того, что наугад извлеченная<br />
деталь из наугад взятого ящика – стандартная.<br />
2. В первом цехе завода производится в среднем 90% стандартных<br />
деталей, во втором – 95%, а в третьем – 85%. В сборочный цех<br />
этого же завода поступает 50% деталей из первого цеха, 30% из<br />
второго и 20% из третьего. Найти вероятность того, что деталь, наугад<br />
взятая сборщиком, окажется стандартной.<br />
3. У сборщика имеются 80 деталей, 36 из которых изготовлены в<br />
первом цехе, 24 – во втором и 20 – в третьем. Вероятность того, что<br />
деталь, изготовленная в первом цехе, стандартная, равна 0,8, для второго<br />
цеха – 0,6 и для третьего цеха – 0,8. Найти вероятность того, что<br />
наугад взятая сборщиком деталь стандартна.<br />
4. Имеются два одинаковых по виду ящика. В первом ящике<br />
имеются 8 пар обуви 41 размера и 6 пар 42 размера, а во втором ящике<br />
10 пар 41 размера и 4 пары 42 размера. Из выбранного наугад ящика<br />
вынули одну пару обуви, оказавшейся 42 размера. Найти вероятность<br />
того, что обувь извлечена из первого ящика.<br />
5. Детали для сборки изготовляются на двух станках, из которых<br />
первый производит деталей в три раза больше второго. При этом брак<br />
составляет в выпуске первого станка 2,5%, а в выпуске второго –<br />
53
1,5%. Взятая наугад сборщиком деталь оказалась годной. Найти вероятность<br />
того, что она изготовлена на втором станке.<br />
6. У рыбака есть три излюбленных места рыбалки, которые он<br />
посещает с одинаковой вероятностью. Вероятность клева на первом<br />
месте равна 1/3, на втором 1/2, на третьем 1/4. Рыбак забросил<br />
удочку в наугад выбранном месте, и рыбка клюнула. Найти вероятность<br />
того, что он удил рыбу на первом месте.<br />
7. В ящик, содержащий 3 одинаковые детали, брошена стандартная<br />
деталь, а затем наугад извлечена одна деталь. Найти вероятность<br />
того, что извлечена стандартная деталь, если равновероятны все возможные<br />
предположения о числе стандартных деталей, первоначально<br />
находящихся в ящике.<br />
8. При отклонении от нормального режима работы автомата срабатывает<br />
сигнализатор С-1 с вероятностью 0,8, а сигнализатор С-2<br />
срабатывает с вероятностью 1. Вероятности того, что автомат снабжен<br />
сигнализатором С-1 или С-2, соответственно равны 0,6 и 0,4. Получен<br />
сигнал о неполадке автомата. Что вероятнее: автомат снабжен<br />
сигнализатором С-1 или С-2<br />
9. Для участия в студенческих отборочных спортивных соревнованиях<br />
выделено из первой группы курса 4 студента, из второй – 6, из<br />
третьей группы – 5. Вероятности того, что студент первой, второй и<br />
третьей группы попадает в сборную института, соответственно равны<br />
0,9; 0,7 и 0,8. Наугад выбранный студент в итоге соревнования попал<br />
в сборную. К какой из групп вероятнее всего принадлежал этот студент<br />
10. Вероятность для изделий некоторого производства удовлетворять<br />
стандарту равна 0,96. Предлагается упрощенная система проверки<br />
на стандартность, дающая положительный результат с вероятностью<br />
0,98 для изделий, удовлетворяющих стандарту, а для изделий,<br />
которые не удовлетворяют стандарту,– с вероятностью 0,05. Найти<br />
вероятность того, что изделие, признанное при проверке стандартным,<br />
действительно удовлетворяет стандарту.<br />
54
11. Из полного набора 28 костей домино наугад извлекают кость.<br />
Найти вероятность того, что вторую наугад извлеченную кость можно<br />
приставить к первой.<br />
Лекция № 5. ПОВТОРЕНИЕ ИСПЫТАНИЙ<br />
5.1. Формула Бернулли<br />
Определение. Испытания называются независимыми относительно<br />
события А, если вероятность появления события<br />
А в каждом из этих испытаний не зависит от результата,<br />
полученного в других испытаниях.<br />
В разных независимых испытаниях событие А может иметь либо<br />
различные вероятности, либо одну и ту же вероятность. Будем далее<br />
рассматривать лишь такие независимые испытания, в которых событие<br />
А имеет одну и ту же вероятность.<br />
Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых<br />
событие А может появиться либо не появиться. Условимся<br />
считать, что вероятность события А в каждом испытании одна и та<br />
же, а именно равна р. Следовательно, вероятность ненаступления события<br />
А в каждом испытании также постоянна и равна q = 1 p.<br />
Поставим перед собой задачу вычислить вероятность того, что<br />
при n испытаниях событие А осуществится ровно k раз и, следовательно,<br />
не осуществится n k раз. Важно подчеркнуть, что не требуется,<br />
чтобы событие А повторилось ровно k раз в определенной последовательности.<br />
Например, если речь идет о появлении события А<br />
три раза в четырех испытания, то возможны следующие сложные события:<br />
ААА А , АА АА, А ААА, А ААА. Запись ААА А означает, что в<br />
первом, втором и третьем испытаниях событие А наступило, а в четвертом<br />
испытании оно не появилось, т.е. наступило противоположное<br />
событие А ; соответственный смысл имеют и другие записи.<br />
Искомую вероятность обозначим P n (k). Например, символ Р 5 (3)<br />
означает вероятность того, что в пяти испытаниях событие появится<br />
ровно 3 раза и, следовательно, не наступит 2 раза.<br />
55
Поставленную задачу можно решить с помощью так называемой<br />
формулы Бернулли.<br />
Вывод формулы Бернулли. Вероятность одного сложного события,<br />
состоящего в том, что в n испытаниях событие А наступит k<br />
раз и не наступит n k раз, по теореме умножения вероятностей независимых<br />
событий равна p k q nk . Таких сложных событий может<br />
быть столько, сколько можно составить сочетаний из n элементов по<br />
k<br />
k элементов, т.е. С n . Так как эти сложные события несовместны, то<br />
по теореме сложения вероятностей несовместных событий искомая<br />
вероятность равна сумме вероятностей всех возможных сложных событий.<br />
Поскольку же вероятности всех этих сложных событий одинаковы,<br />
то искомая вероятность (появления k раз события А в n испытаниях)<br />
равна вероятности одного сложного события, умноженной на<br />
их число:<br />
56<br />
P n (k) =<br />
или P n (k) =<br />
k<br />
С n p k q nk<br />
n!<br />
p<br />
! k q nk . (5.1)<br />
k n k !<br />
Полученную формулу называют формулой Бернулли.<br />
Пример 1. Вероятность того, что расход электроэнергии в продолжение<br />
одних суток не превысит установленной нормы, равна<br />
р = 0,75. Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход<br />
электроэнергии в течение 4 суток не превысит нормы.<br />
Вероятность нормального расхода электроэнергии в продолжение<br />
каждых из 6 суток постоянна и равна р = 0,75. Следовательно, вероятность<br />
перерасхода электроэнергии в каждые сутки также постоянна<br />
и равна q = 1 p = 1 0,75 = 0,25.<br />
Искомая вероятность по формуле Бернулли равна<br />
4<br />
Р 6 (4) = С6<br />
p 4 q 2 3<br />
= С6<br />
p 4 q 2 6<br />
5 4 2<br />
= 0,75<br />
0,25<br />
= 0,3.<br />
1<br />
2<br />
Пример 2. В урне 20 шаров: 15 белых и 5 черных. Вынули подряд<br />
5 шаров, причем каждый вынутый шар возвращается в урну и перед<br />
извлечением следующего шары в урне тщательно перемешивают-
ся. Найти вероятность того, что из пяти вынутых шаров будет два белых.<br />
Вероятность появления белого шара в каждом испытании равна<br />
р = 15/20 = 3/4, а вероятность непоявления белого шара равна<br />
q = 1 p = 1/4. По формуле Бернулли находим<br />
Р 5 (2) =<br />
2<br />
С5<br />
p 2 q 52 =<br />
5<br />
4 3 <br />
<br />
<br />
1<br />
2 4 <br />
5.2. Локальная теорема Лапласа<br />
2<br />
1 <br />
<br />
<br />
4 <br />
3<br />
45<br />
= . 512<br />
Нетрудно заметить, что пользоваться формулой Бернулли при<br />
больших значениях n достаточно трудно, так как приходится выполнять<br />
действия над громадными числами.<br />
Естественно возникает вопрос: нельзя ли вычислить интересующую<br />
нас вероятность, не прибегая к формуле Бернулли Оказывается,<br />
можно. Локальная теорема Лапласа и дает асимптотическую формулу,<br />
которая позволяет приближенно найти вероятность появления события<br />
ровно k раз в n испытаниях, если число испытаний достаточно<br />
велико.<br />
Заметим, что для частного случая, а именно для р = 1/2, асимптотическая<br />
формула была найдена в 1730 г. Муавром; в 1783 г. Лаплас<br />
обобщил формулу Муавра для произвольного р, отличного от 0 и 1.<br />
Поэтому теорему, о которой здесь идет речь, иногда называют теоремой<br />
Муавра-Лапласа.<br />
Доказательство локальной теоремы Лапласа довольно сложно,<br />
поэтому мы приведем лишь формулировку теоремы и примеры, иллюстрирующие<br />
ее использование.<br />
Теорема. Если вероятность р появления события А в каждом<br />
испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то<br />
вероятность P n (k) того, что событие А появится в n испытаниях<br />
ровно k раз, приближенно равна (тем точнее, чем<br />
57
1 1 <br />
больше n) значению функции у = e 2<br />
npq 2<br />
при х =<br />
k np<br />
. npq<br />
х<br />
2<br />
1<br />
npq <br />
= x<br />
Имеются таблицы, в которых помещены значения функции<br />
2<br />
х<br />
1<br />
(х) = e 2 , соответствующие положительным значениям аргумента<br />
х (прил. 1). Для отрицательных значений аргумента<br />
2<br />
пользуются<br />
теми же таблицами, так как функция (х) четна, т.е. (х) = (х).<br />
Итак, вероятность того, что бытие А появится в n независимых<br />
испытаниях ровно k раз, приближенно равна<br />
1<br />
P n (k) (х), (5.2)<br />
npq<br />
где х =<br />
k np<br />
.<br />
npq<br />
Пример 3. Найти вероятность того, что событие А наступит<br />
ровно 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность появления этого события<br />
в каждом испытании равна 0,2.<br />
По условию, n = 400, k = 80, q = 0,8. Воспользуемся асимптотической<br />
формулой Лапласа:<br />
1<br />
1<br />
P 400 (80) <br />
(х) = (х)<br />
400<br />
0,2 0,8 8<br />
Вычислим определяемое данными задачи значение х:<br />
80 400 0,2<br />
х =<br />
= 0.<br />
8<br />
По таблице прил. 1 находим (0) = 0,3989.<br />
Искомая вероятность P 400 (80) = 8<br />
1 0,3989 = 0,04986.<br />
58<br />
5.3. Интегральная теорема Лапласа<br />
Вновь предположим, что производится n испытаний, в каждом<br />
из которых вероятность появления события А постоянна и равна р
(0 < р < 1). Как вычислить вероятность P n (k 1 , k 2 ) того, что событие А<br />
появится в n испытаниях не менее k 1 и не более k 2 раз (для краткости<br />
будем говорить "от k 1 до k 2 раз") На этот вопрос отвечает<br />
интегральная теорема Лапласа, которую мы приводим ниже, опустив<br />
доказательство.<br />
Теорема. Если вероятность р наступления события А в<br />
каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы,<br />
то вероятность P n (k 1 , k 2 ) того, что событие А появится в n<br />
испытаниях от k 1 до k 2 раз, приближенно равна определенному<br />
интегралу<br />
где х' =<br />
k np<br />
1<br />
и<br />
npq<br />
Р n (k 1 , k 2 )<br />
<br />
k2 np<br />
x .<br />
npq<br />
1<br />
2<br />
2<br />
x<br />
z<br />
<br />
e 2<br />
x<br />
dz , (5.3)<br />
При решении задач, требующих применения интегральной теоремы<br />
Лапласа, пользуются специальными таблицами, так как неопределенный<br />
интеграл<br />
e<br />
функции. Таблица для интеграла Ф(х) =<br />
<br />
2<br />
z<br />
2<br />
dz<br />
не выражается через элементарные<br />
1<br />
2<br />
<br />
2<br />
x<br />
z<br />
<br />
e 2<br />
x<br />
dz<br />
приведена в<br />
прил. 2. В таблице даны значения функции Ф(х) для положительных<br />
значений х и для х = 0; для х < 0 пользуются той же таблицей, так<br />
как функция Ф(х) нечетна, т.е. Ф(х) = Ф(х). В таблице приведены<br />
значения интеграла лишь до х = 5, так как для х > 5 можно принять<br />
Ф(х) = 0,5. Функцию Ф(х) часто называют функцией Лапласа.<br />
Приведем примеры, иллюстрирующие применение интегральной<br />
теоремы Лапласа.<br />
Пример 4. Известно, что 30% призывников имеют обувь 37<br />
размера. Сколько пар обуви надо иметь на складе воинской части,<br />
чтобы с вероятностью не меньшей 0,9 были обеспечены все такие<br />
призывники, если в часть прибыло 200 новобранцев<br />
59
Подбор пары обуви каждому призывнику – одно из 200 испытаний,<br />
причем вероятность того, что ему потребуется обувь 37 размера,<br />
р = 0,3 (q = 0,7). Пусть на складе имеется k пар обуви, где k пока не<br />
известно. Требуется подобрать такое k, чтобы Р 200 (0 m k) 0,9.<br />
Поскольку n = 200 велико, а р и q не малы, применим интегральную<br />
формулу Лапласа:<br />
k np<br />
P 200 (0; k) = Ф(х'') Ф(х') = x =<br />
npq <br />
k np 0 np k 200<br />
0,3 <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
npq npq 200<br />
0,3 0,7 <br />
k 60 60 k 60 <br />
k 60 <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
6,48 6,48 6,48 <br />
6,48 <br />
k 60 <br />
Ф<br />
0,4 <br />
6,48 <br />
200<br />
0,3<br />
200<br />
0,3 0,7<br />
<br />
<br />
9,26 <br />
0,5 0, 9<br />
k 60 <br />
<br />
6,48 <br />
> 1,28<br />
Решая полученное неравенство, находим k > 68,2944. То есть на<br />
складе достаточно иметь 69 пар обуви 37 размера, чтобы с вероятностью<br />
0,9 обеспечить ее спрос.<br />
5.4. Формула Пуассона<br />
Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых<br />
вероятность появления события А равно р. Для определения<br />
вероятности k появлений события в этих испытаниях используют<br />
формулу Бернулли (см. п. 5.1). Если же n велико, то пользуются<br />
асимптотической формулой Лапласа. Однако эта формула непригодна,<br />
если вероятность события мала (р 0,1). В случаях, когда n велико,<br />
р мало, прибегают к асимптотической формуле Пуассона.<br />
Итак, будем искать вероятность события, состоящего в том, что<br />
при очень большом числе испытаний, в каждом из которых вероятность<br />
события очень мала, событие наступит ровно k раз, при этом<br />
предположим, что произведение n р есть величина постоянная,<br />
например, равная (среднее число появлений события).<br />
<br />
60
Интересующая нас вероятность вычисляется по формуле:<br />
P n (k) =<br />
<br />
k<br />
е<br />
k !<br />
<br />
, = n р, (5.4)<br />
которая выражает закон распределения Пуассона вероятностей массовых<br />
(n велико) и редких (р мало) событий. Для вывода формулы<br />
(5.4) используется формула Бернулли (5.1).<br />
Пример 5. Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность<br />
обрыва нити на одном веретене в течение 1 мин равна 0,004.<br />
Найти вероятность того, что в течение 1 мин обрыв произойдет на пяти<br />
веретенах.<br />
k<br />
<br />
= n р = 4<br />
5<br />
е 4 е 4<br />
P 1000 (5) = 0,1562<br />
k ! 5!<br />
4<br />
120<br />
е<br />
Значение функции е х можно найти по таблицам или с помощью<br />
калькулятора, а также в прил. 3.<br />
5.5. Задания для самостоятельного решения<br />
1. В квартире шесть электролампочек. Вероятность того, что каждая<br />
лампочка останется исправной в течение года, равна 5/6. Найти<br />
вероятность того, что в течение года придется заменить две лампочки.<br />
2. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна<br />
1/5. Найти вероятность того, что из десяти выстрелов не будет ни одного<br />
попадания.<br />
3. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,9.<br />
Найти вероятность 5 попаданий при 6 выстрелах.<br />
4. В ящике находятся 80 стандартных и 20 нестандартных деталей.<br />
Найти вероятность того, что из пяти взятых наугад деталей не<br />
менее четырех окажутся стандартными.<br />
5. Для нормальной работы станции скорой медицинской помощи<br />
требуется не менее восьми автомашин, а их имеется десять. Найти<br />
вероятность нормальной работы станции в ближайший день, если вероятность<br />
ежедневной неисправности каждой автомашины равна 0,1.<br />
4<br />
5<br />
61
6. Монету бросают 6 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет:<br />
а) менее двух раз; б) не менее двух раз.<br />
7. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из орудия<br />
р = 0,9. Вероятность поражения цели при k попаданиях (k 1) равна<br />
1 q k . Найти вероятность того, что цель будет поражена, если сделано<br />
два выстрела. (Воспользоваться формулами Бернулли и полной<br />
вероятности.)<br />
8. Найти приближенно вероятность того, что при 400 испытаниях<br />
событие наступит ровно 104 раза, если вероятность его появления в<br />
каждом испытании равна 0,2.<br />
9. Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле<br />
равна 0,75. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень<br />
будет поражена: а) не менее 70 и не более 80 раз; б) не более 70 раз.<br />
10. Найти вероятность того, что отклонение частоты появления<br />
m<br />
случайного события от вероятности р по абсолютной величине<br />
n<br />
m <br />
не превышает заданного числа 0 Р<br />
p .<br />
n <br />
11. Вероятность появления события в каждом из 10 000 независимых<br />
испытания р = 0,75. Найти вероятность того, что относительная<br />
частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной<br />
величине не более чем на 0,001.<br />
12. Вероятность появления события в каждом из независимых<br />
испытаний равна 0,2. Найти, какое отклонение относительной частоты<br />
появления события от его вероятности можно ожидать с вероятностью<br />
0,9128 при 5000 испытаниях.<br />
13. Сколько раз надо бросить монету, чтобы с вероятностью 0,6<br />
можно было ожидать, что отклонение относительной частоты появлений<br />
герба от вероятности р = 0,5 окажется по абсолютной величине<br />
не более 0,01<br />
14. Какова вероятность того, что среди 500 наугад выбранных человек<br />
двое родились 1-го мая<br />
62
15. Среди 1000 человек приблизительно 8 левшей. Какова вероятность<br />
того, что среди сотни наугад выбранных человек не окажется<br />
ни одного левши<br />
5.6. Контрольная работа по разделу "Случайные события"<br />
1. Студент знает 45 из 60 вопросов программы. Каждый экзаменационный<br />
билет содержит три вопроса. Найти вероятность того, что:<br />
а) студент знает все три вопроса; б) только два вопроса; в) только<br />
один вопрос экзаменационного билета.<br />
2. В каждой из двух урн находится 5 белых и 10 черных шаров.<br />
Из первой урны во вторую переложили наудачу один шар, а затем из<br />
второй урны вынули наугад один шар. Найти вероятность того, что<br />
вынутый шар окажется черным.<br />
3. Три стрелка в одинаковых и независимых условиях произвели<br />
по одному выстрелу по одной и той же цели. Вероятность поражения<br />
цели первым стрелком равна 0,9, вторым – 0,8, третьим – 0,7. Найти<br />
