+ + Р(В) - Помощь студентам

Независимые события. Пусть события А и В таковы, что
вероятность события В не изменяется в зависимости от наступления
(или ненаступления) события А. В таких случаях говорят о независимости
события В от события А.
Определение. Событие В называется независимым от события
А, если уловная вероятность события В при условии
А равна вероятности события В, т.е. если Р(В|А) = Р(В) при
Р(А) 0.
Если же Р(В|А) Р(В), то событие В называется зависимым
от события А.
Пример 11. В ящике имеется 90 стандартных деталей и 10 нестандартных.
Из ящика наугад берут одну за другой две детали. Вероятность
появления стандартной детали при первом испытании (событие
А) равна Р(А) = 90/100 = 0,9. Вероятность появления стандартной
детали при втором испытании (событие В) зависит от результата
первого испытания: если в первом испытании событие А уже произошло,
то Р(В|А) = 89/99; если же событие А не произошло, то
Р(В| А ) = 90/99 = 10/11. Следовательно, события А и В зависимые.
Покажем, что если событие В не зависит от события А, то и событие
А не зависит от события В при условии, что Р(В) 0.
Согласно теореме умножения, имеем
Р(АВ) = Р(А) Р(В|А).
Но Р(В|А) = Р(В), следовательно, Р(АВ) = Р(А) Р(В). С другой
стороны, Р(АВ) = Р(В) Р(А|В).
Из последних двух равенств имеем Р(А) Р(В) = Р(В) Р(А|В),
откуда Р(А|В) = Р(А).
Таким образом, свойство зависимости или независимости двух
событий является взаимным. На практике независимость событий устанавливается
по смыслу задачи.
Теорема 5. Вероятность произведения двух независимых
событий равна произведению вероятностей этих событий, т.е.
Р(АВ) = Р(А) Р(В). (3.13)
38