+ + Р(В) - Помощь студентам

Определение. Дисперсией дискретной случайной величины
Х называется математическое ожидание квадрата ее отклонения
от математического ожидания:
D(Х) = М(Х М(Х)) 2 . (6.11)
Пример 11. Найти дисперсию случайной величины Х, заданной
законом распределения:
Х 1 2 5
р 0,3 0,5 0,2
Найдем математическое ожидание Х:
М(Х) = 10,3 + 20,5 + 50,2 = 2,3.
Найдем все возможные значения квадрата отклонения (Х М(Х)) 2 :
(х 1 М(Х)) 2 = (1 – 2,3) 2 = 1,69
(х 2 М(Х)) 2 = (2 – 2,3) 2 = 0,09
(х 3 М(Х)) 2 = (5 – 2,3) 2 = 7,29.
Запишем закон распределения случайной величины (Х М(Х)) 2 :
(Х М(Х)) 2 1,69 0,09 7,29
р 0,3 0,5 0,2
По определению найдем D(Х):
D(Х) = 1,690,3 + 0,090,5 + 7,290,2 = 2,01.
Однако, такое вычисление не очень удобно. Упростим формулу
(6.11), используя свойства математического ожидания:
D(Х) = М(Х М(Х)) 2 = М(Х 2 2М(Х) Х + М 2 (Х)) =
= М(Х 2 ) 2М(Х) М(Х) + М 2 (Х) = М(Х 2 ) М 2 (Х). (6.12)
Вывод: Дисперсия случайной величины есть разность между математическим
ожиданием квадрата случайной величины и квадратом
ее математического ожидания.
Приведем без доказательства некоторые свойства дисперсии.
1. Дисперсия постоянной величины С равна нулю:
D(С) = 0. (6.13)
2. Если Х случайная величина, а С постоянная, то
D(СХ) = С 2 D(Х). (6.14)
3. Если Х и Y независимые случайные величины, то
73