вероятность того, что: а) только один из стрелков попадает в цель; б)<br />
только два стрелка попадут в цель; в) все три стрелка попадут в цель.<br />
4. Вероятность наступления события в каждом из одинаковых и<br />
независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что в<br />
1600 испытаниях событие наступит 1200 раз.<br />
5. Какова вероятность того, что среди 500 наугад выбранных лиц:<br />
а) пятеро родились в марте; б) трое родились 10 июня; в) ни один не<br />
родился 17 сентября<br />
6. Вероятность наступления события в каждом из одинаковых и<br />
независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что в 125<br />
испытаниях событие наступит не менее 75 и не более 90 раз.<br />
7. Турист, заблудившись в лесу, вышел на поляну, от которой в<br />
разные стороны ведут пять дорог. Если турист пойдет по первой дороге,<br />
то вероятность выхода туриста из леса в течение часа составит<br />
0,6; если по второй – 0,3; если по третьей – 0,2; если по четвертой –<br />
0,1; если по пятой – 0,1. Какова вероятность того, что турист пошел<br />
по первой дороге, если он через час вышел из леса<br />
63
8. Вы играете в шахматы с равным по силе партнером. Чего следует<br />
больше ожидать: трех побед в четырех партиях или пяти побед<br />
в восьми партиях<br />
9. Мишень в тире состоит из "яблока" и двух концентрических<br />
"колец". Вероятность попадания в "яблоко" одним выстрелом 1/10, в<br />
первое "кольцо" – 1/5, во второе – 2/5, вероятность промахнуться<br />
3/10. По мишени выпущено 5 выстрелов. Какова вероятность двух<br />
попаданий в "яблоко" и одного попадания во второе "кольцо"<br />
10. Вероятность встретить на улице своего товарища равна 0,002.<br />
Какова вероятность того, что среди 1200 случайных прохожих вы<br />
встретите не более трех своих товарищей<br />
Раздел II. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ<br />
Лекция № 6. ВИДЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.<br />
СПОСОБ ЗАДАНИЯ И ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ<br />
ДИСКРЕТНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ<br />
6.1. Случайные величины<br />
Определение. Случайной называют величину, которая в<br />
результате испытания примет одно и только одно возможное<br />
значение, наперед не известное и зависящее от случайных<br />
причин, которые заранее не могут быть учтены.<br />
Пример 1. Число родившихся мальчиков среди ста новорожденных<br />
есть случайная величина, которая имеет следующие возможные<br />
значения: 0, 1, 2, …, 100.<br />
Пример 2. Расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле<br />
из орудия, есть случайная величина. Действительно, расстояние зависит<br />
не только от установки прицела, но и от многих других причин<br />
(силы и направления ветра, температуры и т.д.), которые не могут<br />
быть полностью учтены. Возможные значения этой величины принадлежат<br />
некоторому промежутку (a, b).<br />
64
Пример 3. Число очков, которое выпадает при подбрасывании<br />
игральной кости: 1, 2, 3, 4, 5,6.<br />
Будем далее обозначать случайные величины прописными буквами<br />
X, Y, Z, а их возможные значения – соответствующими строчными<br />
буквами x, y, z. Например, если случайная величина Х имеет<br />
три возможных значения, то они будут обозначены так: x 1 , x 2 , x 3 .<br />
В приведенных примерах можно выделить случайные величины,<br />
которые принимают отдельные изолированные значения, отделенные<br />
друг от друга промежутками, в которых нет возможных значений<br />
(примеры 1 и 3). Во втором примере случайная величина могла принять<br />
любое из значений промежутка (a, b). Здесь нельзя отделить одно<br />
возможное значение от другого промежутком, не содержащим возможных<br />
значений случайной величины.<br />
Уже из сказанного можно заключить о целесообразности различать<br />
случайные величины, принимающие лишь отдельные, изолированные<br />
значения, и случайные величины, возможные значения которых<br />
сплошь заполняют некоторый промежуток.<br />
Определение. Дискретной (прерывной) называют случайную<br />
величину, которая принимает отдельные, изолированные<br />
возможные значения с определенными вероятностями.<br />
Число возможных значений дискретной случайной величины<br />
может быть конечным или бесконечным.<br />
Определение. Непрерывной называют случайную величину,<br />
которая может принимать все значения из некоторого конечного<br />
или бесконечного промежутка.<br />
Очевидно, число возможных значений непрерывной случайной<br />
величины бесконечно.<br />
6.2. Способ задания дискретной случайной величины<br />
Определение. Соответствие между возможными значениями<br />
х 1 , х 2 , …, x n случайной величины Х и их вероятностями<br />
р 1 , р 2 , …, р n называется законом распределения случайной<br />
величины Х.<br />
65
Закон распределения случайной величины может быть представлен<br />
в виде табл. 6.1.<br />
Таблица 6.1<br />
66<br />
Х х 1 х 2 … x i … x n<br />
р р 1 р 2 … р i … р n<br />
События Х = х 1 , Х = х 2 , …, Х = x n образуют полную группу попарно<br />
несовместных событий, поэтому сумма их вероятностей равна<br />
единице<br />
р 1 + р 2 + … + р n = 1.<br />
Пример 4. Составим закон распределения выпадения герба при<br />
одном подбрасывании монеты (табл. 6.2).<br />
Таблица 6.2<br />
Х 0 1<br />
р 1/2 1/2<br />
Пример 5. Закон распределения вероятностей дискретной случайной<br />
величины Х – числа очков, выпадающих при бросании правильной<br />
игральной кости, имеет вид, заданный табл. 6.3.<br />
Таблица 6.3<br />
Х 1 2 3 4 5 6<br />
Р 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6<br />
Для наглядности закон распределения дискретной случайной величины<br />
можно изобразить и графически, для чего в прямоугольной<br />
системе координат строят точки (x i , р i ), а затем соединяют их отрезками<br />
прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения.<br />
6.3. Виды законов распределения дискретной случайной<br />
величины<br />
Биномиальное распределение. Пусть случайная величины Х –<br />
число появлений события А в n независимых испытаниях, в каждом<br />
из которых вероятность появления события А равна р, а непоявле-
ния q = 1 р. Очевидно, что Х может принимать значения 0, 1, 2,<br />
…, n, вероятности которых определяются по формуле Бернулли:<br />
k<br />
Р п (k) = P(X = k) = С n p k q n-k , k = 0, 1, 2, …, n. (6.1)<br />
Определение. Биномиальным распределением называется<br />
закон распределения случайной величины Х, имеющей вид<br />
(табл. 6.4)<br />
Таблица 6.4<br />
Х 0 1 2 … k … n<br />
р<br />
0<br />
Сn<br />
p 0 q n<br />
С 1 n p 1 q n1<br />
С 2 n p 2 q n2<br />
…<br />
k<br />
Сn<br />
p k q nk<br />
…<br />
n<br />
Сn<br />
p n q 0<br />
Пример 6. Составить закон распределения числа попаданий в<br />
цель при четырех выстрелах, если вероятность попадания при одном<br />
выстреле равна 0,9.<br />
Случайная величина Х – число попаданий в цель при четырех<br />
выстрелах – может принимать значения 0, 1, 2, 3, 4, а соответствующие<br />
им вероятности находим по формуле Бернулли (6.1):<br />
Р(Х = 0) =<br />
Р(Х = 1) =<br />
Р(Х = 2) =<br />
Р(Х = 3) =<br />
0<br />
С4<br />
0,9 0 0,1 4 = 0,0001;<br />
1<br />
С4<br />
0,9 1 0,1 3 = 0,0036;<br />
2<br />
С4<br />
0,9 2 0,1 2 = 0,0486;<br />
3<br />
С4<br />
0,9 3 0,1 1 = 0,2916;<br />
4<br />
Р(Х = 4) = С4<br />
0,9 4 0,1 0 = 0,6561.<br />
Итак, искомый закон распределения имеет вид (табл. 6.5).<br />
Таблица 6.5<br />
Х 0 1 2 3 4<br />
р 0,0001 0,0036 0,0486 0,2916 0,6561<br />
Геометрическое распределение. Пусть производятся независимые<br />
испытания, в каждом из которых вероятность появления события<br />
А равна p (0 < p < 1) и, следовательно, вероятность его непоявления<br />
q = 1 – p. Испытания заканчиваются, как только появится со-<br />
67
бытие А. Таким образом, если событие А появилось в k-м испытании,<br />
то в предшествующих k – 1 испытаниях оно не появлялось.<br />
Обозначим через Х дискретную случайную величину – число<br />
испытаний, которые нужно провести до первого появления события<br />
А. Очевидно, возможными значениями Х являются натуральные<br />
числа: х 1 = 1, х 2 = 2, …<br />
Пусть в первых k – 1 испытаниях событие А не наступило, а в<br />
k-м испытании появилось. Вероятность этого "сложного события",<br />
по теореме умножения вероятностей независимых событий,<br />
P(Х = k) = q k1 p. (6.2)<br />
Полагая в формуле (6.2) k = 1, 2, …, получим геометрическую<br />
прогрессию с первым членом р и знаменателем q (0 < q < 1):<br />
68<br />
р, qр, q 2 р, …, q k1 р, … (6.3)<br />
По этой причине распределение называют геометрическим.<br />
Легко убедиться, что ряд (6.3) сходится и сумма его равна едини-<br />
p<br />
це. Действительно, S = <br />
1 q<br />
p<br />
p<br />
= 1.<br />
Пример 7. Из орудия производится стрельба по цели до первого<br />
попадания. Вероятность попадания в цель р = 0,6. Составить закон<br />
распределения дискретной случайной величины Х – "число выстрелов<br />
до первого попадания в цель, если производится 3 выстрела"<br />
(табл. 6.6).<br />
Таблица 6.6<br />
P(Х = 1) = p = 0,6<br />
Х 1 2 3<br />
р 0,6 0,24 0,16<br />
P(Х = 2) = q p = 0,40,6 = 0,24<br />
P(Х = 3) = q q = 0,40,4 = 0,16<br />
p 1 + p 2 + p 3 = 0,6 + 0,26 + 0,16 = 1<br />
Гипергеометрическое распределение. Прежде чем дать определение<br />
гипергеометрического распределения, рассмотрим задачу.<br />
Пусть в партии из N изделий имеется М стандартных (М < N). Из
партии случайно отбирают n изделий (каждое изделие может быть<br />
извлечено с одинаковой вероятностью), причем отобранное изделие<br />
перед отбором следующего не возвращается в партию (поэтому<br />
формула Бернулли здесь неприменима). Обозначим через Х случайную<br />
величину – число m стандартных изделий среди n отобранных.<br />
Очевидно, возможные значения Х таковы: 0, 1, 2, …, min (M, n).<br />
Найдем вероятность того, что Х = m, т.е. что среди n отобранных<br />
изделий ровно m стандартных. Используем для этого классическое<br />
определение вероятности.<br />
Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих<br />
событию Х = m, к числу всех элементарных исходов<br />
P(Х = m) =<br />
C<br />
m<br />
M<br />
C<br />
nm<br />
N M<br />
n<br />
N<br />
C<br />
<br />
(6.4)<br />
Формула (6.4) определяет распределение вероятностей, которое<br />
называют гипергеометрическим.<br />
6.4. Числовые характеристики дискретной случайной величины<br />
Математическое ожидание. Кроме закона распределения, который<br />
дает полное представление о случайной величине, часто используют<br />
числа, которые описывают случайную величину суммарно.<br />
Такие числа называют числовыми характеристиками случайной<br />
величины. Среди числовых характеристик весьма важной является<br />
математическое ожидание, которое указывает, какое среднее значение<br />
случайной величины следует ожидать в результате испытаний<br />
или наблюдений.<br />
Определение. Математическим ожиданием М(Х) дискретной<br />
случайной величины Х называется сумма произведений<br />
всех ее возможных значений х i на соответствующие вероятности<br />
р i :<br />
М(Х) = х 1 р 1 + х 2 р 2 + … + х n р n = x . (6.5)<br />
n<br />
i1<br />
i p i<br />
69
Пример 8. Найти математическое ожидание случайной величины<br />
Х, зная ее закон распределения (табл. 6.7).<br />
Таблица 6.7<br />
Х 1 0 1 2 3<br />
р 0,2 0,1 0,25 0,15 0,3<br />
По формуле (6.5) находим<br />
М(Х) = 10,2 + 00,1 + 10,25 + 20,15 + 30,3 = 1,25.<br />
Приведем без доказательства свойства математического ожидания.<br />
1. Математическое ожидание постоянной величины С равно самой<br />
этой величине:<br />
М(С) = С. (6.6)<br />
2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического<br />
ожидания:<br />
М(СХ) = СМ(Х). (6.7)<br />
3. Математическое ожидание суммы случайных величин равно<br />
сумме их математических ожиданий (теорема сложения математических<br />
ожиданий):<br />
М(Х + Y) = М(Х) + М(Y). (6.8)<br />
4. Математическое ожидание произведения независимых случайных<br />
величин равно произведению их математических ожиданий (теорема<br />
умножения математических ожиданий):<br />
М(ХY) = М(Х) М(Y). (6.9)<br />
Пример 9. Независимые случайные величины Х и Y заданы<br />
следующими законами распределения:<br />
Х 1 2 5 Y 7 8<br />
р 0,2 0,7 0,1 р 0,2 0,8<br />
Найти М(ХY): а) непосредственно; б) используя свойство 4.<br />
а) Составим закон распределения случайной величины ХY:<br />
ХY 7 8 14 16 35 40<br />
р 0,04 0,16 0,14 0,56 0,02 0,08<br />
70
М(ХY) = 70,04 + 80,16 + 140,14 + 160,56 + 350,02 + 400,08 =<br />
= 16,38.<br />
б) Найдем математические ожидания каждой случайной величины:<br />
М(Х) = 10,2 + 20,7 + 50,1 = 2,1<br />
М(Y) = 70,2 + 80,8 = 7,8.<br />
Так как величины Х и Y независимые, то<br />
М(ХY) = М(Х) М(Y) = 2,17,8 = 16,38.<br />
5. Математическое ожидание М(Х) числа появлений события А<br />
в n независимых испытаниях равно произведению числа испытаний<br />
на вероятность появления события в каждом испытании:<br />
М(Х) = n р. (6.10)<br />
Дисперсия. Рассмотрим следующий пример.<br />
Пример 10. Найти математическое ожидание случайных величин<br />
Х и Y, зная законы их распределения.<br />
Х 8 4 1 1 3 7<br />
р 1/12 1/6 1/4 1/6 1/12 1/4<br />
Y 2 1 0 1 2 3<br />
р 1/6 1/6 1/12 1/3 0 1/4<br />
По формуле (6.5) находим<br />
М(Х) = 8 12<br />
1 4 6<br />
1 1 4<br />
1 + 1 6<br />
1 + 312<br />
1 + 7 4<br />
1 = 12<br />
7 ,<br />
М(Y) = 2 6<br />
1 1 6<br />
1 + 012<br />
1 + 1 3<br />
1 + 2 0 + 3 4<br />
1 =12<br />
7 .<br />
Мы получили любопытный результат: законы распределения величин<br />
Х и Y разные, а их математические ожидания одинаковы.<br />
Из рис. 6.1. видно, что значения величины Y более сосредоточены<br />
около математического ожидания М(Y), чем значения величины<br />
Х, которые разбросаны (рассеяны) относительно ее математического<br />
ожидания М(Х) (рис. 6.2).<br />
71
2<br />
1<br />
0<br />
1<br />
2<br />
3<br />
Y<br />
М(Y)<br />
Р и с. 6.1<br />
8 4 1 0 1 3 7<br />
Х<br />
М(Х)<br />
Р и с. 6.2<br />
Основной числовой характеристикой степени рассеяния значений<br />
случайной величины Х относительно ее математического ожидания<br />
М(Х) является дисперсия, которая обозначается через D(Х).<br />
Определение. Отклонением называется разность между<br />
случайной величиной Х и ее математическим ожиданием М(Х),<br />
т.е. Х М(Х).<br />
Заметим, что отклонение Х М(Х) и его квадрат (Х М(Х)) 2 также<br />
являются случайными величинами. Причем если случайная величина<br />
Х распределена по закону, заданному табл. 6.1, то квадрат ее<br />
отклонения имеет следующий закон распределения (табл. 6.8):<br />
Таблица 6.8<br />
(Х М(Х)) 2 (х 1 М(Х)) 2 (х 2 М(Х)) 2 … (х n М(Х)) 2<br />
р р 1 р 2 … р n<br />
Действительно, чтобы случайная величина (Х М(Х)) 2 приняла<br />
значение (х 1 М(Х)) 2 , достаточно, чтобы случайная величина Х приняла<br />
значение х 1 . Вероятность же этого события равна р 1 . Аналогично<br />
обстоит дело и для остальных возможных значений квадратов<br />
отклонений.<br />
Введем теперь определение дисперсии случайной величины Х.<br />
72
Определение. Дисперсией дискретной случайной величины<br />
Х называется математическое ожидание квадрата ее отклонения<br />
от математического ожидания:<br />
D(Х) = М(Х М(Х)) 2 . (6.11)<br />
Пример 11. Найти дисперсию случайной величины Х, заданной<br />
законом распределения:<br />
Х 1 2 5<br />
р 0,3 0,5 0,2<br />
Найдем математическое ожидание Х:<br />
М(Х) = 10,3 + 20,5 + 50,2 = 2,3.<br />
Найдем все возможные значения квадрата отклонения (Х М(Х)) 2 :<br />
(х 1 М(Х)) 2 = (1 – 2,3) 2 = 1,69<br />
(х 2 М(Х)) 2 = (2 – 2,3) 2 = 0,09<br />
(х 3 М(Х)) 2 = (5 – 2,3) 2 = 7,29.<br />
Запишем закон распределения случайной величины (Х М(Х)) 2 :<br />
(Х М(Х)) 2 1,69 0,09 7,29<br />
р 0,3 0,5 0,2<br />
По определению найдем D(Х):<br />
D(Х) = 1,690,3 + 0,090,5 + 7,290,2 = 2,01.<br />
Однако, такое вычисление не очень удобно. Упростим формулу<br />
(6.11), используя свойства математического ожидания:<br />
D(Х) = М(Х М(Х)) 2 = М(Х 2 2М(Х) Х + М 2 (Х)) =<br />
= М(Х 2 ) 2М(Х) М(Х) + М 2 (Х) = М(Х 2 ) М 2 (Х). (6.12)<br />
Вывод: Дисперсия случайной величины есть разность между математическим<br />
ожиданием квадрата случайной величины и квадратом<br />
ее математического ожидания.<br />
Приведем без доказательства некоторые свойства дисперсии.<br />
1. Дисперсия постоянной величины С равна нулю:<br />
D(С) = 0. (6.13)<br />
2. Если Х случайная величина, а С постоянная, то<br />
D(СХ) = С 2 D(Х). (6.14)<br />
3. Если Х и Y независимые случайные величины, то<br />
73
D(Х + Y) = D(Х) + D(Y). (6.15)<br />
Следствие 1. Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых<br />
случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.<br />
Следствие 2.<br />
D(С + Х) = D(Х). (6.16)<br />
Следствие 3.<br />
D(Х Y) = D(Х) + D(Y). (6.17)<br />
4. Дисперсия числа появлений события А в n независимых испытаниях,<br />
в каждом из которых вероятность р появления события<br />
постоянна, равна произведению числа испытаний на вероятность появления<br />
и непоявления события в одном испытании:<br />
D(Х) = n р q. (6.18)<br />
Доказать свойства самостоятельно.<br />
Пример 12. Дискретная случайная величина распределена по<br />
закону<br />
Х 1 0 1 2<br />
р 0,2 0,1 0,3 0,4<br />
Найти D(Х).<br />
Сначала находим<br />
М(Х) = 10,2 + 00,1 + 10,3 + 20,4 = 0,9,<br />
а затем<br />
М(Х 2 ) = 10,2 + 00,1 + 10,3 + 40,4 = 2,1.<br />
По формуле (6.12) имеем:<br />
D(Х) = М(Х 2 ) М 2 (Х) = 2,1 – 0,81 = 1,29.<br />
Пример 13. Сравнить дисперсии случайных величин, заданных<br />
законами распределения:<br />
Х 1 1 2 3 Y 1 1 2 3<br />
р 0,48 0,01 0,09 0,42 р 0,19 0,51 0,25 0,05<br />
Находим:<br />
М(Х) = 10,48 + 10,01 + 20,09 + 30,42 = 0,97;<br />
М(Х 2 ) = 10,48 + 10,01 + 40,09 + 90,42 = 4,63;<br />
D(Х) = 4,63 – 0,97 2 3,69;<br />
74
М(Y) = 10,19 + 10,51 + 20,25 + 30,05 = 0,97;<br />
М(Y 2 ) = 10,19 + 10,51 + 40,25 + 90,05 = 2,15;<br />
D(Y) = 2,15 – 0,97 2 1,21.<br />
Полученные результаты показывают, что несмотря на то, что<br />
значения и математические ожидания случайных величин Х и Y одинаковы,<br />
их дисперсии различны, причем D(Х) > D(Y). Это означает,<br />
что случайная величина Y с большей вероятностью принимает значения,<br />
близкие к математическому ожиданию, чем случайная величина Х.<br />
Среднее квадратическое отклонение. Для оценки рассеяния<br />
значений случайной величины вокруг ее среднего значения кроме<br />
дисперсии служит и другая характеристика – среднее квадратическое<br />
отклонение.<br />
Определение. Средним квадратическим отклонением случайной<br />
