+ + Р(В) - Помощь студентам

Пример 8. В урне 4 белых и 3 черных шара. Из урны последовательно
вынимают два шара. Найти вероятность того, что второй шар
окажется черным при условии, что первый шар был черным.
Обозначим события: А – "первый шар черный"; В –"второй шар
черный". Если произошло событие А, то в урне осталось 6 шаров, из
которых 2 черных. Поэтому искомая условная вероятность Р(В|А) =
= 2/6 = 1/3.
Дадим строгое определение условной вероятности.
Определение. Условной вероятностью события В при условии
А называется отношение
АВ
РА
Р
вероятности произведения
событий А и В к вероятности события А при Р(А) 0.
Таким образом, по определению
Р(В|А) =
АВ
РА
Р
. (3.9)
Аналогично определяется и условная вероятность события А при
условии В:
Р(А|В) =
ВА
РВ
Р
=
АВ
РВ
Р
при Р(В) 0. (3.10)
Покажем, что если в примере 8 условную вероятность Р(В|А) вычислим
по формуле (3.9), то получим тот же результат.
Так как из 7 шаров, имеющихся в урне, 3 черных, то Р(А) = 3/7.
Для нахождения Р(АВ) вычислим n общее число исходов (совместного
появления двух шаров безразлично какого цвета) по формуле
n = А 2 7 = 76 = 42. Из этого числа событию АВ благоприятствуют m
= А 2 3 = 32 = 6 исходов. Поэтому Р(АВ) = 6/42 = 1/7. По формуле (3.9)
получаем Р(В|А) =
АВ
РА
Р
=
1 3 1 : , т.е. тот же результат.
7 7 3
Теорема умножения вероятностей произвольных
событий. Из формул (3.9) и (3.10) следует
Р(АВ) = Р(А) Р(В|А) = Р(В) Р(А|В). (3.11)
36