+ + Р(В) - Помощь студентам

Р(А) = Р(Н 1 ) Р
Н 1
(А) + Р(Н 2 ) Р
Н 2
(А) + … + Р(Н n ) Р
Допустим, что произведено испытание, в результате которого
появилось событие А. Поставим своей задачей определить, как изменились
(в связи с тем, что событие А уже наступило) вероятности
гипотез. Другими словами, будем искать условные вероятности
Р А (Н 1 ), Р А (Н 2 ), …, Р А (Н n ).
Найдем сначала условную вероятность Р А (Н 1 ). По теореме умножения
имеем Р(АН 1 ) = Р(А)Р А (Н 1 ) = Р(Н 1 ) Р (А). Отсюда Р А (Н 1 ) =
=
Р(
Н
1
) Р
Н
1
Р(
А)
Р А (Н 1 ) =
Н 1
Н n
(А).
( А)
. Заменив здесь Р(А) по формуле (4.2), получим
Р(
Н
1
) Р
Н
1
Р(
Н
( А)
Р(
Н
2
1
) Р
) Р
Н
2
Н
1
( А)
( А)
... Р(
Н
n
) P
H n
.
( A)
Аналогично выводятся формулы, определяющие условные вероятности
остальных гипотез, т.е. условная вероятность любой гипотезы
Н i (i = 1, 2, …, n) может быть вычислена по формуле
Р(
Нi
) РН
( А)
i
Р А (Н i ) =
. (4.3)
Р(
Н ) Р ( А)
Р(
Н ) Р ( А)
...
Р(
Н ) P ( )
1 Н
Н
n H A
1 2
Полученные формулы называют формулами Байеса (по имени
английского математика, который их вывел; опубликованы в 1764 г.).
Формулы Байеса позволяют переоценить вероятности гипотез после
того, как становится известным результат испытания, в итоге которого
появилось событие А.
Пример 4. Детали, изготовляемые цехом завода, попадают для
проверки их на стандартность к одному из двух контролеров. Вероятность
того, что деталь попадет к первому контролеру, равна 0,6, а ко
второму – 0,4. Вероятность того, что годная деталь будет признана
стандартной первым контролером, равна 0,94, вторым – 0,98. Годная
деталь при проверке была признана стандартной. Найти вероятность
того, что эту деталь проверил первый контролер.
Обозначим через А событие, состоящее в том, что годная деталь
признана стандартной. Можно сделать два предположения:
2
n
50