величины Х называют квадратный корень из дисперсии:<br />
(Х) = D(X). (6.19)<br />
(Х) имеет размерность случайной величины Х.<br />
6.5. Закон больших чисел<br />
Основная особенность случайной величины состоит в том, что<br />
нельзя заранее предвидеть, какое из возможных значений она примет<br />
в результате испытания. Однако при достаточно большом числе испытаний<br />
поведение случайных величин почти утрачивает случайный<br />
характер и становится закономерным. Весьма важным при этом является<br />
знание условий возникновения закономерностей случайной величины.<br />
Эти условия составляют содержание ряда теорем, получивших<br />
общее название закона больших чисел. Впервые этот закон (в<br />
простейшей его форме) был сформулирован Яковом Бернулли в виде<br />
теоремы, устанавливающей связь между вероятностью случайного<br />
события и его частотой.<br />
Теорема Бернулли. Если в каждом из n независимых испытаний<br />
вероятность р наступления события А постоянна, а<br />
число испытаний достаточно велико, то вероятность того, что<br />
75
частота m/n события А будет как угодно мало отличаться от<br />
его вероятности р, сколь угодно близка к единице, т.е. для<br />
любого 0 имеет место<br />
m <br />
lim P<br />
p <br />
1.<br />
n<br />
n <br />
Наиболее общим законом больших чисел является теорема Чебышева,<br />
которую, как и теорему Бернулли, мы приводим без доказательства,<br />
пояснив лишь ее сущность.<br />
Теорема Чебышева. Если Х 1 , Х 2 , …, Х n попарно независимые<br />
случайные величины, причем дисперсии их не превышают<br />
постоянного числа С, а число их достаточно велико,<br />
то, как бы мало ни было данное число 0, вероятность того,<br />
что отклонение средней арифметической этих случайных<br />
величин от средней арифметической их математических ожиданий<br />
по абсолютной величине меньше , сколь угодно близка<br />
к единице.<br />
Другими словами, если случайные величины Х 1 , Х 2 , …, Х n удовлетворяют<br />
условию теоремы Чебышева, то<br />
Х1 Х 2 ... Х n M ( X1)<br />
M ( X 2 ) ... M ( X n)<br />
<br />
lim P<br />
<br />
<br />
=1.<br />
n<br />
n<br />
n<br />
<br />
Очевидно, что если все случайные величины Х 1 , Х 2 , …, Х n , удовлетворяющие<br />
условию теоремы Чебышева, имеют одно и то же математическое<br />
ожидание, т.е.<br />
М(Х 1 ) = М(Х 2 ) = … = М(Х n ) = а,<br />
Х1<br />
Х 2 ... Х n <br />
то<br />
lim P<br />
а =1.<br />
n<br />
n<br />
<br />
Таким образом, среднее арифметическое достаточно большого<br />
числа попарно независимых случайных величин, дисперсии которых<br />
ограничены одним и тем же числом, утраивают характер случайной<br />
величины. В этом состоит сущность теоремы Чебышева, представляющей<br />
одну из самых общих форм закона больших чисел.<br />
76
Значение закона больших чисел трудно переоценить. Так, широко<br />
применяемый на практике выборочный метод основан на законе<br />
больших чисел. Например, на заготовительных пунктах о качестве<br />
привезенной продукции судят по небольшой его пробе. Хотя во взятой<br />
пробе число единиц привезенной продукции значительно меньше,<br />
чем во всей партии, их вполне достаточно для проявления закона<br />
больших чисел с точностью, удовлетворяющей потребности практики.<br />
Широко применяется закон больших чисел при планировании<br />
объема и ассортимента товаров широкого потребления, в теории надежности,<br />
теории стрельбы, теории измерений и во многих других<br />
отраслях науки и народного хозяйства.<br />
6.6. Задания для самостоятельного решения<br />
1. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения<br />
Х 2 4 5 6<br />
р 0,3 0,1 0,2 0,4<br />
Построить многоугольник распределения.<br />
2. В денежной лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывается<br />
один выигрыш в 50 руб. и десять выигрышей по 1 руб. Найти закон<br />
распределения случайной величины Х стоимости возможного выигрыша<br />
для владельца одного лотерейного билета.<br />
3. Монета брошена 2 раза. Написать в виде таблицы закон распределения<br />
случайной величины Х – числа выпадений "герба".<br />
4. Составить закон распределения числа попаданий в цель при<br />
шести выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле<br />
равна 0,4.<br />
5. Вероятность того, что студент найдет в библиотеке нужную<br />
книгу, равна 0,3. Составить закон распределения числа библиотек,<br />
которые он посетит, если в городе четыре библиотеки.<br />
6. Охотник стреляет по дичи до первого попадания, но успевает<br />
делать не более четырех выстрелов. Найти дисперсию числа промахов,<br />
если вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7.<br />
77
7. Найти математическое ожидание случайной величины Х, если<br />
закон ее распределения задан<br />
Х 1 2 3 4<br />
Р 0,3 0,1 0,2 0,4<br />
8. На заводе работают четыре автоматические линии. Вероятность<br />
того, что в течение рабочей смены первая линия не потребует<br />
регулировки, равна 0,9, вторая – 0,8, третья – 0,75, четвертая – 0,7.<br />
Найти математическое ожидание числа линий, которые в течение рабочей<br />
смены не потребуют регулировки.<br />
9. Найти дисперсию случайной величины Х, зная закон ее распределения:<br />
Х 0 1 2 3 4<br />
Р 0,2 0,4 0,3 0,08 0,02<br />
10. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле р = 0,8.<br />
Имеется 3 снаряда. Составить закон распределения случайной величины<br />
Х – числа израсходованных снарядов, если стрельба ведется до<br />
первого попадания. Найти М(Х), D(Х).<br />
11. Производится 4 выстрела с вероятностью попадания в цель<br />
р 1 = 0,6, р 2 = 0,4, р 3 = 0,5, р 4 = 0,7. Найти математическое ожидание<br />
общего числа попадания.<br />
12. Дискретные случайные величины Х и Y заданы законами распределения:<br />
Х 1 2 Y 0,5 1<br />
р 0,2 0,8 р 0,3 0,7<br />
Найти М(Х + Y) двумя способами:<br />
а) непосредственно, составив закон распределения случайной величины<br />
Х + Y;<br />
б) используя свойство 3.<br />
13. Вероятность отказа детали за время испытания на надежность<br />
равна 0,2. Найти математическое ожидание числа отказавших деталей,<br />
если испытанию будут подвергнуты 10 деталей.<br />
14. Найти математическое ожидание произведения числа очков,<br />
которые могут выпасть при одном бросании двух игральных костей.<br />
78
15. Дисперсия случайной величины Х равна 5. Найти дисперсию<br />
следующих величин: а) Х – 1; б) 2Х; в) 3Х + 6.<br />
16. Случайная величина Х принимает только два значения: +С и<br />
С, каждое с вероятностью 0,5. Найти дисперсию этой величины.<br />
17. Случайная величина Х может принимать два возможных значения:<br />
х 1 с вероятностью 0,3 и х 2 с вероятностью 0,7, причем х 2 > х 1 .<br />
Найти х 1 и х 2 , зная, что М(Х) = 2,7 и D(Х) = 0,21.<br />
18. Найти дисперсию случайной величины Х – числа появлений<br />
события в 100 независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность<br />
наступления события равна 0,7.<br />
Лекция № 7. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ<br />
7.1. Понятие функции распределения и ее свойства<br />
Дискретная случайная величина может быть задана законом распределения.<br />
Такой способ не применим для непрерывных случайных<br />
величин, так как число их значений бесконечно. Возникает необходимость<br />
ввести общий способ задания любой случайной величины. С<br />
этой целью вводят понятие функции распределения вероятностей<br />
случайной величины.<br />
Пусть х – действительное число. Вероятность события, состоящего<br />
в том, что случайная величина Х примет значение, меньшее х<br />
(Х < х), обозначим F(х).<br />
Определение. Функцией распределения называют функцию<br />
F(х), определяющую вероятность следующего события<br />
F(х) = Р(Х < х).<br />
Геометрически это означает: F(х) вероятность того, что случайная<br />
величина Х примет значение, которое изображается на числовой<br />
оси точкой, лежащей левее точки х.<br />
Иначе F(х) называют интегральной функцией распределения.<br />
Перечислим ее свойства.<br />
1. Значения функции распределения принадлежат отрезку [0; 1]:<br />
0 F(х) 1.<br />
79
2. F(х) неубывающая функция, т.е.<br />
F(х 2 ) F(х 1 ), если х 2 > х 1 .<br />
Действительно, пусть х 1 < х 2 . Тогда<br />
Р(Х < х 2 ) = Р(Х < х 1 ) + Р(х 1 Х < х 2 ).<br />
Откуда Р(Х < х 2 ) Р(Х < х 1 ) = Р(х 1 Х < х 2 ) 0 или<br />
F(х 2 ) F(х 1 ) 0, следовательно F(х 2 ) F(х 1 ).<br />
Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина примет<br />
значение, заключенное в интервале (а; b) равна<br />
Р(а Х < b) = F(b) F(а).<br />
Пример 1. Случайная величина Х задана функцией распреде-<br />
0 при х 2,<br />
x<br />
ления F(х) = 1<br />
при 2 x 4,<br />
2<br />
1 при x 4.<br />
Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет<br />
значение, заключенное в интервале (2; 3).<br />
Р(2 < Х < 3) = F(3) F(2) = 3/2 – 1 – 0 = 1/2.<br />
Следствие 2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина<br />
Х примет одно определенное значение, равна нулю.<br />
Следовательно, не представляет интереса говорить о том, что непрерывная<br />
случайная величина примет одно определенное значение,<br />
но имеет смысл находить вероятность попадания ее в интервал, даже<br />
сколь угодно малый. Например, интересуются вероятностью того, что<br />
размеры деталей не выходят за дозволенные границы, но не ставят<br />
вопроса о вероятности их совпадения с проектным размером.<br />
3. Если возможные значения случайной величины принадлежат<br />
интервалу (а; b), то<br />
1) F(х) = 0 при х а;<br />
2) F(х) = 1 при х b.<br />
Следствие. Если возможные значения непрывной случайной величины<br />
расположены на всей оси Х, то справедливы следующие<br />
предельные соотношения:<br />
80
lim<br />
x<br />
F(<br />
x)<br />
0; lim F(<br />
x)<br />
1.<br />
x<br />
Приведенные свойства дают возможность изобразить график<br />
функции распределения непрерывной случайной величины (рис. 7.1).<br />
Он представляет собой не убывающую функцию, ограниченную прямыми<br />
у = 0 и у = 1.<br />
F(x<br />
1<br />
a<br />
0<br />
b<br />
x<br />
Р и с. 7.1<br />
Пример 2. Дискретная случайная величина Х задана законом<br />
распределения:<br />
Х 2 6 10<br />
р 0,5 0,4 0,1<br />
Построить график функции распределения этой величины.<br />
Если х 2, то F(х) = Р(Х < х) = 0.<br />
Если 2 < х 6, то F(х) = 0,5.<br />
Если 6 < х 10, то F(х) = Р(Х = 2) + Р(Х = 6) = 0,9.<br />
Если х > 10, то F(х) = 1, так как событие достоверное<br />
F(х) = Р(Х = 2) + Р(Х = 6) + Р(Х = 10) = 1.<br />
Аналитически это можно записать в виде<br />
0 при х 2,<br />
0,5<br />
при 2 x 6,<br />
F(х) = <br />
0,9<br />
при 6 x 10,<br />
1 при x 10.<br />
График функции изображен на рис. 7.2.<br />
81
F(x)<br />
1<br />
0,9<br />
0,5<br />
0<br />
2 6 10<br />
x<br />
Р и с. 7.2<br />
Вывод: График функции распределения непрерывной случайной<br />
величины изображается непрерывной кривой, а дискретной – имеет<br />
ступенчатый вид.<br />
7.2. Плотность распределения вероятностей непрерывной<br />
случайной величины<br />
Определение. Плотностью распределения вероятностей<br />
непрерывной случайной величины Х называют функцию f(х):<br />
f(х) = F'(х).<br />
Из этого определения следует, что функция распределения является<br />
первообразной для плотности распределения (дифференциальный<br />
закон).<br />
Заметим, что для описания распределения вероятностей дискретной<br />
случайной величины плотность распределения неприменима.<br />
Справедлива следующая теорема.<br />
Теорема. Вероятностью того, что непрерывная случайная<br />
величина Х примет значение, принадлежащее интервалу<br />
(а; b), равна<br />
b<br />
Р(а < X < b) = f ( x)<br />
dx . (7.1)<br />
a<br />
Для ее доказательства используют свойство 2 п. 7.1.<br />
82
Р(а < x < b) = F(b) – F(a) =<br />
b<br />
b a <br />
a<br />
F ( x)<br />
f ( x)<br />
dx.<br />
Геометрически (7.1) означает вероятность того, что непрерывная<br />
случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу<br />
(а; b), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью<br />
0Х, кривой f(х) и прямыми х = а и х = b.<br />
Пример 3. Случайная величина Х задана функцией распреде-<br />
0 при х 2,<br />
x<br />
ления F(<br />
х)<br />
1<br />
при 2 x 4,<br />
2<br />
1 при x 4.<br />
Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет<br />
значение, принадлежащее интервалу (2; 3), используя плотность распределения:<br />
0 при х 2,<br />
<br />
f ( x)<br />
F'(<br />
X ) 1<br />
2 при 2 x 4,<br />
<br />
0 при x 4.<br />
Вывод. По известной функции распределения может быть найдена<br />
плотность распределения.<br />
Попробуем решить обратную задачу: зная f(х), найти F(х):<br />
F )<br />
x<br />
( x)<br />
Р(<br />
X x)<br />
f ( x dx . (7.2)<br />
Укажем свойства плотности распределения.<br />
1. Плотность распределения – неотрицательная функция f(х) 0.<br />
2. Несобственный интервал от плотности распределения в пределах<br />
от до + равен единице:<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
f ( x)<br />
dx 1.<br />
Действительно, он выражает вероятность события, состоящего в<br />
том, что случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу<br />
(; +). Очевидно, такое событие достоверно, следовательно,<br />
вероятность его равна единице.<br />
83
Геометрически это означает, что площадь криволинейной трапеции,<br />
ограниченной осью 0х и кривой плотности распределения, равна<br />
единице.<br />
В частности, если все возможные значения случайной величины<br />
принадлежат интервалу (а; b), то<br />
b<br />
<br />
а<br />
f ( x)<br />
dx 1.<br />
Пример 4. Плотность распределения непрерывной случайной<br />
2С<br />
величины Х задана на всей оси 0х равенством f(х) = . Найти<br />
2<br />
1<br />
х<br />
постоянную С.<br />
Плотность распределения f(х) должна удовлетворять свойству 2:<br />
<br />
<br />
<br />
f<br />
( x)<br />
dx 1. Для данной функции:<br />
2С<br />
<br />
lim<br />
b<br />
dx<br />
<br />
2С<br />
2<br />
1<br />
x<br />
arctg b <br />
lim<br />
a<br />
2C<br />
arctg<br />
x<br />
<br />
<br />
<br />
arctg <br />
<br />
a 2C<br />
2C 1<br />
2 2 <br />
С<br />
1<br />
2 <br />
7.3. Числовые характеристики непрерывных случайных<br />
величин<br />
Математическое ожидание. Пусть непрерывная случайная величина<br />
Х задана плотностью распределения f(х). Допустим, что все<br />
возможные значения Х принадлежат отрезку [a; b]. Разобьем этот<br />
отрезок на п частичных отрезков длиной х 1 , х 2 , …, х п и выберем<br />
в каждом из них произвольную точку х i (i = 1, 2, …, п). Нам надо<br />
определить математическое ожидание непрерывной величины по<br />
аналогии с дискретной; составим сумму произведений возможных<br />
значений х i на вероятности попадания их в интервал х i (произве-<br />
<br />
84
дение f(х)х i приближенно равно вероятности попадания Х в интервал<br />
х):<br />
x f ( x ) x<br />
. Перейдя к пределу при стремлении к нулю<br />
i<br />
i<br />
i<br />
длины наибольшего из частичных отрезков, получим определенный<br />
b<br />
интеграл х f ( x)<br />
dx.<br />
а<br />
Определение. Математическим ожиданием непрерывной<br />
случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат<br />
отрезку [a; b], называют определенный интеграл<br />
М )<br />
b<br />
( Х ) х f ( x dx . (7.3)<br />
Если возможные значения принадлежат всей оси 0х, то<br />
а<br />
<br />
<br />
<br />
М ( Х ) х f ( x)<br />
dx . (7.4)<br />
По аналогии с дисперсией дискретной случайной величины определяется<br />
и дисперсия непрерывной величины.<br />
Определение. Дисперсией непрерывной случайной величины<br />
называют математическое ожидание квадрата ее отклонения.<br />
Если возможные значения Х принадлежат отрезку [a; b], то<br />
<br />
<br />
D ( X ) x M ( X ) f ( x)<br />
dx; (7.5)<br />
b <br />
a<br />
если возможные значения принадлежат всей оси 0х, то<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
D ( X ) x M ( X ) f ( x)<br />
dx .<br />
Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины<br />
определяется, как и для величины дискретной, равенством<br />
( Х ) D(<br />
X ) .<br />
Замечание. Свойства математического ожидания и дисперсии<br />
дискретных величин сохраняются и для непрерывных. Кроме того,<br />
справедливы более удобные формулы для вычисления D(X):<br />
2<br />
<br />
2<br />
85
86<br />
<br />
b a<br />
X<br />
M<br />
dx<br />
x<br />
f<br />
х<br />
X<br />
D<br />
2<br />
2<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
)<br />
( (7.6)<br />
или <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
2<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
)<br />
( X<br />
M<br />
dx<br />
x<br />
f<br />
х<br />
X<br />
D . (7.7)<br />
Пример 5. Найти М(Х), D(X) и (Х) случайной величины, заданной<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
.<br />
при<br />
0<br />
,<br />
при<br />
,<br />
при<br />
0<br />
)<br />
(<br />
1<br />
b<br />
x<br />
b<br />
x<br />
a<br />
a<br />
x<br />
x<br />
f<br />
a<br />
b<br />
Вычислим математическое ожидание:<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
b<br />
a<br />
b<br />
a<br />
dx<br />
dx<br />
dx<br />
x<br />
f<br />
x<br />
Х<br />
М<br />
a<br />
b<br />
xdx<br />
0<br />
0<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
2<br />
)<br />
2(<br />
)<br />
)(<br />
(<br />
)<br />
2(<br />
2<br />
a<br />
b<br />
a<br />
b<br />
a<br />
b<br />
a<br />
b<br />
a<br />
b<br />
x<br />
b<br />
a<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
.<br />
Найдем дисперсию:<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
4<br />
)<br />
(<br />
2<br />
2<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
a<br />
b<br />
dx<br />
x<br />
f<br />
х<br />
X<br />
D .<br />
3<br />
)<br />
3(<br />
)<br />
3(<br />
2<br />
2<br />
3<br />
3<br />
3<br />
2<br />
2<br />
)<br />
(<br />
a<br />
ab<br />
b<br />
a<br />
b<br />
a<br />
b<br />
a<br />
b<br />
x<br />
a<br />
b<br />
dx<br />
x<br />
b<br />
a<br />
b<br />
а<br />
dx<br />
x<br />
f<br />
х<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
4<br />
2<br />
3<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
)<br />
(<br />
a<br />
ab<br />
b<br />
a<br />
ab<br />
b<br />
X<br />
D<br />
12<br />
)<br />
(<br />
12<br />
2<br />
12<br />
3<br />
6<br />
3<br />
4<br />
4<br />
4<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
a<br />
b<br />
a<br />
ab<br />
b<br />
a<br />
ab<br />
b<br />
a<br />
ab<br />
b<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
.<br />
Тогда:<br />
3<br />
2<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
a<br />
b<br />
X<br />
D<br />
X<br />
<br />
<br />
<br />
.
