+ + Р(В) - Помощь студентам

считались различными. В примере 9, подмножества отличались только
порядком следования элементов.
В комбинаторных задачах всегда необходимо подсчитать число
всех подмножеств данного множества, удовлетворяющих определенным
условиям. Мы рассмотрим основные типы комбинаций: размещения,
перестановки и сочетания (без повторения элементов).
Размещения. Пусть дано множество, состоящее из n элементов.
Определение. Размещением из n элементов по m
(0 m n) элементов называется упорядоченное подмножество,
содержащее m различных элементов данного множества.
Из определения вытекает, что размещения из n элементов по m
элементов – это все m-элементные подмножества, отличающиеся составом
элементов или порядком их следования.
Число всех возможных размещений из n элементов по m элементов
обозначают
А m n и вычисляют по формуле:
т
А п = n (n – 1)(n – 2) … (n – m + 1). (2.8)
Докажем формулу (2.8).
Так как в качестве первого элемента может быть выбран любой
из данных n элементов, то первый элемент можно выбрать n различными
способами. Очевидно, что в качестве второго элемента
можно выбрать любой из оставшихся n – 1 элементов, поэтому его
можно выбрать n – 1 различными способами. Так как каждый из
способов выбора первого элемента можно объединить с каждым из
способов выбора второго элемента, то существуют n(n – 1) различных
способов выбора первых двух элементов. Рассуждая аналогично,
приходим к выводу, что существуют n(n – 1)(n – 2) различных способов
выбора первых трех элементов и т.д. Наконец, существует
n (n – 1)(n – 2) … (n – m + 1) способов выбора m различных элементов,
т.е. имеет место равенство (2.8).
А – первая буква французского слова arrangement, что означает "размещение,
приведение в порядок".
19