7.4. Задания для самостоятельного решения<br />
1. Непрерывная случайная величина Х задана своей плотностью<br />
0 при x 0,<br />
<br />
2<br />
распределения вероятностей: f ( x)<br />
A(3x<br />
x ) при 0 x 3,<br />
<br />
0 при x 3.<br />
Требуется: 1) найти коэффициент А; 2) найти функцию распределения<br />
F(x); 3) построить графики функций f(x) и F(x); 4) найти<br />
математическое ожидание и дисперсию Х; 5) найти вероятность того,<br />
что Х примет значение из интервала (1; 2).<br />
2. Дана функция распределения непрерывной случайной величины<br />
<br />
0 при x 0,<br />
<br />
<br />
Х: F ( x)<br />
Asin<br />
x при 0 x , Найти: 1) параметр А; 2) плотность<br />
распределения; 3) построить графики F(x) и f(x); 4) вычис-<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
1 при x .<br />
<br />
2<br />
лить математическое ожидание и дисперсию; 5) определить вероят-<br />
<br />
ность того, что Х примет значение из интервала <br />
6 ; 4<br />
.<br />
<br />
3. Функция распределения непрерывной случайной величины Х<br />
(времени безотказной работы некоторого устройства) равна<br />
F(x) =<br />
х<br />
1 е Т<br />
(х 0). Найти вероятность безотказной работы устройства<br />
за время Х Т.<br />
4. Дискретная случайная величина задана законом распределения:<br />
Х 3 4 7 10<br />
р 0,2 0,1 0,4 0,3<br />
Найти функцию распределения и построить ее график.<br />
87
5. Плотность распределения непрерывной случайной величины<br />
задана на (с; с) формулой:<br />
1<br />
f ( x)<br />
<br />
2 2<br />
c x<br />
. Найти все ее числовые<br />
характеристики.<br />
6. Случайная величина Х задана функцией распределе-<br />
0,<br />
x 2,<br />
1<br />
1 x <br />
ния: F(<br />
x)<br />
arcsin<br />
,<br />
2 x 2, Найти вероятность того, что<br />
2<br />
2 <br />
1,<br />
x 2.<br />
в результате испытания случайная величина Х примет значение, заключенное<br />
в интервале (1; 1).<br />
7. Случайная величина Х задана функцией распределения:<br />
0,<br />
x 2,<br />
1<br />
F ( x)<br />
x 1,<br />
2 x 4, Построить график F(x). Найти вероятность<br />
того, что в результате испытания Х примет значение: а) меньше<br />
2<br />
1,<br />
x 4.<br />
0,2; б) меньше 3; в) не меньше 3; г) не меньше 5.<br />
8. Случайная величина Х задана функцией распределения:<br />
0,<br />
x 0,<br />
2<br />
F ( x)<br />
x<br />
, 0 x 1, Найти вероятность того, что в результате четырех<br />
независимых испытаний величина Х ровно три раза примет<br />
<br />
1,<br />
x 1.<br />
значение, принадлежащее интервалу (0,25; 0,75).<br />
9. Случайная величина Х задана на всей оси 0х функцией рас-<br />
1 1 x<br />
пределения: F(<br />
x)<br />
arctg . Найти возможное значение х 1 ,<br />
2 2<br />
удовлетворяющее условию: с вероятностью 1/6 случайная величина<br />
Х в результате испытания примет значение, большее х 1 .<br />
88
10. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины<br />
Х: f ( x)<br />
sin<br />
x,<br />
0 x 2, Найти функцию распределе-<br />
0,<br />
x 0,<br />
<br />
<br />
0,<br />
x 2.<br />
ния F(x).<br />
Лекция № 8. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНОЙ<br />
СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ<br />
При решении задач практики приходится сталкиваться с различными<br />
распределениями непрерывных случайных величин. Плотности<br />
распределения непрерывных случайных величин иначе называют законами<br />
распределений. Наиболее часто встречаются законы равномерного,<br />
нормального и показательного распределений.<br />
8.1. Равномерное распределение вероятностей непрерывной<br />
случайной величины<br />
Распределение вероятностей называют равномерным, если на<br />
интервале, которому принадлежат все возможные значения случайной<br />
величины, плотность распределения сохраняет постоянное значение.<br />
Приведем пример равномерно распределенной непрерывной случайной<br />
величины.<br />
Пример 1. Шкала измерительного прибора проградуирована в<br />
некоторых единицах. Ошибку при округлении отсчета до ближайшего<br />
целого деления можно рассматривать как случайную величину Х,<br />
которая может принимать с постоянной плотностью вероятности любое<br />
значение между двумя соседними целыми делениями. Таким образом,<br />
Х имеет равномерное распределение.<br />
Пусть плотность равномерного распределения, считая, что все<br />
возможные значения случайной величины заключены в интервале<br />
0,<br />
x ( a;<br />
b),<br />
[а; b], имеет вид: f ( x)<br />
<br />
C,<br />
x [<br />
a;<br />
b].<br />
89
Найдем постоянную С.<br />
b<br />
<br />
a<br />
f x)<br />
dx 1<br />
( , тогда dx Cb<br />
a<br />
b<br />
C 1,<br />
a<br />
C 1 .<br />
b a<br />
Итак, плотность вероятности равномерного распределения имеет вид:<br />
0,<br />
x a,<br />
1<br />
f ( x)<br />
, a x b,<br />
(8.1)<br />
b<br />
a<br />
0,<br />
x b.<br />
График плотности распределения изображен на рис. 8.1.<br />
f(x)<br />
1<br />
b a<br />
0<br />
а<br />
b<br />
x<br />
Р и с. 8.1<br />
Найдем функцию распределения вероятностей непрерывной случайной<br />
величины Х:<br />
если х < a,<br />
если a х b,<br />
F ( x)<br />
f ( x)<br />
dx 0,<br />
x<br />
<br />
<br />
a<br />
x<br />
dx x x a<br />
F( x)<br />
0 dx ,<br />
b a b a b a<br />
a<br />
<br />
dx<br />
x b a<br />
если х > b, F ( x)<br />
0 dx 0 dx 1.<br />
b a b a b a<br />
Итак,<br />
<br />
0,<br />
x<br />
a<br />
F(<br />
x)<br />
,<br />
b<br />
a<br />
1,<br />
b<br />
a<br />
x a,<br />
x b.<br />
a<br />
a x b,<br />
x<br />
b<br />
x<br />
a<br />
b<br />
a<br />
90
График ее изображен на рис. 8.2.<br />
f(x)<br />
1<br />
0 а b<br />
x<br />
Р и с. 8.2<br />
Числовые характеристики непрерывной случайной величины Х,<br />
распределенной равномерно, были найдены в примере 5 предыдущей<br />
<br />
а b b a<br />
b a<br />
лекции: М ( Х ) , D(<br />
X ) , ( X ) .<br />
2<br />
12<br />
2 3<br />
Пример 2. Цена деления шкалы измерительного прибора равна<br />
0,2. Показания прибора округляют до ближайшего целого деления.<br />
Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка: а)<br />
меньше 0,04; б) больше 0,05.<br />
Ошибку округления можно считать случайной величиной Х распределенной<br />
равномерно с плотностью распределения f(x) = 1/0,2 = 5:<br />
а) Р(Х < 0,04) = Р(0 < Х < 0,04) + Р(0,16 < Х < 0,2) =<br />
0,04<br />
0,2<br />
= 5<br />
dx 5<br />
dx 5 0,04 5(0,2 0,16) 0,4;<br />
0<br />
0,16<br />
б) Р(Х > 0,05) = Р(0,05 < Х < 0,15) =<br />
0,15<br />
5<br />
0,05<br />
= dx 5 (0,15 0,05) 0,5.<br />
Пример 3. Автобусы некоторого маршрута идут строго по расписанию<br />
с интервалом движения 5 минут. Найти вероятность того,<br />
что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очередной<br />
автобус менее 3 минут.<br />
Рассматривая время ожидания пассажиром очередного автобуса<br />
как непрерывную случайную величину, распределенную равномерно<br />
с плотностью f(x) = 1/5 = 0,2, получим:<br />
<br />
2<br />
91
5<br />
Р(Х < 3) = Р(2 < Х < 5) = 0,2 dx 0,2 (5 2) 0,6.<br />
2<br />
8.2. Нормальное распределение непрерывной случайной<br />
величины<br />
Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной<br />
случайной величины, которое описывается плотностью<br />
2<br />
xa<br />
1<br />
<br />
2<br />
f ( x)<br />
e<br />
2<br />
. (8.2)<br />
2<br />
Таким образом, нормальное распределение определяется двумя<br />
параметрами: а и . Достаточно знать эти параметры, чтобы задать<br />
нормальное распределение. Вероятностный смысл этих параметров<br />
таков: а есть математическое ожидание, среднее квадратическое<br />
отклонение.<br />
Нормальное распределение называют нормированным, если<br />
а = 0 и = 1. Плотность нормированного распределения<br />
2<br />
x<br />
<br />
2<br />
1<br />
f ( x)<br />
e табулирована, ее значения сведены в прил. 1.<br />
2<br />
График плотности нормального распределения называют нормальной<br />
кривой (кривой Гаусса).<br />
2<br />
xa<br />
1<br />
<br />
2<br />
Исследуем функцию f ( x)<br />
e<br />
2<br />
методами дифференциального<br />
исчисления.<br />
2<br />
1. Очевидно, функция определена на всей числовой оси.<br />
f(x)<br />
0 а а+<br />
а<br />
x<br />
Р и с. 8.3<br />
92
| x|<br />
<br />
2. При всех значениях х функция принимает положительные<br />
значения, т.е. нормальная кривая расположена над осью 0х.<br />
3. Предел функции при неограниченном возрастании х (по абсолютной<br />
величине) равен нулю: lim f ( x)<br />
0, т.е. ось 0х служит горизонтальной<br />
асимптотой графика.<br />
4. При х = а функция имеет максимум<br />
х а<br />
у<br />
е<br />
3<br />
2<br />
<br />
<br />
ха<br />
<br />
2<br />
2<br />
2<br />
и у> 0 при х < а, у< 0 при х > а.<br />
1<br />
, так как<br />
2<br />
5. Разность х а содержится в аналитическом выражении функции<br />
в квадрате, т.е. график функции симметричен относительно прямой<br />
х = а.<br />
6. Точки х = а являются точками перегиба. График нормальной<br />
кривой изображен на рис. 8.3.<br />
7. Выясним влияние параметров нормального распределения на<br />
форму кривой:<br />
а) изменение величины параметра а (математического ожидания)<br />
не изменяет формы нормальной кривой, а приводит лишь к ее сдвигу<br />
вдоль оси 0х: вправо, если а возрастает, и влево, если а убывает;<br />
б) с возрастанием максимальная ордината нормальной кривой<br />
убывает, а кривая становится более пологой, т.е. сжимается к оси 0х,<br />
при убывании нормальная кривая становится более "островершинной"<br />
и вытягивается в положительном направлении оси 0у (рис. 8.4).<br />
f(x)<br />
= 1<br />
= 3<br />
= 7,5<br />
0<br />
Р и с. 8.4<br />
x<br />
93
8. При любых значениях параметров а и площадь, ограниченная<br />
нормальной кривой и осью 0х, остается равной единице<br />
(свойство 2 плотности распределения).<br />
9. Вероятность попадания нормальной случайной величины в заданный<br />
интервал () может быть найдена по формуле:<br />
а а <br />
Р( X )<br />
Ф<br />
Ф<br />
, где Ф(х) – функция Лапласа,<br />
<br />
значения которой размещены в прил. 2.<br />
10. Часто требуется вычислить вероятность осуществления неравенства<br />
|X – a| < .<br />
P(a < X < a + ) =<br />
P(|X a| < ) =<br />
a a<br />
Ф <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
a а <br />
Ф<br />
= 2 Ф(/).<br />
<br />
При = 0 P(|X| < ) = 2 Ф(/).<br />
11. Правило трех сигм: если случайная величина распределена<br />
нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического<br />
ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического<br />
отклонения.<br />
Действительно,<br />
P(|X | < 3) = 2 Ф(3) = 2 Ф(3) = 20,49865 = 0,9973.<br />
На практике правило трех сигм применяют так: если распределение<br />
изучаемой случайной величины неизвестно, но условие, указанное<br />
в приведенном правиле, выполняется, то есть основание предполагать,<br />
что изучаемая величина распределена нормально; в противном<br />
случае она не распределена нормально.<br />
Пример 4. Валики, изготовляемые автоматом, считаются стандартными,<br />
если отклонение диаметра валика от проектного размера<br />
не превышает 2 мм. Случайные отклонения диаметра валиков подчиняются<br />
нормальному закону со средним квадратическим отклонением<br />
= 1,6 и математическим ожиданием а = 0. Сколько процентов<br />
стандартных валиков изготовляет автомат<br />
94
Пусть Х – случайная величина, характеризующая диаметр валика.<br />
Валики считаются стандартными, если |x| < 2. Найдем вероятность<br />
этого события.<br />
Р(|x| < 2) = 2 Ф(2/1,6) = 2 Ф(1,25) 20,3944 = 0,7888.<br />
Примерно 79% стандартных валиков изготовляет автомат.<br />
8.3. Показательное распределение непрерывной случайной<br />
величины<br />
Показательным (экспоненциальным) называют распределение<br />
непрерывной случайной величины Х, которое описывается плотностью<br />
0<br />
при х 0,<br />
f ( x)<br />
х (8.3)<br />
e<br />
при x 0,<br />
где постоянная положительная величина.<br />
Показательное распределение характеризуется одним параметром<br />
. Эта особенность показательного распределения указывает на<br />
его преимущество по сравнения с распределениями, зависящими от<br />
большего числа параметров. Обычно параметры неизвестны и приходится<br />
находить их оценки (приближенные значения); разумеется,<br />
проще оценить один параметр, чем два или три и т.д.<br />
Найдем функцию распределения показательного закона<br />
x<br />
<br />
<br />
0<br />
<br />
<br />
<br />
x<br />
x<br />
F( x)<br />
f ( x)<br />
dx 0dx<br />
e dx 1<br />
e .<br />
0<br />
при х 0,<br />
Итак, F(<br />
x)<br />
x<br />
1<br />
e при x 0.<br />
Графики плотности и функции распределения показательного закона<br />
изображены на рис. 8.5.<br />
Вероятность попадания непрерывной случайной величины, распределенной<br />
по показательному закону, в интервал ():<br />
Р( Х ) = F() F() = 1 – e (1 – e ) = e – e .<br />
Значения функции е х находят по прил. 3.<br />
x<br />
0<br />
95
f(x)<br />
<br />
F(x)<br />
1<br />
0<br />
x<br />
0<br />
x<br />
Р и с. 8.5<br />
Найдем числовые характеристики показательного распределения.<br />
u x <br />
<br />
<br />
<br />
x<br />
<br />
x<br />
dv e<br />
dx<br />
М ( Х ) х f ( x)<br />
dx<br />
x e<br />
dx<br />
<br />
<br />
0<br />
0<br />
du dx <br />
<br />
x<br />
v e<br />
<br />
<br />
x<br />
<br />
x<br />
1 x<br />
1 1<br />
x e<br />
e dx<br />
e<br />
0<br />
1<br />
.<br />
0<br />
0 <br />
0<br />
Аналогично найдем дисперсию D(X) = 1/ 2 , тогда (X) = 1/.<br />
Следовательно, математическое ожидание и среднее квадратическое<br />
отклонение показательного распределения равны между собой и равны<br />
обратной величине параметра .<br />
Показательное распределение широко применяется в приложениях,<br />
в частности в теории надежности, одним из основных понятий которой<br />
является функция надежности.<br />
Функцией надежности R(t) называют функцию, определяющую<br />
вероятность безотказной работы элемента за время длительностью t<br />
при интенсивности отказов :<br />
R(t) = Р(T > t) = 1 – F(t) = e t .<br />
8.4. Задания для самостоятельного решения<br />
1. Цена деления шкалы амперметра равна 0,1 А. Показания округляют<br />
до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что<br />
при отсчете будет сделана ошибка, превышающая 0,02 А.<br />
96
2. Найти числовые характеристики случайной величины Х, распределенной<br />
равномерно в интервале (2; 8).<br />
3. Диаметр круга измерен приближенно, причем а х b. Рассматривая<br />
диаметр как случайную величину Х, распределенную равномерно<br />
в интервале [а; b], найти математическое ожидание и дисперсию<br />
площади круга.<br />
4. Математическое ожидание нормально распределенной случайной<br />
величины Х равно а = 3 и = 2. Написать плотность вероятности<br />
Х.<br />
5. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение<br />
нормально распределенной случайной величины соответственно<br />
равны 10 и 2. Найти вероятность того, что в результате испытания Х<br />
примет значение, заключенное в интервале (12; 14).<br />
6. Автомат штампует детали. Контролируется длина Х, которая<br />
распределена нормально с математическим ожиданием (проектная<br />
длина), равным 50 мм. Фактически длина изготовленных деталей не<br />
менее 32 и не более 68 мм. Найти вероятность того, что длина наудачу<br />
взятой детали: а) больше 55 мм; б) меньше 40 мм.<br />
7. Случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону<br />
со средним квадратическим отклонением = 20 мм и математическим<br />
ожиданием а = 0. Найти вероятность того, что из трех независимых<br />
измерений ошибка хотя бы одного не превзойдет по абсолютной<br />
величине 4 мм.<br />
8. Случайная величина Х распределена нормально с математическим<br />
ожиданием а = 10. Вероятность попадания Х в интервал (10; 20)<br />
равна 0,3. Чему равна вероятность попадания Х в интервал (0; 10)<br />
9. Написать плотность и функцию распределения показательного<br />
закона, если = 6.<br />
10. Студент помнит, что плотность показательного распределения<br />
имеет вид: f ( x)<br />
x однако он забыл, чему равна<br />
0, x 0,<br />
С<br />
e , x 0;<br />
постоянная С. Найти С.<br />
97
8.5. Задания для подготовки к коллоквиуму по теме<br />
"Элементы теории вероятностей"<br />
Теоретические вопросы<br />
1. Предмет теории вероятностей<br />
2. Виды случайных событий<br />
3. Операции над событиями<br />
4. Частота и вероятность события. Свойства вероятности случайного<br />
события<br />
5. Геометрическая вероятность<br />
6. Элементы комбинаторики: размещения, перестановки, сочетания<br />
7. Примеры вычисления вероятности случайного события<br />
8. Теоремы сложения вероятностей несовместных и совместных<br />
событий<br />
9. Полная группа событий. Противоположные события<br />
10. Произведение событий. Условная вероятность<br />
11. Теоремы умножения вероятностей для зависимых и независимых<br />
событий<br />
12. Вероятность появления хотя бы одного события<br />
13. Формула полной вероятности. Формулы Бейеса<br />
14. Повторение испытаний: формула Бернулли<br />
15. Локальная и интегральная теоремы Лапласа. Формула Пуассона<br />
16. Случайные величины: дискретные и непрерывные. Закон<br />
распределения вероятностей дискретной случайной величины<br />
17. Виды законов: биноминальное распределение, распределение<br />
Пуассона, геометрическое, гипергеометрическое<br />
18. Числовые характеристики дискретной случайной величины:<br />
М(х), D(х), . Их свойства, вычисления, вероятностный смысл<br />
19. Функция распределения вероятностей случайной величины.<br />
Свойства, график<br />
20. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной<br />
величины<br />
98
21. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в<br />
заданный интервал<br />
22. Нахождение функции распределения по известной плотности<br />
распределения. Свойства плотности распределения<br />
23. Виды законов распределения вероятностей непрерывной<br />
случайной величины: равномерное, показательное, нормальное<br />
24. Числовые характеристики непрерывных случайных величин:<br />
М(х), D(х), <br />
Практические вопросы<br />
1. Одновременно бросаются две игральные кости. Определить<br />
вероятность того, что выпадет сумма очков, равная 5.<br />
2. В лотерее имеется 10 билетов: 5 выигрышей и 5 проигрышей.<br />
Берем два билета. Какова вероятность выигрыша<br />
3. Игральная кость бросается 5 раз. Какова вероятность того, что<br />
хотя бы один раз не появится 4 очка<br />
4. На плоскости начерчены две концентрические окружности, радиусы<br />
которых 5 и 10 см соответственно. Найти вероятность того, что<br />
точка, брошенная наудачу в большой круг, попадет также и в кольцо,<br />
образованное построенными окружностями. Предполагается, что вероятность<br />
попадания точки в плоскую фигуру пропорциональна площади<br />
этой фигуры и не зависит от ее расположения.<br />
5. Наудачу взяты два положительных числа х и у, каждое из<br />
которых не превышает единицы. Найти вероятность того, что сумма<br />
х + у не превышает единицы, а произведение ху не меньше 0,09.<br />
6. Вероятность попадания в самолет из винтовки равна 0,004.<br />
Сколько стрелков должны стрелять одновременно, чтобы вероятность<br />
попадания стала >70%<br />
7. Из двух орудий по одной цели произведено по выстрелу. Вероятность<br />
попадания из первого орудия 0,7, из второго 0,6. Определить<br />
вероятность хотя бы одного попадания.<br />
8. На 100 карточках написаны числа от 1 до 100. Определить вероятность<br />
того, что на случайно взятой карточке содержится цифра 5.<br />
99
9. Имеется 4 машины. Вероятность того, что машина работает в<br />
произвольный момент t, равна 0,9. Определить вероятность того, что<br />
в момент t работает хотя бы одна машина.<br />
10. Вероятность попадания в цель р = 0,9. Определить вероятность<br />
того, что при трех выстрелах будет три попадания.<br />
11. В первом ящике деталей первого сорта 30%, во втором 40%.<br />
Вынимаются по одной детали из каждого ящика. Определить вероятность<br />
того, что обе вынутые детали первого сорта.<br />
12. Механизм состоит из трех деталей. Вероятность брака при<br />
изготовлении 1-й детали р 1 = 0,008, вероятность брака 2-й детали<br />
р 2 = 0,012, вероятность брака 3-й детали р 3 = 0,01. Определить вероятность<br />
брака при изготовлении всего механизма.<br />
13. Вероятность попадания при одном выстреле р = 0,6. Определить<br />
вероятность того, что при трех выстрелах будет иметь место хотя<br />
бы одно попадание.<br />
14. Среди 350 механизмов 160 первого сорта, 110 – второго сорта<br />
и 80 – третьего сорта. Вероятность брака среди механизмов первого<br />
сорта 0,01, среди второго сорта 0,02, среди третьего сорта 0,04. Берется<br />
один механизм. Определить вероятность того, что механизм<br />
исправный.<br />
15. Пусть известно, что вследствие ошибок, допускаемых при<br />
подготовке стрельбы, центр рассеивания снарядов (ЦРС) при первом<br />
выстреле может находиться по дальности в одной из пяти точек. Вероятность<br />
того, что ЦРС будет находиться в этих точках, соответственно<br />
равны р 1 = 0,1, р 2 = 0,2, р 3 = 0,4, р 4 = 0,2, р 5 = 0,1. Известно<br />
также, что если ЦРС будет находиться в первой точке, то вероятность<br />
попадания в цель по дальности будет равна р 1= 0,15 и для остальных<br />
точек соответственно: 2 р = 0,25, 3 р = 0,6, 4 р = 0,25, 5 р = 0,15. На исходной<br />
установке прицела произведен выстрел, в результате которого<br />
получен по дальности промах. Определить, чему равна вероятность<br />
того, что выстрел произведен на установке прицела, соответствующей<br />
каждой из указанных пяти точек ЦРС, т.е. определить вероятно-<br />
100
сти гипотез о различных ошибках в положении ЦРС после испытания<br />
(выстрела).<br />
16. Игральная кость бросается 5 раз. Какова вероятность, что 2<br />
раза выпадет шестерка и 3 раза не шестерка<br />
17. Производится 6 выстрелов. Определить вероятность того, что<br />
не все выстрелы дадут перелеты, если вероятность перелета р = ½,<br />
вероятность недолета q = ½ (стрельба по "узкой" цели).<br />
18. Для условий предыдущей задачи определить вероятность того,<br />
что будет 3 перелета и 3 недолета.<br />
19. Найти математическое ожидание числа очков при одном бросании<br />
игральной кости.<br />
20. Найти дисперсию случайной величины Х, заданной таблицей<br />
распределения<br />
х 2 3 5<br />
р 0,1 0,6 0,3<br />
21. Вероятность появления события А при одном испытании<br />
равна 0,4. Производится 5 независимых испытаний. Найти дисперсию<br />
числа появлений события А.<br />
22. Найти вероятность получения хотя бы одного попадания в<br />
цель при 10 выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле<br />
р = 0,15.<br />
23. Случайная величина Х задана интегральной функцией рас-<br />
0<br />
при x 0,<br />
<br />
пределения F ( x)<br />
x<br />
при 0 x 1, Найти плотность распределения<br />
f(x), М(Х), D(X).<br />
<br />
1<br />
при x 1.<br />
24. Случайная величина х подчиняется нормальному закону распределения<br />
с математическим ожиданием 30 и дисперсией 100. Найти<br />
вероятность того, что значение случайной величины заключается в<br />
интервале (10, 50).<br />
25. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:<br />
101
х 2 4 7<br />
р 0,5 0,2 0,3<br />
Найти функцию распределения и построить ее график.<br />
26. Задана плотность распределения непрерывной случайной ве-<br />
0<br />
при x 1,<br />
<br />
личины Х: f ( x)<br />
x<br />
1<br />
2 при 1 x 2, Найти функцию распределения<br />
F(x).<br />
<br />
0<br />
при x 2.<br />
27. Случайная величина подчиняется нормальному закону распределения<br />
с дисперсией 2 = 0,16. Найти вероятность того, что значение<br />
случайной величины будет отличаться по абсолютной величине<br />
от математического ожидания меньше, чем на 0,3.<br />
28. Длина изготовляемой автоматом детали представляет собой<br />
случайную величину, распределенную по нормальному закону с параметрами<br />
М(Х) = 0,15, = 0,2. Найти вероятность брака, если допустимые<br />
размеры детали должны быть 150,3. Какую точность длины<br />
изготовляемой детали можно гарантировать с вероятностью 0,97<br />
29. Вероятность попадания в цель р = ½. Какова вероятность того,<br />
что при 250 выстрелах число попаданий будет заключено между<br />
100 и 150<br />
30. Вероятность брака при изготовлении некоторых деталей<br />
р = 0,02. Определить вероятность того, что среди взятых 100 штук деталей<br />
окажется бракованных не более 25.<br />
102
Лекция № 9. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ<br />
СТАТИСТИКИ. ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ<br />
О ПРЕДПОЛАГАЕМОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИ ГЕНЕРАЛЬНОЙ<br />
СОВОКУПНОСТИ ПО КРИТЕРИЮ ПИРСОНА<br />
9.1. Предмет и основные задачи математической статистики<br />
Математическая статистика это раздел математики, который<br />
изучает методы сбора, систематизации, обработки и использования<br />
статистических данных для получения научно обоснованных выводов<br />
и принятия решений.<br />
При этом под статистическими данными понимается совокупность<br />
чисел, которые представляют количественные характеристики<br />
интересующих нас признаков изучаемых объектов. Статистические<br />
данные получаются в результате специально поставленных опытов,<br />
наблюдений.<br />
Примером статистических данных служит последовательность<br />
значений той или иной случайной величины, полученных в результате<br />
некоторого наблюдения, эксперимента (опыта). Так, последовательность<br />
чисел, которые получаются в результате неоднократного<br />
измерения некоторой величины, скажем взвешивания некоторого тела<br />
на аналитических весах, является простейшим примером статистических<br />
данных. Рассмотрим еще один пример. С целью определения<br />
качества электрических лампочек, выпускаемых заводом, отмечают,<br />
сколько часов горит каждая лампочка до выхода из строя. Полученная<br />
совокупность чисел представляет статистические данные.<br />
Статистические данные по своей сущности зависят от многих<br />
случайных факторов, поэтому математическая статистика тесно связана<br />
с теорией вероятностей, которая является ее теоретической основой.<br />
Как мы знаем, теория вероятностей устанавливает правила нахождения<br />
вероятностей суммы, произведения и других сложных событий,<br />
а также числовых характеристик (математического ожидания,<br />
103
дисперсии) случайных величин по заданным вероятностям и законам<br />
распределения данных событий и случайных величин. На практике<br />
же редко встречаются случаи, когда вероятности исходных событий и<br />
законы распределения рассматриваемых случайных величин были бы<br />
заранее известны. Возвращаясь к нашему последнему примеру, отметим,<br />
что для прогнозирования запасов лампочек целесообразно иметь<br />
предварительные сведения о сроках службы выпускаемых заводом<br />
лампочек. Однако до начала производства эти сведения остаются неизвестными.<br />
В таких ситуациях используются статистические методы<br />
исследования, смысл которых состоит в том, что сведения об изучаемом<br />
признаке всей совокупности объектов получают, изучая более<br />
или менее обширную часть, должным образом отобранную из общей<br />
совокупности объектов. Так, в нашем примере из всей партии случайным<br />
образом отбирают для испытания некоторое количество лампочек.<br />
Полученные сведения о продолжительности работы отобранных<br />
лампочек представляют собой уже известные статистические<br />
данные, которые, будучи обработаны методами математической статистики,<br />
позволяют сделать выводы о качестве всей продукции данного<br />
завода.<br />
Среди основных задач математической статистики могут быть<br />
отмечены следующие: оценка неизвестной вероятности случайного<br />
события; оценка неизвестного закона распределения случайной величины<br />
или ее числовых характеристик (математического ожидания,<br />
дисперсии); проверка гипотез (предположений), сделанных относительно<br />
некоторых случайных событий, случайных величин (о вероятности<br />
события, о законе распределения случайной величины и т.д.).<br />
Результаты проводимых исследований методами математической<br />
статистики применяются к принятию решений, в частности, при планировании<br />
и организации производства, при анализе технологических<br />
процессов, при предупредительном и приемочном контроле качества<br />
продукции, при выборе оптимального времени настройки или<br />
замены действующей аппаратуры – например, определение срока замены<br />
двигателя самолета, отдельных деталей станков и т.п.<br />
104
Математическая статистика возникла в XVIII в. в работах Я. Бернулли,<br />
П. Лапласа. Большой вклад в математическую статистику внесли<br />
русские и советские ученые В.Я. Буняковский *) , П.Л. Чебышев,<br />
А.А. Марков, А.Н. Колмогоров, Б.В. Гнеденко и многие другие.<br />
В настоящее время математическая статистика продолжает бурно<br />
развиваться; при этом все больше расширяется круг ее задач и методов<br />
исследования с широким применением ЭВМ. Так, разрабатываются<br />
статистические методы распознавания образов, определения характеристик<br />
элементов систем автоматического управления и т.д.<br />
9.2. Основные понятия математической статистики<br />
Пусть требуется изучить данную (как правило, многочисленную)<br />
совокупность объектов относительно некоторого признака. Например,<br />
требуется определить, в какой степени параметры выпускаемых<br />
изделий соответствуют стандартным нормативам. Если число элементов<br />
в совокупности не очень большое и обследование объекта не<br />
связано с его уничтожением и не требует больших затрат, то можно<br />
исследовать каждый элемент в отдельности, фиксировать значение<br />
исследуемого признака и соответствующей обработкой результатов<br />
сделать тот или иной вывод об изучаемом признаке.<br />
Если же совокупность состоит из очень большого числа объектов,<br />
или исследование связано с уничтожением объектов, или оно дорого<br />
стоит, то сплошное исследование нецелесообразно. Бессмысленно,<br />
например, исследовать на срок горения все лампочки данной<br />
партии, так как в результате вся партия уничтожилась бы. В таких<br />
случаях выводы об исследуемом признаке делаются на основе изучения<br />
ограниченного числа объектов должным образом отобранных из<br />
общей совокупности.<br />
Определение. Генеральной совокупностью называется<br />
множество числовых значений некоторого признака всех объектов<br />
рассматриваемой совокупности.<br />
*) Виктор Яковлевич Буняковский (1804-1889) – русский математик, академик<br />
Петербургской академии наук.<br />
105
Определение. Выборочной совокупностью или просто выборкой<br />
называется множество числовых значений некоторого<br />
признака всех объектов, случайным образом отобранных из<br />
всей совокупности рассматриваемых объектов.<br />
Например, генеральной совокупностью является совокупность<br />
чисел, соответствующих срокам службы всех лампочек выпущенной<br />
партии (эти числа в действительности остаются неизвестными), а выборочной<br />
совокупностью будет совокупность чисел, соответствующих<br />
срокам службы отобранных для испытания лампочек (числа этой<br />
совокупности определяются из проведенного опыта). Для простоты,<br />
если это не приводит к противоречиям, т.е. недвусмысленно известно,<br />
о каком признаке идет речь, под генеральной совокупностью и<br />
под выборкой будем понимать саму совокупность изучаемых объектов.<br />
Так, например, будем говорить, что партия всех электрических<br />
лампочек, которая выпущена заводом, представляет генеральную совокупность,<br />
а множество лампочек, взятых для обследования, составляет<br />
выборочную совокупность. Подчеркнем, однако, что в математической<br />
статистике, как и всегда в математике, мы абстрагируемся<br />
от конкретной природы объектов и изучаем только их абстрактные, в<br />
данном случае числовые, характеристики.<br />
Основную задачу математической статистики можно сформулировать<br />
как задачу получения обоснованных выводов о неизвестных<br />
свойствах генеральной совокупности по известным свойствам извлеченной<br />
из нее выборки.<br />
Число объектов совокупности (генеральной или выборочной) называется<br />
объемом данной совокупности. Например, если цех выпустил<br />
2000 деталей, а для обследования отобрано 150 деталей, то объем<br />
генеральной совокупности равен 2000 (N = 2000), а объем выборки<br />
равен 150 (n = 150).<br />
106<br />
9.3. Группировка статистических данных<br />
Для установления закономерностей массовых случайных явлений<br />
изучаются статистические данные, т.е. сведения, полученные путем
наблюдений или экспериментов о значениях интересующего нас признака.<br />
Изучение статистических данных обычно начинается с их группировки.<br />
При большом числе статистических данных удобнее их<br />
группировать по отдельным интервалам значений. Для этого все значения<br />
интересующего нас признака разделяются на некоторое число<br />
интервалов и рассматриваются группы значений, попавших в последовательно<br />
расположенные интервалы. Число n таких интервалов,<br />
как правило, берется в пределах от 10 до 20. Ширина интервалов х<br />
определяется путем деления размаха выборки на количество интервалов:<br />
х <br />
. При этом частота интервала равна сумме час-<br />
xmax xmin<br />
n<br />
тот, попавших в данный интервал.<br />
Пример 1. Для выборки, полученной при измерении электрической<br />
емкости двадцати пластин пьезоэлементов, составить таблицу<br />
статистического распределения по интервалам, принимая число интервалов<br />
равное 10: 9,9; 11; 9,2; 12; 8; 8,7; 7; 11,8; 11,7; 10,3;<br />
11,2; 8,1; 9,5; 11,5; 11,6; 9,7; 10,2; 11,4; 8,6; 10.<br />
Объем выборки равен 10. Вычисляем ширину интервалов<br />
12 7<br />
х 0,5 . Следовательно, имеем интервалы [7; 7,5], (7,5; 8],<br />
10<br />
(8; 8,5], (8,5; 9], (9; 9,5], (9,5; 10], (10; 10,5], (10,5; 11], (11; 11,5],<br />
(11,5; 12]. Используя данные примера, получаем табл. 9.1 статистического<br />
распределения выборки по интервалам.<br />
Таблица 9.1<br />
Концы<br />
интервалов<br />
Частота<br />
Концы<br />
интервалов<br />
Частота<br />
[7; 7,5] 1 (9,5; 10] 3<br />
(7,5; 8] 1 (10; 10,5] 2<br />
(8; 8,5] 1 (10,5; 11] 1<br />
(8,5; 9] 2 (11; 11,5] 3<br />
(9; 9,5] 2 (11,5; 12] 4<br />
107
9.4. Геометрическая интерпретация статистических распределений<br />
выборки<br />
Если на оси абсцисс прямоугольной системы координат расположить<br />
значения наблюдаемой величины x i , а на оси ординат – соответствующие<br />
им частоты, то в плоскости получим точки (x i ; n i ). Соединяя<br />
их отрезками прямых, получим ломаную линию, которую называют<br />
полигоном частот (рис. 9.1).<br />
n i<br />
30<br />
15<br />
12<br />
6<br />
0<br />
1 2 3 4 5<br />
х i<br />
Р и с. 9.1<br />
Если статистическое распределение выборки задается в виде последовательности<br />
интервалов значений вариант и их частот, то геометрическое<br />
изображение дается при помощи гистограммы частот.<br />
Определение. Гистограммой частот называют ступенчатую<br />
фигуру, состоящую из прямоугольников, построенных на<br />
частичных интервалах с длиной h и высотой, равной отношению<br />
n i /h (плотность частоты на данном интервале).<br />
ni<br />
Площадь частичного i-ого прямоугольника равна h ni<br />
<br />
h<br />
сумме частот значений случайной величины, попавших в i-ый интервал.<br />
Площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, т.е.<br />
объему выборки n.<br />
Определение. Гистограммой относительных частот называют<br />
ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников,<br />
108
n i<br />
основаниями которых служат интервалы с длиной h и высотой<br />
.<br />
n h<br />
Легко заметить, что площадь гистограммы относительных частот<br />
равна единице.<br />
Пример 2. По данным изучения выработки на одного рабочего в<br />
отчетном году в процентах по отношению к предыдущему году было<br />
составлено интервальное статистическое распределение в виде табл.<br />
9.2 для выборки объема n = 117, извлеченной из всей совокупности<br />
рабочих завода. Построить гистограмму относительных частот статистического<br />
распределения данной выборки (см. рис. 9.2).<br />
Таблица 9.2<br />
Интервал значений варианты<br />
(выработка в отчетном году<br />
в % по отношению к предыдущему году)<br />
Частота интервалов<br />
(количество рабочих<br />
с данной выработкой)<br />
[80; 90] 8<br />
(90; 100] 15<br />
(100; 110] 46<br />
(110; 120] 29<br />
(120; 130] 13<br />
(130; 140] 3<br />
(140; 150] 3<br />
n i / 1170<br />
46 / 1170<br />
29 / 1170<br />
15 / 1170<br />
8 / 1170<br />
13 / 1170<br />
3 / 1170<br />
0<br />
80 90 100 110 120 130 140<br />
150<br />
х i<br />
Р и с. 9.2<br />
109
9.5. Проверка гипотезы о предполагаемом законе распределения<br />
с помощью критерия Пирсона 2<br />
Если закон распределения случайной величины неизвестен, но<br />
есть основания предположить, что он имеет определенный вид (назовем<br />
его А), то проверяют нулевую гипотезу: случайная величина подчиняется<br />
закону распределения А при помощи критерия согласия.<br />
Критерием согласия называют критерий проверки гипотезы о<br />
предполагаемом законе неизвестного распределения.<br />
Имеется несколько критериев согласия. Остановимся подробнее<br />
на одном из них – критерии Пирсона. С этой целью сравнивают эмпирические<br />
(наблюдаемые) и теоретические (вычисленные в предположении<br />
того или иного закона распределения) частоты.<br />
Обычно они различаются. Это может быть связано либо с малым<br />
числом наблюдений, любо с неверной гипотезой, либо со способом<br />
группировки данных, либо с другими причинами.<br />
Критерий согласия Пирсона, как и любой критерий, не доказывает<br />
справедливости гипотезы, а лишь устанавливает на принятом<br />
уровне значимости ее согласие или несогласие с данными наблюдений.<br />
В качестве критерия проверки нулевой гипотезы принимаем случайную<br />
величину:<br />
<br />
2<br />
n <br />
<br />
i<br />
<br />
P<br />
i ст<br />
Р<br />
P<br />
i т<br />
i т<br />
<br />
2<br />
, (9.1)<br />
где Р i ст статистические вероятности; Р i т теоретические вероятности,<br />
полученные в предположении того или иного распределения.<br />
По формуле (9.1) находят 2 статистическое (наблюдаемое) и<br />
сравнивают с 2 (r; ) критическим, где уровень значимости<br />
проверки гипотезы, он задается, если нет, то в технике принимают<br />
= 0,05; r число степеней свободы: r = k , где k число интервалов,<br />
на которые разбивают весь статистический материал, <br />
число наложенных связей.<br />
110
Для нормального закона распределения = 3, так как P 1,<br />
М(Х) = а, .<br />
2<br />
ст<br />
Для показательного закона = 2, так как P 1, М(Х) = = 1/.<br />
Для равномерного закона = 3, P 1, а и b концы интервала.<br />
По прил. 4 находят<br />
Если<br />
2<br />
ст <<br />
<br />
2<br />
кр<br />
2<br />
кр и сравнивают с<br />
i<br />
i<br />
i<br />
i<br />
2<br />
ст .<br />
нет оснований отвергать нулевую гипотезу. Если<br />
> <br />
2 кр нулевую гипотезу отвергают.<br />
Замечание. Интервалы, содержащие малочисленные частоты<br />
(n i < 5), следует объединить, а частоты этих интервалов сложить. В<br />
этом случае при определении числа степеней свободы r следует принимать<br />
число интервалов, оставшихся после объединения.<br />
Рассмотрим примеры решения задачи.<br />
Пример 3. Из опыта получена следующая статистическая таблица<br />
случайной величины. Нужно выдвинуть гипотезу о характере<br />
данного распределения, найти параметры распределения, проверить<br />
гипотезу с помощью критерия согласия Пирсона. Общее число испытаний<br />
n<br />
<br />
6 n i<br />
i1<br />
80.<br />
Номера интервалов Концы интервалов Абсолютные частоты<br />
1 [0; 10] 11<br />
2 (10; 20] 14<br />
3 (20; 30] 15<br />
4 (30; 40] 10<br />
5 (40; 50] 14<br />
6 (50; 60] 16<br />
1) Находим относительные частоты Рi<br />
ст <br />
n<br />
11 14 15 10 14 16<br />
Р i ст : ; ; ; ; ; .<br />
80 80 80 80 80 80<br />
P i ст 1.<br />
2) Строим гистограмму.<br />
n i<br />
i<br />
i<br />
111
P<br />
i ст P i ст<br />
<br />
<br />
f<br />
ст (<br />
x)<br />
статистическая плотность распределения, ее<br />
h 10<br />
значения соответственно равны: 0,01375; 0,0175; 0,01875; 0,0125;<br />
0,0175; 0,02.<br />
P i <br />
f т (х)<br />
h<br />
f ст ( х)<br />
0,02<br />
0,015<br />
0,01<br />
0<br />
10 20 30 40 50 60<br />
Р и с. 9.3<br />
х<br />
3) Выдвигая гипотезу о характере распределения, можно предположить,<br />
что оно равномерное, так как f ст (х) мало отличается, и значения<br />
n i близки друг к другу.<br />
Найдем параметры этого распределения:<br />
0,<br />
1<br />
f ( x)<br />
,<br />
b<br />
a<br />
0,<br />
x a,<br />
a x b,<br />
x b.<br />
a b<br />
( b a)<br />
b a<br />
М ( х)<br />
; D(<br />
x)<br />
; .<br />
2<br />
12<br />
2 3<br />
Таким образом, параметры а и b данного распределения находим,<br />
решая систему:<br />
a<br />
b 2M<br />
( x)<br />
<br />
(9.2)<br />
b<br />
a 2 3 <br />
4) Чтобы найти М(х) и , составим расчетную табл. 9.3.<br />
2<br />
112
Таблица 9.3<br />
Номер интервала<br />
Концы интервалов<br />
Абсолютная<br />
частота ni<br />
Относительная<br />
частота<br />
ni<br />
Pi<br />
ст <br />
n<br />
Середина<br />
интервалов хi<br />
Плотность<br />
стат.<br />
f ст (х)<br />
х i × Р i ст х i 31,25<br />
(х i <br />
31,25) 2 (х i 31,25) 2 ×<br />
× Р i ст<br />
Р i т<br />
0 0<br />
1 10<br />
2 20<br />
3 30<br />
4 40<br />
5 50<br />
6 60<br />
11 0,1375 5 0,01375 0,6875 26,25 689,0625 94,7461 0,1452<br />
14 0,175 15 0,0175 2,625 16,25 264,0625 46,2109 0,17<br />
15 0,1876 25 0,01876 4,6875 6,25 39,0625 7,3242 0,17<br />
10 0,125 35 0,0125 4,375 3,75 14,0625 1,7578 0,17<br />
14 0,175 45 0,0175 7,875 13,75 189,0625 33,0859 0,17<br />
16 0,2 55 0,02 11 23,75 564,0625 112,8125 0,17<br />
6<br />
<br />
i1<br />
80 1<br />
М(Х) =<br />
= 31,25<br />
295,9374 = 2<br />
295 , 9374 <br />
= 17,202831 <br />
17,2<br />
113
5) Найдем значения а и b, решив систему (9.2), где М(х) = 31,25,<br />
= 17,2.<br />
а b<br />
31,25 a b 62,5 b<br />
61,04<br />
2 <br />
<br />
<br />
<br />
b a 2 3 17,2<br />
a b 59,58 a 1,46<br />
а = 1,46, b = 61,04<br />
6) Составим функцию распределения<br />
0, x 1,46,<br />
<br />
f ( x)<br />
0,017,<br />
1,46 x 61,04,<br />
<br />
0, x 61,04.<br />
7) Найдем Р i т : Р(0 < x < 10) Р(10 < x < 20), исходя из равномерного<br />
закона распределения. Вероятность попадания случайной величины<br />
Х в заданный интервал может быть найдена по следующей<br />
формуле<br />
В нашем случае:<br />
<br />
1 1 <br />
Р( x )<br />
dx x .<br />
b a b a b a<br />
<br />
Р( X )<br />
0,017 ( ).<br />
Р(0 < Х < 10) = Р(0 < Х < 1,46) + Р(1,46 < Х < 10) =<br />
= 0 + 0,017 (10 – 1,46) = 0,14518 0,1452.<br />
Р(10 < Х < 20) = 0,017 10 = 0,17 = Р(20 < Х < 30) =<br />
= Р(30 < Х < 40) = Р(40 < Х < 50) = Р(50 < Х < 60) = 0,17.<br />
8) Проверим, согласуются ли статистические данные с теоретическими<br />
с помощью критерия 2 .<br />
2 набл = n <br />
2<br />
i ст i т )<br />
( Р P<br />
Р<br />
i т<br />
= 800,0197086 = 1,576688.<br />
Зная = 0,05 и r = 6 – 3, находим 2 критическое.<br />
2 крит (0,05; 3) = 7,8, значит 2 набл < 2 крит. Следовательно, нет оснований<br />
отвергнуть гипотезу о равномерном распределении генеральной<br />
совокупности. Другими словами, эмпирические и теоретические частоты<br />
различаются незначительно (случайно).<br />
<br />
<br />
114
Номера<br />
интервалов<br />
6<br />
<br />
i1<br />
P i ст P i т P i ст P i т (P i ст P i т ) 2 Рi<br />
т<br />
Таблица 9.4<br />
2<br />
i ст i т )<br />
( Р P<br />
1 0,1375 0,1452 0,0077 0,00005929 0,0004084<br />
2 0,175 0,17 0,005 0,000025 0,00014705<br />
3 0,1875 0,17 0,0175 0,00030625 0,001802<br />
4 0,125 0,17 0,045 0,002025 0,01191<br />
5 0,175 0,17 0,005 0,000025 0,00014705<br />
6 0,2 0,17 0,03 0,0009 0,005294<br />
0,0197086<br />
Пример 4. В итоге испытания 450 ламп было получено статическое<br />
распределение длительности их горения (табл. 9.5), где в первой<br />
графе указаны интервалы в часах, во второй – частота n i , т.е. количество<br />
ламп, время горения которых заключено в пределах заданного<br />
интервала. Требуется при уроне значимости = 0,01 проверить гипотезу<br />
о том, что время горения ламп распределено по показательному<br />
закону.<br />
1) Составляем расчетную табл. 9.5, предварительно построив гистограмму<br />
относительных частот (рис. 9.4).<br />
f ст<br />
710 4<br />
110 4<br />
0<br />
400 800 1200 1600 2000 2400 2800<br />
х i<br />
Р и с. 9.4<br />
2) Выдвигая предположение о том, что случайная величина Х <br />
длительность горения ламп подчиняется показательному распределению,<br />
найдем параметр этого распределения.<br />
115
0, x 0,<br />
fт ( x)<br />
x (9.3)<br />
e<br />
, x 0.<br />
3) Заполним расчетную табл. 9.5.<br />
1 1<br />
4) Так как М(Х) = = , то 0, 001 .<br />
998,6<br />
0, x 0,<br />
f ( x)<br />
0,<br />
001<br />
x<br />
0,001<br />
e , x 0.<br />
5) Находим теоретическую вероятность попадания в<br />
(а; b) по формуле Р(а < Х < b) = е а е b , где = 0,001.<br />
Р(0 < Х < 400) = е 0 е 0,4 = 1 – 0,6703 = 0,3297,<br />
Р(400 < Х < 800) = е 0,4 е 0,8 = 0,6703 – 0,4493 = 0,221,<br />
Р(800 < Х < 1200) = е 0,8 е 1,2 = 0,4493 – 0,3012 = 0,1481,<br />
Р(1200 < Х < 1600) = е 1,2 е 1,6 = 0,3012 – 0,2019 = 0,0993,<br />
Р(1600 < Х < 2000) = е 1,6 е 2 = 0,2019 – 0,1353 = 0,0666,<br />
Р(2000 < Х < 2400) = е 2 е 2,4 = 0,1353 – 0,0907 = 0,0446,<br />
Р(2400 < Х < 2800) = е 2,4 е 2,8 = 0,0907 – 0,0608 = 0,0299.<br />
6) Находим<br />
Так как<br />
2<br />
Х ст = 0,07392 450 = 33,26 и<br />
2<br />
Х ст ><br />
Х<br />
2<br />
кр<br />
, то гипотезу о показательном законе распределения<br />
статистического материала отвергаем.<br />
2<br />
Х кр(0,01; 72) = 15,1.<br />
116
Таблица 9.5<br />
Номер интервала<br />
Концы интервалов<br />
Середина<br />
интервалов хi<br />
Абсолютная частота<br />
ni<br />
Относительная<br />
частота Рi ст<br />
f ст (х) = h<br />
Р i<br />
h = 400<br />
х i × Р i ст<br />
2<br />
ст т )<br />
( P<br />
Р i т P i cт P i т (P i cт P i т ) 2 i Pi<br />
Pi<br />
т<br />
0<br />
1 200 121 0,269 0,0006725 53,8 0,3297 0,0607 0,00368 0,01116<br />
400<br />
2 600 95 0,211 0,0005275 126,6 0,221 0,01 0,0001 0,000452<br />
800<br />
3 1000 76 0,169 0,0004225 169 0,1481 0,0209 0,000437 0,00265<br />
1200<br />
4 1400 56 0,124 0,00031 173,6 0,0993 0,0247 0,00061 0,00614<br />
1600<br />
5 1800 45 0,1 0,00025 180 0,0666 0,0334 0,0011 0,01652<br />
2000<br />
6 2200 36 0,08 0,0002 176 0,0446 0,0354 0,00125 0,028<br />
2400<br />
7 2600 21 0,046 0,000115 119,6 0,0299 0,0161 0,00026 0,0087<br />
2800<br />
450 0,999<br />
М(Х) =<br />
= 998,6<br />
0,07392<br />
117
Пример 5. Измерен диаметр у 270 валов хвостовиков. Значения<br />
диаметра оказались в диапазоне 66…90 см. Разбив весь статистический<br />
материал на интервалы длиной 2 см, получили статистическую<br />
табл. 9.6. Проверить гипотезу о характере данного распределения.<br />
Таблица 9.6<br />
Номера<br />
интервалов<br />
Концы<br />
интервалов<br />
Абсолют.<br />
частоты n i<br />
Номера<br />
интервалов<br />
Концы<br />
интервалов<br />
Абсолют.<br />
частоты n i<br />
1 (66; 68) 4 7 (78; 80) 39<br />
2 (68; 70) 12 8 (80; 82) 26<br />
3 (70; 72) 24 9 (82; 84) 13<br />
4 (72; 74) 41 10 (84; 86) 5<br />
5 (74; 76) 50 11 (86; 88) 2<br />
6 (76; 78) 53 12 (88; 90) 1<br />
n i = 270<br />
Составляем расчетную табл. 9.7, предварительно подсчитав:<br />
1) Р i ст – относительные частоты попадания в каждый из указанных<br />
двенадцати интервалов (пятая графа табл. 9.7).<br />
2) Строим гистограмму относительных частот (основание прямо-<br />
Р i ст<br />
угольников х i = 2 см, а высота ), на основании которой можно<br />
2<br />
сделать предположение о том, что статистический материал подчиня-<br />
Р i ст<br />
ется нормальному закону распределения. имеет смысл статистической<br />
плотности распределения случайной величины f ст (х), рис.<br />
2<br />
9.5.<br />
3) Вычисляем М(Х) = 76,12 и = 4,04.<br />
4) Вероятность попадания нормальной случайной величины в заданный<br />
интервал (а; b) может быть найдена по формуле<br />
118
f ст (х)<br />
0,01<br />
0<br />
66 68 70 72 74 76 78 80 82 84 86 88 90<br />
х i<br />
Р и с. 9.5<br />
а <br />
Р i т (a i < Х < a i+1 ) = <br />
i 1 76,12 ai<br />
76,12<br />
<br />
,<br />
4,04 4,04 <br />
где Ф(х) – функция Лапласа, значения которой размещены в прил. 2.<br />
9.8).<br />
Х<br />
2<br />
кр<br />
5) f т (х) =<br />
4,04<br />
6)<br />
Х<br />
2<br />
ст<br />
( х76,12)<br />
<br />
1 2 (4,04)<br />
е .<br />
2<br />
2<br />
2<br />
= 95,886 10 4 270 2,59 (сумма последней графы табл.<br />
По прил. 4, зная = 0,05 и r = 12 – 3 = 9, находим<br />
(0,05; 9) = 16,9. Так как<br />
2<br />
Х ст <<br />
Х<br />
2<br />
кр<br />
, то нет оснований отвергать<br />
предположение о том, что статистический материал подчиняется<br />
нормальному закону. Иначе, статистические и теоретические частоты<br />
различаются незначительно (случайно).<br />
119
120<br />
Таблица 9.7<br />
Номера интервалов<br />
Концы интервалов<br />
Середины<br />
интервалов<br />
Абсолютная<br />
частота ni<br />
Относительная<br />
частота Рi ст<br />
Р i ст<br />
fст<br />
х i P i ст х i 76,12<br />
2<br />
(х i P i ст ×<br />
76,12) 2 × (х i 76,12) 2<br />
66<br />
1 67 4 0,015 0,008 1,005 9,12 83,174 1,248<br />
68<br />
2 69 12 0,044 0,022 3,036 7,12 50,694 2,231<br />
70<br />
3 71 24 0,090 0,045 6,39 5,12 26,214 2,359<br />
72<br />
4 73 41 0,152 0,076 11,096 3,12 9,734 1,480<br />
74<br />
5 75 50 0,185 0,092 13,875 1,12 1,254 0,232<br />
76<br />
6 77 53 0,166 0,098 15,092 0,88 0,774 0,152<br />
78<br />
7 79 39 0,144 0,072 11,376 2,88 8,294 1,194<br />
80<br />
8 81 26 0,096 0,048 7,776 4,88 23,814 2,286<br />
82<br />
9 83 13 0,048 0,024 3,984 6,88 47,334 2,272<br />
84<br />
10 85 5 0,019 0,009 1,615 8,88 78,854 1,498<br />
86<br />
11 87 2 0,007 0,004 0,609 10,88 118,374 0,829<br />
88<br />
12 89 1 0,003 0,0015 0,267 12,88 165,894 0,498<br />
90<br />
270 0,999 1 М(х) = 76,12<br />
D(х) = 16,279<br />
= 16,<br />
279 4,04
Таблица 9.8<br />
a i 76,12 ai<br />
76,12 P<br />
а i 76,12<br />
<br />
i т =<br />
Pi<br />
ст Pi<br />
т<br />
i<br />
4,04<br />
4,04 = Ф i+1 Ф i<br />
Pi<br />
т<br />
10,12 2,50 0,4938<br />
0,0166 0,0016 256 10 8 1,5 10 4<br />
8,12 2,01 0,4772<br />
0,0440 0 0 0<br />
6,12 1,51 0,4332<br />
0,0871 0,0029 84,1 10 8 0,96 10 4<br />
4,12 1,02 0,3461<br />
0,1461 0,0059 3481 10 8 2,4 10 4<br />
2,12 0,53 0,2000<br />
0,1600 0,025 62500 10 8 39,06 10 4<br />
0,12 0,03 0,0400<br />
0,2208 0,0248 61504 10 8 27,85 10 4<br />
1,88 0,47 0,1808<br />
0,1507 0,0067 4489 10 8 2,98 10 4<br />
3,88 0,96 0,3315<br />
0,0964 0,0004 16 10 8 0,016 10 4<br />
5,88 1,46 0,4279<br />
0,0465 0,0015 225 10 8 0,48 10 4<br />
7,88 1,95 0,4744<br />
0,0184 0,0006 36 10 8 0,19 10 4<br />
9,88 2,45 0,4928<br />
0,0053 0,0017 289 10 8 5,45 10 4<br />
11,88 2,94 0,4981<br />
0,0015 0,0015 225 10 8 15 10 4<br />
13,88 3,44 0,4996<br />
95 ,886 10<br />
P i ст P i т (P i ст P i т ) 2 <br />
<br />
i<br />
2<br />
4<br />
121
9.6. Задания для самостоятельного решения<br />
Для индивидуально заданного статистического материала проверить<br />
гипотезу о неизвестном законе распределения с помощью критерия<br />
согласия Пирсона. Номер варианта задания совпадает с порядковым<br />
номером студента по журналу преподавателя.<br />
Вариант 1<br />
Проверить гипотезу о законе распределения<br />
10 35 30 6 19 13 25 41 29 40 34 37 51 34 32<br />
20 25 26 27 44 38 27 25 15 49 17 44 20 54 48<br />
7 55 20 21 23 16 25 17 40 52 34 5 29 32 41<br />
2 28 33 43 32 5 41 31 20 28 12 45 9 37 9<br />
29 34 15 51 24 51 29 55 38 9 23 51 26 56 34<br />
27 33 51 27 28 40 9 23 25 33 20 21 39 15 32<br />
14 55 28 56 25 30 28 34 14 33 38 41 31 29 19<br />
30 44 15 32 36 19 24 34 12 12 28 29 31 26 32<br />
29 22 30 31 28 44 32 37 45 36 30 12 26 18 35<br />
40 42 28 47 26 28 40 22 17 40 17 20 14 18 27<br />
Вариант 2<br />
Проверить гипотезу о законе распределения<br />
14 25 25 37 2 37 19 3 28 21 20 16 11 39 29<br />
42 32 27 26 31 34 44 22 5 39 17 24 27 43 12<br />
23 21 23 18 15 9 32 12 31 40 16 18 23 6 31<br />
26 36 15 11 34 7 12 15 35 27 31 23 26 40 10<br />
23 22 28 10 32 35 36 16 25 37 27 42 13 17 29<br />
12 13 20 20 24 25 19 29 32 16 30 32 9 40 2<br />
18 22 14 16 2 10 20 21 20 13 23 31 41 44 9<br />
25 5 11 29 25 27 36 43 18 26 18 22 41 46 26<br />
27 21 22 13 34 6 34 28 24 36 17 20 5 8 29<br />
20 37 38 8 29 29 25 17 29 4 26 25 10 37 36<br />
122
Вариант 3<br />
Проверить гипотезу о законе распределения<br />
20 13 48 20 17 22 56 39 39 46 45 35 36 28 28<br />
39 20 59 52 24 20 34 48 36 44 10 29 29 30 49<br />
43 64 48 53 1 32 24 46 56 25 50 43 32 42 35<br />
44 34 24 53 42 49 31 34 29 16 34 10 17 48 71<br />
36 16 22 29 63 39 51 12 37 5 54 63 63 58 53<br />
50 35 32 16 34 51 10 61 53 39 13 23 54 53 25<br />
28 45 66 33 48 12 40 59 51 33 23 30 26 32 29<br />
18 39 35 23 49 46 24 67 33 31 30 38 33 46 48<br />
38 67 38 39 50 23 27 14 62 42 24 13 46 35 50<br />
41 51 58 11 10 18 29 57 9 51 11 37 56 61 40<br />
Вариант 4<br />
Проверить гипотезу о законе распределения<br />
5 17 4 39 4 19 7 36 22 31 10 20 18 13 7<br />
18 5 28 10 13 22 8 54 18 8 36 26 15 7 20<br />
19 3 5 8 3 15 12 9 8 18 16 38 38 30 16<br />
5 13 40 6 27 58 15 32 9 8 7 4 4 17 15<br />
12 32 39 14 14 7 11 13 32 23 18 3 6 5 25<br />
9 10 11 14 22 11 9 4 18 11 21 57 49 9 25<br />
21 4 3 26 2 11 14 14 6 10 63 23 27 19 17<br />
20 18 24 28 14 11 28 11 58 10 8 8 34 8 5<br />
14 12 13 32 18 52 33 25 60 2 37 10 6 30 6<br />
17 14 13 25 20 4 31 40 8 27 22 4 38 7 9<br />
Вариант 5<br />
Проверить гипотезу о законе распределения<br />
12 42 13 40 20 17 30 23 25 14 15 30 11 43 19<br />
21 30 24 25 23 35 13 29 15 25 32 34 11 25 26<br />
15 17 42 21 16 26 32 7 21 28 42 42 26 29 19<br />
7 6 17 5 23 14 21 30 21 43 25 16 15 6 27<br />
23 16 18 35 7 38 28 28 23 34 27 22 20 23 13<br />
15 29 20 29 34 21 39 30 20 28 10 14 33 39 12<br />
28 23 28 22 28 35 7 21 35 33 22 28 21 23 14<br />
34 31 8 10 42 26 17 0 26 29 21 12 26 32 23<br />
11 29 5 32 22 34 28 4 15 32 24 19 20 6 27<br />
24 24 0 43 34 22 27 24 27 31 18 6 21 27 18<br />
123
Вариант 6<br />
Проверить гипотезу о законе распределения<br />
20 8 8 10 5 16 6 4 16 3 7 9 0 24 20<br />
44 1 13 3 13 0 34 13 7 12 40 6 26 22 6<br />
5 2 2 47 32 9 1 39 0 9 1 1 8 4 6<br />
5 6 13 25 26 12 1 5 19 18 3 3 15 5 11<br />
7 9 1 4 23 18 19 7 12 6 8 3 11 11 5<br />
0 36 1 6 1 4 31 2 1 20 3 18 2 5 9<br />
13 41 10 27 5 16 12 4 2 19 1 36 23 12 2<br />
0 8 30 33 1 1 36 2 11 7 7 12 2 7 14<br />
9 15 9 7 0 33 21 7 31 5 2 11 6 6 34<br />
9 27 0 5 5 26 6 2 0 27 15 2 2 2 18<br />
Вариант 7<br />
Проверить гипотезу о законе распределения<br />
6 23 16 13 29 5 9 11 13 63 11 29 19 10 8<br />
23 20 7 8 3 17 3 7 9 19 19 11 12 5 12<br />
6 14 24 7 15 7 13 4 16 8 8 26 53 34 4<br />
9 21 17 19 17 8 44 5 15 4 4 2 5 20 8<br />
23 7 4 9 13 69 26 45 12 8 18 13 22 8 15<br />
14 5 6 13 10 3 11 7 4 4 35 15 14 12 44<br />
13 24 25 25 18 9 6 20 7 41 12 17 4 27 25<br />
35 7 14 19 7 2 5 10 19 12 22 16 38 31 7<br />
22 13 14 21 2 17 49 11 19 12 52 57 4 7 9<br />
16 19 36 34 10 18 18 9 17 4 45 15 46 7 6<br />
Вариант 8<br />
Проверить гипотезу о законе распределения<br />
15 37 9 16 19 16 19 28 36 44 7 7 35 76 29<br />
11 5 20 5 4 20 49 38 19 7 11 6 6 26 44<br />
15 38 3 13 28 11 37 9 15 27 23 7 17 15 14<br />
7 22 12 31 6 43 6 45 8 14 10 8 5 12 7<br />
26 17 37 16 6 5 10 27 13 22 13 41 4 42 21<br />
70 11 4 17 89 12 11 31 38 23 7 31 10 55 63<br />
11 29 23 20 13 25 20 6 17 7 21 11 5 22 20<br />
8 13 9 10 65 7 6 21 10 58 10 15 22 11 29<br />
3 10 19 14 23 53 8 3 48 21 11 4 10 7 40<br />
20 7 34 24 19 19 53 7 4 46 4 4 17 44 12<br />
124
Вариант 9<br />
Проверить гипотезу о законе распределения<br />
4 9 40 48 24 23 4 4 89 7 5 33 29 22 13<br />
18 11 41 45 55 14 6 26 8 1 36 13 3 22 33<br />
22 17 25 34 3 19 41 5 42 3 20 77 53 4 12<br />
6 12 37 30 25 28 19 24 11 6 55 9 3 2 13<br />
28 16 17 16 38 17 22 27 24 51 67 9 26 45 7<br />
26 4 29 57 34 7 7 20 30 4 10 21 13 73 22<br />
27 3 19 24 12 28 3 36 8 31 24 28 5 32 31<br />
20 10 21 69 2 52 45 12 42 3 4 39 6 16 9<br />
9 41 67 14 19 20 53 13 16 11 10 34 5 14 11<br />
51 43 5 53 27 22 29 6 7 28 40 34 4 3 8<br />
Вариант 10<br />
Проверить гипотезу о законе распределения<br />
14 25 8 7 25 51 28 15 7 6 50 17 52 2 16<br />
39 22 21 4 24 14 23 12 58 9 6 21 37 10 6<br />
14 9 41 53 34 8 18 24 85 4 8 24 12 15 16<br />
21 2 22 11 20 13 8 11 17 6 34 9 6 21 3<br />
4 70 8 4 17 6 15 40 31 27 6 2 20 3 30<br />
15 20 21 6 22 44 11 12 16 61 8 24 9 8 14<br />
11 21 6 12 56 12 27 68 6 6 6 23 4 16 16<br />
13 18 17 22 53 24 5 14 12 81 10 11 9 15 47<br />
27 18 7 14 69 7 13 22 11 24 7 106 26 17 8<br />
27 39 12 57 5 5 79 18 13 7 6 46 4 41 66<br />
Вариант 11<br />
Проверить гипотезу о законе распределения<br />
5 12 22 19 32 9 10 22 29 5 39 8 4 22 24<br />
9 3 31 9 11 17 23 3 9 11 24 96 13 18 21<br />
19 27 8 5 4 11 37 3 6 20 40 21 4 31 20<br />
17 10 12 14 14 3 21 9 17 25 22 5 5 30 46<br />
95 21 9 24 39 7 17 19 80 29 10 9 28 17 6<br />
13 16 9 33 37 40 9 11 8 4 25 7 8 8 6<br />
23 17 32 16 10 37 19 24 15 9 23 7 26 15 15<br />
36 26 7 10 11 37 26 8 12 13 8 40 16 11 7<br />
21 20 33 34 8 8 8 28 17 17 4 36 15 12 8<br />
23 12 4 9 6 8 46 18 3 4 31 6 10 39 48<br />
125
Вариант 12<br />
Проверить гипотезу о законе распределения<br />
11 12 44 4 17 35 28 15 32 4 38 25 36 22 17<br />
17 11 18 28 43 13 1 7 0 12 41 21 14 29 8<br />
31 20 21 23 21 11 5 20 10 15 26 22 21 27 14<br />
26 24 30 14 29 17 31 6 39 28 32 27 9 4 11<br />
39 38 25 41 32 30 16 11 11 24 28 27 27 16 21<br />
9 39 4 30 19 39 37 24 15 17 28 33 26 9 29<br />
35 22 23 22 25 38 20 16 7 37 21 32 23 19 34<br />
26 44 16 15 27 21 15 27 17 27 6 28 25 12 19<br />
4 27 29 38 23 25 22 15 31 9 19 20 24 27 21<br />
25 20 11 29 44 27 10 20 16 33 8 14 43 26 24<br />
Вариант 13<br />
Проверить гипотезу о законе распределения<br />
30 27 5 19 47 39 18 11 46 40 41 10 22 24 45<br />
44 45 46 55 34 44 31 31 29 43 29 30 32 25 52<br />
32 36 19 36 29 6 24 23 55 55 5 28 9 20 12<br />
34 38 46 13 41 12 21 10 46 43 46 42 16 29 32<br />
28 34 28 20 56 32 16 24 28 26 27 13 27 55 20<br />
44 50 17 38 45 17 17 30 29 32 46 28 33 10 18<br />
30 29 31 53 27 28 29 3 25 40 35 26 29 55 43<br />
46 16 1 30 26 48 23 11 51 20 43 12 52 20 21<br />
40 31 9 31 31 28 33 45 32 47 32 40 38 38 57<br />
32 11 28 33 21 25 18 24 42 16 44 49 37 31 33<br />
Вариант 14<br />
Проверить гипотезу о законе распределения<br />
7 16 12 106 19 5 18 17 19 6 46 23 9 10 36<br />
25 11 9 27 12 21 30 17 20 6 13 64 76 12 9<br />
9 21 5 19 48 31 16 36 4 38 9 14 3 7 2<br />
22 32 51 82 34 20 17 22 12 17 39 7 10 13 91<br />
4 70 18 29 17 13 49 39 16 77 8 13 22 21 13<br />
42 8 18 11 8 72 16 20 2 8 40 37 7 6 43<br />
29 31 7 10 8 11 4 10 13 10 40 9 3 79 10<br />
5 22 51 10 19 20 33 24 18 35 25 29 35 72 23<br />
8 31 13 13 12 19 13 35 36 7 8 12 54 8 32<br />
17 5 11 3 26 4 3 22 8 11 3 5 16 13 13<br />
126
Вариант 15<br />
Проверить гипотезу о законе распределения<br />
16 7 5 6 25 42 7 24 12 5 9 11 31 12 51<br />
39 10 15 7 6 24 29 27 20 7 47 7 27 22 28<br />
13 60 8 12 37 42 34 5 14 25 45 12 10 16 3<br />
17 18 26 14 23 4 6 17 13 9 26 4 7 19 26<br />
14 22 20 4 39 16 52 19 42 12 13 6 30 16 17<br />
35 7 50 10 15 10 14 17 10 27 18 11 40 6 17<br />
9 25 40 14 11 33 20 25 4 14 20 3 23 10 9<br />
14 5 21 9 41 5 24 13 18 6 18 16 9 7 25<br />
40 34 60 5 10 21 8 43 49 32 31 30 30 6 4<br />
15 12 30 27 28 44 13 21 15 7 3 5 40 13 11<br />
Вариант 16<br />
Проверить гипотезу о законе распределения<br />
32 16 28 17 35 35 27 15 48 28 28 2 38 21 35<br />
9 31 16 40 23 44 34 42 39 51 19 24 27 37 44<br />
37 39 23 50 44 27 24 27 29 15 36 14 24 22 35<br />
15 41 29 32 48 55 0 33 39 33 18 31 54 19 37<br />
29 6 50 36 24 31 22 16 29 28 10 41 23 35 14<br />
26 24 33 33 39 4 51 45 20 40 43 39 18 26 12<br />
40 29 39 34 43 28 21 50 32 11 20 44 25 4 24<br />
8 31 19 26 47 17 19 21 46 44 10 18 14 28 38<br />
50 41 35 19 55 26 37 28 6 34 28 40 13 40 43<br />
29 19 36 11 33 30 49 36 27 31 33 29 15 37 44<br />
Вариант 17<br />
Проверить гипотезу о законе распределения<br />
20 8 8 10 5 16 6 4 16 3 7 9 0 24 20<br />
44 1 13 3 13 0 34 13 7 12 40 6 26 22 6<br />
5 2 2 47 32 9 1 39 0 9 1 1 8 4 6<br />
5 6 13 25 26 12 1 5 19 18 3 3 15 5 11<br />
7 9 1 4 23 18 19 7 12 6 8 3 11 11 5<br />
0 36 1 6 1 4 31 2 1 20 3 18 2 5 9<br />
13 41 10 27 5 16 12 4 2 19 1 36 23 12 2<br />
0 8 30 33 1 1 36 2 11 7 7 12 2 7 14<br />
9 15 9 7 0 33 21 7 31 5 2 11 6 6 34<br />
9 27 0 5 5 26 6 2 0 27 15 2 2 2 18<br />
127
Вариант 18<br />
Проверить гипотезу о законе распределения<br />
0 38 31 30 42 21 1 15 18 9 9 31 31 10 27<br />
3 8 31 14 20 48 13 3 25 3 8 23 26 28 1<br />
3 32 19 9 13 51 4 30 1 15 45 1 15 13 1<br />
0 28 15 8 39 25 9 31 17 58 6 49 1 47 34<br />
4 42 39 3 5 27 47 15 15 20 5 16 1 12 30<br />
12 11 44 40 22 18 27 34 2 47 1 12 25 10 3<br />
20 43 8 23 5 22 4 20 20 18 34 4 3 25 2<br />
2 2 25 11 24 21 21 16 23 21 40 11 12 52 10<br />
32 17 42 10 18 9 35 20 15 23 6 49 22 16 16<br />
20 3 29 30 3 1 23 13 4 11 11 24 10 5 5<br />
Вариант 19<br />
Проверить гипотезу о законе распределения<br />
3 9 21 9 6 3 35 1 14 6 29 39 30 15 12<br />
21 28 24 39 12 1 28 8 6 38 3 8 17 5 29<br />
0 1 22 2 12 36 21 39 7 12 19 18 6 9 2<br />
18 14 20 19 18 2 11 33 24 18 24 11 5 15 14<br />
4 25 5 10 20 23 12 15 6 18 9 1 7 2 30<br />
13 17 0 14 25 4 21 11 17 21 31 3 12 6 7<br />
16 28 15 9 26 5 0 8 1 13 7 13 1 14 7<br />
6 2 2 11 14 5 14 5 21 20 0 34 6 15 14<br />
0 7 17 38 1 36 34 15 19 20 19 29 32 27 17<br />
20 2 37 5 11 10 23 6 19 7 6 7 46 24 30<br />
Вариант 20<br />
Проверить гипотезу о законе распределения<br />
4 34 30 11 18 7 27 28 16 14 10 16 14 17 21<br />
24 11 9 23 9 2 7 3 28 29 6 14 23 25 6<br />
5 31 18 15 29 15 21 4 19 21 19 2 23 7 10<br />
38 15 6 1 11 19 1 10 32 4 20 9 2 25 8<br />
35 21 15 26 20 25 7 25 7 17 8 34 29 17 4<br />
0 11 15 19 1 17 18 28 6 13 34 8 3 21 13<br />
6 29 7 28 10 4 8 8 7 10 23 5 3 2 12<br />
11 18 12 25 7 4 17 26 6 38 33 28 32 6 28<br />
11 14 22 19 7 6 30 1 13 33 9 3 6 25 0<br />
23 22 29 27 30 6 8 14 2 8 6 13 5 17 19<br />
128
Вариант 21<br />
Проверить гипотезу о законе распределения<br />
15 37 14 25 25 4 10 26 30 29 30 2 2 9 12<br />
19 14 41 3 22 40 25 23 32 14 27 7 40 17 19<br />
16 10 13 16 19 16 19 39 4 1 21 8 21 26 21<br />
26 10 5 12 13 15 34 2 34 21 19 1 29 29 6<br />
3 17 5 10 20 7 20 1 12 0 28 30 3 4 3<br />
35 9 28 36 22 6 21 21 38 35 1 20 13 31 5<br />
12 4 35 13 28 34 16 7 3 13 5 26 4 14 24<br />
1 6 12 27 25 2 19 24 6 10 18 6 3 23 0<br />
10 12 6 2 19 7 27 25 25 6 29 7 0 12 5<br />
18 14 21 36 12 30 4 5 11 14 12 30 19 7 14<br />
Вариант 22<br />
Проверить гипотезу о законе распределения<br />
13 4 20 20 9 6 5 6 36 25 23 36 17 2 15<br />
10 2 14 20 22 38 4 7 1 9 1 20 8 12 25<br />
2 17 26 26 1 16 20 17 14 7 21 5 1 2 28<br />
30 2 16 8 33 16 2 2 12 23 30 28 19 28 41<br />
3 2 8 6 12 3 5 99 16 37 42 21 22 9 10<br />
44 40 13 12 35 1 1 2 44 28 22 21 1 17 18<br />
10 33 26 18 11 35 24 9 17 23 10 16 25 11 1<br />
15 11 33 16 25 2 40 24 9 20 13 24 9 17 20<br />
21 13 22 26 6 18 7 6 11 18 17 6 19 17 7<br />
41 38 13 1 18 11 32 8 3 2 10 3 15 11 16<br />
Вариант 23<br />
Проверить гипотезу о законе распределения<br />
48 24 23 4 9 40 4 4 33 29 22 13 89 7 5<br />
30 25 28 6 12 37 19 24 9 3 2 13 11 6 55<br />
45 55 14 18 11 41 6 26 13 3 22 33 8 1 36<br />
34 3 19 22 17 25 41 5 77 53 4 12 42 3 20<br />
16 38 17 28 16 17 22 27 9 26 45 7 24 51 67<br />
57 34 7 26 4 29 7 20 21 13 73 22 30 4 10<br />
14 19 20 9 41 67 53 13 34 5 14 11 16 11 10<br />
53 27 22 51 43 5 29 6 34 4 3 8 7 28 40<br />
24 12 28 27 3 19 3 36 28 5 32 31 8 31 24<br />
69 2 52 20 10 21 45 12 39 6 16 9 42 3 4<br />
129
Вариант 24<br />
Проверить гипотезу о законе распределения<br />
28 17 32 16 35 35 28 28 27 15 48 2 35 38 21<br />
29 32 15 41 48 55 33 18 0 33 39 31 37 54 19<br />
16 40 9 31 23 44 51 19 34 42 39 24 44 27 37<br />
23 50 37 39 44 27 15 36 24 27 29 14 35 24 22<br />
19 26 8 31 47 17 44 10 19 21 46 18 38 14 28<br />
35 19 50 41 55 26 34 28 37 28 6 40 43 13 40<br />
36 11 29 19 33 30 31 33 49 36 27 29 44 15 37<br />
50 36 29 6 24 31 28 10 22 16 29 41 14 23 35<br />
33 33 26 24 39 4 40 43 51 45 20 39 12 18 26<br />
39 34 40 29 43 28 11 20 21 50 32 44 24 25 4<br />
Вариант 25<br />
Проверить гипотезу о законе распределения<br />
4 5 17 39 4 22 19 7 36 31 10 13 7 20 18<br />
28 18 5 10 13 18 22 8 54 8 36 7 20 26 15<br />
5 19 3 8 3 8 15 12 9 18 16 30 16 38 38<br />
40 5 13 6 27 9 58 15 32 8 7 17 15 4 4<br />
13 17 14 25 20 8 4 31 40 27 22 7 9 4 38<br />
39 12 32 14 14 32 7 11 13 23 18 5 25 3 6<br />
11 9 10 14 22 18 11 9 4 11 21 9 25 57 49<br />
24 20 18 28 14 58 11 28 11 10 8 8 5 8 34<br />
13 14 12 32 18 60 52 33 25 2 37 30 6 10 6<br />
3 21 4 26 2 6 11 14 14 10 63 19 17 23 27<br />
Вариант 26<br />
Проверить гипотезу о законе распределения<br />
19 32 5 12 22 9 10 22 8 4 22 24 29 5 39<br />
9 11 9 3 31 17 23 3 96 13 18 21 9 11 24<br />
14 14 17 10 12 3 21 9 5 5 30 46 17 25 22<br />
24 39 95 21 9 7 17 19 9 28 17 6 80 29 10<br />
33 37 13 16 9 40 9 11 7 8 8 6 8 4 25<br />
5 4 19 27 8 11 37 3 21 4 31 20 6 20 40<br />
34 8 21 20 33 8 8 28 36 15 12 8 17 17 4<br />
9 6 23 12 4 8 46 18 6 10 39 48 3 4 31<br />
16 10 23 17 32 37 19 24 7 26 15 15 15 9 23<br />
10 11 36 26 7 37 26 8 40 16 11 7 12 13 8<br />
130
Вариант 27<br />
Проверить гипотезу о законе распределения<br />
2 37 14 25 25 37 19 21 20 16 11 39 29 3 28<br />
31 34 42 32 27 26 44 39 17 24 27 43 12 22 5<br />
15 9 23 21 23 18 32 40 16 18 23 6 31 12 31<br />
24 25 12 13 20 20 19 16 30 32 9 40 2 29 32<br />
2 10 18 22 14 16 20 13 23 31 41 44 9 21 20<br />
34 7 26 36 15 11 12 27 31 23 26 40 10 15 35<br />
34 6 27 21 22 13 34 36 17 20 5 8 29 28 24<br />
29 29 20 37 38 8 25 4 26 25 10 37 36 17 29<br />
32 35 23 22 28 10 36 37 27 42 13 17 29 16 25<br />
25 27 25 5 11 29 36 26 18 22 41 46 26 43 18<br />
Вариант 28<br />
Проверить гипотезу о законе распределения<br />
17 11 12 44 4 35 28 15 25 36 22 17 32 4 38<br />
43 17 11 18 28 13 1 7 21 14 29 8 0 12 41<br />
29 26 24 30 14 17 31 6 27 9 4 11 39 28 32<br />
32 39 38 25 41 30 16 11 27 27 16 21 11 24 28<br />
19 9 39 4 30 39 37 24 33 26 9 29 15 17 28<br />
21 31 20 21 23 11 5 20 22 21 27 14 10 15 26<br />
23 4 27 29 38 25 22 15 20 24 27 21 31 9 19<br />
44 25 20 11 29 27 10 20 14 43 26 24 16 33 8<br />
25 35 22 23 22 38 20 16 32 23 19 34 7 37 21<br />
27 26 44 16 15 21 15 27 28 25 12 19 17 27 6<br />
Вариант 29<br />
Проверить гипотезу о законе распределения<br />
21 9 3 9 6 3 35 1 30 15 12 14 6 29 39<br />
24 39 21 28 12 1 28 8 17 5 29 6 38 3 8<br />
5 10 4 25 20 23 12 15 7 2 30 6 18 9 1<br />
0 14 13 17 25 4 21 11 12 6 7 17 21 31 3<br />
22 2 0 1 12 36 21 39 6 9 2 7 12 19 18<br />
2 11 6 2 14 5 14 5 6 15 14 21 20 0 34<br />
17 38 0 7 1 36 34 15 32 27 17 19 20 19 29<br />
37 5 20 2 11 10 23 6 46 24 30 19 7 6 7<br />
20 19 18 14 18 2 11 33 5 15 14 24 18 24 11<br />
15 9 16 28 26 5 0 8 1 14 7 1 13 7 13<br />
131
Вариант 30<br />
Проверить гипотезу о законе распределения<br />
42 21 1 0 38 31 30 15 18 10 27 9 9 31 31<br />
13 51 4 3 32 19 9 30 1 13 1 15 45 1 15<br />
39 25 9 0 28 15 8 31 17 47 34 58 6 49 1<br />
5 22 4 20 43 8 23 20 20 25 2 18 34 4 3<br />
5 27 47 4 42 39 3 15 15 12 30 20 5 16 1<br />
24 21 21 2 2 25 11 16 23 52 10 21 40 11 12<br />
18 9 35 32 17 42 10 20 15 16 16 23 6 49 22<br />
3 1 23 20 3 29 30 13 4 5 5 11 11 24 10<br />
20 48 13 3 8 31 14 3 25 28 1 3 8 23 26<br />
22 18 27 12 11 44 40 34 2 10 3 47 1 12 25<br />
Вариант 31<br />
Проверить гипотезу о законе распределения<br />
5 6 25 16 12 51 7 42 24 12 5 9 7 11 31<br />
8 12 37 13 16 3 60 42 5 14 25 45 34 12 10<br />
26 14 23 17 19 26 18 4 17 13 9 26 6 4 7<br />
50 10 15 35 6 17 7 10 17 10 27 18 14 11 40<br />
40 14 11 9 10 9 25 33 25 4 14 20 20 3 23<br />
60 5 10 40 6 4 34 21 43 49 32 31 8 30 30<br />
30 27 28 15 13 11 12 44 21 15 7 3 13 5 40<br />
21 9 41 14 7 25 5 5 13 18 6 18 24 16 9<br />
15 7 6 39 22 28 10 24 27 20 7 47 29 7 27<br />
20 4 39 14 16 17 22 16 19 42 12 13 52 6 30<br />
Вариант 32<br />
Проверить гипотезу о законе распределения<br />
25 15 37 14 30 29 10 25 4 9 12 30 26 2 2<br />
3 19 14 41 32 14 25 22 40 17 19 27 23 40 7<br />
12 26 10 5 34 21 34 13 15 29 6 19 2 29 1<br />
10 3 17 5 12 0 20 20 7 4 3 28 1 3 30<br />
36 35 9 28 38 35 21 22 6 31 5 1 21 13 20<br />
27 1 6 12 6 10 19 25 2 23 0 18 24 3 6<br />
2 10 12 6 25 6 27 19 7 12 5 29 25 0 7<br />
16 16 10 13 4 1 19 19 16 26 21 21 39 21 8<br />
13 12 4 35 3 13 16 28 34 14 24 5 7 4 26<br />
36 18 14 21 11 14 4 12 30 7 14 12 5 19 30<br />
132
Вариант 33<br />
Проверить гипотезу о законе распределения<br />
20 5 8 8 10 16 16 3 7 24 20 6 4 9 0<br />
44 13 1 13 3 0 7 12 40 22 6 34 13 6 26<br />
13 5 41 10 27 16 2 19 1 12 2 12 4 36 23<br />
7 23 9 1 4 18 12 6 8 11 5 19 7 3 11<br />
5 32 2 2 47 9 0 9 1 4 6 1 39 1 8<br />
5 26 6 13 25 12 19 18 3 5 11 1 5 3 15<br />
9 0 15 9 7 33 31 5 2 6 34 21 7 11 6<br />
9 5 27 0 5 26 0 27 15 2 18 6 2 2 2<br />
0 1 8 30 33 1 11 7 7 7 14 36 2 12 2<br />
0 1 36 1 6 4 1 20 3 5 9 31 2 18 2<br />
Вариант 34<br />
Проверить гипотезу о законе распределения<br />
30 11 17 21 18 28 16 14 4 34 10 16 7 27 14<br />
12 25 6 28 7 26 6 38 11 18 33 28 4 17 32<br />
22 19 25 0 7 1 13 33 11 14 9 3 6 30 6<br />
29 27 17 19 30 14 2 8 23 22 6 13 6 8 5<br />
15 26 17 4 20 25 7 17 35 21 8 34 25 7 29<br />
15 19 21 13 1 28 6 13 0 11 34 8 17 18 3<br />
9 23 25 6 9 3 28 29 24 11 6 14 2 7 23<br />
18 15 7 10 29 4 19 21 5 31 19 2 15 21 23<br />
6 1 25 8 11 10 32 4 38 15 20 9 19 1 2<br />
7 28 2 12 10 8 7 10 6 29 23 5 4 8 3<br />
Вариант 35<br />
Проверить гипотезу о законе распределения<br />
16 13 29 5 6 9 11 13 10 8 23 63 11 29 19<br />
7 8 3 17 23 3 7 9 5 12 20 19 19 11 12<br />
4 9 13 69 23 26 45 12 8 15 7 8 18 13 22<br />
6 13 10 3 14 11 7 4 12 44 5 4 35 15 14<br />
14 19 7 2 35 5 10 19 31 7 7 12 22 16 38<br />
14 21 2 17 22 49 11 19 7 9 13 12 52 57 4<br />
17 19 17 8 9 44 5 15 20 8 21 4 4 2 5<br />
24 7 15 7 6 13 4 16 34 4 14 8 8 26 53<br />
25 25 18 9 13 6 20 7 27 25 24 41 12 17 4<br />
36 34 10 18 16 18 9 17 7 6 19 4 45 15 46<br />
133
Лекция № 10. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ<br />
К ВОПРОСАМ ПРОИЗВОДСТВА<br />
Данная лекция может быть проведена самими студентами в форме<br />
докладов и сообщений, отражающих круг инженерных задач, решаемых<br />
методами теории вероятностей. В качестве примера можно<br />
указать на задачи контроля и регулирования процессов, расчета надежности<br />
автоматических линий, расчета межоперационных запасов<br />
и т.д.<br />
Приведем примерный перечень докладов, которые могут быть<br />
подготовлены силами студентов.<br />
1. Понятие о теории передачи информации. Энтропия. Задача о<br />
телеграфном коде.<br />
2. Роль нормального распределения в приложениях техники.<br />
3. 2 как критерий однородности распределений.<br />
4. Теоретико-вероятностный метод расчета размерных цепей.<br />
5. Статистические методы анализа точности технологического<br />
процесса.<br />
6. Статистические методы анализа стабильности технологического<br />
процесса.<br />
7. Статистические методы текущего предупредительного контроля<br />
качества продукции.<br />
8. Статистические методы приемочного последующего контроля<br />
качества продукции.<br />
9. Теория "наиболее слабого звена" и законы распределения<br />
крайних членов выборки.<br />
10. Статистическая интерпретация результатов испытаний материалов<br />
деталей машин на выносливость при переменных напряжениях.<br />
11. Понятие о случайных процессах. И т.д.<br />
134
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК<br />
1. Валуцэ, И.И. Математика для техникумов: учеб. пособ / И.И. Валуцэ,<br />
Г.Д. Дилигул. 2-е изд. –М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990.<br />
2. Гмурман, В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и<br />
математической статистике: учеб. пособ. для студентов втузов / В.Е. Гмурман.<br />
3-е изд. –М.: Высш. шк, 1979.<br />
3. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб.<br />
пособ. для втузов / В.Е. Гмурман. 5-е изд. –М.: Высш. шк, 1977.<br />
4. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: учеб. пособ.<br />
для втузов. В 2-х ч. Ч. II / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. 5-е изд. –<br />
М.: Высш. шк, 1996.<br />
5. Кордонский, Х.Б. Приложения теории вероятностей в инженерном деле /<br />
Х.Б. Кордонский.–М.: Физматгиз, 1963.<br />
6. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2-х т. /<br />
Н.С. Пискунов. –М.: Интеграл-Пресс, 1997.<br />
135
ПРИЛОЖЕНИЯ<br />
Приложение 1<br />
1 <br />
Значения функции f ( x)<br />
e<br />
2<br />
2<br />
х f(х) х f (х) х f (х)<br />
0,00 0,3989 1,35 0,1604 2,70 0,0104<br />
0,05 0,3984 1,40 0,1497 2,75 0,0091<br />
0,10 0,3970 1,45 0,1394 2,80 0,0079<br />
0,15 0,3945 1,50 0,1295 2,85 0,0069<br />
0,20 0,3910 1,55 0,1200 2,90 0,0060<br />
0,25 0,3867 1,60 0,1109 2,95 0,0051<br />
0,30 0,3814 1,65 0,1023 3,00 0,0044<br />
0,35 0,3752 1,70 0,0940 3,05 0,0038<br />
0,40 0,3683 1,75 0,0863 3,10 0,0033<br />
0,45 0,3605 1,80 0,0790 3,15 0,0028<br />
0,50 0,3521 1,85 0,0721 3,20 0,0024<br />
0,55 0,3429 1,90 0,0656 3,25 0,0020<br />
0,60 0,3332 1,95 0,0596 3,30 0,0017<br />
0,65 0,3230 2,00 0,0540 3,35 0,0015<br />
0,70 0,3123 2,05 0,0488 3,40 0,0012<br />
0,75 0,3011 2,10 0,0440 3,45 0,0010<br />
0,80 0,2897 2,15 0,0396 3,50 0,0009<br />
0,85 0,2780 2,20 0,0355 3,55 0,0007<br />
0,90 0,2661 2,25 0,0317 3,60 0,0006<br />
0,95 0,2541 2,30 0,0283 3,65 0,0005<br />
1,00 0,2420 2,35 0,0252 3,70 0,0004<br />
1,05 0,2299 2,40 0,0224 3,75 0,0004<br />
1,10 0,2179 2,45 0,0198 3,80 0,0003<br />
1,15 0,2059 2,50 0,0175 3,85 0,0002<br />
1,20 0,1942 2,55 0,0154 3,90 0,0002<br />
1,25 0,1826 2,60 0,0136 3,95 0,0002<br />
1,30 0,1714 2,65 0,0119 4,00 0,0001<br />
2<br />
x<br />
136
Значения функции<br />
(<br />
x)<br />
<br />
1<br />
2<br />
х<br />
<br />
0<br />
е<br />
2<br />
z<br />
<br />
2<br />
dz<br />
Приложение 2<br />
х (х) х (х) х (х)<br />
0,00 0,0000 0,95 0,3289 1,90 0,4713<br />
0,01 0,0040 1,00 0,3413 2,00 0,4772<br />
0,05 0,0199 1,05 0,3531 2,10 0,4821<br />
0,10 0,0398 1,10 0,3643 2,20 0,4861<br />
0,15 0,0596 1,15 0,3749 2,30 0,4893<br />
0,20 0,0793 1,20 0,3849 2,40 0,4918<br />
0,25 0,0987 1,25 0,3944 2,50 0,4938<br />
0,30 0,1179 1,30 0,4032 2,60 0,4953<br />
0,35 0,1368 1,35 0,4115 2,70 0,4965<br />
0,40 0,1554 1,40 0,4192 2,80 0,4974<br />
0,45 0,1736 1,45 0,4265 2,90 0,4981<br />
0,50 0,1915 1,50 0,4332 3,00 0,49865<br />
0,55 0,2088 1,55 0,4394 3,20 0,49931<br />
0,60 0,2257 1,60 0,4452 3,40 0,49966<br />
0,65 0,2422 1,65 0,4505 3,60 0,499841<br />
0,70 0,2580 1,70 0,4554 3,80 0,499927<br />
0,75 0,2734 1,75 0,4599 4,00 0,499968<br />
0,80 0,2881 1,80 0,4641 4,5 0,499997<br />
0,85 0,3023 1,85 0,4678 5,00 0,500000<br />
0,90 0,3159<br />
137
Значение функции вида Р(k, ) =<br />
<br />
k<br />
e<br />
k!<br />
<br />
Приложение 3<br />
k<br />
<br />
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6<br />
0 0,904837 0,818731 0,740818 0,670320 0,606531 0,548812<br />
1 0,090484 0,163746 0,222245 0,268128 0,303265 0,329287<br />
2 0,004524 0,016375 0,033337 0,053626 0,075816 0,098786<br />
3 0,000151 0,001091 0,003334 0,007150 0,012636 0,019757<br />
4 0,000004 0,000055 0,000250 0,000715 0,001580 0,002964<br />
5 0,000002 0,000015 0,000057 0,000158 0,000356<br />
6 0,000001 0,000004 0,000013 0,000035<br />
7 0,000001 0,000003<br />
k<br />
<br />
0,7 0,8 0,9 1,0 2,0 3,0<br />
0 0,496585 0,449329 0,406570 0,367879 0,135335 0,049787<br />
1 0,347610 0,359463 0,365913 0,367879 0,270671 0,149361<br />
2 0,121663 0,143785 0,164661 0,183940 0,270671 0,224042<br />
3 0,028388 0,038343 0,049398 0,061313 0,180447 0,224042<br />
4 0,004968 0,007669 0,011115 0,015328 0,090224 0,168031<br />
5 0,000695 0,001227 0,002001 0,003066 0,036089 0,100819<br />
6 0,000081 0,000164 0,000300 0,000511 0,012030 0,050409<br />
7 0,000008 0,000019 0,000039 0,000073 0,003437 0,021604<br />
8 0,000002 0,000004 0,000009 0,000859 0,008101<br />
9 0,000001 0,000191 0,002701<br />
10 0,000038 0,000810<br />
11 0,000007 0,000221<br />
12 0,000001 0,000055<br />
13 0,000013<br />
14 0,000003<br />
15 0,000001<br />
138
Окончание прил. 3<br />
k<br />
<br />
4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0<br />
0 0,018316 0,006738 0,002479 0,000912 0,000335 0,000123<br />
1 0,073263 0,033690 0,014873 0,006383 0,002684 0,001111<br />
2 0,146525 0,084224 0,044618 0,022341 0,010735 0,004998<br />
3 0,195367 0,140374 0,089235 0,052129 0,028626 0,014994<br />
4 0,195367 0,175467 0,133853 0,091226 0,057252 0,033737<br />
5 0,156293 0,175467 0,160623 0,127717 0,091604 0,060727<br />
6 0,104194 0,146223 0,160623 0,149003 0,122138 0,091090<br />
7 0,059540 0,104445 0,137677 0,149003 0,139587 0,117116<br />
8 0,029770 0,065278 0,103258 0,130377 0,139587 0,131756<br />
9 0,013231 0,036266 0,068838 0,101405 0,124007 0,131756<br />
10 0,005292 0,018133 0,041303 0,070983 0,099262 0,118580<br />
11 0,001925 0,008242 0,022529 0,045171 0,072190 0,097020<br />
12 0,000642 0,003434 0,011262 0,026350 0,048127 0,072765<br />
13 0,000197 0,001321 0,005199 0,014188 0,029616 0,050376<br />
14 0,000056 0,000472 0,002228 0,007094 0,016924 0,032384<br />
15 0,000015 0,000157 0,000891 0,003311 0,009026 0,019431<br />
16 0,000004 0,000049 0,000334 0,001448 0,004513 0,010930<br />
17 0,000001 0,000014 0,000118 0,000596 0,002124 0,005786<br />
18 0,000004 0,000039 0,000232 0,000944 0,002893<br />
19 0,000001 0,000012 0,000085 0,000397 0,001370<br />
20 0,000004 0,000030 0,000159 0,000617<br />
21 0,000001 0,000010 0,000061 0,000264<br />
22 0,000003 0,000022 0,000108<br />
23 0,000001 0,000008 0,000042<br />
24 0,000003 0,000016<br />
25 0,000001 0,000006<br />
26 0,000002<br />
27 0,000001<br />
139
Критические точки распределения 2<br />
Приложение 4<br />
Число степеней<br />
Уровень значимости <br />
свободы k 0,01 0,025 0,05 0,95 0,975 0,99<br />
1 6,6 5,0 3,8 0,0039 0,00098 0,00016<br />
2 9,2 7,4 6,0 0,103 0,051 0,020<br />
3 11,3 9,4 7,8 0,352 0,216 0,115<br />
4 13,3 11,1 9,5 0,711 0,484 0,297<br />
5 15,1 12,8 11,1 1,15 0,831 0,554<br />
6 16,8 14,4 12,6 1,64 1,24 0,872<br />
7 18,5 16,0 14,1 2,17 1,69 1,24<br />
8 20,1 17,5 15,5 2,73 2,18 1,65<br />
9 21,7 19,0 16,9 3,33 2,70 2,09<br />
10 23,2 20,5 18,3 3,94 3,25 2,56<br />
11 24,7 21,9 19,7 4,57 3,82 3,05<br />
12 26,2 23,3 21,0 5,23 4,40 3,57<br />
13 27,7 24,7 22,4 5,89 5,01 4,11<br />
14 29,1 26,1 23,7 6,57 5,63 4,66<br />
15 30,6 27,5 25,0 7,26 6,26 5,23<br />
16 32,0 28,8 26,3 7,96 6,91 5,81<br />
17 33,4 30,2 27,6 8,67 7,56 6,41<br />
18 34,8 31,5 28,9 9,39 8,23 7,01<br />
19 36,2 32,9 30,1 10,1 8,91 7,63<br />
20 37,6 34,2 31,4 10,9 9,59 8,26<br />
21 38,9 35,5 32,7 11,6 10,3 8,90<br />
22 40,3 36,8 33,9 12,3 11,0 9,54<br />
23 41,6 38,1 35,2 13,1 11,7 10,2<br />
24 43,0 39,4 36,4 13,8 12,4 10,9<br />
25 44,3 40,6 37,7 14,6 13,1 11,5<br />
26 45,6 41,9 38,9 15,4 13,8 12,2<br />
27 47,0 43,2 40,1 16,2 14,6 12,9<br />
28 48,3 44,5 41,3 16,9 15,3 13,6<br />
29 49,6 45,7 42,6 17,7 16,0 14,3<br />
30 50,9 47,0 43,8 18,5 16,8 15,0<br />
140
С О Д Е Р Ж А Н И Е<br />
Введение ……………………………………………………………………... 3<br />
Раздел I. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ ………………………………….. 4<br />
Лекция № 1. Предмет теории вероятностей …………………………….. 4<br />
Лекция № 2. Частота и вероятность события …………………….......... 12<br />
Лекция № 3. Теоремы сложения и умножения вероятностей случайных<br />
событий ………………………………………………... 31<br />
Лекция № 4. Формула полной вероятности. Формулы Байеса …........... 47<br />
Лекция № 5. Повторение испытаний …………………………………….. 55<br />
Раздел II. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ……………………………….. 64<br />
Лекция № 6. Виды случайных величин. Способ задания и законы<br />
распределения дискретной случайной величины ………. 64<br />
Лекция № 7. Непрерывные случайные величины ……………………… 79<br />
Лекция № 8. Законы распределения непрерывной случайной величины<br />
………………………………………………...................... 89<br />
Лекция № 9. Элементы математической статистики. Проверка гипотезы<br />
о предполагаемом распределении генеральной<br />
совокупности по критерию Пирсона ….………………… 103<br />
Лекция № 10. Применение теории вероятностей к вопросам производства<br />
………………………………………………………. 133<br />
Библиографический список ………………………………………………… 135<br />
Приложения …………………………………………………………………. 136<br />
141